solución serie 1.1 probabilidad y estadística

7/24/2019 Solucin serie 1.1 Probabilidad y Estadstica

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Serie 1.1 Objeto de la probabilidad

1.Dados.Considere el experimento E1 consistente en lanzar un dado y observar

la cara que queda hacia arriba. Considere luego el experimentoE

2 consistente

en lanzar el dado tres veces consecutivas y observar las caras que quedan hacia

arriba. Ahora considere un tercer experimentoE

3 consistente en lanzar tres

dados simultneamente y observar las tres caras que quedan hacia arriba.

Finalmente considere un cuarto experimento consistente en lanzar tres dados

simultneamente y observar la suma de puntos que quedan hacia arriba.

a) Determine si los experimentos

E1

, E2

, E3

y

E4

son aleatorios o no.

b) Determine si los experimentosE

1, E

2, E

3 yE

4 son repetibles indenidamente

o no.

c) Determine si los experimentosE

1, E

2, E

3 yE

4 son simples o combinados.

!xperimento E1 E2 E3 E4

!l experimento es aleatorio si si si si!l experimento es repetible si si si si!l experimento es simple si no no si

!l experimento es combinado no si si no

". Conjuntos numricos. Determine si los siguientes postulados son #alsos o

verdaderos

a) Algunos n$meros racionales son enteros. %!&DAD!&'. !(emplo2

1 es racional

y es entero.

b) ay ms n$meros pares que n$meros cuadrados. FA*+'.

{N={1,2,3,}P={2,4,6,}C= {1,4,9,}

}, k=0

c) ,odo n$mero natural es un n$mero entero. %!&DAD!&'.

{1,2,3,} { ,3,2,1,0,1,2,3, }


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d) !ntre dos n$meros trascendentes hay al menos un racional. FA*+'. -o es as/

porque entre dos n$meros racionales hay un n$mero innito de n$meros

trascendentes.

i) !l con(unto de los n$meros trascendentes entre 2 y 3 es un con(unto

innito. %!&DAD!&'. !l con(unto de los n$meros trascendentes es el ms numeroso

de los subcon(untos de los n$meros reales.

e) Algunos n$meros algebraicos son irracionales. %!&DAD!&'. !(emplo 2 es

algebraico y tambi0n es irracional

#) ay igual n$mero de irracionales que de racionales. FA*+'. !l con(unto de los

n$meros irracionales algebraicos si tienen el mismo cardinal que el con(unto de los

racionales/ pero el con(unto de los n$meros irracionales incluye adems de los

irracionales algebraicos a los irracionales trascendentes.

g) !l con(unto de n$meros naturales entre y 2 es un con(unto nito. %!&DAD!&'.

A= {6,7,8}

h) !l con(unto de n$meros enteros entre " y 3 es el con(unto vaco. %!&DAD!&'.

B={}, porque no hay ning$n entero entre " y 3.

3.Conjuntos numricos. Considere el n$mero 2r

y relacione columnas

4D) +i r N A. 2r

es irracional algebraico

45) +i

rZ

5.2

rQ

4A) +i r Q C. 2r

es trascendente

4C) +i r es irracional D. 2r

N

4C) +i r es trascendente !. 2r

Z

6.Espacio muestral. Considere los experimentos de la izquierda y relacione con

espacio muestral de la derecha.

45) -$mero de autos esperando 7echa a la izquierda/ por sem#oro A. Finito4C) %elocidad alcanzada por un corredor a los 3 segundos

4A) -$mero de miembros en un comit0 directivo 5. 8nnito

numerable

4A) -$mero de placas de autom9vil di#erentes en el D.F.

45) -$mero de vuelos que llegan al aeropuerto de -e: ;or


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. Dos dados.Considere el lanzamiento de dos dados y los dos eventos> A=

?la di#erencia de puntos entre los dos dados es "@ y B= ?al menos uno de los

dos dados cae @. Determine los elementos de los siguientes eventos>

A= {(1,3 ) , (2,4 ) , (3,5 ) , (4,6 ) , (6,4 ) , (5,3 ) , (4,2 ) , (3,1 ) }

B={(1,6 ) , (2,6 ) , (3,6 ) , (4,6 ) , (5,6 ) , (6,6 ) , (6,5 ) , (6,4 ) , (6,3 ) , (6,2 ) , (6,1 )}

aA B={(4,6 ) , (6,4 )}

bA B={(1,3 ) , (2,4 ) , (3,5 ) , ( 4,6 ) , (6,4 ) , (5,3 ) , (4,2 ) , (3,1 ) , (1,6 ) ,(2,6) ,(3,6) ,(5,6) ,(6,6) ,(6,5) ,(6,3),(6,2) ,(6,1)}c A B= AB={(

1,1 ) , (1,2 ) , (1,4 ) , (1,5 ) , (2,1 ) , (2,2 ) , (2,3 ) , (2,5 ) , (3,2 ) , (3,3 ) ,(3,4 ) , (4,1 ) , (4,3 ) , (4,4 ) , (4,5 ) , (5,1 ) , (5,2 ) , (5,4 ) , (5,5 )

d A B= A B={(1,1 ) , (1,2 ) , (1,3 ) , (1,4 ) , (1,5 ) , (1,6 ) , (2,1 ) , (2,2 ) , (2,3 ) , (2,4 ) , (2,5 ) , (2,6 ) ,

(3,1 ) , (3,2 ) , (3,3 ) , (3,4 ) , (3,5 ) , (3,6 ) , (4,1 ) , (4,2 ) , (4,3 ) , ( 4,4 ) , (4,5 ) ,(5,1 ) , (5,2 ) , (5,3 ) , (5,4 ) , (5,5 ) , (5,6 ) , (6,1) , (6,2) , (6,3 ) , (6,5 ) , (6,6 ) }

. Urna. Considere una urna que contiene diez bolas numeradas del 1 al 1B/ de la

que se extraen dos bolas con remplazo. %erique las leyes de De =organ para loseventos>

A={sale un nmero primo} y B={sale un cuadrado perfecto}

!spacio muestral> {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

n n$mero primo es un n$mero natural mayor que 1 divisible entre s mismo y entre

la unidad> A= {2,3,5,7}

n n$mero cuadrado per#ecto es un n$mero natural que es el cuadrado de alg$n

otro> B={1,4,9}

A B={} , A B= {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 }

A= {1,4,6,8,9,10 },B= {2,3,5,6,7,8,10} ,A B= {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} A B=A B

AB={1,2,3,4,5,7,9}, AB={6,8,10} ,A B={6,8,10 } AB=A B


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. Diagramacin de conjuntos.se diagramas de %ennE!uler para establecer las

siguientes relaciones

aA B , BC A C b A B A=A B c A BBA

d A B AC BC eA B=,C A B C=

. Operaciones con eventos.Determine si las siguientes relaciones son #alsas o

verdaderas

a (AB ) (AC)=A(B C)

%!&DAD!&'

b (AB )= (A B )B


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%!&DAD!&'

c A B=AB

FA*+'

d ( AB ) C=A B C

FA*+'

e (A B ) (B C)=

%!&DAD!&'

2.Interpretacin deeventos.Considere tres eventos cualesquiera A , B y C

de un espacio muestral / asociado a un experimento. !xprese los siguientes

eventos solo con complementos de A , B y C .

a) 'curran con(untamente A y B > A B=(A B )c


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b) 'curra al menos uno de los tres> ABC= (A B C)c

c) 'curra A y C/ pero no 5> (A C) B=(A C)c

B

d) -inguno de ellos ocurra> ( ABC)=A B C

1B. Fumadores y bebedores.Considere una reuni9n en la que hay ms hombres

que mu(eres/ ms mu(eres que beben que hombres que #uman/ y ms mu(eres que#uman y no beben que hombres que no beben ni #uman. Con esta in#ormaci9n

debemos ser capaces de determine qu0 hay ms> Gmu(eres que no beben ni #uman

u hombres que beben y no #umanH


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Si hay ms hombres que mujeres:N(!)>N(")N(!)=N(")+k

1

Si hay ms mujeres que beben que hombres que fuman:

N(" B )>N(! #)N(" B )=N(! #)+k2

, N(! #)=N(" B )k2

Si hay ms mujeres que fuman y no beben que hombres que no beben ni fuman:

N(" # B )>N(! # B )N(" # B )=N(! # B )+k3

N(! # B )=N(" # B )k3(1 )

N(!)=N(! #)+N(! #) , N(! #)=N(!)N(! #)=N(")+k1N(" B )+k2

N(! #)=N(! # B )+N(! # B ) , N(! # B )=N(! #)N(! # B )

N(! # B )=N(")N(" B )+k1+k2N(" # B )+k3

N(" # B )=N(")N(" B )N(" # B )

k1

, k2

, k3

$1,k1+k

2+k

3$3

N(")N(" B )N(" # B )% N(")N(" B )N(" # B )+k1+k2+k3

N(" # B ) % N(! # B )

Hay ms hombres que beben y no fuman que mujeres que no beben ni fuman.


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Aplicaciones de ingeniera

Ingeniera civil

1. !uelta a la i"#uierda. Considere la intersecci9n de dos avenidas de trco

intenso y el experimento E1 consistente en observar el n$mero de vehculos que

se #orman para dar vuelta a la izquierda/ en los cuatro sentidos. Considere luego el

experimentoE

2 consistente en observar los n$meros de vehculos #ormados en

ambos sentidos/ en la direcci9n norteEsur/ tomando de ellos solo el mayor/ y

observar los n$meros de vehculos #ormados en ambos sentidos en la direcci9n esteE

oeste/ tomando de ellos solo el mayor.

a) Determine si los experimentosE

1 yE

2 son aleatorios o no.

*os experimentosE

1 yE

2 son aleatorios porque cada da que se observan las

lneas de espera en hora pico/ los resultados son distintos.

b) Determine si los experimentos E1 y E2 son repetibles indenidamente o no.

*os experimentosE

1 yE

2 son repetibles indenidamente porque todos los das

se pueden observar las lneas de espera/ en hora pico.

c) Determine si los experimentosE

1 yE

2 son simples o combinados.

*os experimentosE

1 yE

2 son ambos combinadosI el primero combina la

observaci9n de cuatro lneas de espera y el segundo hace la selecci9n de dos de

ellas.

"/ !uelta a la i"#uierda. Jara diseKar la longitud del carril de vuelta a la izquierda

en cierto crucero de trco intenso/ durante dos meses se hicieron B observaciones

en hora pico y se registr9 cada vez/ el n$mero mximo de vehculos #ormados en la

la para virar a la izquierda/ como se muestra en la tabla anexa.


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a) Describa el espacio muestral del experimento.

%emos que el n$mero de vehculos #ormados vara entre

cero y cinco/ en las B observaciones realizadasI sin

embargo/ cabe suponer que cualquier n$mero positivo es

un resultado posible> &={0,1,2,3,}

b) Determine si el espacio muestral es nito/ innito

numerable o continuo

Jor lo tanto/ el espacio muestral asociado al experimento es innito numerable.

c) !n teora/ el n$mero de vehculos esperando dar vuelta a la izquierda/ en hora

pico/ Gpodra ser cualquier n$mero positivoH GJor qu0 sH o Gpor qu0 noH

Aunque en la tabla se ha hecho patente que no hubo ninguna observaci9n con seis o

ms vehculos en la la/ en teora/ el n$mero de vehculos en espera para virar a la

izquierda/ en hora pico/ puede crecer indenidamente.

d) Atendiendo a su respuesta anterior/ determine el cardinal de este espacio

muestral.

!l cardinal de este espacio muestral es 0.

Ingeniera geom$tica

3. %recisin de un receptor &%'. Con ob(eto de estimar la precisi9n

del sistema LJ+/ se ha realizado un experimento consistente en

registrar/ cada segundo/ las lecturas de latitud/ longitud y altitud en un

receptor 5,/ durante casi 1 horas continuas. *os resultados

muestran que el sistema LJ+ o#rece una precisi9n razonable para las

coordenadas de latitud y longitud/ pero la precisi9n en la altitud es

bastante mala.a) Determine si el experimento es aleatorio o no. !s un experimento

aleatorio/ porque se pueden presentar varios resultados

b) Determine si el experimento es repetible indenidamente o no. !l experimento se

puede repetir indenidamente

c) Determine si el experimento es simple o combinado. !l experimento es

combinado/ porque se observan tres componentes de localizaci9n> longitud/ latitud y

altitud

Ingeniera geolgica

6.%o"os e(ploratorios. Durante el pr9ximo aKo se habrn de per#orar entre dos ycuatro pozos exploratorios en la &egi9n +ur. +ea el experimento consistente en

observar el n$mero de pozos a per#orar en los distritos de Comalcalco (C) / y

%illahermosa (') / expresado por la pare(a ordenada (C , ') .


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a) sando el plano CVesboce el espacio muestral de este

experimento.

b) Determine el cardinal de este espacio muestral.

k=12

Ingeniera geo)sica

. !elocidades de propagacin. Cuando una onda ssmica

encuentra un cambio de propiedades elsticas en los

materiales/ identica una inter#ase entre dos capas

geol9gicasI parte de la energa contin$a en la misma capa/

parte se re7e(a hacia la supercie y el resto se transmite

re#ractado a la capa in#erior/ con cambios en la direcci9n de

propagaci9n/ en la velocidad y en el modo de vibraci9n.

Considere el experimento consistente en estimar la

pro#undidad a la que se encuentra una roca arenisca/ posible

almacenadora de hidrocarburos/ a partir de los tiempos de transmisi9n de las ondasy de las di#erencias en sus velocidades de incidencia/ re7exi9n y re#racci9n.

a) Determine si el experimento es aleatorio o no. !s aleatorio

b) Determine si el experimento es repetible indenidamente o no. !s repetible

indenidamente

c) Determine si el experimento es simple o combinado. !s un experimento simple

Ingeniera petrolera

.%o"os de desarrollo. *os posibles resultados de la per#oraci9n

de un pozo petrolero de desarrollo son> productor/ seco o invadido de

agua salada. +i se han per#orado 4 pozos y solo interesa saber

cuntos hubo de cada uno.

a) Determine el espacio muestral correspondiente.

{( 4,0,0) , (0,4,0 ) , (0,0,4 ) , (3,1,0) , (3,0,1) , (1,3,0) , (0,3,1) , (1,0,3) ,(0,1,3) , (2,2,0) , (2,0,2) , (0,2,2), (2,1,1) , (1,2,1) , (1,1,2)b) Determine el cardinal de este espacio muestral. k=15

c) Determine cuntos de esos resultados son des#avorables a la obtenci9n de

petr9leo.

Ingeniera en minas y metalurgia

. *ineral. !l mineral contiene cobre (Cu) / hierro (#e) y

aluminio (Al) / en di#erentes proporciones. 8dentique en el

diagrama de %enn los eventos representados por>


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a) la regi9n 1 !l mineral contiene cobre/ erro y aluminio> Cu #e Al

b) las regiones 1 y 3 !l mineral contiene cobre y aluminio> Cu Al

c) las regiones " y !l mineral contiene erro/ pero no aluminio>

#e

Al

d) las regiones 1/ "/ 3 y !l mineral contiene cobre> Cu

e) la regi9n !l mineral contiene $nicamente erro> #e ( CuAl)

#) si las regiones 6 y son vacas/ trans#orme el diagrama de %enn/ en diagrama de

!uler.

Ingeniera mec$nica

. Artculos con diferentes pesos.n lote de artculos contiene piezas que pesan

2,4,6, ,18 y 20

a {*=+ } b{+ $ * }c {+=2* }


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d {+=*+4 } e{*++2


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a) Describa el espacio muestral de este experimento>

{

(. , . ) , (- , . , . ) , (- , - , - , - ) , (. , - , - , - ) , (- , . , - , - ) ,(- , - , . , - ) , (- , - , - , . ) , (. , - , . , - ) , (., - , - , . ) ,

(- , . , - , . ) , (- , - , . , . ) , (. , - , . , . ) }b) Determine si el espacio muestral es nito/ innito numerable o continuo. !spacio

muestral nito

c) Determine el cardinal de este espacio muestral> k=12

11. Cajas de mini s+per. Considere un mini s$per que dispone de ca(as.

Considere el experimento consistente en observar las ca(as operando/ y sean los

eventos> A= {n% 4 } , B={n $3 } y C={n, par } .

A= {0,1,2,3,4} , B={3,4,5,6} ,C= {2,4,6 }

!numere los elementos de cada uno de los siguientes eventos>

aA= {0,1,2,3,4 } bB={3,4,5,6} cC= {2,4,6 }

d A= {5,6 }e AB= {0,1,2,3,4,5,6 }=fA B= {3,4 }

/AC={0,1,2,3,4,6 }0A C={2,4 }i A C= {0,1,3,5,6 }

Ingeniera mecatrnica

1".Dispositivo prototipo. Considere el experimento consistente en construir un

dispositivo mectr9nico prototipo/ que no se parece a ninguno de los hechosanteriormente y que/ de ser exitoso/ signicar un sustancioso benecio/ y de no ser

as/ tendr un elevado costo.

a) Determine si el experimento descrito es determinista o aleatorio. !xperimento

aleatorio

b) Determine si el experimento descrito es repetible indenidamente o no.

!xperimento no repetible

c) Determine si el experimento descrito es simple o combinado. !xperimento simple

Ingeniera elctrica,electrnica

13. -ableros a prueba de e(plosin. !n la planta petroqumicaexisten tableros a prueba de explosi9n/ 3 de los cuales presentan

anomalas en su entubado.

a) Describa el espacio muestral para el experimento consistente en

inspeccionar los tableros/ uno por uno/ hasta encontrar uno con

anomalas.


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+ean los eventos A= {tableroconanomal1a } , N={tablero normal}

Juesto que hay cuatro tableros #uncionando correctamente/ si se de(a de

inspeccionar cuando aparece el primero con anomala/ el espacio muestral es>

{A , NA , NNA , NNNA , NNNNA }b) Describa el espacio muestral para el experimento consistente en inspeccionar los

tableros/ uno por uno/ hasta encontrar todos los que presentan anomalas.

Juesto que hay tres tableros an9malos y se de(a de inspeccionar cuando 0stos

aparecen/ el espacio muestral es>

{ AAA , NAAA , ANAA , AANA , NNAAA , NANAA, NAANA, ANNAA, ANANA, AANNA ,

NNNAAA , NNANAA , NNAANA , NANNAA , NANANA , NAANNA , ANNNAA , ANNANA ,

ANANNA , AANNNA , NNNNAAA , NNNANAA , NNNAANA , NNANNAA , NNANANANNAANNA , NANNNAA , NANNANA , NANANNA , NAANNNA , ANNNNAA ,

ANN NANA , ANNANNA , ANANNNA , ANNNNAA}

16. Interruptor. !n un perodo de 24 horas/ un interruptor se enciende en el

instante ( y se apaga en el instante ) / dentro del mismo perodo. +i ( e

) se miden en horas/ con el origen en el inicio del perodo/ el resultado del

experimento consta de pares de n$meros (( , )) .

Describa y dibu(e el espacio muestral y los siguientes eventos en el plano ()

{ (* , + )0% *% + %24 }

a) !l circuito #unciona durante una hora o menos

A= {(* , + )0% * %23,* % + % *+1}


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b) !l circuito #unciona el doble de lo que ser

interrumpido.

B={(* , + )0% * %12,+=2* }

Ingeniera en telecomunicaciones

1. uido en un canal de transmisin. n dispositivo

transmite mensa(es codicados en binario/ es decir/ dgitos B

y 1. Del otro lado del canal/ hay un receptor que/

eventualmente puede recibir un dgito cambiado/ de manera

independiente a lo que se haya transmitido antes.

Considerando que el mensa(e enviado es 11B1/ determine el

espacio muestral asociado al experimento consistente en observar el mensa(e

recibido.

a) +i $nicamente un dgito se pudo haber cambiado>

{(1101) , (0101 ) , (1001 ) , (1111) , (1100)}

b) +i los cuatro dgitos pudieron haber cambiado>

{(0000 ) , (1000 ) , (0100 ) , (0010 ) , (0001 ) , (1100 ) , (1010 ) , (1001 ) ,(0110) , (0101 ) , (0011 ) , (1110 ) , (1101 ) , (1011) , (0111 ) , (1111)}

Ingeniera en computacin1.Computadoras personales.!n un lote de producci9n que consta de "B JCs de

cierta marca/ se ha detectado que 3 tienen de#ectos de tipo operacional. +i se

seleccionan al azar 6 computadoras de este lote/ a) determine el espacio muestral

del experimento consistente en observar el estado de las computadoras en la

muestra/ b) determine el espacio muestral del experimento consistente en sumar el

n$mero de computadoras con de#ectos/ de las 6 incluidas en la muestra/ c) calcule

los cardinales del espacio muestral para ambos experimentos.

a) +ean los eventos> .= {computadora defectuosa} , N= {computadora sindefecto}

!spacio tetradimensional>

{(NNNN) , (NNN. ) , (NN.N) , (N.NN) , (.NNN) , (NN.. ) , (N.N. ) , (N..N) ,(.NN. ) , (.N.N) , (..NN) , (...N), (..N. ) , (.N.. ) , (N... ) }b) !spacio unidimensional>

{0,1,2,3}


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c) !l cardinal del espacio tetradimensional es k=15

!l cardinal del espacio unidimensional es k=4

solución serie 1.1 probabilidad y estadística

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