SOLUCION NUMERICA DE

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS.

El objetivo de estas notas complementarias al tema de solucin numrica de ecuaciones diferenciales ordinarias es dar una introduccin simple al tema, basada en principios de clculo. Antes de entrar al tema en trminos ms generales, este enfoque permite establecer los mtodos ms simples del tipo de un paso o de paso simple. Posteriormente la desarrollar los mtodos Runge-Kutta, ser indispensable otro enfoque del tema, basado en la serie de Taylor. El objetivo en este tema es resolver la ecuacin diferencial ordinaria de primer orden

( ),dy f y tdt

= (1)

Sujeta a la condicin inicial 0(0)y Y= . El problema de condiciones de frontera no ser tratado en este curso de introduccin al tema, dado que su carcter es ms complejo, pero de cualquier manera los conceptos aprendidos en este curso de introduccin sern la base de estudios ms avanzados donde se cubren dichos temas. Por otro lado es importante recalcar que aunque el planteamiento se refiere a ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, se puede resolver cualquier ecuacin de diferencial ordinaria de ms alto orden convirtindola en un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, en nmero igual al orden de la ecuacin diferencial ordinaria original. Regresando al planteamiento de la solucin numrica de la ecuacin diferencial ordinaria (EDO), es importante comentar que dicha solucin, obviamente, consistir de una coleccin de puntos, que representarn aproximaciones de la solucin real o verdadera, la cual no conocemos por supuesto. Esto significa que lo que obtendremos es una representacin finita y aproximada de la curva solucin verdadera y(t). El punto de inicio ser por supuesto la condicin inicial y(0) = Y0. Tomemos la ecuacin (1) y empecemos por escribirla de la forma

( ),dy f y t dt=

Si integramos esta ltima ecuacin entre los valores de y kt 1kt + , partiendo de que estamos en el paso del proceso recursivo, y por tanto conocemos el valor de 1k + ( )ky t

que denotaremos por simplicidad como ky , entonces obtenemos el valor de que denotaremos como

( 1y k + )1ky + , como se muestra continuacin.

( )( ) ( )11 ,k

k

y k t

y k tdy f y t dt+

+ =

Lo cual resulta

( )11 ,kk

t

k k ty y f y t++ = dt

De donde obtenemos finalmente

( )11 ,kk

t

k k ty y f y t dt++ = + (2)

Esta ltima ecuacin es la base para obtener los mtodos de paso simple que obtendremos. Su obtencin depende de la solucin numrica, por supuesto, de la integral del lado derecho de (2).

f(y,t)

tkt t= 1kt t +=

f(y,t)

tkt t= 1kt t +=

Integral de la funcin f(y,t) en intervalo Podemos aproximar dicha integral a travs de la aproximacin lineal de la curva f(y,t), para lo cual existen tres opciones.

1. Aproximacin por recta constante e igual a la ordenada en el punto tk, es decir

( , )k k kf y t f= , por lo que la integral 1 ( , )k

k

t

tf y t dt+ , que representa como

sabemos el rea bajo la curva f(y,t), comprendida entre las rectas tk y tk+1, se aproxima por el rea del rectngulo de rea igual a

( )1k k kf t t+

Lo anterior se muestra en la figura siguiente.

f(y,t)

t

kt 1kt +

f(y,t)

t

f(y,t)

t

kt 1kt + Aproximacin numrica de la integral.

Mtodo de Euler explcito

Si definimos la diferencia como h, que es el paso de integracin, entonces obtenemos la ecuacin recursiva del mtodo presente como

( 1k kt t+ )

kf

1k ky y h+ = + (3)

La ecuacin anterior es la frmula recursiva del mtodo denominado de Euler hacia adelante o Euler explcito.

2. Aproximacin por recta constante e igual a la ordenada en le punto tk+1, es decir,

1 1( , )k k k 1f y t f+ + += , por lo que la integral 1 ( , )k

k

t

tf y t dt+ , que representa como

sabemos el rea bajo la curva f(y,t), comprendida entre las rectas tk y tk+1, se aproxima por el rea del rectngulo de rea igual a ( )1 1k k kf t t+ + .

Esto se muestra en la figura a continuacin.

f(y,t)

t

kt 1kt +

f(y,t)

t

kt 1kt +

Aproximacin numrica de la integral. Mtodo de Euler implcito.

Por lo que sustituyendo en la ecuacin (2) obtenemos la frmula recursiva

1k ky y h f+ 1k+= + (4)

La frmula anterior se conoce como la frmula recursiva del mtodo de Euler hacia atrs o Euler implcito.

El nombre de los dos ltimos mtodos hace evidente que las ecuaciones recursivas que los definen, son del tipo explcitas, en el primer caso, e implcitas en el segundo. Lo anterior indica que en el primero 1ky + est en funcin de y kt ky , mientras que en el segundo est en funcin de 1kt + y 1ky + . Si la funcin del integrando es lineal, la ecuacin recursiva del Euler implcito se puede escribir de forma explcita y por tanto el mtodo ser de paso simple, de lo contrario habra que desarrollar otro procedimiento del tipo denominado predictor-corrector. 3. El tercer caso corresponde a la aproximacin numrica de la integral, por medio de la regla trapecial, es decir, aproximando la curva f(y,t) por una recta que une los puntos correspondientes a las coordenadas (tk, fk) y (tk+1, f k+1), como se muestra en la figura siguiente.

f(y,t)

y

kt 1kt +

f(y,t)

y

f(y,t)

y

f(y,t)

y

kt 1kt +

Aproximacin numrica de la integral. Mtodo de la regla trapecial.

El rea que representa la aproximacin numrica en este caso ser igual a

11

( ) ( )2

k kk k

t t f f+ + +

O bien

1( )2 k kh f f+ +

De donde sustituimos en la ecuacin (2) para obtener as el tercer mtodo de donde resulta la frmula recursiva del mtodo trapecial

1 1( )2k k khy y f f+ += + + k (5).

Al igual que en el caso anterior, este mtodo produce una frmula recursiva implcita, por lo que es un mtodo implcito, en general. Sin embargo en ambos casos, si la funcin f(y,t) es lineal, se podrn hacer las factorizaciones apropiadas para escribir la frmula en forma explcita. Lo anterior no se podra efectuar en le caso de que la funcin mencionada fuera no lineal, en cuyo caso habra que disear un mtodo iterativo para resolver el problema concreto por estos mtodos implcitos.

ESTBILIDAD DE LA SOLUCION NUMERICA. Definiciones. La estabilidad es una de las propiedades ms crticas de los mtodos numricos para resolver ecuaciones diferenciales. En esta seccin aprovechamos la introduccin al tema, a travs del desarrollo de las frmulas recursivas presentadas, con el fin de discutir este complejo tema, de manera introductoria. El tema es complejo y existe literatura que lo trata de manera exclusiva. Es posible que la solucin numrica d una ecuacin diferencial crezca sin lmite, an cuando la solucin exacta (solucin analtica, no conocida por lo general) permanezca acotada. Por supuesto tambin existirn casos en los que la solucin exacta crezca indefinidamente. En nuestro caso, nos limitaremos a la discusin de estabilidad de ecuaciones diferenciales para las cuales la solucin exacta est acotada. Comenzamos considerando la ecuacin diferencial ordinaria (1) y un mtodo numrico. En el anlisis de estabilidad buscamos las condiciones y parmetros del mtodo numrico para los cuales la solucin numrica permanece acotada. El parmetro ms importante es el paso de integracin h.

Tenemos tres clases de mtodos numricos: Esquema numrico estable: Su solucin numrica est acotad, es decir, no crece sin

control con cualquier seleccin de los parmetros, principalmente del paso de integracin h. Su robustez puede tener alto costo computacional.

Esquema numrico inestable: Su solucin numrica crece sin lmite, sin importar el valor seleccionado de los parmetros. Estos esque mas carecen de utilidad, an cuando fueran precisos.

Esquema condicionalmente estable: La solucin permanece acotada solamente con ciertos valores de parmetros.

Estabilidad de los mtodos. La estabilidad de los mtodos se estudia por medio d una ecuacin diferencial especial, denominada problema modelo:

y y = (6) Cuya solucin exacta es ( )0 ty y e= , donde puede ser real complejo. Euler explcito:

La frmula de este mtodo, ( )1 ,k k ky y h f y t+ = + k , nos conduce a ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) (

1 0 0 0

22 1 1 1 0

1 1 1 0

1

1 1

1 1 nn n n n

x x h x x h

x x h x x h x h

)x x h x x h x h

= + = += + = + = +

= + = + = +

iii

A medida que crece n a , un resultado finito para una ecuacin diferencial estable { }( )0e requiere

1 h+ 1

v

(7).

La desigualdad anterior es la condicin de estabilidad para el mtodo de Euler implcito. puede ser compleja, aunque h sea real. Por lo que definimos

h q u j = = + (8).

Sustituimos en (7) para obtener

1 1u jv+ + O bien

( )2 21 u v+ + 1 (9).

El lugar geomtrico de la expresin anterior es un crculo con centro en (-1,0) y radio unitario, el cual pasa por el origen. La regin asociada con la (8) incluye el interior de dicho crculo.

-1Rh

I h

-1Rh

I h

Diagrama de estabilidad para el mtodo Euler explcito

Lo anterior implica que si suponemos { } 0e (solucin estable), el valor de h debe ser tal que el producto q h= representa un punto dentro crculo.

Un ejemplo ilustrativo de anterior lo ilustra la solucin numrica de la sencilla ecuacin diferencial

( )0.5 0

0 1 0 2y yy t 0 + =

=

Usamos dos valores del paso de integracin. El primero 1h = y el segundo . De la ecuacin (7) vemos que la desigualdad se cumple en le primer caso, es decir, para

, mientras que para el segundo,

4.2h =1h = 4.2h = , dicha desigualdad no se cumple.

La grfica siguiente muestra los trazos correspondientes a la solucin, en trazo continuo, el primer caso, en trazo con .- (estable), y el segundo caso (inestable, oscilatorio y creciente) en lnea punteada - -.

1h =

0 5 10 15 20 25-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Solucin Numrica de la EDO por el mtodo de Euler explcito.

Euler implcito: La frmula recursiva del mtodo es

( )1 1,k k k k 1y y h f y t+ += + + . Aplicamos esta frmula recursiva a la ecuacin (6) para obtener

( )1 0 1y y h y= + De donde obtenemos

0 01 1 1

y yyh q= =

Si procedemos con el mtodo en forma recursiva, en el paso n-simo tendremos

01

1

n

ny q = y (10)

La condicin asociada con un mtodo estable requiere que a medida que , n

1 11 q

Por lo que tendremos

( )2 21 1 u v + (11).

La igualdad de la ecuacin anterior representa un crculo con centro en (1,0) que pasa por el origen. La desigualdad de (11) se satisface fuera del crculo.

{ }m h

{ }e h(1,0)

{ }m h

{ }e h(1,0)

Diagrama de estabilidad para el mtodo Euler implcito.

Lo anterior implica que el mtodo es estable para todo valor de en el semiplano izquierdo. Si est en el semiplano derecho, el mtodo muestra inestabilidad solamente en el caso de que est dentro del crculo. Si se encuentra fuera del crculo unitario mencionado, la frmula provee una secuencia convergente, aunque la respuesta real crece sin lmite.

Mtodo Trapecial: La frmula recursiva para este mtodo es:

( )1 12k k kh

ky y f+ += + + f . Aplicada a la ecuacin modelo (6) obtenemos para el primer valor del proceso recursivo

( )1 0 1 022hy y y y= + +

Por lo que

1 0

12

12

h

y y h

+ =

Para el paso n-simo obtendremos

022

n

nqy yq

+=

El requisito de estabilidad de este mtodo para cuando es n

2 12

qq

+

Lo cual conduce a la desiguladad siguiente

2 12

u jvu jv

+ + + .

Simplificando lo anterior obtenemos finalmente

4 0u

Lo anterior implica una regin de estabilidad consistente en el semiplano izquierdo, cuya frontera es el eje imaginario. La frmula ser estable para cualquier valor de con

{ } 0e . El resultado de lo anterior implica que se obtendrn respuestas estables para funciones inestables. Lo anterior no implica un resultado correcto, solamente que cualquier error en el clculo no crecer en los pasos subsecuentes.