SOLUCION EXAMEN CALCULO VECTORIAL Página 1

UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y ESTADÍSTICA

EXAMEN FINAL DE CALCULO VECTORIAL -02-08-2013

Apreciado estudiante, hoy que finaliza la actividad académica en esta materia dele

gracias a Dios por haberle permitido cursarla, por las oportunidad que se presentaron

durante el desarrollo de la misma para aprenderla y pasarla, y sobre todo dele gracias

por tener una familia que cree en usted y esta dispuesta a realizar los sacrificios que

sean necesarios con el fin de que usted sea un buen profesional.

1. La temperatura en un punto cualquiera ( x , y ) de la misma esta dada por la

expresión ( ) . Una hormiga que esta sobre la placa

camina alrededor de una circunferencia que tiene 5 centímetros de radio y cuyo

centro se encuentra localizado en el origen del plano cartesiano. Determine las

temperaturas máxima y mínima que encuentra la hormiga en su recorrido.

SOLUCION EXAMEN CALCULO VECTORIAL Página 2

Como la hormiga se encuentra desplazándose en la circunferencia de radio 5, se tiene

que esta limitada a recorrer un trayecto dada por . Y como la temperatura en

cualquier punto de la placa es ( ) , obtenemos:

Función Objeto: ( )

Restricción: ( )

Aplicando los multiplicadores de Lagrange, se tiene

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )( )

( )

SOLUCION EXAMEN CALCULO VECTORIAL Página 3

( )

(

)

√

Siendo √

√

( )

( ) √

Siendo √

( )

(√ √ ) (√ ) (√ )( √ ) ( √ )

(√ √ )

( √ √ ) ( √ ) ( √ )( √ ) ( √ )

( √ √ )

( √ √ ) ( √ ) ( √ )(√ ) (√ )

( √ √ )

( √ √ ) ( √ ) ( √ )( √ ) ( √ )

( √ √ )

SOLUCION EXAMEN CALCULO VECTORIAL Página 4

2. Cual es el área máxima de una paralelogramo que se puede inscribir una

circunferencia de radio 1

( ) ( )( )

( )

√ √

SOLUCION EXAMEN CALCULO VECTORIAL Página 5

3. Determine el volumen del solido acotado por la superficie

, el plano xy, y sobre la región comprendida entre las curvas

.

Graficamos las curvas con el fin de encontrar los limites de integración

Las curvas describen dos áreas para la primera se tiene

Para la segunda área se tiene

SOLUCION EXAMEN CALCULO VECTORIAL Página 6

Siendo el volumen

∫ ∫ ( )

∫ ∫ ( )

∫ ∫ ( )

∫ (

)|

∫ * ( )

( )

( )

( )

+

∫ ∫ ( )

∫ (

)|

∫ * ( )

( )

( )

( )

+

4. A) Determine los puntos máximos y mínimos de la superficie

yxyxyxyxf 2620564),( 22

Encontramos las primeras derivadas parciales

2068 yxfx

26106 yxfy

Igualamos las derivadas a cero y resolvemos el sistema resultante

20680 yx

261060 yx

Con lo que 21 yx ;

SOLUCION EXAMEN CALCULO VECTORIAL Página 7

Encontramos las segundas derivadas

8xxf 10yyf

6xyf

Evaluamos las segundas derivadas

821 ),(xxf 1021 ),(yyf

621 ),(xyf

Encontramos el discriminante

2xyyyxx fffD

44368061082

D

Analizamos los signos de las segundas derivadas y el discriminante

Como 00 xxfD ;

6852202012421 ),(f

Luego el punto 6821 ,,

es un mínimo.

B) evalúe las siguientes integrales R

dydxyxf ),( si

A)

249023016 xyxxyxf ;,),(

∫ ∫

∫ |

∫ ( )

( )

SOLUCION EXAMEN CALCULO VECTORIAL Página 8

B)

301032 2 yxRyxxyxf ::;),(

∫ ∫ √

∫ ∫

√

∫

|

∫ ∫ √

∫ ( ( )

( )

)

∫ ∫ √

∫ ( ( )

)

∫ ∫ √

*

( )

+

5) Evaluar la integral doble

R

yx dydxe22

donde R es la región del

plano limitada por el eje de las equis, y positivo, y la curva

Dibujamos la región de integración

SOLUCION EXAMEN CALCULO VECTORIAL Página 9

Los límites de integración en coordenadas rectangulares son

√

Y en coordenadas polares son

Luego la integral en coordenadas polares es:

∫∫

∫ ∫

∫∫

∫ *

+

∫ *

+

∫∫

[

]∫

[

] [ ]

[

]

∫∫

( )