Determine h y k de tal manera que el conjunto solucin del sistema (i) sea vaco, (ii) contenga una solucin nica y (iii) con

UNIVERSIDAD DE PIURA

FACULTAD DE INGENIERIA

CURSO: COMPLEMENTOS DE LGEBRA

PRACTICA N 4Viernes 15 de Mayo de 2009 Hora: 3:00 P.M.

Duracin: 2 h.

NOMBRE:...................................................................

SIN LIBROS, APUNTES, CALCULADORA, NI CUADERNILLO EXTRA

1. Dados los siguientes conjuntos de vectores, probar si son subespacios. Para aquellos que sean subespacios dar una interpretacin geomtrica (analizar si es una recta, un plano o un punto).

a.

(2 puntos)

b.

(2 puntos)

(2 puntos)

2. Para qu valores de , el espacio nulo de la matriz de coeficientes del siguiente sistema lineal, tiene dimensin cero, dimensin uno y dimensin dos, respectivamente?

(5 puntos)

3. Hallar una matriz A sabiendo que:

Determinar tambin si el vector (-4, 5, -7) pertenece a ColA y si el vector (-1, -1, -1, -1) pertenece a NulA.

(5 puntos)

4. Marque cada proposicin como verdadera o falsa. Justifique cada respuesta.a. es un subespacio de porque puede generarse a partir de dos vectores linealmente independientes de .b. Si y son vectores en un espacio vectorial V, entonces es un subespacio de V.

c. El conjunto solucin de todo sistema homogneo es un subespacio lineal.

d. Una base es un conjunto linealmente independiente lo ms grande posible.

Nota: - Slo se corregir las respuestas que hayan sido justificadas.

- Slo los enunciados falsos se pueden justificar con contraejemplos.

(1 punto c/u)SOLUCIN PRCTICA 4Pregunta 1

a) No es subespacio porque sus elementos no cumplen la condicin

( ( NO CUMPLE

(2p)

b)

Es el espacio generado por el vector entonces es un subespacio.(1,5p)

Se trata de una recta que pasa por el punto y el origen.

(0,5p)

c) est formado por el conjunto solucin de donde:

Es decir si es subespacio porque es igual al espacio nulo de la matriz

(1p)

Resolviendo:

( Forma escalonada ( 2 pivotes

La dimensin del subespacio es 2 por tanto es un plano que pasa por el origen. (1p)

Pregunta 2El espacio nulo de es el conjunto solucin de .

#columnas - #pivotes

(0,5p)

Tiene dimensin cero cuando (( #columnas = #pivotes) es decir tiene slo la solucin trivial (no hay variables libre), para ello debe tener un pivote en cada fila y en cada columna.

Por tanto:

Respuesta

(1,5p)

Tiene dimensin uno cuando tiene 1 variable libre (2 pivotes)

Respuesta

(1,5p)

Tiene dimensin dos cuando tiene dos variables libres ( 1 pivote)

Respuesta

(1,5p)

Pregunta 3La matriz debe tener 4 columnas pues la dimensin del espacio de columnas es dos y la dimensin de es 2.

Sea si los vectores de la base para

Son y entonces se cumple que y

donde :

donde :

Entonces:

(3p)

Para determinar si el vector pertenece a , este vector debe poder generarse a partir de los vectores de la base:

Debe ser compatible

Resolviendo:

El sistema es compatible, por tanto s pertenece a

(1p)

Para determinar si pertenece a el producto de por dicho vector debe ser igual al vector cero:

Por tanto no pertenece a

(1p)

Pregunta 4

a) Falso. no es un sub-espacio de porque ni siquiera es un subconjunto de l.

(1p)b) Verdadero. es un subespacio. Demostracin:

El vector cero s pertenece a porque

Si un vector entonces existen algunos escalares tal que . De igual forma si entonces existen algunos escalares tal que . La suma tambin pertenece a ya que: donde y tambin son escalares. Tambin pertenece a ya que , donde y tambin son escalares.

(1p)c) Verdadero, para que dicho sistema sea sub-espacio lineal se debe cumplir que la solucin debe ser compatible, un sistema homogneo siempre es compatible. Adems se cumple las 3 condiciones : , y siendo y

d) Verdadero, supongamos que queremos formar una base para , comenzamos a incluir vectores L.I. que pertenezcan a hasta formar el espacio de debo incluir la mayor cantidad de vectores L.I., estos vectores L.I. forman la base para y si se ampla con un vector, por ejemplo: de , entonces el nuevo conjunto ya no puede ser linealmente independiente porque genera y entonces es combinacin lineal de los elementos de . Es por esto se dice que una base es un conjunto linealmente independiente lo ms grande posible.

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