Pág. 1 de 12 LIMBERT AYZACAYO CHOQUE

SOLUCION EXAMEN PRIMER PARCIAL MAT-101 1.- Hallar las coordenadas de los vértices de un triángulo sabiendo que las coordenadas de los puntos

medios de sus lados son: 1,1 ; 3,6 1,3A B y C

Solución.

Las coordenadas de los vértices son: , ; , ; ,x y x y x yD d d E e e F f f

Por el punto medio se tiene:

2 2 1 22

x xx x x x x x x x

d ec c d e d e d e I

2 2 3 62

x xx x x x x x x x

d fb b d f d f d f II

2 2 1 22

x xx x x x x x x x

e fa a e f e f e f III

Reemplazando I en II

6 2 8x x x xe f e f IV

Resolviendo III y IV

810 2 5

2

x x

x x

x x

e ff f

e f

Pág. 2 de 12 LIMBERT AYZACAYO CHOQUE

Reemplazando xf en II :

6 6 5 1x x x xd f d d

Reemplazando xd en I :

2 2 1 3x x x xd e e e

Resolviendo análogamente se tiene: 8 2 4y y yd e f

Las coordenadas de los vértices son: 1,8 ; 3, 2 ; 5,4D E F

Respuesta.

2.- Un arco tiene forma de semielipse con una luz de 15m , siendo su máxima altura de 5m . Hallar la

longitud de dos soportes verticales situados cada uno de tal forma que dividen en 3 la luz total.

Solución.

Del gráfico se tiene:

7.5

5

a

b

Reemplazando en la ecuación:

2 2

2 21

x y

a b

2 2 2

2

2 2 21 5 1

7.5 5 7.5

x y xy I

Reemplazando 2.5x en la ecuación I

2

2

2

5

1025 1 2

315

2

y

La longitud de los soportes es: 10

2 4.713

y m

Respuesta.

Pág. 3 de 12 LIMBERT AYZACAYO CHOQUE

3.- Resolver: a)1

2 3

x x

x x

b)

3 14 2

2 1

xx

x

Solución.

)a 1

2 3

x x

x x

1 3 21 10 0

2 3 2 3 2 3

x x x xx x x x

x x x x x x

2 2 24 3 2 2 2 30 0

2 3 2 3

x x x x x x

x x x x

La ecuación: 22 2 3 0x x tiene no tiene raíces reales.

13 0 3x x

22 0 2x x

Ubicando los puntos en una recta real:

Determinamos los intervalos del conjunto solución:

22

5

2 5 2 5 32 2 3 430 0 0

2 3 142 5 3 5

x

x xVerdadero

x x

22

0

2 0 2 0 32 2 3 30 0 0

2 3 62 0 3 0

x

x xFalso

x x

22

4

2 4 2 4 32 2 3 430 0 0

2 3 2 4 3 4 14

x

x xVerdadero

x x

Gráficamente tenemos el conjunto solución:

El sector sombreado es el conjunto solución:

: 3 ; 2Cs x x

Respuesta

Pág. 4 de 12 LIMBERT AYZACAYO CHOQUE

b) 3 1

4 22 1

xx

x

Solución.

3 1 3 1

4 2 4 2 4 2 4 22 1 2 1

x xx x x x

x x

Resolviendo: 1

3 1: 4 2

2 1

xI x

x

24 2 2 1 3 13 1 8 2 3 14 2 0 0 0

2 1 2 1 2 1

x x xx x xx

x x x

2 28 3 3 8 3 30 0

2 1 2 1

x x x x

x x

28 3 3 0x x

2 1

2

105 30.82

3 3 4 8 3 16 16

2 8 105 30.45

16 16

i

x

x

x

3

12 1 0

2x x

22

1

8 1 3 1 38 3 30 0

2 1 2 1 1

x

x xFalso

x

22

0.7

8 0.7 3 0.7 38 3 30 0

2 1 2 0.7 1

x

x xVerdadero

x

22

0

8 0 3 0 38 3 30 0

2 1 2 0 1

x

x xFalse

x

22

0.5

8 0.5 3 0.5 38 3 30 0

2 1 2 0.5 1

x

x xVerdadero

x

Pág. 5 de 12 LIMBERT AYZACAYO CHOQUE

1 : 0.82 0.5 ; 0.45CsI x x

Resolviendo: 2

3 1: 4 2

2 1

xI x

x

3 1 2 1 4 23 14 2 0 0

2 1 2 1

x x xxx

x x

2 2 23 1 8 2 8 3 1 8 3 10 0 0

2 1 2 1 2 1

x x x x x x

x x x

2

22

1

2

8 3 1 0

3 3 4 8 1 0.214 3 9 32 3 41

0.582 2 8 16 16i

x x

xb b acx

xa

3

12 1 0 0.5

2x x

22

1

8 1 3 1 18 3 10 0

2 1 2 1

x

x xFalso

x x

22

0.4

8 0.4 3 0.4 18 3 10 0

2 1 2 0.4 1

x

x xVerdadero

x

22

0

8 0 3 0 18 3 10 0

2 1 2 0 1

x

x xFalso

x

22

1

8 1 3 1 18 3 10 0

2 1 2 1 1

x

x xVerdadero

x

2 : 0.5 0.21 ; 0.58CsI x x

La solución final es la intersección de los dos: 1 2CsI CsI

Pág. 6 de 12 LIMBERT AYZACAYO CHOQUE

: 0.58Cs x

Respuesta

4.- Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los siguientes 3 puntos

4,5 ; 3, 2 ; 1, 4A B C

Solución.

Reemplazando los puntos en la ecuación general de la circunferencia I :

2 2 0x y Dx Ey F I

Reemplazando 4,5A

2 24 5 4 5 0 4 5 41D E F D E F II

Reemplazando 3, 2B

223 2 3 2 0 3 2 13D E F D E F III

Reemplazando 1, 4C

221 4 1 4 0 4 17D E F D E F IV

Resolviendo el sistema de ecuaciones:

4 5 41

3 2 13

4 17

D E F II

D E F III

D E F IV

Resolviendo por Cramer:

Pág. 7 de 12 LIMBERT AYZACAYO CHOQUE

41 5 1

13 2 1

17 4 1 847

4 5 1 12

3 2 1

1 4 1

D

4 41 1

3 13 1

1 17 1 605

4 5 1 12

3 2 1

1 4 1

E

4 5 41

3 2 13

1 4 17 52844

4 5 1 12

3 2 1

1 4 1

F

Entonces la ecuación de la circunferencia buscada es:

2 2 0x y Dx Ey F I

2 2 7 5 44 0x y x y

Respuesta.

5.- Hallar la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo de lados:

1 2 3; 2 3 1 0 ; 4 17 0: 2 0 : :R x y R x yR x y

Solución.

1 2 3; 2 3 1 0 ; 4 17 0: 2 0 : :R x y R x yR x y

Resolviendo 1 2R y R :

Pág. 8 de 12 LIMBERT AYZACAYO CHOQUE

2 0 2 2 4 02

2 3 1 0 2 3 1 0

x y x y

x y x y

Sumando ambas ecuaciones

5 5 0 1y y

Reemplazando 1y ; en 1R

2 0 1 2 0 1x y x x

Entonces el punto de intersección es: 1,1C

Resolviendo 1 3R y R :

2 0

4 17 0

x y

x y

Sumando las dos ecuaciones: 5 15 0 3x x

Reemplazando 3x en 1R :

2 0 3 2 0 5x y y y

Entonces el punto de intersección es: 3,5A

Resolviendo 2 3R y R :

2 3 1 0 4 6 2 02

4 17 0 4 17 0

x y x y

x y x y

Sumando ambas ecuaciones

5 15 0 3y y

Reemplazando 3y en 3R :

4 17 0 4 3 17 0 5x y x x

Entonces el punto de intersección es: 5, 3B

Reemplazando los puntos , ,A B C en la ecuación general de la circunferencia:

2 2 0x y Dx Ey F

2 23 5 3 5 0 3 5 34D E F D E F I

225 3 5 3 0 5 3 34D E F D E F II

2 21 1 0 2D E F D E F III

Resolviendo el sistema de ecuaciones:

3 5 34

5 3 34

2

D E F

D E F

D E F

32

5D

8

5E

34

5F

Reemplazando en la ecuación 2 2 0x y Dx Ey F

2 2 32 8 340

5 5 5x y x y

Respuesta.

Pág. 9 de 12 LIMBERT AYZACAYO CHOQUE

6.- Dada la parábola 2 20y x , hallar la ecuación de la cuerda que pasa por el punto 2,5A , de modo

que este punto divida a la cuerda en la mitad.

Solución.

1 1 1 2 2 2, ; ,P x y P x y

Reemplazando 1 2,P P en la ecuación de la parábola:

2

1 120y x

2

2 220y x

Restando las ecuaciones:

2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 220 20 20y y x x y y y y x x

1 21 2

1 2

20y y

y y Ix x

Por el punto medio se tiene:

1 21 25 10

2

y yy y II

Reemplazando II en I

1 2 1 2

1 2 1 2

10 20 2 2y y y y

mx x x x

m pendiente

Aplicando la ecuación punto pendiente de la recta:

1 1 5 2 2 5 2 4y y m x x y x y x

: 2 1 0R x y

Respuesta.

Pág. 10 de 12 LIMBERT AYZACAYO CHOQUE

7.- Un cable forma una parábola con torres de 220 m de altura, separadas en 1500 m. El punto más bajo del cable está a 70 m de altura. Hallar la altura del cable a 150 m de la base de una torre. Solución.

1 2 3750,220 ; 0,70 ; 750,220P P P

Reemplazando los puntos en la ecuación general de la parábola: 2 0x Dx Ey F

2

750 750 220 0 750 220 562500 0D E F D E F I

20 0 70 0 70 0D E F E F II

2

750 750 220 0 750 220 562500 0D E F D E F III

Sumando ecuaciones I y III :

750 220 562500 0

440 2 1125000 0750 220 562500 0

D E FE F IV

D E F

Resolviendo ecuaciones :II y IV

70 0 140 2 02300 1125000 0

440 2 1125000 0 440 2 1125000 0

E F E FE

E F E F

3750E

Reemplazando E en la ecuación II

70 0 70 3750 0 262500E F F F

Reemplazando E y F en la ecuación I

0D

La ecuación de la parábola es: 2 0x Dx Ey F

2 3750 262500 0x y

Reemplazando 600x en la ecuación de la parábola:

Pág. 11 de 12 LIMBERT AYZACAYO CHOQUE

2 622500

600 3750 262500 0 3750 622500 1663750

y y y

Entonces la altura del cable a 150m de la base de una torre es de: 166H m

Respuesta.

8.- Hallar el dominio y condominio de la función: 2

x xe ey

Solución.

:yD x

Para hallar el dominio se tiene:

2

x xe ey

2 x xy e e Multiplicando /m m por xe

2

2 2 1x x x x x x xye e e e e ye e

2

2 1 0x xe y e

Recordando

2 4

2i

b b acx

a

En nuestro caso: 1 ; 2 ; 1a b y c

222 2 4 1 1 2 4 4

2 1 2

x

i

y y y ye

2 22 4 4 2 4 4

ln ln2 2

x xy y y ye e

2

22 4 4ln ln 2 4 4 ln 2

2

y yx y y

12 2

2

12 4 4 0 4 4 0

1

yy y y

y

22

2

2 4 4 0 2 2 4 2 4 0

y

y y Falso

22

0

2 4 4 0 2 0 4 0 4 0

y

y y Falso

Pág. 12 de 12 LIMBERT AYZACAYO CHOQUE

22

2

2 4 4 0 2 2 4 2 4 0

y

y y Verdadero

: 1yC y

Respuesta