solución numérica de ecuaciones diferenciales

3/4/2015 Solucinnumricadeecuacionesdiferenciales

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Solucinnumricadeecuacionesdiferenciales(I)

Lasleyesquegobiernanlosfenmenosdelanaturalezaseexpresanhabitualmenteenformadeecuacionesdiferenciales.Lasecuacionesdelmovimientodeloscuerpos(lasegundaleydeNewton)esunaecuacindiferencialdesegundoorden,comoloeslaecuacinquedescribelossistemasoscilantes,lapropagacindelasondas,latransmisindelcalor,ladifusin,elmovimientodepartculassubatmicas,etc.

Pocasecuacionesdiferencialestienenunasolucinanalticasencilla,lamayorpartedelasvecesesnecesariorealizaraproximaciones,estudiarelcomportamientodelsistemabajociertascondiciones.As,enunsistematansimplecomounpndulo,laamplituddelaoscilacinhadeserpequeayelrozamientohadeserdespreciable,paraobtenerunasolucinsencillaquedescribaaproximadamentesumovimientoperidico.

SeestudiaelprocedimientodeRungeKuttaqueseaplicadeformadirectaaunaecuacindiferencialdeprimerorden,peroveremoscomoseextiendeaunsistemadeecuacionesdeprimerorden,aunecuacindiferencialdesegundoordenyaunsistemadeecuacionesdiferencialesdesegundoorden.

ElprocedimientodeRungeKuttasepuedeprogramarfcilmenteenlosordenadoresyadems,seempleamuchoenlaprctica,debidoalasuexactitudrelativamenteelevadadelasolucinaproximadadelaecuacindiferencial.LajustificacindelprocedimientodeRungeKuttanoessencilla,ellectorinteresadopuedeconsultaralgnlibrodemtodosnumricosdeanlisis.

MtododeEuler

Vamosaresolverlaecuacindiferencialdeprimerorden

conconlacondicininicialdequeenelinstantet0laposicinesx0

Laprimeraderivadanospermiteconocerlaposicinxi+1enelinstanteti+1,apartirdelaposicinxienelinstantetideacuerdoalafrmulasiguiente.Lalneadecolorrojoeslatangentealacurvaenelinstanteti

xi+1=xi+f(ti,xi)h

ElprocedimientodeEulerproduceunerrorqueseacumulaacadapasohdeintegracin,queeselsegmentoencolorazulqueunelosdospuntosenlafigura.

Escribimosunafuncindenominadaeuler,alaquelepasaremos:

lafuncinf(t,x),

lacondicininicialdequeenelinstantet0laposicinesx0,

elinstantefinaltf

elnmerodepasosdeintegracinn

ynosdevolverunvectortysucorrespondientevectorx.

function[t,x]=euler(f,t0,tf,x0,n)h=(tft0)/nt=t0:h:tfx=zeros(n+1,1)%reservamemoriaparan+1elementosdelvectorxx(1)=x0fori=1:n

"0 4

4

0



x(i+1)=x(i)+f(t(i),x(i))*hendend

Supongamosquequeremosintegrarlaecuacindiferencial

conlascondicininicialt=0,x=0.

Tomamosunintervaloh=/6,yconstruimoslasiguientetabla

t x(Euler) x=sint

0 1 0 0/6 0.866 0.523 0.5/3 0.5 0.977 0.866/2 0 1.239 12/3 0.5 1.239 0.8665/6 0.866 0.977 0.5 0.523 0

EstatablanosilustraelmododeaplicarelmtododeEuleraunaecuacindiferencialdeprimerorden.ParaaplicarelmtododeEulerprecisamosdeunpasohpequeo,inclusoasloserroressevanacumulandoyalcabodeciertotiempoladiferenciaentreelvalorexactoyelcalculadoesgrande.

Escribimosenscripteuler_scriptenelquedefiniremoslafuncinf(t,x),lascondicionesinicialesyllamaremosalafuncineuler.Finalmente,representaremosgrficamentelasolucinexactaylaobtenidaaplicandoelmtododeEuler

tf=input('tiempofinal,tf:')n=input('nmerodepasos,n:')f=@(t,x)cos(t)%condicionesinicialest0=0x0=0[t,x]=euler(f,t0,tf,x0,n)

holdonplot(t,x,'b')y=sin(t)plot(t,y,'r')xlabel('t')ylabel('x')legend('aproximada','exacta')title('dx/dt=cost')holdoff

Enlaventanadecomandoscorremoselscripteuler_script

>>euler_scripttiempofinal,tf:pinmerodepasos,n:40

DPT 0

4

0

4 DPT 0 0

0

4 TJO 0

DPT 0

4

0



euler

HaydiferenciaentrelasolucinexactaylaobtenidamedianteintegracinnumricaporelmtododeEuler

MtododeRungeKutta

EnestaseccinvamosaestudiarlaaplicacindelmtododeRungeKuttaa:

Unaecuacindiferencialdeprimerorden

Unsistemadedosecuacionesdiferencialesdeprimerorden

Unaecuacindifrencialdesegundoorden

Unsistemadedosecuacionesdiferencialesdesegundoorden

Ecuacindiferencialdeprimerorden

Seaunaecuacindiferencialdeprimerorden,conlacondicininicialdequeenelinstantet0elvalorinicialdexesx0

Seeligeunaanchuradepasohysecalculancuatronmerosk1,k2,k3,k4deacuerdoconelprocedimientoesquematizadoenlatablaadjunta.SegnelprocedimientoordinariodeRungeKutta,apartirdelvalordexenelinstantetsedeterminaelvalordexenelinstantet+hmediantelafrmulaquefiguraenlaltimafiladedichatabla.

Definimoslafuncinrk_1queresuelvelaecuacindiferencialdeprimerorden,cuandolepasamos:

lafuncinf(t,x),

lacondicininicialdequeenelinstantet0elvalorinicialesx0,

elinstantefinaltf

"0 4

4

0

$"0 4'

$" 0 $ 4 '

'

$" 0 $ 4 '

'

$" 0 $ 4 '

'

40 $ 40

'

'

'

'



elnmerodepasosdeintegracinncomprendidosentreelinstanteinicalt0yfinaltf.

ynosdevolverunvectortysucorrespondientevectorx.

function[t,x]=rk_1(f,t0,tf,x0,n)h=(tft0)/nt=t0:h:tfx=zeros(n+1,1)%reservamemoriaparanelementosdelvectorxx(1)=x0fori=1:nk1=h*f(t(i),x(i))k2=h*f(t(i)+h/2,x(i)+k1/2)k3=h*f(t(i)+h/2,x(i)+k2/2)k4=h*f(t(i)+h,x(i)+k3)x(i+1)=x(i)+(k1+2*k2+2*k3+k4)/6endend

Considreseelcircuitoenseriedelafigura.Inicialmenteelcondensadorestdescargado.SisecierraelinterruptorIlacargaempiezaafluirproduciendocorrienteenelcircuito,elcondensadorseempiezaacargar.Unavezqueelcondensadoradquierelacargamxima,lacorrientecesaenelcircuito.

Escribimoselscriptcargaparaquerealicelassiguientestareas:

1. Establezca,mediantecomandosinput:

LaresistenciaRdelcircuito

LacapacidadCdelcondensador

Eltiempofinal,tf

elnmerodepasos,n.

2. Fijelascondicionesiniciales,enelinstanteinicialt=0,elcondensadorestdescargadox=0.

3. Definalafuncinf(t,x),

4. Llamealprocedimientonumricork_1

5. Medianteelcomandoplotrealiceunarepresentacingrficadelasolucinnumrica

6. Realiceunarepresentacingrficadelasolucinexacta

Ejemplo:R=2.0,C=0.8,ytf=10.

V0=10R=input('ResistenciaR:')C=input('CapacidadC:')tf=input('tiempofinal,tf:')n=input('nmerodepasos,n:')

f=@(t,x)V0/Rx/(R*C)%condicionesinicialest0=0x0=0[t,x]=rk_1(f,t0,tf,x0,n)

holdonplot(t,x,'b')y=C*V0*(1exp(t/(R*C)))plot(t,y,'r')xlabel('t')ylabel('q')legend('aproximada','exacta','Location','Southeast')title('Cargadelcondensador')holdoff

Enlaventanadecomandoscorremoselscriptcarga

>>cargaResistenciaR:2CapacidadC:0.8tiempofinal,tf:10nmerodepasos,n:50

-

0

G

-

0- FYQ

-

-

-

G

0

G

0



Noseapreciadiferenciaentrelasolucinexactaylanumrica,aplicandoelprocedimientodeRunge_Kutta.

Sistemadedosecuacionesdiferencialesdeprimerorden

ElprocedimientodeRungeKuttaesigualmenteefectivoenlaresolucindeunsistemadedosecuacionesdiferencialesdeprimerorden.

ElprocedimientodeaplicacindelmtododeRungeKuttaacadaunadelasecuacionesdiferenciales,conlascondicininicialsiguiente,enelinstantet0

elvalorinicialdexesx0

elvalorinicialdeyesy0

seesquematizaenlatablaadjunta.Comovemosademsdeloscuatronmerosk1,k2,k3,k4paralaprimeraecuacindiferencialprecisamosotroscuatronmerosl1,l2,l3,l4paralasegundaecuacindiferencial.Apartirdelvalordexenelinstantet,sedeterminaelvalordexenelinstantet+h,yapartirdelvalordeyenelinstantetsedeterminaelvalordeyenelinstantet+hmediantelasfrmulasdelaltimafiladelatabla.

Definimoslafuncinrk_2_1queresuelveelsistemadedosecuacionesdiferencialesdeprimerorden,cuandolepasamos:

lasfuncionesf(t,x,y)yg(t,x,y)

lascondicionesiniciales(x0,y0)enelinstantet0

elnmerondepasosdeintegracinentret0yeltiempofinaltf

Nosdevuelvelosvectoresxeyparacadainstantequeseguardaenelvectortcomprendidoentreelinstante

"0 4 5 #0 4 5

4

0

5

0

"0 4 5

4

0

#0 4 5

5

0

$"0 4 5'

$" 0 $ 4 5 '

'

(

$" 0 $ 4 5 '

'

(

$" 0 $ 4 5 '

'

(

$#0 4 5(

$# 0 $ 4 5 (

'

(

$# 0 $ 4 5 (

'

(

$# 0 $ 4 5 (

'

(

40 $ 40

'

'

'

'

50 $ 50

(

(

(

(



inicialt0yelfinaltf.

function[t,x,y]=rk_2_1(f,g,t0,tf,x0,y0,n)h=(tft0)/nt=t0:h:tfx=zeros(n+1,1)%reservamemoriaparan+1element(i)osdelvect(i)orx(i)y=zeros(n+1,1)x(1)=x0y(1)=y0fori=1:nk1=h*f(t(i),x(i),y(i))l1=h*g(t(i),x(i),y(i))k2=h*f(t(i)+h/2,x(i)+k1/2,y(i)+l1/2)l2=h*g(t(i)+h/2,x(i)+k1/2,y(i)+l1/2)k3=h*f(t(i)+h/2,x(i)+k2/2,y(i)+l2/2)l3=h*g(t(i)+h/2,x(i)+k2/2,y(i)+l2/2)k4=h*f(t(i)+h,x(i)+k3,y(i)+l3)l4=h*g(t(i)+h,x(i)+k3,y(i)+l3)x(i+1)=x(i)+(k1+2*k2+2*k3+k4)/6y(i+1)=y(i)+(l1+2*l2+2*l3+l4)/6endend

ConsideremosunaserieradioactivadetreselementosA>B>Cenlaque,unasustanciaradiactivaAsedesintegraysetransformaenotrasustanciaradiactivaB,queasuvezsedesintegraysetransformaenunasustanciaCestable.Lasecuacionesdiferencialesquegobiernanelprocesoysussolucionesanalticasson,respectivamente,

Lasolucinanalticaqueaparecealaderecha,sehaobtenidoconlascondicionesinicialest=0,x=x0ey=0.Lasegundasolucinseobtienesiemprequeaseadistintodeb.Enelcasodequeaseaigualab,lasolucinanalticaparayes

Lainterpretacindelsistemadeecuacionesdiferencialesnoescomplicada.Enlaunidaddetiempo,desaparecenaxncleosdelasustanciaAaldesintegrarse(primeraecuacin).Enlaunidaddetiempo,seproducenaxncleosdelasustanciaByasuvezdesaparecenbxncleosdelasustanciaB,quealdesintegrarsesetransformanenncleosdelasustanciaCestable(segundaecuacin).

Escribimoselscriptradioactivoenelquedefiniremoslasfuncionesf(t,x,y),g(t,x,y),lascondicionesinicialesyllamaremosalafuncinrk_2_1

a=input('parmetroa:')b=input('parmetrob:')x0=input('valorinicialdex:')y0=input('valorinicialdey:')tf=input('tiempofinal,tf:')n=input('nmerodepasos,n:')f=@(t,x,y)a*xg=@(t,x,y)a*xb*y%condicionesinicialest0=0

[t,x,y]=rk_2_1(f,g,t0,tf,x0,y0,n)holdonplot(t,x,'b')plot(t,y,'r')xlabel('t')ylabel('x,y')legend('x(t)','y(t)')title('dx/dt=ax,dy/dt=axby')holdoff

Enlaventanadecomandoscorremoselscriptradioactivo

>>radioactivoparmetroa:0.1parmetrob:.2valorinicialdex:100valorinicialdey:0tiempofinal,tf:10nmerodepasos,n:40

44 FYQ0

4

0

4

4 55 FYQ0 FYQ0

5

0

4

5 FYQ04



Ecuacindiferencialdesegundoorden

Existenmuchassituacionesenlasqueesnecesarioresolverunaecuacindiferencialdesegundoorden.

conlascondicionesiniciales

Unaecuacindiferencialdesegundoordenesequivalenteaunsistemadedosecuacionesdiferencialesdeprimerorden,porloqueaplicaremoselmismoesquema.

Definimoslafuncinrk_2queresuelvelaecuacindiferencialdesegundoorden,cuandolepasamos:

lafuncinf(t,x,v)

lascondicionesiniciales:posicininicialx0yvelocidadinicialv0enelinstantet0

elnmerondepasosdeintegracinentret0yeltiempofinaltf

Nosdevuelvelosvectoresdelasposicionesxylasvelocidadesvparacadainstantequeseguardaenelvectortcomprendidoentreelinstanteinicialt0yelfinaltf.

function[t,x,v]=rk_2(f,t0,tf,x0,v0,n)h=(tft0)/nt=t0:h:tfx=zeros(n+1,1)%reservamemoriaparan+1element(i)osdelvect(i)orx(i)v=zeros(n+1,1)x(1)=x0v(1)=v0

"0 4 2

4

0

4 0

4

4

0

0

2

2

4

0

"0 4 2

2

0

$2'

$ 2 '

(

$ 2 '

(

$ 2 '

(

$"0 4 2(

$" 0 $ 4 2 (

'

(

$" 0 $ 4 2 (

'

(

$" 0 $ 4 2 (

'

(

40 $ 40

'

'

'

'

20 $ 20

(

(

(

(



fori=1:nk1=h*v(i)l1=h*f(t(i),x(i),v(i))k2=h*(v(i)+l1/2)l2=h*f(t(i)+h/2,x(i)+k1/2,v(i)+l1/2)k3=h*(v(i)+l2/2)l3=h*f(t(i)+h/2,x(i)+k2/2,v(i)+l2/2)k4=h*(v(i)+l3)l4=h*f(t(i)+h,x(i)+k3,v(i)+l3)x(i+1)=x(i)+(k1+2*k2+2*k3+k4)/6v(i+1)=v(i)+(l1+2*l2+2*l3+l4)/6endend

Laecuacindiferencialquedescribeunosciladorarmnicoamortiguadoysusolucinparaunascondicionesinicialesfijadases

Condicionesiniciales:enelinstantet=0,laposicininicialesx0ylavelocidadinicialv0.

Escribimoselscriptosciladorenelquedefiniremoslafuncinf(t,x,v),lascondicionesinicialesyllamaremosalafuncinrk_2

w0=input('frecuenciaangularw0:')g=input('rozamiento,gamma:')x0=input('posicininicial,x0:')v0=input('velocidadinicial,v0:')tf=input('tiempofinal,tf:')n=input('nmerodepasos,n:')f=@(t,x,v)2*g*vw0*w0*x%condicionesinicialest0=0holdon%solucinnumrica[t,x,v]=rk_2(f,t0,tf,x0,v0,n)plot(t,x,'b')%solucinanalticaw=sqrt(w0*w0g*g)x=((v0+g*x0)*sin(w*t)/w+x0*cos(w*t)).*exp(g*t)plot(t,x,'r')gridonxlabel('t')ylabel('x')legend('aproximado','exacto')title('osciladoramortiguado')holdoff

Enlaventanadecomandoscorremoselscriptosciladorcondistintascondicionesiniciales

>>osciladorfrecuenciaangular,w0:2rozamiento,gamma:0.5posicininicial,x0:1.5velocidadinicial,v0:0tiempofinal,tf:8nmerodepasos,n:100

E 4

4

0

4

0

[

[ [

E

4 FYQE0 TJO[0 DPT[0

2 E FYQE0 TJO[0 DPT[0

[ FYQE0 DPT[0 TJO[0

4

0

0

4

E [2

4 FYQE0 TJO[0 DPT[0

E2

4

[

4



Noseapreciatampocodiferenciaentrelasolucinexactaylanumrica,aplicandoelprocedimientodeRunge_Kutta.

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solución numérica de ecuaciones diferenciales

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