solucionari - · pdf filesolucionari no n’estic segur. 830966 _ 0048-0079.qxd 10/9/08...
TRANSCRIPT
79
2
Els alumnes miren sorpresos el tauler amb les dades de l’embassament.
a) Justifica si el guia ha fet bé els càlculs.b) Al final de la visita, el professor decideix entregar-los aquest fullet.
Quants metres farà el costat d’un cub amb aquesta capacitat?
a) Si el cub fa 210 m d’aresta, la seva capacitatés de 2103 m3 = 9.261.000 m3 = 9,261 hm3. Per tant, el guia no ha fet bé el càlcul de l’aresta.
b) 1.452.000 litres = 1.452.000 dm3 = 1.452 m3
L’aresta del cub fa .1 452 11 3243 . ,= m
La despesa d’aigua a l’any d’una família
és d’uns1.452.000litres.
Informaciósobre
l’embassament
CAPACITAT9,7 hm3
Ens diu la veritat?
SOLUCIONARI
No n’esticsegur.
830966 _ 0048-0079.qxd 10/9/08 16:15 Página 79
80
Polinomis i fraccions algebraiques3
DIVISORS D’UN POLINOMI
FACTORITZACIÓ D’UN POLINOMI
POTÈNCIES DIVISIÓSUMA, RESTA
I MULTIPLICACIÓ
POLINOMIS
REGLA DE RUFFINI
ARRELS D’UN POLINOMI
VALOR NUMÈRIC D’UN POLINOMI
SIMPLIFICACIÓ OPERACIONS
FRACCIONSALGEBRAIQUES
830966 _ 0080-0114.qxd 11/9/08 08:52 Página 80
Un home de principis
Dies negres i nits llargues, aquestes darreres setmanes havien estat especialmentdifícils per a en Paolo Ruffini.
Mentre caminava cap a casa, pensava en com era de dura la decisió que haviahagut de prendre sobre no jurar fidelitat a la bandera dels invasors francesos.
Un copet a l’espatlla i la veu amiga d’en Luigi el van tornar a la realitat.
–Paolo! Què has fet? A la universitat no es comenta res més. El responsable polític ha assegurat que mai més no tornaràs a seure a la teva càtedra i que has marcat el teu destí; se’l veia terriblement enfadat.
–Ho vaig pensar durant molt de temps i quan vaig comunicar la decisió que havia pres em vaig sentir alleugerit –va argumentar en Ruffini, convençut del tot.
–Però, no has pensat en la teva família o en la teva posició? –en Luigi va mostrar la preocupació que semblava que havia abandonat en Ruffini.
–Luigi, quant donaries per un lloc de funcionari? –Arribaven al mercat i en Ruffini es va aturar en sec.– Jo no estic disposat a pagar tant per la càtedra; si fes el jurament, hauria traït els meus principis i mutilat la meva ànima. Mantindria la càtedra, però el Paolo Ruffini que coneixes hauria mort.
En Ruffini es va dedicar totalment al seu ofici de metge durant els anys en què va estar allunyat de la docència.
En la divisió de polinomis P(x) : (x − a), calcula el grau del quocient i del residu.
El grau del quocient és un grau més petitque el grau del polinomi P(x), i el grau del residu és zero, ja que sempre és un nombre (un nombre és un polinomide grau zero).
830966 _ 0080-0114.qxd 11/9/08 08:52 Página 81
82
EXERCICIS
Efectua l’operació següent:
(−2x 3 + x 2 + x − 1) − (x 3 + x 2 − x − 1)
(−2x3 + x2 + x − 1) − (x 3 + x2 − x − 1) = −3x3 + 2x
Multiplica aquests polinomis:
P(x) = x 3 − x 2 + 3x − 1 Q(x) = x − 1
P(x) ⋅ Q(x) = x4 − x3 − x3 + x2 + 3x 2 − 3x − x + 1 == x4 − 2x3 + 4x2 − 4x + 1
Si P(x) = x 2 − x + 2 i Q(x) = x 3 − x 2 + 1, calcula:
a) P(1) + P(−1) b) P(0) + Q(−1)
a) P(1) + P(−1) = (1 − 1 + 2) + (1 + 1 + 2) = 2 + 4 = 6
b) P(0) + Q(−1) = 2 + (4 + 2 + 8) = 2 + 12 = 14
Quant ha de valer a perquè P(a) = 0 si P(x) = 2x 2 − 3x + 1?
Són les solucions de l’equació 2x2 − 3x + 1 = 0 → x = 1 i x =
Efectua les divisions de polinomis següents. Comprova en cadascuna el resultat que obtens.
a) (2x 3 − 3x 2 − 5x − 5) : (x 2 − 2x − 1)b) (2x 3 − 3x 2 + 4x − 3) : (x 2 − 1)c) (x 4 + 1) : (x 2 + 1)d) (x 5 + 2x 3 − 1) : (x 2 − 3)
a) (2x3 − 3x2 − 5x − 5) : (x 2 − 2x − 1) →
b) (2x3 − 3x2 + 4x − 3) : (x 2 − 1) ⎯⎯⎯→
c) (x4 + 1) : (x 2 + 1) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
d) (x5 + 2x3 − 1) : (x 2 − 3) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
El divisor d’una divisió de polinomis és Q(x) = 2x 2 − 7, el quocient és C(x) = x 3 − 2x i el residu és R(x) = x − 2. Calcula el dividend.
P(x) = Q(x) ⋅ C(x) + R(x) = (2x2 − 7) ⋅ (x 3 − 2x) + (x − 2) == (2x5 − 11x3 + 14x) + (x − 2) = 2x5 − 11x3 + 15x − 2
006
Quocient = x3 + 5xResidu = 15x − 1
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
Quocient = x2 − 1Residu = 2
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
Quocient = 2x − 3Residu = 6x − 6
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
Quocient = 2x + 1Residu = −x − 4
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
005
1
2
004
003
002
001
Polinomis i fraccions algebraiques
830966 _ 0080-0114.qxd 11/9/08 08:52 Página 82
83
3
El dividend d’una divisió de polinomis és P(x) = x 5 − 2x 3 − x 2, el quocient és C(x) = x 2 − 2 i el residu és R(x) = −2. Quin és el divisor?
P(x) = Q(x) ⋅ C(x) + R(x)
x5 − 2x3 − x2 = Q(x) ⋅ (x2 − 2) − 2 →→ x5 − 2x3 − x2 + 2 = Q(x) ⋅ (x2 − 2) →→ Q(x) = (x 5 − 2x3 − x2 + 2) : (x2 − 2) = x3 − 1
Determina el quocient i el residu mitjançant la regla de Ruffini:
a) (x 3 − x 2 + x − 3) : (x − 1)
b) (x 4 − x 3 − x + 9) : (x − 2)
c) (x 4 + x 2 − 10) : (x − 5)
d) (x 5 − 2x 3 + x − 7) : (x + 3)
e) (x 7 + x 4 − 7x 2) : (x + 4)
a)
→ C(x) = x2 + 1; R(x) = −2
b)
→ C(x) = x3 + x2 + 2x + 3; R(x) = 15
c)
C(x) = x3 + 5x2 + 26x + 130; R(x) = 640
d)
C(x) = x4 − 3x3 + 7x2 − 21x + 64; R(x) = −199
e)
C(x) = x6 − 4x5 + 16x4 − 63x3 + 252x2 − 1.015x + 4.060; R(x) = −16.240
Si dividim 4x 5 − 3x 4 + 2x 3 − x 2 − x + 1 entre x + 2, quins seran el residu i el quocient? Hi podem aplicar la regla de Ruffini?
Quocient: 4x4 − 11x3 + 24x2 − 49x + 97; Residu: −193
4 −3 2 −1 −1 − 1 −2 −8 22 −48 98 −194
4 −11 24 −49 97 −193
009
1 −0 0 − 1 0 −7 0 − 0 −4 −4 16 −64 252 −1.008 4.060 −16.240
1 −4 16 −63 252 −1.015 4.060 −16.240
1 −0 −2 − 0 1 −7 −3 −3 −9 −21 63 −192
1 −3 −7 −21 64 −199
1 0 1 0 −10 5 5 25 130 650
1 5 26 130 640
1 −1 0 −1 9 2 −2 2 −4 6
1 −1 2 −3 15
1 −1 1 −31 −1 0 −1
1 −0 1 −2
008
007
SOLUCIONARI
830966 _ 0080-0114.qxd 11/9/08 08:52 Página 83
84
Calcula el valor de m perquè la divisió sigui exacta:
(x 5 − 2x 3 − 8x 2 + mx + 3) : (x − 3)
120 + 3m = 0 → m = −40
Calcula les arrels d’aquests polinomis:
a) P(x) = x 3 − 3x 2 + 2 c) R(x) = x 3 − 2x 2 − 5x − 6
b) Q(x) = x 2 − 2x + 1 d) S(x) = x 2 − 5x − 14
a)⎯→ 1 és arrel, també
són arrels.
b)⎯⎯⎯⎯→ 1 és arrel doble.
c) No té arrels racionals; quan provem amb els divisors del denominador, mai no dóna zero.
d)→ −2 és arrel.
⎯→ 7 és arrel.
Quant val a perquè x = 2 sigui una arrel del polinomi x 3 − 2x 2 − 4x + a?
→ a − 8 = 0 → a = 8
Determina a i b perquè el polinomi P(x) = ax 2 + b tingui com a arrels 2 i −2.
Com que b = −4a, qualsevol parell de nombres que ho verifiqui formarà un polinomi amb aquestes arrels; per exemple, a = 1, i b = −4.
a 0 b−2 −2a 4a
a −2a b + 4a
a 0 b2 2a 4a
a 2a b + 4a
013
1 −2 −4 a2 −2 −0 −8
1 −0 −4 a − 8
012
1 −5 −14 7 −7 −14
1 −2 0
− 1 −5 −14 −2 −2 −14 − 1 −7 0
1 −2 −11 −1 −1
1 −1 0
1 3 1 3+ −i1 −3 −0 −2
1 −1 −2 −2 1 −2 −2 −0
011
1 0 −2 −8 m 3 3 3 −9 21 39 117 + 3m
1 3 7 13 39 + m 120 + 3m
010
Polinomis i fraccions algebraiques
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
→ Són les dues arrels del poliinomi.
830966 _ 0080-0114.qxd 11/9/08 08:52 Página 84
85
3
Calcula el desenvolupament d’aquestes potències mitjançant el triangle de Tartaglia:
a) (x + y)5 c) (2x − 2)3 e) (3x 2 − y)4 g) (x 2 − y 2)5
b) (x + 1)4 d) (x − 24)4 f) (x 2 − y )5 h) (−x + 3y)3
a) Els coeficients són 1, 5, 10, 10, 5 i 1.(x + y)5 = x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + y5
b) Els coeficients són 1, 4, 6, 4 i 1.(x + 1)4 = x4 + 4x3 + 6x2 + 4x + 1
c) Els coeficients són 1, 3, 3 i 1.(2x − 2)3 = 8x3 − 24x2y + 24x − 8
d) Els coeficients són 1, 4, 6, 4 i 1.(x − 24)4 = x4 − 96x3 + 3.456x2 − 55.296x + 331.776
e) Els coeficients són 1, 4, 6, 4 i 1.(3x2 − y)4 = (3x2)4 + 4 ⋅ (3x2)3 ⋅ (−y) + 6 ⋅ (3x2)2 ⋅ (−y)2 + 4 ⋅ (3x2) ⋅ (−y)3 +
+ (−y)4 = 81x8 − 108x6y + 54x4y2 − 12x2y3 + y4
f) Els coeficients són 1, 5, 10, 10, 5 i 1.(x2 − y)5 = (x2)5 + 5 ⋅ (x2)4 ⋅ (−y) + 10 ⋅ (x2)3 ⋅ (−y)2 + 10 ⋅ (x2)2 ⋅ (−y)3 +
+ 5 ⋅ (x2) ⋅ (−y)4 + (−y)5 = x10 − 5x8y + 10x6y2 − 10x4y3 ++ 5x2y4 − y5
g) Els coeficients són 1, 5, 10, 10, 5 i 1.(x2 − y2)5 = (x2)5 + 5 ⋅ (x2)4 ⋅ (−y2) + 10 ⋅ (x2)3 ⋅ (−y2)2 +
+ 10 ⋅ (x2)2 ⋅ (−y2)3 + 5 ⋅ (x2) ⋅ (−y2)4 + (−y2)5 == x10 − 5x 8y2 + 10x6y4 − 10x 4y6 + 5x2y8 − y10
h) Els coeficients són 1, 3, 3 i 1.(−x + 3y)3 = (−x)3 + 3 ⋅ (−x)2 ⋅ 3y + 3 ⋅ (−x) ⋅ (3y)2 + (3y)2 =
= −x3 − 9x2y − 27xy2 + 9y2
Completa el triangle de Tartaglia fins a la desena fila.
1 11 2 1
1 3 3 11 4 6 4 1
1 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 11 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 37 84 126 126 84 37 9 11 10 46 121 210 252 210 121 46 10 1
Quin és el volum d’aquest cub?
Volum: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
016
015
014
SOLUCIONARI
a + b
830966 _ 0080-0114.qxd 11/9/08 08:52 Página 85
86
Troba un divisor d’aquests polinomis:a) P(x) = x 3 − 3x 2 + 2x − 6b) Q(x) = x 4 − 4x 2 − x + 2c) R(x) = x 6 − x 5 − 2x + 2
a)⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ (x − 3) és divisor de P(x).
b)⎯⎯⎯→ (x + 1) és divisor de Q(x).
c)→ (x − 1) és divisor de R(x).
Calcula a perquè x − 1 sigui divisor de 2x 3 − x 2 + 3x + a.
→ a + 4 = 0 → a = −4
Són correctes els càlculs?
Així doncs, tenim que:2x 3 + 2x2 + 3x + 3 = (x − 1) ⋅ (2x + 3)
Els càlculs no són correctes.
→ 2x3 + 2x2 + 3x + 3 = (x + 1) ⋅ (2x2 + 3)
Descompon en factors aquests polinomis:
a) P(x) = x 3 − 8 d) P(x) = x 5 + 3x 4 − 9x 3 − 23x 2 − 12xb) P(x) = x 3 + 4x 2 + 4x e) P(x) = x 3 − 3x 2 − 25x − 21c) P(x) = x 4 − 2x 3 − 3x 2 + 4x + 4 f) P(x) = x 5 − 9x 3
a) P(x) = x3 − 8 = (x2 + 2x + 4) ⋅ (x − 2)
b) P(x) = x ⋅ (x2 + 4x + 4) = x ⋅ (x + 2)2
c) P(x) = (x + 1)2 ⋅ (x − 2)2
d) P(x) = x ⋅ (x 4 + 3x3 − 9x2 − 23x + 4) = x ⋅ (x + 1)2 ⋅ (x − 3) ⋅ (x + 4)
e) P(x) = (x + 1) ⋅ (x + 3) ⋅ (x − 7)
f) P(x) = x3 ⋅ (x 2 − 9) = x3 ⋅ (x + 3) ⋅ (x − 3)
020
2 −2 3 −3 −1 −2 0 −3
2 −0 3 0
2 −2 3 −3−1 −2 0 −3
2 −0 3 −0
019
2 −1 3 a1 −2 1 4
1 −1 4 a + 4
018
1 −1 0 0 0 −2 −21 −1 0 0 0 −0 −2
1 −0 0 0 0 −2 0
1 −0 −4 −1 −2 −1 −1 −1 −3 −2
1 −1 −3 −2 0
1 −3 2 −6 3 −3 0 −6
1 −0 2 0
017
Polinomis i fraccions algebraiques
830966 _ 0080-0114.qxd 11/9/08 08:52 Página 86
Factoritza els polinomis següents i explica com ho fas:
a) x 3 − 1 b) x 5 − 1 c) x 6 − 1
a)⎯⎯⎯⎯⎯→ x3 − 1 = (x − 1) ⋅ (x2 + x + 1)
b)→ x5 − 1 =
= (x − 1) ⋅ (x 4 + x3 + x2 + x + 1)
c) x6 − 1 = (x 3 − 1) ⋅ (x 3 + 1)
⎯⎯⎯⎯⎯→ x3 − 1 = (x − 1) ⋅ (x2 + x + 1)
⎯⎯⎯→ x3 + 1 = (x + 1) ⋅ (x2 − x + 1)
x 6 − 1 = (x − 1) ⋅ (x2 + x + 1) ⋅ (x + 1) ⋅ (x2 − x + 1)
Raona si aquestes igualtats són certes:
a) x 3 + 9 = x ⋅ (x + 3) ⋅ (x + 3)b) x 2 ⋅ (x 2 + 1) = [x ⋅ (x + 1)]2
a) És falsa, perquè x ⋅ (x + 3) ⋅ (x + 3) = x3 + 6x2 + 9x.
b) És falsa, perquè [x ⋅ (x + 1)]2 = x2 ⋅ (x 2 + 2x + 1).
Opera quan calgui i simplifica.
a) c) e)
b) d) f)
a)
b)
c)
d)
=+ − − −
+=
− −+
2 2 1 12 2
2
2
2
x x x x
x x
x x
x x
2 1
1
1 2 1 1 1
1
x
x
x
x
x x x x
x x
++
−+
=+ − + +
+=
⋅⋅
( ) ( )( )
( )
x
x x
x x
x
x
x
2
2 2
1
2 1
1 1
1
1
1
−− +
=− ⋅ +
−=
+−
( ) ( )
( )
x
x
x
x x x
−−
=−
+ ⋅ −=
+1
1
1
1 1
1
12 ( ) ( )
2 2
2 6
2 1
2 3
1
3
x
x
x
x
x
x
−−
=⋅ −⋅ −
=−−
( )
( )
xx x
xx
x+ + −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ +3
2 51
⋅2 1
11x
xx
x+
+− +x
x−−
112
xx
xx2
2
23
1+ −⋅
xx x
2
2
12 1−
− +2 22 6
xx
−−
023
022
1 −0 0 −1 −1 −1 1 −1
1 −1 1 0
1 0 0 −1 1 1 1 −1
1 1 1 0
1 0 0 0 0 −11 1 1 1 1 −1
1 1 1 1 1 0
1 0 0 −11 1 1 −1
1 1 1 0
021
87
3SOLUCIONARI
830966 _ 0080-0114.qxd 11/9/08 08:52 Página 87
88
e)
f)
Troba dues fraccions equivalents i explica com ho fas:
a) b)
Multipliquem o dividim el numerador i el denominador pel mateix factor.
a)
b)
Per quina fracció algebraica s’ha de multiplicar
perquè doni ?
S’ha de multiplicar per .
ACTIVITATS
Troba el valor numèric del polinomi P(x) = −x 4 + 5x 3 − 7x 2 + 8x − 4 per a:
a) x = 0 c) x = 2 e) x = −3
b) x = d) x = −2 f) x = 2,5
a) P(0) = −4
b)
c) P(2) = −(2)4 + 5 ⋅ (2)3 − 7 ⋅ (2)2 + 8 ⋅ (2) − 4 = 8
d) P(−2) = −(−2)4 + 5 ⋅ (−2)3 − 7 ⋅ (−2)2 + 8 ⋅ (−2) − 4 = −104
e) P(−3) = −(−3)4 + 5 ⋅ (−3)3 − 7 ⋅ (−3)2 + 8 ⋅ (−3) − 4 = −307
f) P(2,5) = −(2,5)4 + 5 ⋅ (2,5)3 − 7 ⋅ (2,5)2 + 8 ⋅ (2,5) − 4 = 11,3125
P −⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = − −
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ + −
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞1
2
1
25
1
2
4
⎠⎠⎟⎟⎟⎟ − −
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ + −
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ − =
3 2
71
28
1
24
−−167
16
− 12
026�
−+x
x 2
− ++ +
=− ⋅ −
+=
−+
⋅−+
x x
x x
x x
x
x
x
x
x
3
2
2
2
27
4 4
7
2
7
2 2
( )
( )
− ++ +x x
x x
3
2
74 4
xx
2 72
−+
025
x
x x
x
x
x x
x x
4
3
2 5
4 2
1 1−−
=+
=−−
2
3
2
3 1
6
9 32
2
3 2
x
x x x
x
x x−=
−=
−
xx x
4
3
1−−
23 2
xx x−
024
=+ −
+=
+ −+
=4 6 15
3 1
4 6 15
3 1
42 2 2x x
x
x
x
x x x
x x
x⋅
⋅⋅
( )
( )
++ −+6 15
3 3
x
x
xx x
x
x
x
x
x
x
x
x+ +
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ +
= + +−
3
2 5
1
3
3 3
6 152 2
⋅33 1x
x
x
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ +
=⋅
x
x
x
x
x x
x x
x
x x x2
2 2
2
3
3 22
3
1
3
2 1
3
2+ −=
+ −=
− + −⋅
⋅⋅( ) ( ) 22
Polinomis i fraccions algebraiques
830966 _ 0080-0114.qxd 11/9/08 08:52 Página 88
89
3
Raona si les igualtats següents són certes o falses:
a) 2x = x ⋅ xb) −(x 2 + x) = −x 2 − x
c)
d)
e) x 2 + x 3 = x 5
f) 2x 2 ⋅ 3x 3 = 5x 5
g) −x 2 = x 2
h) (x 2)3 = x 6
a) Falsa, perquè 2x = x + x.
b) Certa (x 3).
c) Certa (x 3), ja que es verifica que .
d) Falsa, perquè .
e) Falsa, ja que en la suma de potències no se sumen els exponents.
f) Falsa, perquè 2x2 ⋅ 3x3 = 6x5.
g) Falsa.
h) Certa (x 3).
Donats els polinomis:
P(x) = −7x 4 + 6x 2 + 6x + 5Q(x) = 3x 5 − 2x 2 + 2R(x) = −x 5 + x 3 + 3x 2
calcula.a) P(x) + Q(x) + R(x)b) P(x) − Q(x)c) P(x) ⋅ Q(x)d) [P(x) − Q(x)] ⋅ R(x)e) [P(x) − R(x)] ⋅ Q(x)
a) P(x) + Q(x) + R(x) = 2x5 − 7x4 + x3 + 7x2 + 6x + 7
b) P(x) − Q(x) = −3x5 − 7x4 + 8x2 + 6x + 3
c) P(x) ⋅ Q(x) == −21x9 + 18x7 + 32x6 + 15x5 − 26x4 − 12x3 + 2x2 + 12x + 10
d) [P(x) − Q(x)] ⋅ R(x) = (−3x5 − 7x4 + 8x2 + 6x + 3) ⋅ (−x5 + x3 + 3x2) == 3x10 + 7x9 − 3x8 − 24x7 − 27x6 + 5x5 + 30x4 + 21x3 + 9x2
e) [P(x) − R(x)] ⋅ Q(x) = (x5 − 7x4 − x3 + 3x2 + 6x + 5) ⋅ (3x5 − 2x2 + 2) == 3x10 − 21x9 − 3x8 + 7x7 + 32x6 + 19x5 − 20x4 − 14x3 − 4x2 + 12x + 10
028�
−−
= − − = − +2 4
22 2
22 2x x
x x x x( )
2 16 44
2 2 2x x x( ) = =
− − = − −2 42
22
2x xx x
2 44
2 2x x( ) =
027�
SOLUCIONARI
830966 _ 0080-0114.qxd 11/9/08 08:52 Página 89
90
Opera i agrupa els termes del mateix grau:
a) c)
b) d)
a)
b)
c)
d)
Efectua les operacions següents amb aquests polinomis:
P(x) = 2x 3 + 6Q(x) = x 2 − 2x + 3R(x) = −2x 5 + x 2 − 1
a) P(x) + Q(x) − R(x)b) P(x) − [Q(x) − R(x)]c) −[P(x) − [Q(x) + R(x)]]
a) P(x) + Q(x) − R(x) = 2x5 + 2x3 − 2x + 10
b) P(x) − [Q(x) − R(x)] = (2x3 + 6) − (2x5 − 2x + 4) == 2 ⋅ (−x5 + x3 + x + 1)
c) −[P(x) − [Q(x) + R(x)]] = −[(2x3 + 6) − (−2x5 + 2x2 − 2x + 2)] == −2x5 − 2x3 + 2x2 − 2x − 4
Calcula.
a) (4x 3 − 7x 3) − (6x 3 + 7x 3) d) 7x 3 ⋅ (2x 2 ⋅ 5x ⋅ 3)b) (4x + 5x) ⋅ (2x − 7x) e) (5x 6 : x 2) − (3x ⋅ 2 ⋅ x 3) + x 4
c) (6x 5 − 4x 5) : (8x 5 + 3x 5 − 9x 5) f) (10x10 ⋅ x 3) : (5x − 3x)
a) (4x3 − 7x3) − (6x3 + 7x3) = −3x3 − 13x3 = −16x3
b) (4x + 5x) ⋅ (2x − 7x) = 9x ⋅ (−5x) = −45x2
c) (6x5 − 4x5) : (8x5 + 3x5 − 9x5) = 2x5 : 2x5 = 1
d) 7x3 ⋅ (2x2 ⋅ 5x ⋅ 3) = 7x3 ⋅ 30x3 = 210x6
e) (5x6 : x 2) − (3x ⋅ 2 ⋅ x3) + x4 = 5x4 − 6x4 + x4 = 0
f) (10x10 ⋅ x3) : (5x − 3x) = 10x13 : 2x = 5x12
031�
030��
287
72 7
7
77 2
1
7x x x− = − = ⋅ −
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
= −( ) + = ⋅ − +3 5 4 5 5 53 3x x x x( )
45 80 5 45 80 53 3 3x x x x x− + = −( ) + =
2
3
1
5
4
3
1
6
1
5
4
3
2
3
1
62 2 2x x x x x+ − − = −
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ + −
⎛⎝⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = − +x x x
17
15
1
22
= − +8
5
7
324 3x x
3
52
1
32
3
51 2
1
34 3 4 3 4x x x x x− + − + = +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ + − −
⎛⎝⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ + =x 3 2
2877
x −23
15
43
16
2 2x x x x+ − −
45 80 53 3x x x− +35
213
24 3 4 3x x x x− + − +
029�
Polinomis i fraccions algebraiques
830966 _ 0080-0114.qxd 11/9/08 08:52 Página 90
91
3
Determina el valor de a, b, c i d perquè els polinomis P(x) i Q(x) siguin iguals.P(x) = x 3 − (a + 2) ⋅ x + 2 − (9 + c) ⋅ x 2
Efectua aquestes operacions:a) (x 2 − 3x + 5) ⋅ x 2 − xb) (x 2 − x + 3) ⋅ x 2 − 2x + (x − 4) ⋅ (x + 5)c) [(1 − x − x 2) ⋅ (−1) −3x)] ⋅ (8x + 7)
d)
e) [x 2 + 1 − 6x ⋅ (x − 4)] ⋅ x − x ⋅ (5x − 10)
a) x4 − 3x3 + 5x2 − x
b) x4 − x3 + 3x2 − 2x + x2 + x − 20 = x4 − x3 + 4x2 − x − 20
c) (x2 − 2x − 1) ⋅ (8x − 7) = 8x3 − 23x2 + 6x + 7
d)
e) (−5x2 + 24x + 1) ⋅ x − 5x2 + 10x = −5x3 + 24x2 + x − 5x2 + 10x == −5x3 + 19x2 + 11x
Fes les divisions següents:
a) Quocient: x2 + x + 5 d) Quocient: x2 + x + 1Residu: −2x − 6 Residu: −7x + 8
b) Quocient: x2 + 2x − 1e) Quocient:
Residu: −3x − 2
c) Quocient: x 3 − 3x2 + 9x − 35 Residu: Residu: 83x − 60
− −7
2
5
2x
27
2x +
034��
=+ − +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ − =
+ −5 4 72 62
401
5 4 723 2 4 3x x xx
x x xx x2 62 40
40
+ −
x x xx
2 2 12
4
5 6
10
1
41
+ −⋅
−−
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ − =
x x x2 4
33
25
14
2
+ −⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ −
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ −
⎡
⎣⎢⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥ ⋅ −x 1
033��
P x x c x a x
Q x d
( ) ( ) ( )
( )
= − + − + +
= +⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟
3 29 2 21
4 ⎟⎟ + + + +
⎫
⎬⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪
+ = =
−x x x b
d d
3 28 31
2
1
41
3
49
→
⎯→
( ++ = = −− + = = −
+ = =
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪c c
a a
b b
)( )
8 172 3 5
1
22
3
2
→→
⎯→
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
Q x b x x d x x x( ) = + − + +⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ + − +5 2
14
10 212
2 3 2
032��
SOLUCIONARI
830966 _ 0080-0114.qxd 11/9/08 08:52 Página 91
92
Troba el polinomi Q(x) pel qual hem de dividir a P(x) = x 4 − x 3 − 4x 2 + x −2, perquè el quocient sigui C(x) = x 2 + x − 3 i el residu sigui R(x) = −6x + 1.
Q(x) = [P(x) − R(x)] : C(x) = (x 4 − x3 − 4x2 + 7x − 3) : (x2 + x − 3) == x2 − 2x + 1
Si en una divisió de polinomis el grau del dividend és 6 i el del divisor és 3,quin és el grau del quocient i del residu? Raona la resposta.
El grau del quocient és la diferència que hi ha entre el grau del dividend i el grau del divisor, i el grau del residu sempre és més petit que el grau del divisor.
Quocient: grau 3
Residu: grau més petit que 3
Efectua aplicant la regla de Ruffini:
a) (x 5 − x 3 + x 2 − x 4 + 3x − 7) : (x − 2)
b) (x 4 + 2x 2 − x − 3) : (x + 1)
c) (2x 4 − x 3 − x 2 + x + 3) : (x − 3)
d) (x 3 − 8x + x 2 − 7) : (x + 2)
e) (x 3 − 4x 2 + 6x − 9) : (x + 4)
a)→
b)⎯⎯→
c)⎯⎯→
d)⎯⎯⎯⎯→
e)⎯⎯⎯→
Quocient: x2 − 8x + 38Residu: −161
1 −4 6 −9 −4 −4 32 −152
1 −8 38 −161
Quocient: x2 − x − 6Residu: 5
1 −1 −8 −7 −2 −2 −2 12
1 −1 −6 5
Quocient: 2x3 + 5x2 + 14x + 43Residu: 132
2 −1 −1 1 3 3 −6 15 42 129
2 −5 14 43 132
Quocient: x 3 − x2 + 3x − 4Residu: 1
1 −0 2 −1 −3 −1 −1 1 −3 −4
1 −1 3 −4 1
Quocient: x 4 + x3 + x2 + 3x + 9Residu: 11
1 −1 −1 1 3 −7 2 −2 −2 2 6 18
1 −1 −1 3 9 11
037�
036��
035��
Polinomis i fraccions algebraiques
830966 _ 0080-0114.qxd 11/9/08 08:52 Página 92
93
3
Completa aquestes divisions i escriu els polinomis dividend, divisor, quocient i residu.
a) c)
Dividend: 3x3 + 4x2 + 1 Dividend: x 3 − x + 2
Divisor: x + 1 Divisor: x − 2
Quocient: 3x2 + x − 1 Quocient: x2 + 2x + 3
Residu: 2 Residu: 8
b) d)
Dividend: 4x3 + 3x2 + 2x + 1 Dividend: −2x3 − 3
Divisor: x + 1 Divisor: x + 4
Quocient: 4x2 − x + 3 Quocient: −2x2 + 8x − 32
Residu: −2 Residu: 125
Donats els algoritmes següents:
Escriu-ne els polinomis dividend, divisor, quocient i residu.
a) Dividend: x 4 − 2x3 + 5x2 + 8x + 7
Divisor: x + 2
Quocient: x 3 − 4x2 + 13x − 18
Residu: 43
b) Dividend: x 4 − 3x3 + x2 + 3x − 7
Divisor: x − 2
Quocient: x 3 − x2 − x + 18
Residu: 3
1 −3 1 3 −5
2 2 −2 −2 2
1 −1 −1 1 3
b)
1 −2 5 8 7
−2 −2 8 −26 36
1 −4 13 −18 43
a)
039�
−2 0 0 −3−4 8 −32 128
−2 8 −32 125
4 3 2 1−1 −4 1 −3
4 −1 3 −2
1 0 −1 22 2 4 6
1 2 3 8
3 4 0 1−1 −3 −1 1
3 1 −1 2
038��
SOLUCIONARI
830966 _ 0080-0114.qxd 11/9/08 08:52 Página 93
94
Escriu el polinomi quocient i el residu de les divisions següents mitjançant la regla de Ruffini.
a) (x4 − x3 − 2x2 + 4x − 8) : (x + 1)
b) (x4 − 2x3 + 6x2 – 3x + 7) : (x− 2)
c) (x5 − 2x4 + 3x2 + 4x − 2) : (x + 4)
d) (x5 − x4 + 10x2 + 2) : (x− 3)
e) (2x5 − 3x4 + 10x3 + 2x) : (x + 1)
a)
Dividend: x 4 − x3 − 2x2 + 4x − 8
Divisor: x + 1
Quocient: x 3 − 2x2 + 4
Residu: −12
b)
Dividend: x 4 − 2x3 + 6x2 − 3x + 7
Divisor: x − 2
Quocient: x 3 + 6x + 9
Residu: 25
c)
Dividend: x 5 − 2x4 + 3x2 + 4x − 2
Divisor: x + 4
Quocient: x 4 − 6x3 + 24x2 − 93x + 376
Residu: −1.506
d)
Dividend: x 5 − x4 + 10x2 + 2
Divisor: x − 3
Quocient: x 4 + 2x3 + 6x2 + 28x + 84
Residu: 254
1 −1 0 10 0 2+3 3 6 18 84 252
1 2 6 28 84 254
1 −2 0 3 4 −2−4 −4 24 −96 372 −1.504
1 −6 24 −93 376 −1.506
1 −2 −6 1−3 17 +2 −2 −0 −12 18
1 −0 −0 −19 25
1 −1 −2 −4 −8 −1 −1 −2 −0 −4
1 −1 −0 −4 −12
040�
Polinomis i fraccions algebraiques
830966 _ 0080-0114.qxd 11/9/08 08:52 Página 94
95
3
e)
Dividend: 2x5 − 3x4 + 10x3 + 2xDivisor: x + 1
Quocient: 2x4 − 5x3 + 15x2 − 15x + 17
Residu: −17
Donat el polinomi P(x) = x3 − 3x2 + ax + b, calcula el valor de a i bsi saps que:
a) x = 2 és una arrel de P(x), i
b) el residu de dividir P(x) entre x + 1 és −17.
Si x = 2 és una arrel, aleshores:
→ −4 + 2a + b = 0 →→ 2a + b = 4
Apliquem Ruffini:
→ −4 − a + b = 17 →→ −a + b = −13
Resolem el sistema que hem obtingut:
Troba un polinomi de grau 2 les arrels del qual siguin x = −3 i x = −2.
P(x) = k (x + 3) (x + 2) = k (x2 + 5x + 6) P(x) = x2 + 5x + 6
Troba un polinomi de grau 2 que sigui divisible entre x + 2 i que el residu de dividir-lo entre x − 3 sigui 10.
Sigui el polinomi P(x) = ax2 + bx + c. Fem a = 1 → P(x) = x2 + bx + c
A partir de les dues condicions obtenim:
Resolem el sistema:
→ P(x) = x2 + x − 2
− + + =+ + =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
= = −2 4 03 9 10
1 2b cb c
b c→ ;
1 b c+3 3 3b + 9
1 b + 3 3b + c + 9
1 b c−2 −2 −2b + 4
1 b − 2 −2b + c + 4
043��
k = 1⎯⎯→
042��
2 413
17
3
22
3a b
a ba b+ =
− + = −⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
= = −→ ;
1 −3 a b−1 −1 4 −4 − a
1 −4 4 + a −4 − a + b
1 −3 a b+2 2 −2 −4 + 2a
1 −1 −2 + a −4 + 2a + b
041��
2 −3 10 0 2 0−1 −2 5 −15 15 −17
2 −5 15 −15 17 −17
SOLUCIONARI
830966 _ 0080-0114.qxd 11/9/08 08:52 Página 95
96
Troba un polinomi de grau 3 sabent que és divisible entre x − 2, que −1 és una arrel i que en dividir-lo entre x + 3 el residu és +2.
Si el polinomi és divisible per x − 2, vol dir que x = 2 n’és una arrel. Com que x = −1 també n’és una arrel, el polinomi és de la forma:
P(x) = ax3 + bx2 + cx + d P(x) = x3 + bx2 + cx + d
A partir d’aquestes condicions:
Resolem el sistema format per les tres equacions:
Troba el valor de m perquè les divisions siguin exactes:
a) (x 2 − 12x + m) : (x + 4)
b) (x3 + 2x2 + 8x + m) : (x − 2)
c) (x3 − x2 + 2mx − 12) : (x − 6)
d) (x3 − 2 ⋅ (m + 1) ⋅ x2 + m) : (x + 1)
e) (x3 + mx2 + 2x − 10) : (x − 5)
f) (x 4 − 4x3 + 8x2 + 2mx + 24) : (x − 3)
g) (2x5 + mx4 − 15x3 + 4x + 20) : (x + 5)
a)⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ m + 64 = 0 →
→ m = −64
b)⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ m + 32 = 0 →
→ m = −32
1 2 8 m2 2 8 32
1 4 16 m + 32
1 −12 m−4 −4 64
1 −16 m + 64
045��
4 2 8 01 0
9 3 27 2
b c db c d
b c d
b
+ + + =− + − =
− + − =
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
→
==
=−
=−
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
11
526
532
5
c
d
P x→ ( ) == + − −x x x3 211
5
26
5
32
5
+ 1 b c d−3 −3 −3b + 9 9b + 3c − 27
1 b − 3 −3b + c + 9 9b − 3c + d − 27 = 2
+ 1 b c d−1 −1 −b + 1 b − c − 1
1 b − 1 −b + c + 1 b − c + d − 1 = 0
+ 1 b c d+2 −2 −2b + 4 4b + 2c + 8
1 b − 2 −2b + c + 4 4b + 2c + d + 8 = 0
a = 1⎯⎯→
044��
Polinomis i fraccions algebraiques
830966 _ 0080-0114.qxd 11/9/08 08:52 Página 96
97
3
c)⎯⎯⎯⎯⎯→ 12m + 168 = 0 →
→ m = −14
d)⎯→ −m − 3 = 0 → m = −3
e)→ 25m + 125 = 0 →
→
f)→ 3m + 69 = 0 →
→ m = −3
g)
→ 625m − 4.375 = 0 → m = 7
Calcula el valor de m perquè les divisions tinguin el residu que s’indica:
a) (x 5 + 6x 3 + mx + 17) : (x + 1) → Residu 2b) (2mx3 − 3mx2 + 8m) : (x − 2) ⎯→ Residu −4c) (x 5 + 2x 4 − 5x 3 + mx + 20) : (x − 1) → Residu 10d) (x 4 − 12x 3 + 2x 2 + mx + 2) : (x + 6) ⎯→ Residu −3
a)→ −m + 10 = 2 →
→ m = 8
b)→ 12m = −4 → m =
c)→ −m + 18 = 10 →
→ m = −8
d)→ −6m + 3.960 = − 3
→ m = −3 965
6
.
1 −12 2 m 2−6 −6 108 −660 −6m + 3.960
1 −18 110 m − 660 −6m + 3.962
1 2 −5 0 m 20+1 1 3 −2 −2 m − 2
1 3 −2 −2 m − 2 m + 18
−1
3
2m −3m −0 8m2 2m −4m 2m 4m
2m −3m 2m 12m
1 −0 6 −0 m 17 −1 −1 1 −7 7 −m − 7
1 −1 7 −7 m + 7 −m + 10
046��
2 m −15 0 4 20 −1 −10 −5m + 50 25m − 175 −125m + 875 625m − 4.395
2 m − 10 −5m + 35 25m − 175 −125m + 879 625m − 4.375
1 −4 −8 m 243 −3 −3 15 3m + 45
1 −1 −5 m + 15 3m + 69
m = − = −125
255
1 m 2 −105 5 5m + 25 25m + 135
1 m + 5 5m + 27 25m + 125
1 −2(m + 1) 0 m−1 −1 2m + 3 −2m − 3
1 −2m − 3 2m + 3 2−m − 3
1 −1 2m −126 −6 30 12m + 180
1 −5 2m + 30 12m + 168
SOLUCIONARI
830966 _ 0080-0114.qxd 11/9/08 08:52 Página 97
FES-HO AIXÍ
COM APLIQUEM LA REGLA DE RUFFINI QUAN EL DIVISOR ÉS DEL TIPUS (ax − b)?
Efectua aquesta divisió per la regla de Ruffini:(x 2 + 2x − 3) : (2x − 6)
PRIMER. Se divide el polinomio divisor, ax − b, entre a.
(x2 + 2x − 3) : (2x − 6) (x2 + 2x − 3) : (x − 3)
SEGON. Apliquem la regla de Ruffini amb el divisor nou.
→ C(x) = x + 5
TERCER. El quocient de la divisió inicial és el quocient d’aquesta divisió dividit entre el nombre pel qual hem dividit el divisor inicial.
Quocient: x − 5
El residu no varia. Residu: 12.
1
2
5
2x +
: 2⎯→
1 2 −33 3 15
1 5 12
(2x − 6) : 2⎯⎯⎯⎯→
98
Calcula, mitjançant la regla de Ruffini, les divisions següents:
a) (x 5 + 1) : (2x + 4) c) (x 5 − 2x 4 + 10x 2 + 2x) : (2x − 3)b) (x 4 − 5x 2 + 2) : (5x − 10) d) (x 5 + 6x 4 − 12x 3 − 3x + 18) : (3x − 4)
a) (x5 + 1) : (2x + 4) (x5 + 1) : (x + 2)
Quocient: x 4 − 2x3 + 4x2 − 8x + 16 − x3 + 2x2 − 4x + 8 Residu: −31
b) (x4 − 5x2 + 2) : (5x − 10) (x4 − 5x2 + 2) : (x − 2)
Quocient: x 3 + 2x2 − x − 2Residu: −2
c) Primer dividim el binomi 2x − 3 entre 2 i obtenim , que és el noudivisor.
Per obtenir el quocient de la divisió inicial, hem de dividir entre 2:
Quocient: 1
2
1
4
3
8
71
16
245
324 3 2x x x x− − + +
1 −2 0 10 2 03/2 3/2 −3/4 −9/8 213/16 735/64
1 −1/2 −3/4 71/8 245/16 R = 735/64
x −2
3
1
5
2
5
1
5
2
53 2x x x+ − −
: 5⎯→
1 0 −5 −0 −22 2 −4 −2 −4
1 2 −1 −2 −2
(5x − 10) : 5⎯⎯⎯⎯→
1
24x
: 2⎯→
1 −0 0 −0 0 − 1−2 −2 4 −8 16 −32
1 −2 4 −8 16 −31
(2x + 4) : 2⎯⎯⎯⎯→
048��
047
Polinomis i fraccions algebraiques
830966 _ 0080-0114.qxd 11/9/08 08:52 Página 98
99
3
Residu:
d) (x 4 − 5x2 + 2) : (5x − 10) (x4 − 5x2 + 2) : (x − 2)
Quocient:
Quocient:
Residu:
Comprova si x = 3 y x = 2 són arrels del polinomi P(x) = x 4 + 2x 3 − 7x 2 − 8x + 12.
Com que P(3) = 60, x = 3 no és arrel del polinomi.
Com que P(2) = 0, x = 2 és arrel del polinomi.
Comprova que una arrel de P(x) = x 4 − 4x 3 + 6x 2 − 4x + 1 és x = 1.
Com que P(1) = 0, x = 1 és arrel del polinomi.
Calcula les arrels d’aquests polinomis:
a) x 3 − 9x 2 + 26x − 24 e) x 2 − x − 2b) x 3 − 2x 2 − 3x f) x 2 + xc) x 4 − x 2 − x + 1 g) 4x 2 − 2xd) x 3 + x 2 − 9x − 9 h) x 2 − 4x + 4
a) Arrels: x = 2, x = 3, x = 4 e) Arrels: x = −1, x = 2
b) Arrels: x = 0, x = −1, x = 3 f) Arrels: x = −1, x = 0
c) Arrel: x = 1 g) Arrels: x = 0,
d) Arrels: x = −1, x = −3, x = 3 h) Arrel doble: x = 2
Observa el dividend i el divisor i assenyala quines d’aquestes divisions no són exactes:
a) (x 3 − 3x 2 + 7x − 8) : (x + 2) c) (x 4 − 9) : (x − 5)b) (x 2 + 4x − 5) : (x − 7) d) (x 3 + 16x 2 + 19x + 21) : (x + 4)
Pots assegurar que les altres divisions són exactes?
No són exactes les divisions dels apartats b), c) i d).
Sense fer més operacions, no es pot assegurar si la divisió de l’apartat a) és exacta o no.
052��
x =1
2
051�
050�
049�
2 122
243
.
1
3
22
9
20
27
80
81
56
244 3 2x x x x+ − − −→
: 3⎯→x x x x4 3 222
3
20
9
80
27
563
81+ − − −
1 6 −12 0 2 04/3 4/3 88/9 −80/27 −321/81 −2.252/81
1 22/3 −20/9 −80/27 −563/81 R = 2.122/243
(5x − 10) : 5⎯⎯⎯⎯→
735
64
SOLUCIONARI
830966 _ 0080-0114.qxd 11/9/08 08:52 Página 99
100
Quins polinomis tenen aquestes arrels i aquests coeficients de grau més gran?
a) x = 1, x = −2, x = 3 i coeficient −4.b) x = 2 (arrel doble) i coeficient 2.c) x = −2, x = −3 i coeficient −1.
a) P(x) = −4 ⋅ (x − 1) ⋅ (x + 2) ⋅ (x − 3) = −4x3 + 8x2 + 20x − 24
b) P(x) = 2 ⋅ (x − 2)2 = 2x2 − 8x + 8
c) P(x) = −1 ⋅ (x + 2) ⋅ (x + 3) = −x2 − 5x − 6
Efectua.
a) (3x + 4)2 b) c) (2x − 3)3 d) (x 2 − 2x)3
a) 9x2 + 24x + 16 c) 8x3 − 36x2 + 54x − 27
b) d) x6 − 6x5 + 12x4 − 8x3
Desenvolupa les potències següents:
a) (x 2 + x + 2)2 b) (2x 2 − 3x − 1)2 c) (3x 2 + x − 2)3 d)
a) x4 + 2x3 + 5x2 + 4x + 4
b) 4x4− 12x3 + 5x2 + 6x + 1
c) 27x6 + 27x5 − 45x4 − 35x3 + 30x2 + 12x − 8
d)
= − + + + − +x x x x x x6 5 4 3 2
27 15
28
75 125
28
25
3
51
51
x x x x x xx
x x6 3 5 4 4 22
3
27 1251
15 3 25
3
25
3
5
2− + − + + + + − +
55=
x x2 3
3 51− +
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
056��
1616
3
4
92x x+ +
423
2
x −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
055�
054��
053
Polinomis i fraccions algebraiques
FES-HO AIXÍ
COM CALCULEM UN POLINOMI SI EN CONEIXEM LES ARRELS I EL COEFICIENT
DEL TERME DE GRAU MÉS GRAN?
Escriu el polinomi que té com a arrels 1, 1, 2 i −3, i com a coeficient del ter-me de grau més gran 5.
PRIMER. Els divisors del polinomi que busquem són de la forma x − a), en què a éscadascuna de les arrels.
Els divisors del polinomi són:(x − 1), (x − 2) y (x + 3)
SEGON. Efectuem el producte dels monomis multiplicant cadascun tantes vegadescom apareix l’arrel.
(x − 1) ⋅ (x − 1) ⋅ (x − 2) ⋅ (x + 3)
TERCER. Multipliquem pel coeficient del terme de grau més gran.P(x) = 5 ⋅ (x − 1) ⋅ (x − 1) ⋅ (x − 2) ⋅ (x + 3)P(x) = 5x4 − 5x3 − 35x2 + 65x − 30
830966 _ 0080-0114.qxd 11/9/08 08:52 Página 100
101
3
Efectua i redueix termes semblants:
a) (x + 2)4 + (x − 2)2 c) (5x − 6)2 + (x − 1)3
b) (2x − 3)3 − (x 2 + 4)2 d) (3x + 5)3 − (4x − 2)3
a) (x4 + 8x3 + 24x2 + 32x + 16) + (x2 − 4x + 4) = x4 + 8x3 + 25x2 + 28x + 20
b) (8x3− 36x2 + 54x − 27) − (x4 + 8x2 + 16) = −x4 + 8x3− 44x2 + 5x − 43
c) 25x2 − 60x + 36 + x3 − 3x2 + 3x − 1 = x3 + 22x2 − 57x + 35
d) (27x3 + 135x2 + 225x + 27) − (64x3 − 96x2 + 48x − 8) == −37x3 + 231x2 + 177x + 35
Indica si les igualtats són certes o falses. Raona la resposta.
a) (6x + 5)4 − (6x + 5)2 = (6x + 5)2 ⋅ (6x + 5)2 − 1b) (3x + 4)4 − (3x + 4)3 = (3x + 4)3 ⋅ (3x + 3)c) (2x − 3)2 − (4x + 2)2 = (6x − 1) ⋅ (−2x − 5)d) (4x − 2)3 = 8 ⋅ (2x − 1)3
e) (8x 2 + 4x)2 = 4x 2 ⋅ (2x + 1)2
a) (6x + 5)2[(6x + 5)2 − 1] (6x + 5)2 ⋅ (6x + 5)2 − 1 → Falsa
b) (3x + 4)3[(3x + 4) − 1] = (3x + 4)3 ⋅ (3x + 3) → Verdadera
c) 4x2 − 12x + 9 − 16x2 − 16x − 4 = −12x2 − 30x + 2x + 5 → Verdadera
d) (4x − 2)3 = 23(2x − 1)3 → Verdadera
e) (4x)2(2x + 1)2 4x2(2x + 1)2 → Falsa
Assenyala quins dels polinomis següents són el quadrat d’un binomi i indica-ho:
a) 25x 2 − 70x + 49 d) x 6 − 4x 3 + 4 b) x 4 − 6x 3 + 9x 2 e) 4x 4 − 16x 2 − 16c) x 6 + 4x 3 + 4 f) 9x 4 + 12x 3 + 4
a) (5x − 7)2 d) (x 3 − 2)2
b) (x2 − 3x)2 e) No és el quadrat d’un binomi.
c) (x 3 + 2)2 f) No és el quadrat d’un binomi.
Afegeix els termes que calgui a cada polinomi perquè sigui el quadrat d’un binomi:
a) 25x 2 + 4 d) x 6 − 4x 3
b) 49x 2 + 36 e) 9x 4 − 24x 3
c) x 4 + 10x 3 f) x 8 + x 2
a) 25x2 ± 20x + 4 d) x6 − 4x3 + 4x2
b) 49x2 ± 84x + 36 e) 9x4 − 24x3 + 16x2
c) x4 + 10x3 + 25x2 f) x 8 + 2x5 + x2
060��
059��
≠
≠
058��
057��
SOLUCIONARI
830966 _ 0080-0114.qxd 11/9/08 08:52 Página 101
102
Descompon en factors els polinomis següents amb l’extracció de factor comú:
a) 8x 3 − 4x d) x 6 − 4x 3
b) 18x 3 + 14x 2 e) x 3 + 7x 2
c) 9x 2 + 12x f) x 4 − x 3
a) 4x ⋅ (2x2 − 1) d) x3 ⋅ (x 3 − 4)
b) 2x2 ⋅ (9x + 7) e) x2 ⋅ (x + 7)
c) 3x ⋅ (3x + 4) f) x 3 ⋅ (x − 1)
Factoritza aquests polinomis amb l’aplicació de les igualtats notables:
a) x 2 + 2x + 1 d) x 2 − 4b) x 2 + 10x + 25 e) 4x 2 − 16c) 4x 4 − 16x 2 + 16 f) x 3 − 9x 2 + 27x − 27
a) (x + 1)2 d) (x + 2) ⋅ (x − 2)
b) (x + 5)2 e) (2x + 4) ⋅ (2x − 4)
c) (2x2 − 4)2 f) (x − 3)3
Factoritza els polinomis següents:
a) x 2 + 5x + 6 e) x 3 − 13x + 12b) x 2 + x − 12 f) x 3 − 5x 2 − x + 5c) x 2 + 11x + 24 g) x 3 + 4x 2 − 11x − 30d) x 2 + 2x − 24 h) x 3 + 8x 2 − 32x − 60
a) (x + 3) ⋅ (x + 2) e) (x − 3) ⋅ (x − 1) ⋅ (x + 4)
b) (x − 3) ⋅ (x + 4) f) (x − 5) ⋅ (x − 1) ⋅ (x + 1)
c) (x + 3) ⋅ (x + 8) g) (x + 2) ⋅ (x − 3) ⋅ (x + 5)
d) (x + 6) ⋅ (x − 4) h) No és possible.
Descompon factorialment:
a) x 3 + x 2 − 6 e) x 4 − 2x 3 − 11x 2 + 12xb) x 4 − x 2 f) x 5 − x 4 − 19x 3 + 4x 2
c) 2x 2 − 3x 3 g) 18x 3 + 48x 2 + 32xd) 3x 2 + 12x + 12 h) 48x 2 + 24x + 3
a) No és possible.
b) x2 ⋅ (x + 1) ⋅ (x − 1)
c) x2 ⋅ (2 − 3x)
d) 3 ⋅ (x + 2)2
e) x ⋅ (x + 3) ⋅ (x − 1) ⋅ (x − 4)
f) x2 ⋅ (x + 4) ⋅ (x2 − 5x + 1)
g) 2x ⋅ (3x + 4)2
h) 3 ⋅ (4x + 1)2
064�
063�
062��
061�
Polinomis i fraccions algebraiques
830966 _ 0080-0114.qxd 11/9/08 08:52 Página 102
103
3
Escriu com a producte de factors:
a)
b)
c) (2x + 1)2 − (4x − 3)2
d) (x − 2)2 − 16x 4
a)
b)
c) [(2x + 1) + (4x − 3)] ⋅ [(2x + 1) − (4x − 3)] = (6x − 2) ⋅ (−2x + 4) == 4 ⋅ (3x − 1) ⋅ (−x + 2)
d) [(x − 2) + 4] ⋅ [(x − 2) − 4] = (x + 2) ⋅ (x − 6)
Escriu tres polinomis de grau 2 i tres més de grau 3, que siguin divisors de:
a) P(x) = x 4 + x 3 − 30x 2
b) P(x) = x 4 − 6x 3 − 7x 2
a) P(x) = x2(x + 6)(x − 5) Grau 2: Grau 3:x2 x3 + 6x2
x2 + 6x x3 − 5x2
x2 − 5x x3 + x2 − 30x
b) P(x) = x2(x + 1)(x − 7) Grau 2: Grau 3:x2 x3 + x2
x2 + x x3 − 7x2
x2 − 7x x3 − 6x2 − x
Indica quines de les expressions següents són fraccions algebraiques:
Són fraccions algebraiques les expressions a), c), d), f) i i).
067�
066��
x x x x x2 2 22
5
1
25
1
5⋅ − +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = ⋅ +
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
22
71
2
2
x x⋅ +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
x x x4 3 252
125
− +
7 774
3 2x x x+ +
065��
SOLUCIONARI
830966 _ 0080-0114.qxd 11/9/08 08:52 Página 103
104
Escriu tres fraccions algebraiques que equivalguin a:
a) c) e)
b) d) f)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Esbrina si els parells de fraccions algebraiques següents són equivalents:
a) c)
b) d)
Només és equivalent el parell de fraccions de l’apartat a).
Calcula el valor de P(x) perquè aquestes fraccions siguin equivalents:
a) c)
b) d)
a)
b)= x3 − 3x2 − x + 3
c)
d) P xx x x
x x xx( )
( ) ( )=
− ⋅ + ++ − −
= +2 2
3 2
10 13 40
8 10 805
P xx x
x xx( )
( )=
⋅ −−
= +2
2
16
44
P xx x x x
xx x( )
( ) ( )( ) ( )=
− ⋅ + − −+
= − ⋅ − =3 4 4
43 1
3 22
P xx x x
xx x x x( )
( ) ( )( ) ( )=
+ ⋅ −= + ⋅ − = − −
1 21 2 2
22
xP x
x x xx x
2 3 2
2
10 8 10 8013 40
− = + − −+ +( )
xx
x x xP x
+−
= + − −43
4 43 2
( )
P xx
xx x
( ) = −−
2
2
164
xx
P xx x
+ =−
122
( )
070��
xx
x xx x
− −+
3 322
3 2
3 2yx
xx xx2
2
35 5−+−
y
xx
x xx x
−+
+ −− +
14
24 3
2
2yx
xx xx x
+−
+−
23
23
2
2y
069�
x
x
x x
x
x
x
x x
x x
−=
−=
−=
− +−
6 6 8 48
8
12 36
63
2
4 3
2
4 3
x
x
x x
x
x
x
x
x x
2 3
2
2 4
3
1 3 3
3
1+=
+=
+=
−−
x
x
x x
x x
x x
x x
x x
x
+−
=+−
=+ +− +
=− +3
5
3
5
6 9
2 15
2 152
2
2
2
2
22 50 25− +x
1 1 2
22 2 2x
x
x
x
x x
x
x x= =
++
=−+
x
x
x
x x
x x
x x
x x2
2
3 210 10
1
10 1
2
+=
+=
⋅ ++ ⋅ +
=⋅ +( )
( ) ( )
( ))
( ) ( )
2
2 210 2x x+ ⋅ +
x
x
x
x x
x x
x
x
x x−=
−=
−−
=−2 2
2
2 2
2
2
2
2
4
4 3( )
xx− 6
3
xx
+−
35
xx 2 10+
xx
2 1+1x
xx − 2
068��
Polinomis i fraccions algebraiques
830966 _ 0080-0114.qxd 11/9/08 08:52 Página 104
105
3
¿Cuánto debe valer a para que las fracciones algebraicas sean equivalentes?
a)
b)
c)
d)
a) a = 20 c) a = 7
b) Sense solució d) a = 3
Simplifica les fraccions algebraiques següents:
a) c)
b) d)
a) c)
b) d)
Simplifica aquestes fraccions algebraiques:
a) e)
b) f)
c) g)
d) h)
a) e)
b) f)
c) = x + 1 g)
d) h)x x
x x x
x x
x
3
3 2 2
12 16
10 32 32
2 4
4
− +− + −
=− +
−( )( )
( )
x x
x x x
2
3 2
1−−
=
x x x
x x
x4 3 2
2
2
3 3 3 3
+ ++ +
=x
x
2 1
1
−−
x x
x x
x
x
2
2
3 2
2
1
1
− +− −
=−+
x
x x
x
x
2
2
4
4 2
2
2
−− +
=+−
x x
x x x x
2
3 2
4 3
6 11 6
1
2
− +− + −
=−
x
x x
+−
=−
1
1
1
12
x xx x x
3
3 2
12 1610 32 32
− +− + −
x xx x
2
3 2
−−
x x xx x
4 3 2
23 3 3+ ++ +
xx
2 11
−−
x xx x
2
2
3 22
− +− −
xx x
2
2
44 2−
− +
x xx x x
2
3 2
4 36 11 6
− +− + −
xx
+−
112
073��
( )x y
x y
x
y
2 4 3
4 3 2
2
6
−
−=
( )
( )
( )
2
4
1
4
4
2 3 2
x
x x=
−=
−6
18 3
3
3
2
2
x yz
xy z
x
y
8
24
1
3
3
4
x
x x=
( )x yx y
2 4 3
4 3 2
−
−( )( )( )24
4
2 3
xx
−618
3
3
x yzxy z
824
3
4
xx
072��
xx a
x xx x
−+
= − ++ −
8 10 166
2
2
x ax
x xx x
−+
= − −+ +2
2 357 10
2
2
3 24
38 2 3542
2
3 2
xx
x xx x x a
−+
= − −− + −
52 6
52 2 24
2
2
xx
x axx x−
= ++ −
071��
SOLUCIONARI
830966 _ 0080-0114.qxd 11/9/08 08:52 Página 105
FES-HO AIXÍ
COM REDUÏM FRACCIONS ALGEBRAIQUES A COMÚ DENOMINADOR?
Redueix a comú denominador aquestes fraccions algebraiques.
PRIMER. Factoritzem els denominadors.
x − 2 = x − 2
x2 − 4 = (x + 2) ⋅ (x − 2)
x2 + 4x + 4 = (x + 2)2
SEGON. Calculem el mínim comú múltiple, que estarà format pels factors comuns ino comuns elevats a l’exponent més gran.
m.c.m. (x − 2, x2 − 4, x2 + 4x + 4) = (x + 2)2 ⋅ (x − 2)
TERCER. Dividim el denominador entre el m.c.m. i multipliquem el resultat pel nu-merador.
Totes tres fraccions algebraiques tenen el mateix denominador: (x + 2)2 ⋅ (x − 2).
4
4 4
4 2
2 2
4 8
22 2 2x x
x
x x
x
x x+ +=
⋅ −+ ⋅ −
=−
+ ⋅ −( )
( ) ( ) ( ) ( 22)
3
4
3 2
2 2
3 6
2 22 2 2x
x
x x
x
x x−=
⋅ ++ ⋅ −
=+
+ ⋅ −( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
2
2 2
2 2
2 8 8
2
2
2
2
2x
x
x x
x x
x x−=
⋅ ++ ⋅ −
=+ +
+ ⋅( )
( ) ( ) ( ) ( −− 2)
22
34
44 42 2x x x x− − + +
106
Calcula el mínim comú múltiple d’aquests polinomis:
a) 2x 2, 10x 3 y 2x
b) 3x, x 2 − 3 y 9 − 3x
c) x 2 + 5x, x + 5 y x 2 + 10x + 25
d) x 2 + x, x 2 − 1 y 3x + 3
e) x 2 − x, x 3 − x 2 y x 3 + x 2
f) x 2 + 2x + 1, x 2 − 1 y x 2 − 5x + 6
a) 10x3
b) x ⋅ (x + 3) ⋅ (x − 3)
c) x ⋅ (x + 5)2
d) x ⋅ (x + 1) ⋅ (x − 1)
e) x2 ⋅ (x + 1) ⋅ (x − 1)
f) (x + 1)2 ⋅ (x − 1) ⋅ (x − 2) ⋅ (x − 3)
075�
074
Polinomis i fraccions algebraiques
830966 _ 0080-0114.qxd 11/9/08 08:52 Página 106
107
3
Opera i simplifica:
a)
b)
c)
a)
b)
c)
Efectua aquestes operacions i simplifica:
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)2 2
12 1
3 3
12 1
3 3
12
⋅ −⋅ +
−⋅ +⋅ +
+⋅ −⋅
( )
( )
( )
( )
( )
(
x
x
x
x
x
xx
x
x+=
− −⋅ +1
13 1
12 1) ( )
3 1
6 3
2 8
6 3
2 3
6
2
2
2
2
x x
x x
x
x x
x
x
⋅ −⋅ +
−⋅
⋅ +−
⋅ +( )
( ) ( )
( )22
3 2
23
3 13 2 6
6 3⋅ +=
− − −⋅ +( ) ( )x
x x x
x x
=− − +
⋅ +3 2 17
4 1
2x x
x x( )
5 1
4 1
4
4 1
4 2 3
4 1
⋅ +⋅ +
+⋅ +
−⋅ −
⋅ +( )
( ) ( )
( )
( )
x
x x
x
x x
x
x x−−
⋅ +⋅ +
=3 1
4 1
x x
x x
( )
( )
=− − +
+ ⋅ −5 12 1
1 1
2
2 2
x x
x x( ) ( )
2 1
1 1
3 1 1
1
2
2 2 2
⋅ −+ ⋅ −
−⋅ + ⋅ −
+ ⋅( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) (
x
x x
x x
x xx
x
x x−−
⋅ ++ ⋅ −
=1
4 1
1 12
2
2 2)
( )
( ) ( )
xx
xx
xx
−+
− ++
+ −+
26 6
32 2
34 4
xx x x
−+
+− −
−12 6
83 9
13 2
54
11
2 3 342x x
xx x
++
− −+
−
22 1
31
42 12 2 2x x x x x+ +
−−
−− +
077��
( )
( ) ( ) ( )
x
x x
x x
x
++
++
=+ +
+2
2
1
2
4 5
2
2
2 2
2
2
=+ +
− ⋅ + ⋅ +2 6 1
2 2 3
2x x
x x x( ) ( ) ( )
− ⋅ +− ⋅ + ⋅ +
++ ⋅ +
−3 3
2 2 3
5 2 2
2
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
x
x x x
x x
x ⋅⋅ + ⋅ +=
( ) ( )x x2 3
5 1
1
4
1
5
12 2
2
2
x x
x
x
x
x x
x
⋅ −−
+−
=−−
( )
xx x x
++
++ +
22
14 42
−−
+ ++ −
34
5 262 2x
xx x
51
412
xx
xx+
+−
076��
SOLUCIONARI
830966 _ 0080-0114.qxd 11/9/08 08:52 Página 107
108
Efectua les operacions següents:
a) c)
b) d)
a)
b)
c)
d)
Efectua aquests productes de fraccions algebraiques i simplifica el resultat:
a)
b)
c)
a)
b)
c)
Fes aquestes divisions de fraccions algebraiques i simplifica el resultat:
a) c)
b)
a)
b)
c)2 1
2
4
2
2 1
42
x
x x
x
x x
x+⋅ + ⋅ +
=+
( ):
( )
3 3
3
2 3
3 3
3
2
2⋅ +−
+ ⋅ ++ ⋅ −
=+
( )
( ):
( ) ( )
( ) ( )
x
x
x x
x x x
( ) ( )
( ):
( )
( ) ( )
( ) (x x
x
x
x x
x− ⋅ +−
++ ⋅ −
=− ⋅1 1
2
1
2 2
12
2 xx
x x
+− ⋅ +
2
2 1
)
( ) ( )
3 93
8 21 189
3 2
2
xx
x x xx
+−
+ + +−
:
2 12
422 3 2
xx x
xx x
−+ +
:x
x xx x
x
2
2
2
2
14 4
2 14
−− +
+ +−
:
080��
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
(x x x x
x x x x
x+ ⋅ − ⋅ + ⋅ +⋅ − ⋅ ⋅ −
=+3 3 4 2
1 32
33 4 2
13
) ( ) ( )
( )
⋅ + ⋅ +⋅ −x x
x x
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
x x x x
x x x x
− ⋅ + ⋅ ⋅ ++ ⋅ + ⋅ + ⋅ −
4 5 1
2 4 5 8
2
==⋅ − ⋅ +
+ ⋅ + ⋅ −x x x
x x x
2 4 1
2 4 8
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) (
x x x x
x x x x
− ⋅ − ⋅ − ⋅ ++ ⋅ + ⋅ + ⋅
2 3 7 3
3 8 5 −−=
− ⋅ −+ ⋅ +2
3 7
8 5)
( ) ( )
( ) ( )
x x
x x
xx x
x xx x
2
3 2
2
2
9 6 83
−−
⋅ + +−
x xx x
x xx x
2
2
3 2
2
206 8 3 40
+ −+ +
⋅ +− −
x xx x
x xx x
2
2
2
2
5 611 24
4 213 10
− ++ +
⋅ − −+ −
079��
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )x x x
x x
x
x
+ ⋅ + ⋅ −− ⋅ +
=++
5 5 5
5 25
5
252
2
2
( ) ( )
( ) ( )
x x x
x x x
− ⋅ ⋅ +⋅ + ⋅ −
=3 3
3 31
2 3 2
2 2 3
2 22
2
⋅ − ⋅ ++ ⋅ − ⋅ −
=⋅ +
−( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
(
x x
x x x
x
x 22 3) ( )⋅ −x
9 1 1
9 1
12
x x x
x x
x
x
⋅ + ⋅ −⋅ −
=+( ) ( )
( )
xx
xx
+−
⋅ −+
55
2525
2
2
2 64
4 46 92
2
2
xx
x xx x
−−
⋅ + +− +
xx
x xx
− ⋅ +−
3 39
2
2
93 3
13
2
2
xx
xx−
⋅ −
078��
Polinomis i fraccions algebraiques
830966 _ 0080-0114.qxd 11/9/08 08:52 Página 108
109
3
Efectua les operacions següents:
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
La torre d’una església és un prisma de base quadrada d’una altura 15 m més gran que l’aresta de la base.
a) Expressa, en llenguatge algebraic, quant fan la superfície lateral i el volum.b) Calcula els valors numèrics de la superfície i del volum per a una aresta
de la base de 5, 6 i 7 m, respectivament.
a) Aresta: xAltura: x + 15 Alateral = 4x ⋅ (x + 15) = 4x2 + 60xV = x2 ⋅ (x + 15) = x3 + 15x2
b)
082��
= −− −
⋅ + ⋅ −2 2 3
3 1 1
2x x
x x x( ) ( )
4
3
1
2
1
1 1
2
x x x
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ −
+ ⋅ −=
( ) ( ) 33
1
1 1x x x−
+ ⋅ −=
( ) ( )
=− ⋅ + + ⋅ − + +
− + + ⋅ +x x x x x
x x x x
3 2 3 2
3 2
1 4 2 1
2 1 1
( ) ( )
( ) ( )) ( )⋅ −x 1
=− ⋅ +
− ⋅ − + ++
+ ⋅ −=
x x
x x x x x x
3
3 2
1
1 2 1
4
1 1
( )
( ) ( ) ( ) ( )
−−
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
− + +⋅ +
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟1
1
2 1
1
3 2
3x
x x x
x x:
( )⎟⎟⎟⎟ +
+ ⋅ −=
4
1 1( ) ( )x x
=− − + ⋅ + ⋅ −
⋅ + ⋅ −=
−5 6 3 1 1
1 1
23 2 2
2
3x x x x
x x x
x( ) ( )
( ) ( )
−− − −⋅ + ⋅ −
3 3 3
1 1
2
2
x x
x x x( ) ( )
− −−
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
+ ⋅ −+ =
− −5 6
1
1 1 3 5 62x
x
x x
x x
x x:
( ) ( )
(( ) ( )x x x+ ⋅ −+ =
1 1
32
=− ⋅ −
⋅ −=
− +⋅ −
10 2
2 2
10 2
2 2
2 3 2x x
x x
x x
x x
( )
( ) ( )
5
2 2
2
2
5
2 2( ) ( ) ( )x x
x
x
x
x x
x
+ ⋅ −
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅
+− =
⋅ −− ==
1 13
1 22
12x x
xx
xx x
+⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ − − −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ −
−−1
xx
xx
xx
x+ +
−
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ −
+⋅ +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟1
11
112
3: ⎟⎟ +
−4
12x
61
51
12
32
−−
−
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
− +x
xx
xx
:
12
34
222x
xx
xx
x−
− −−
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ + −
081��
SOLUCIONARI
x = 5 m x = 6 m x = 7 mAlateral = 4x 2 + 60x 400 m2 504 m2 616 m2
V = x 3 + 15x 2 500 m3 756 m3 1.078 m3
830966 _ 0080-0114.qxd 11/9/08 08:52 Página 109
110
La pàgina d’un llibre té el doble d’alçada que d’amplada, els marges laterals són de 2 cm i els marges superior i inferior, de 3 cm.
a) Expressa en llenguatge algebraic la superfície total de la pàgina.
b) Fes el mateix amb la superfície útil de paper (l’espai que queda dins dels marges).
a) Amplada: x b) Amplada: x − 4Alçada: 2x Alçada: 2x − 6 A = x ⋅ 2x = 2x2 A = (x − 4) ⋅ (2x − 6) = 2x2 − 14x + 24
Hem fet construir un dipòsit d’aigua amb forma cilíndrica que té com a àrea de la base la cinquena part del cub de l’altura.a) Expressa el volum del dipòsit.b) Quants metres cúbics d’aigua hi caben si té 1 m d’altura?
a) Altura: x Abase =
b)
El diàmetre de la base d’una sitja cilíndrica
fa de la longitud
de l’altura.
a) Expressa la capacitat de la sitja d’acord amb el diàmetre de la base.b) Volem pintar la sitja i ens cal 1 kg de pintura per cada metre quadrat.
Calcula quants quilograms de pintura necessitem si el diàmetre de la base fa 2 m.
a) Diàmetre: x Altura:
b) Diàmetre: x Altura:
Necessitem 16,75 kg de pintura.
Alateral m= ⋅⋅
=π4 2
316 75
22,
x = 2⎯⎯→A x x
xlateral = ⋅ ⋅ = ⋅π π
4
3
4
3
2
4
3x
Vx
xx
= ⋅⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ = ⋅π π
2
4
3 3
2 34
3x
34
085��
V ( ) ,11
50 2 3= = m
V xx x
= ⋅ =3 4
5 5
x 3
5
084��
083��
Polinomis i fraccions algebraiques
830966 _ 0080-0114.qxd 11/9/08 08:52 Página 110
111
3
Si el residu de la divisió d’un polinomi P(x) entre (x − 2) és 12, i entre (x + 2) és 4, quin és el residu de la divisió deP(x) entre (x 2 − 4)?
Com que el residu de P(x) entre (x − 2) és 12: P(x) = (x − 2) ⋅ A(x) + 12
Com que el residu de P(x) entre (x + 2) és 4: P(x) = (x + 2) ⋅ B(x) + 4Pel teorema del residu: P(2) = 12
Substituïm a la segona igualtat: P(2) = 12 = (2 + 2) ⋅ B(2) + 4 →→ B(2) = 2
Com que el residu de B(x) entre (x − 2) és 2 → B(x) = (x − 2) ⋅ C(x) + 2
Si substituïm:
P(x) = (x + 2) ⋅ B(x) + 4 = (x + 2) ⋅ [(x − 2) ⋅ C(x) + 2] + 4 == (x + 2) ⋅ (x − 2) ⋅ C(x) + 2 ⋅ (x + 2) + 4 == (x − 2) ⋅ (x + 2) ⋅ C(x) + (2x + 8)
El residu de dividir P(x) entre (x 2 − 4) és 2x + 8.
Quin és el residu de la divisió de x 51 + 51 entre (x + 1)?
El residu és P(−1) = −1 + 51 = 50.
Demostra que el triangle ABCés rectangle per a qualsevol valor de x.
(12x + 24)2 + (5x + 10)2 = (122 + 52) ⋅ (x + 2)2 = 132 ⋅ (x + 2)2 = (13x + 26)2
Es verifica el teorema de Pitàgores per a qualsevol valor de x, i el triangle és equilàter.
Calcula el perímetre i l’àrea de la figura, i expressa els resultats mitjançant polinomis.
089��
088��
087��
086��
SOLUCIONARI
A B
C
12x + 24 5x + 10
13x + 26
2x + 3
2x+
1
x
x
60 m 35 m
50 m
20 m
50 m35
m
30 m
52
x
830966 _ 0080-0114.qxd 11/9/08 08:52 Página 111
112
AB = 30 ⋅ 50 = 1.500 m2
AC = 50 ⋅ x = 50x m2
AD = 20 ⋅ (2x + 1) = (40x + 20) m2
AE = (2x + 3 − 20) ⋅ (50 − 35) == (30x − 255) m2
A = AA + AB + AC + AD + AE =
Troba els valors de A, B i C perquè es compleixi la igualtat:
(Ax − 7) ⋅ (5x + B) = Cx 2 − 6x − 14
→
7B = 14 → B = 2
→ AB − 35 = −6
C = 5A
Troba un polinomi de segon grau que sigui divisible per (x − 1) i que, si el dividim entre (x + 1) i entre (x − 2), obtinguem com a residu 10 i 5, respectivament.
P(x) = Ax2 + Bx + C
P(2) = 4A + 2B + C = 5 4A + C = 15
P(−1) = A − B + C = 10 A + C = 5
P x x x( ) = − +10
35
5
32
B = −5⎯⎯⎯→
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
= =→ A C10
3
5
3i
B = −5⎯⎯⎯→
P A B CP A B C
B( )( )1 0
1 105= + + =
− = − + =⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
= −→
091��
C =145
2⎯⎯⎯→A =
29
2
A =29
2
B = 2⎯⎯→
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
(Ax − 7) ⋅ (5x + B) = 5Ax2 + (AB − 35)x − 7B(Ax − 7) ⋅ (5x + B) = Cx2 − 6x − 14
090��
= + + + + + − = +425
21 500 50 40 20 30 255
665
21 265x x x x x. . m2
A x xA = ⋅ + =5
250 35
425
22( ) m
+ + + + = +2 1 20 60 28417
2x x m
Perímetre = + + + + + + + + + +50 355
250 30 35 2 3x x x x
Polinomis i fraccions algebraiques
A
B
E
D
C
830966 _ 0080-0114.qxd 11/9/08 08:52 Página 112