solucionario de ejercicios

INGENIERIA DE ALIMENTOS I

12

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO

DEL PERÚ

CATEDRÁTICO:

ING. JOHN GOMEZ HERRERA

FACULTAD DE INGENIERÍA EN INDUSTRIAS ALIMENTARIAS

CÁTEDRA: INGENIERIA DE ALIMENTOS I

Solucionario de ejercicios

ALUMNO:

Marcañaupa De La Cruz ,José Luis

τ= T

2 π R12L

γ=ωR1

δ


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EJERCICIOS RESUELTOS

EJEMPLO 3.1 Determinación de propiedades reológicas mediante un viscosímetro de cilindros concéntricos. Efecto de la temperatura.

Las propiedades reológicas de una partida de leche homogenizada se han estudiado mediante un viscosímetro rotatorio de cilindros concéntricos en el que gira el cilindro interno, mientras que el externo permanece estacionario. El cilindro y su radio de4 cm.La distancia de separación entre ambos cilindros es de 1mm-Los ensayos se han llevado a cabo fijando la velocidad de giro del cilindro interno, midiéndose el par de torsión aplicado. Se han realizado dos series de experimentos a diferentes temperaturas, obteniéndose los resultados que se recogen en la siguiente tabla:

N (rpm) 3 6 12 30 60 90

T107(N m−2)20°C

240 510 1.000 2.600 4.900 7.600

T107(N m−2)70°C

90 170 360 900 1.700 2.700

Determine la ecuación de reológica correspondiente a este alimento, incluyendo la influencia de la temperatura.

DATOS:

R1=4cm=0,04m

L=10cm=0,1m

δ=1mm=0,001m

SOLUCIÓN: Se determina el tipo de viscosímetro a utilizar con la relación

δR1

=0,0010,04

=0,025

τ= T

2 π (0,04m)2 0,1m

τ=994,7184m−3T


12

γ=ω0,04m0,001m

γ=40ω

N ( revmin )(2 π rad1 rev )( 1min

60 s )=2π rad1 rev

N=ω

N T 20°C T 70°C τ 20°C τ 70°C γ

3 240 90 0.314159265 0.023873242 0.00895247 12.5686 510 170 0.628318531 0.050730638 0.01691021 25.132

12 1000 360 1.256637061 0.099471840 0.03580986 50.264

30 2600 900 3.141592654 0.258626784 0.08952466 125.664

60 4900 1700 6.283185307 0.487412016 0.16910213 251.328

90 7600 2700 9.424777961 0.755985984 0.26857397 376.992

0 50 100 150 200 250 300 350 4000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

f(x) = 0.00198943396317877 x + 0.000183426261594011R² = 0.999356935143257

f(x) = 0.000703098961767136 x − 0.00051657744365273R² = 0.998654528605107

τ 70°CLinear (τ 70°C)τ 20°CLinear (τ 20°C)

γ

τ

Del grafico se deduce:

μ20 °C=0,002kgm s

μ70 °C=0,0007kgm s


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0,002=μ0 eEa

8,314 (273,15+20)…… (1)

0,0007=μ0 eEa

8,314(273,15+70)……(2)

Dividimos (1) y (2):

2,85714=e( Ea

8,314 ( 293,15 )− Ea

8,314 ( 363,15 ) )

Ea=17542

μ0=1,49x 10−6

τ=μγ=μ0 eEaRT γ

EJEMPLO 3.2 Determinación de propiedades reologicas mediante un viscosímetro de plato y cono. Efecto de la velocidad de deformación sobre la viscosidad de deformación sobre la viscosidad aparente.

Se han llevado a cabo una serie de ensayos reologicos con una compota de

manzana en un viscosímetro de palto y cono R=2.4cm :θ0=30¿. Los

resultados obtenidos se recogen en la siguiente tabla:

N(rpm) 5 10 20 40 60 80T 103(Nm) 2.17 2.37 2.60 2.98 3.24 3.47

Determinar el modelo y ecuación reologica que se ajusta mejor a estos

datos experimentales, representado gráficamente como varia la viscosidad aparente del alimento con la velocidad de deformación

Solución:Aplicando las ecuaciones correspondientes a un viscosímetro de plato y cono.

τ= 3T

2 π R3= 3T

2 π (0.024)3=34.539T

τ=1,49 x10−6 e17542RT γ


12

γ=ωθ0

= 1θ0

(Nx 2π60 )= 1

( 3360

x2 π )(Nx2π

60 )=2N

Lo que conduce a los resultados que se muestran en la siguiente tabla:

γ (s−1) 10 20 40 80 120 160

τ (N m−2) 74.95 81.86 89.80 102.93 111.90 119.85

REPRESENTADO GRÁFICAMENTE

0 20 40 60 80 100 120 1400

20

40

60

80

100

120

ϒ(s-1)

t( N

m-2

)

Por tanto, el modelo matemático aplicable a este fluido es el modelo de Hershel-Bulkley

Extrapolando la curva reologica a γ=0

τ c=65N m−2

τ−τ c=k γ n

log (τ−τ ¿¿c )=log k+nlogγ ¿

Haciendo regresión lineal


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Ord. Origen =0,414 = log kPendiente =0.607= n

Coef. Correlación =0,998

k=2.59N m−2 s−n

La ecuación reologica será:τ=65+2.59 γ 0.607

Hallando la viscosidad aparente:

μA=τγ=65+2.59 γ0.697

γ=65γ

+2.59 γ−0.303

SOLUCIONARIO DE EJERCICIOS PROPUESTOS1.- Las propiedades reológicas de un aceite de semillas se han estudiado mediante un viscosímetro en el intervalo de temperaturas de 10 y 60 °C.


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Para todas las temperaturas se ha observado que el aceite es un fluido newtoniano obteniéndose los valores de la viscosidad que se recogen en tabla.

T (°C) 10 20 30 40 50 60u (kg/ms)

2.42 1.05 0.48 0.23 0.12 0.06

Determinar la energía de activación y el factor preexponencial correspondientes a la variación de la viscosidad con la temperatura. Estímese la viscosidad del aceite a 0 y 15 °C respectivamente.

SOLUCION:

T (°C) u (kg/ms) T (°K) 1/T (°k) ln u10 2.42 283 0.00353357 0.8837675420 1.05 293 0.00341297 0.0487901630 0.48 303 0.00330033 -0.7339691840 0.23 313 0.00319489 -1.4696759750 0.12 323 0.00309598 -2.1202635460 0.06 333 0.003003 -2.81341072

REPRESENTADO GRAFICAMENTE

0.0029 0.003 0.0031 0.0032 0.0033 0.0034 0.0035 0.0036

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

f(x) = 6935.28115423887 x − 23.620875057963R² = 0.999866630570368

Según la ecuación de arrhenius

u=u0 eE a

RT

ln u=ln u0+Ea

R ( 1T )

τ=k ( dvdy )n


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Linealizando los datos:

ln u=−23,621+6935,3( 1T )

Por lo tanto:

el factor pre exponencial = 5.5148 x 10−11

la energía de activación = Ea=57660.0842J

mol ° K la viscosidad del aceite a T = 0°C = 273°K

u=60,6777 Pa. s

la energía de activación para la T = 15°C = 288°K

u=2.8834 Pa. s

2.-en el cuadro 3.1 se recogen las propiedades reologicas de un concentrado de zumo de tomate a 32°C y diferentes contenidos en sólidos. Establecer una expresión de tipo potencial que permita relacionar la viscosidad aparente de este producto con la proporción de sólidos presentes en el mismo. Para el cálculo de la viscosidad aparente, tomase un valor de referencia de la velocidad de deformación de 10 s-1

.

%solidos k (N m−2 s−n) n5,8 0,22 0,59016,0 3,16 0,45030,0 18,7 0,400

SOLUCIÓN:

Ley de la potencia

τdvdy

=k ( dvdy )

n

dvdy

μA=k ( dvdy )n−1

Reemplazando los datos de la tabla se tiene:


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%C μA ln μA lnC5,8 0,0856 -2,4581 1,7579

16,0 0,8906 -0,1159 2,772630,0 4,6972 1,5470 3,4012

μA=αCβ

ln μA=lnα+βlnC C% de solidos

1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

f(x) = 2.42498228699314 x − 6.75374400191449R² = 0.998615655921537

ln C

𝜇A

lnα=−6,7537

α=e−6,7537

α=1,1666 x 10−3

β=2,4

3.- Se utiliza un viscosímetro de cilindros concéntricos par el estudio reológico de un puré de pera a 30°C. La elevada concentración de sólidos existente en el mismo hace necesario el uso de un viscosímetro de espacio ancho con objeto de no falsear las medidas. Lo experimentos se llevan a cabo variando la velocidad de giro del cilindro interno y leyendo en un indicador el par de torsión que se aplica en cada medida. Las lecturas se toman una vez transcurridos 5 min. Desde la variación de la velocidad de giro a fin de asegurar que se alcanza el régimen estacionario. Los resultados obtenidos son las siguientes:

μA=1,1666 x10−3C2,425


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N(rpm) 3 6 10 15 20 25T 107(Nm)

2.31 4.61 7.70 11.50 15.40 19.20

Determinar el tipo de comportamiento y la ecuación reológica que mejor describen a este fluido

Datos:

Dimensiones del viscosímetro: L =12 cm, R1 =3cm , R2=5 cm

Solución: identificar si el fluido es newtoniano o no newtoniano

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 220

2

4

6

8

10

12

14

16

18

Valores Y

N( rpm)

T 10

7 (N

m)

Como es un línea recta es un fluido newtoniano

Entonces:

ω=3 revmin

x2 π rad1 rev

x1min60 s

ω=0.3142rads

ω=1revmin

x2 π rad1 rev

x1min60 s

τ= T

2 π R i2 xL


12

τ= T

2 π 0.032 x 0.12

τ=1473.6569 xT

𝛚(rad/s) T 10-4(Nm-2) Log w Log T0.3142 3.4041 -0.5028 -3.46800.6283 6.7936 -0.2018 -3.16791.0472 11.3472 0.0200 -2.94511.5708 16.9471 0.1961 -2.77092.0944 22.6943 0.3211 -2.64402.6180 28.2942 0.4180 -2.5483

-0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

f(x) = 0.999486027661393 x − 2.9657172077939R² = 0.999993697866462

log w

log

t

ω=T

4 πμL [ 1

R12 −

1

R22 ]

logω=log [ 1

R12 −

1

R22 ] x 1

4 πL+

1μxlogT

Entonces:

1μ=0.9995


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μ=1.0005

4) El estudio de las propiedades reologicas de un crema con un 20% en grasa se realiza en un viscosímetro de plato y cono, lo que permite minimizar la cantidad de producto a realizar en cada ensayo. Las medidas se llevan a cabo a tres temperaturas diferentes, obteniendo los resultados:

N(RPM) T 107 (N m) 40ºC

T 107 (N m) 60ºC

T 107 (N m) 80ºC

5 16.2 11.6 8.710 32.3 23.1 17.414 45 32.6 24.418 58.1 41.8 31.325 80 58 430530 96 70 52

Obtener la ecuación reologica de este fluido incluyendo el efecto de la temperatura. Determinar el factor por el que varia la viscosidad de la crema al pasar la temperatura de 20 a 70º C

DATOS:

Dimensiones del viscosímetro θ0=2.5º, R= 3cm

Solución:

τ= 3T2 π ¿¿

γ= wθ0

= 1

( 2.5360

2 π )(N 2π

60 )=2.4N


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γ (s−1) τ (N m−2) 40°C τ (N m−2)60°C τ (N m−2)80°C12 0.029 0.020 0.01524 0.057 0.041 0.031

33.6 0.080 0.058 0.04343.2 0.103 0.074 0.055

60 0.141

0.103

0.077

72 0.170 0.124 0.092

Representando gráficamente :

0 10 20 30 40 50 60 700

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

f(x) = 0.00128573470554603 x − 0.000234991423670686R² = 0.999871787583848

f(x) = 0.00172705831903945 x − 0.00048713550600344R² = 0.999924870430389

f(x) = 0.00234062321326472 x + 0.00110806174957119R² = 0.999853176970691

40°CLinear (40°C)60° CLinear (60° C)80° CLinear (80° C)

Por la tanto se trata de un fluido no newtoniano (plástico bingham)

La viscosidad a cada temperatura se corresponde con el valor de la pendiente:

μ40 °C=0.0023kg

ms

μ60 °C=0.0017kg

ms

μ80 °C=0.0013kg

ms

Reemplazando estos valores en la ecuación de arrhenius:

0.0023=μ0 exp¿

0.0017=μ0 exp¿

0.0013=μ0 exp¿


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Por lo tanto :

Ea=13084.922

μ0=1.507x 10−5

La ecuación reologica será:

μ=1.507 x 10−5 exp( 13084.922RT )

5.-las propiedades reologicas de una determinada mayonesa se investigan a 25°C mediante un viscosímetro de tubo con u radio de 4mm , para ello , la mayonesa se impulsa con una bomba de laboratorio. Regulando el caudal deseado a través de una válvula de aguja. Mediante sendos transductores de presión se determina para cada caudal la pérdida de presión que experimenta la mayonesa al atravesar un tramo de tubo de 20 cm de longitud. Os resultados obtenidos se recogen en la siguiente tabla:

Qv 106(m3

s)

0.4 0.7 1.3 1.8 2.3 2.8

∇P ( Nm2

) 1.756 2.440 3.525 4.260 4.930 5.539

Obtener el comportamiento y al ecuación reologica de la mayonesa en estudio.

Solución:

Realizando el grafico:

1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.50

0.5

1

1.5

2

2.5

∆P (Pa)

Q(M

3/s x

106)

De la tendencia se observa que el comportamiento es no newtoniano.


12

Aplicando al ecuación de Rabinowitsch-Mooney

⊽=[ ∆ P2KL ]1n [R ]

n+1n [ n

3n+1 ]El caudal volumétrico vendrá dado por :

Q=⊽(π R2)=[ 12KL ]

1n [R ]

3n+1n [ n

3n+1 ] π (∆P)1n

Al linealizar esta ecuación encontramos:

logQ=log [ 12KL ]

1n [R ]

3n+1n [ n

3n+1 ]π+ 1n

log (∆ P)

LOG Q -6.398 -6.155 -5.886 -5.745 -5.638 -5.553LOG(∆P)

0.245 0.387 0.547 0.629 0.693 0.743

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

-6.6

-6.4

-6.2

-6

-5.8

-5.6

-5.4

-5.2

f(x) = 1.69604638935029 x − 6.81276240395301R² = 0.999987695630079

LOG(∆P)

LOG

Q

Como la pendiente de la recta es 1.694 entonces: n=0.590,por lo tanto el fluido es pseudoplastico.

Hallando K:


12

log [ 12KL ]

1n [R ]

3n+1n [ n

3n+1 ]π=−6.8128

[ 12K (0.20) ]

10.59 [ 0.004 ]

3(0.59)+10.59 [ 0.59

3(0.59)+1 ]3.1416=1.539 x10−7

K=0.0122

POR LA TANTO: K=0.0122Pa.s-0.59

6.- A fin de obtener el valor del modulo de elasticidad correspondiente a cierta partida de zanahoria. Una probeta de este alimento de sección 1cm2 y 15 cm de longitud se somete a un ensayo de tracción. Para ello, se aplica sobre la probeta una carga progresivamente creciente, determinándose en cada instante la variación de longitud que experimente la misma mediante un extensómetro de resistencia eléctrica. Suponiendo que la probeta de zanahoria tiene en todo el ensayo un comportamiento elástico, calcular su modulo de elasticidad a partir de los siguientes resultados experimentales:

F(N) 10.1 16.0 19.8 28.1 35.0 40.7δ 103(m) 0.50 0.81 1.02 1.40 1.75 2.11

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