solucionariosemana1-140409002854-phpapp01

1 LIC. RODOLFO CARRILLO VELSQUEZ / TRIGONOMETRA

NGULO TRIGONOMTRICO

PROBLEMA DE CLASE

1. Si se cumple :

222

2

222

11112

RCS

C

RCS

R

RCS

S

RCS

RCS

R

donde S, C y R son las medidas usuales del mismo ngulo; entonces R es igual a:

A) rad120

B) rad60

C) rad

40

D) rad30

E) rad

120

5

(1 EXAMEN SUMATIVO CEPUNS 2012 III) SOLUCIN

Recordar:

222 2 bababa

Agrupando, tenemos:

222

2

222

11112

RCSC

RCSR

RCSS

RCS

RCSR

2222

2

222

2312 RCS

RCSRCSRCS

RCS

RCSR

512

R

60

R RESPUESTA B

2. Si los ngulos congruentes de un tringulo issceles miden (6x)g y ( 5x + 4) ,entonces el

complemento de la medida del tercer ngulo en el sistema radial es igual a:

A) rad10

B) rad5

C) rad12

D) rad20

E) rad8

SOLUCIN

Recordar: A + B+ C =180 ; A = B

Sea: A = (6x)g y B = (5x + 4)

Resolviendo: trabajando en un solo sistema

Reemplazando: A = B=54 C = 72

RESPUESTA A

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LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ | TRIGONOMETRA 2

3. Si la diferencia de dos ngulos es 100g y su suma es 3 rad., entonces, las medidas

sexagesimales de dichos ngulos, respectivamente , son:

A) 315 y 225 B) 325 y 215 C) 300 y 240 D) 290 y 250 E) 315 y 235

(Examen ordinario UNS 2014 II) SOLUCIN

Segn los datos:

RESPUESTA A

4. Si las races de una ecuacin cuadrtica: 02 cbxax , son los nmeros de grados

sexagesimales y centesimales de un ngulo . Entonces el nmero de radianes de dicho ngulo

solamente en trminos de b y c es:

A)1

19

1800

b

c

B) bc19 C)

1

19800

19

b

c D)1

1800

19

c

b E)

b

c19

SOLUCIN

Recordar: La ecuacin cuadrtica tiene la siguiente forma: y las propiedades de

suma y producto de races

S = 9k ; C = 10K y

Resolviendo

(1)

.. (2)

Dividiendo (2): (1)

Calculando

(

)

(

)

RESPUESTA D

5. La suma de dos ngulos est dada por la siguiente igualdad: 111 baba g

Hallar dichos ngulos en el sistema sexagesimal si su diferencia es ba A) 25 y 40 B) 45 y 27 C)40 y 38 D) 20 y 45 E) 10 y 25

(1 EXAMEN SUMATIVO CEPUNS 2009 II) SOLUCIN

Segn la expresin 111 baba g

, por ser una equivalencia de un centesimal y

sexagesimal, entonces el nmero en centesimal debe ser mltiplo de diez y el nmero

sexagesimal mltiplo de 9.

b = 1 y a = 8 7280 g

La diferencia entre los ngulos tiene que ser 18 RESPUESTA B

6. Sabiendo que: x + y + z = 61 ; Calcular: E = xy + yz + zx

A) 612 B) 6151 C) 622 D) 621 E) 602

[NGULO TRIGONOMTRICO]

3 TRIGONOMETRA | LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ

SOLUCIN

Recordar:

Segn los datos:

xy +

yz

zx

62 1 RESPUESTA D

7. Si a y b son dos nmeros reales positivos hallar el mximo nmero de radianes de un ngulo que

satisface la siguiente igualdad: 22

22

)()(

)()(

baba

babaSC

Si: S y C son lo conocido.

A)

380 B)

190 C)

19 D) 190

E) 380

SOLUCIN

Recordar:

S = 9k ; C = 10K y

Reduciendo la expresin: 222

19ba

abk

,

Reemplazando:

(

)

RESPUESTA E

8. Siendo X, Y, y Z nmeros enteros, cumplen la igualdad: . ZYXrad 32

; Calcular x XZY 5

A) 2 B) 4 C) 20 D) 5 E) 6 SOLUCIN

Recordar:

0

360060

cbacbacba

Convirtiendo en un solo sistema

180

32 ZYX

62558

45, ZYX

Reemplazando: x XZY 5

RESPUESTA A

9. Siendo S, C y R lo convencional para un mismo ngulo, calcule R siendo S y C las races de la

ecuacin:

3x2 - 19x + 30 = 0



A) B) C) D) E) SOLUCIN

Recordar:

S = 9k ; C = 10K y

La ecuacin cuadrtica tiene la siguiente forma: y las propiedades de suma y producto de races

Resolviendo

(1)

.. (2)

Dividiendo (2): (1)

Calculando

(

)

RESPUESTA E

10. Si S y C son la medida de un ngulo en los sistemas sexagesimal y centesimal

respectivamente y cumplen:

. . .32

1111

CCCS

Calcular la medida circular de dicho ngulo


Recordar:

S = 9k ; C = 10K y

Resolviendo:

( . . 32

1111

CCC)

(

)

Calculando

RESPUESTA D

11. De la figura mostrada:

Calcular: 9-10

A) 90 B) 180 C) 360 D) 900 E) 1800 SOLUCIN

Segn el grfico, convirtiendo en un solo sistema:

(

) RESPUESTA D



12. Determine la medida circular de un ngulo que verifica:

SC

ostrnRRR

min""...........

2

11

1

11

11

A) radn10

1)( B) 10

n C) 9

n D) 9

1n E) 9n

SOLUCIN

Recordar: S = 9k ; C = 10K Resolviendo

(

) (

) (

) (

)

(

)

RESPUESTA E

13. En el CEPUNS se ha creado un nuevo sistema de medicin angular cuya unidad es un grado

C (1c). Si el ngulo recto mide 40c. Hallar la suma de los ngulos internos de un pentgono.

A) 80c B) 160c C) 200c D) 240c E) 320c SOLUCIN

Recordar:

Suma de ngulos internos de un polgono:

Segn los datos

(*6)

RESPUESTA D

14. Determinar la medida en el sistema centesimal para un ngulo cuyas medidas en los

sistemas convencionales cumplen la relacin:

A) 20 B) 24 C) 28 D) 32 E) 36 SOLUCIN

Recordar:

S = 9k ; C = 10K y

Resolviendo:

Calculando (

) RESPUESTA B

15. Si:

CC

CC

CC

SS

SS

SS

; Hallar el nmero de radianes de dicho ngulo.

(S y C son lo conocido)

A) 3600

441 B) 3600

551 C) 3600

361

D)

3600

641 E) 3600

241

SOLUCIN

Recordar:

(Proporcionalidad)

4 3 2S C 20R 12 3 2S C R9 10 5



S = 9k ; C = 10K y

Igualamos la expresin a un trmino m y resolvemos:

m

CC

CC

CC

SS

SS

SS

Aplicando proporcionalidad

m = 19

Calculando el nmero en grados sexagesimales y convirtiendo a radian:

RESPUESTA C

16. Siendo el nmero de radianes de un ngulo positivo, verifica la igualdad:

11.8.3

Hallar: . Si:

A) 9

32 B) 64

9 C) 32

9

D)

16

9 E) 9

64

SOLUCIN

Sea

Haciendo cambio de variable y resolviendo:

RESPUESTA B

17. Si el ngulo AOC es obtuso, hallar los valores que puede tomar .

A) 18151215 ;; B) 15121518 ;; C) 15651518 ;; D) 15;12 E) 18;12

SOLUCIN

Recordar:

(obtuso) Reemplazando:



15121518 ;; RESPUESTA B

18. Resolver el siguiente sistema:

)2(...SC

)1...(S4C8,3

S6C2,4

1x

1x

47x

Siendo S y C los nmeros de grados sexagesimales y centesimales de un mismo ngulo en

sentido antihorario.

Dar como respuesta la medida del ngulo en el sistema radial.

A) rad200

1048 B) rad200

9048 ,

C) rad

100

1048 D) rad2

9,048 E) rad300

1048

SOLUCIN

Recordar:

S = 9k ; C = 10K y

Resolviendo ambas ecuaciones

Aplicamos proporcionalidad en (1)

Reemplazando (1) en (2)

(

)

RESPUESTA B

19. Si C y R son los nmeros que representan las medidas de un ngulo trigonomtrico en los

sistemas centesimales y radial respectivamente, tal que:

Calcular la medida del ngulo en el sistema radial.

A)rad

210

,

B) rad

2101

,

C)

rad

21,0;rad

21,0

D)

rad2

1,01;rad2

1,01

E)

rad

2;rad

2

SOLUCIN

Recordar:

S = 9k ; C = 10K y

Segn los datos:

Resolviendo:



[ ]

RESPUESTA D

20. Siendo S, C, y R los convencionales para un ngulo trigonomtrico donde S y C son las

soluciones de la ecuacin: ; +

Calcule: m

n

1,36

A) 3

1 B) 6

1 C) 9

1 D) 3

2 E) 2

1

SOLUCIN La ecuacin cuadrtica tiene la siguiente forma: y las propiedades de suma y producto de races

Recordar:

S = 9k ; C = 10K y

Resolviendo (1)

.. (2)

Igualando el valor de K en (1) y (2):

.. (3)

Calculando:

En (3)

RESPUESTA A

21. Calcular la medida de un ngulo en radianes desde S y C son los nmeros de grados

sexagesimales y centesimales respectivamente y cumplen:

S = (x + 3) (x - 2)............ (i)

C = (x + 2) (x -1)............ (ii)


Recordar:

S = 9k ; C = 10K y

Segn los datos tenemos:

Calculando

S= 54 (

)

RESPUESTA E



22. Si:

Calcular x donde S y C son lo convencional para un ngulo

A) 3 B) 4 C) 5 D) 8 E) 9 SOLUCIN

Recordar:

S = 9k ; C = 10K y


RESPUESTA E

PROBLEMA DE REPASO

1. Si: ; Calcular: K = b - a + 1

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 SOLUCIN

Convertimos en un solo sistema la expresin:

(

)

Tenemos 11 y 0,25 que sern convertidos a minutos

0,25*60=15

RESPUESTA C

2. De la condicin: ; Calcule:

A) 2 B) 4 C) 6 D)8 E)10 SOLUCIN


RESPUESTA B

3. Para un cierto ngulo se cumple que la suma del nmero de grados sexagesimales con el doble

del nmero de grados centesimales y con el triple del nmero de radianes es igual a 1740 + 9.

Calcule el nmero de radianes de dicho ngulo.

A) B) 2 C) 3 D) 4 E)5 SOLUCIN

Recordar:

S = 9k ; C = 10K y


2x 10S ; C

27 x

rad ab'16

5 radx

x

g10



(

)

RESPUESTA C

4. Calcular:

A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14 SOLUCIN

Recordar: 1 = 60 y 1g = 100m

Reemplazando

M = 12 RESPUESTA C

5. Siendo S y C el nmero de grados sexagesimales y centesimales de un mismo ngulo que

cumple:

S = x - 1 .............. (i)

C = x + 2 ............ (ii)

Calcular la medida del ngulo en radianes


Recordar:

S = 9k ; C = 10K y


10x-10 = 9x+18

X = 28

Calculando

S= 27 (

)

RESPUESTA D

6. La suma del nmero de grados sexagesimales y centesimales de un mismo ngulo es 95. Calcule

la medida de dicho ngulo en el sistema internacional.


Recordar:

S = 9k ; C = 10K y

Por dato:

RESPUESTA E

g m22' 2 2M 18

m2' 2

10

310

5

18

3

20

2

25

rad12

rad

10

rad8

rad

6

rad

4



7. Determine la medida radial de un ngulo que cumple que la diferencia de los nmeros de

minutos centesimales y sexagesimales de dicho ngulo es igual a 460.


Recordar:

S = 9k ; C = 10K y

Por dato:

RESPUESTA D

8. Sea f la funcin definida por la regla

1

1

2

1x

x

C

S

Rxf )( , donde S, C y R

Son los nmeros de las medidas de un ngulo en los sistemas sexagesimal, centesimal y radial

respectivamente.

Hallar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

I.

137

co sco s ff

F

II.

119

senfsenf

F

III.

105

cscsec ff

v

A) VVV B) VFV C) VFF D) VVF E) FFV SOLUCIN

Reduciendo la funcin:

(

)

La expresin es una exponencial afn decreciente lo cual indica que a mayor valor de la variable

la funcin ser menor, por lo tanto

I. La variable de funcin depende de una funcin coseno, que es decreciente en el primer

cuadrante, por lo tanto si el ngulo es mayor la variable ser menor lo cual indica que la

expresin es falsa.

II. La variable de funcin depende de una funcin seno, que es creciente en el primer

cuadrante, por lo tanto si el ngulo es mayor la variable ser mayor, lo cual indica que la

expresin es falsa.

III. La variable de funcin depende de una funcin secante y cosecante, la cosecante es mayor

que la secante entre 0 y 45 , lo cual indica que la expresin es Verdadera.

RESPUESTA E

rad5

rad

10

rad

15

rad

20

rad

40



9. La suma de las medidas de dos ngulos es 18 y la diferencia de los mismos 18g. Determinar la

medida circular del menor de los ngulos.


Segn los datos:

RESPUESTA D

10. La medida de un ngulo en un sistema M es igual a la cuarta parte de la suma de su nmero

de grados centesimales y 3 veces su nmero de grados sexagesimales. Cuntas unidades en el

sistema M le corresponden a un ngulo llano?

A) 75 B) 165 C) 180 D) 185 E) 215 SOLUCIN

Recordar:

S = 9k ; C = 10K y

Segn los datos:

Calculando k y resolviendo la ecuacin:

.dividimos entre 180 ambos trminos

RESPUESTA D

11. Si se cumple que:

Siendo el nmero de radianes. Halle la medida de dicho ngulo.

A) 40g B) 90 C) 30 D) E) 200

g

SOLUCIN

Sea

Haciendo cambio de variable y resolviendo:

RESPUESTA B

12. Siendo S y C los nmeros de grados sexagesimales y centesimales de un ngulo que cumple

con:

rad2

rad

3

rad rad200

rad

300

24 5

2

rad

S 13 C 2x .

2 3

2x



Hallar el valor de:

A) 2 B) 3 C) 4 D)-1 E) 1 SOLUCIN

Recordar:

S = 9k ; C = 10K y

Calculando k y resolviendo la ecuacin:

Reemplazando

RESPUESTA B

13. Seale la medida circular de un ngulo que verifique:

osmintr"n"

. . . . . .2S

11

1S

11

S

11

C

n2

Siendo S y C lo convencional para un mismo ngulo.

A) 180

n B) 200

n C)

225

n

D)

135

n E)

315

n

SOLUCIN

Recordar:

S = 9k ; C = 10K y

Resolviendo

(

) (

) (

) (

)

(

)

RESPUESTA C

14. Seale la medida circular del ngulo cuyos nmeros de grados sexagesimales y centesimales

se expresan como:

S = 1 + 3 + 5 + 7 + ; C = 2 + 4 + 6 + 8 +

Teniendo ambos igual cantidad de sumandos:

A) rad20

3 B) rad20

7 C) rad10

9

D) rad

20

9 E) rad23

5

SOLUCIN

Recordar: Adems tener en cuenta que la suma de nmeros impares tiene que ser mltiplo de 9 y la

suma de nmeros pares mltiplo de 10.

(

)

RESPUESTA D

15. Determine un ngulo en radianes si se cumple: 1b

aC1

b

aS

4x 1x



A) rad5

B) rad10

C) rad20

D) rad

25

E) rad50

SOLUCIN

Recordar:

S = 9k ; C = 10K y


por proporcionalidad

Calculando

S= 18 (

)

RESPUESTA B

16. El doble del nmero de grados sexagesimales de un ngulo disminuido en su nmero de

grados centesimales es a 8 como es 3 a 4. Calcular la medida radial del ngulo que cumple dicha

condicin.

A) rad20

3 B) 40

3 C) 50

3

D)

80

3 E) 100

3

SOLUCIN

Recordar:

S = 9k ; C = 10K y

Segn el enunciado:

Resolviendo:

( )

RESPUESTA D

17. Se crea un nuevo sistema de medicin angular R tal que su unidad (1R) es la 240ava parte

del ngulo de una vuelta.

Exprese en el sistema R un ngulo que mide rad4

.

A) 27R B) 30R C) 32R D) 36R E) 40R SOLUCIN

Segn los datos:

RESPUESTA B

18. Calcular la medida radial de un ngulo para el cual se cumple:

27S + 13 = 81C

siendo S y C lo convencional para el mismo ngulo.

A) B) C) D) E)

SOLUCIN

Recordar:

5

3

20

512

2

9

310



S = 9k ; C = 10K y

Resolviendo:

RESPUESTA B

19. S mgCBA 9013 , calcular: B

CA

A) 1.2 B) 1.4 C) 1.6 D) 1.8 E) 1.9 SOLUCIN

Recordar:

0

360060

cbacbacba

Convirtiendo a un solo sistema: (

) 12,51

Tenemos 12 quedando 0,51 los que se convertirn en minutos:

0,51 * 60 = 30,6

Ahora tenemos 30 quedando 0,6 los que se convertirn en segundos:

0,6 * 60 = 36

RESPUESTA C

20. Siendo S, C y R lo convencional para un ngulo trigonomtrico que cumplen:

Calcular: R


Recordar:

S = 9k ; C = 10K y

Aplicando proporcionalidad y reemplazando:

RESPUESTA A

21. Si:

Calcular: a + b + c

A) 9 B) 15 C) 18 D) 21 E) 24 SOLUCIN

Un nmero centesimal es mltiplo de 10

RESPUESTA C

2S C 3R 2

2S C 3R 2

6

5

3

4

3

5

5

6

4

3

2S C 3R 2

2S C 3R 2

g o

x 2 x 1 x abc

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