solucion de una ecuacion diferencial homogenea
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ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS HOMOGÉNEAS Lic. Mat. Jorge Luis Rojas Paz
FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA Página 1
SOLUCIÓN DE UNA Ecuación DIFERENCIAL ORDINARIA homogénea
UTILIZANDO EL SOFTWARE DERIVE 6.10
Ecuaciones Diferenciales Homogéneas
Las ecuaciones diferenciales de primer orden y de primer grado que se denotan en
general como:
( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy ………………….( )
Se llaman homogéneas si My N son funciones Homogéneas del mismo grado en x e y.
Solución clásica de una ecuación diferencial ordinaria
Homogénea
Consideremos la ecuación diferencial ordinaria homogénea
( )( , ) ( , ) 0............M x y dx N x y dy
Entonces ( , )M x y y ( , )N x y son funciones homogéneas y como tal son funciones
homogéneas del mismo grado el cual podemos suponer que es k, y de ello se sigue que:
( , ) ( , )kM x y M x y
( )( , ) ( , )..................kN x y N x y
Si hacemos 1
x y remplazamos en estas dos ecuaciones dicho valor
obtenemos
1
(1, ) ( ) ( , ) ( , ) (1, )k ky yM M x y M x y x M
x x x
1(1, ) ( ) ( , ) ( , ) (1, )k ky y
N N x y N x y x Nx x x
Si en la primera ecuación hacemos y/x=u entonces
( , ) (1, ) (1, ) ( )k k kyM x y x M x M u x u
x
Así obtenemos: ( , ) ( )kM x y x u , y/x=u
Si en la segunda ecuación también hacemos y/x=u entonces
( , ) (1, ) (1, ) ( )k k kyN x y x N x N u x u
x
Obteniendo así ( , ) ( );kN x y x u y/x=u
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Ahora de y/x=u se sigue que y=ux dy=udx+xdu y con los resultados
anteriores obtenidos, la ecuación se transforma en:
( ) ( )( ) 0k kx u dx x u udx xdu
Factorizando xk y agrupando convenientemente tenemos
( ) ( ) ( ) 0u u u dx x u du
De donde obtenemos ( )
0( ) ( )
dx udu
x u u uecuación que corresponde a
las ecuaciones diferenciales ordinarias de variable separable.
Si hacemos 1
yy reemplazamos dicho valor en las ecuaciones se obtiene
( , ) ( );k xM x y y u u
y
( , ) ( );k xN x y y u u
y
De x
uy
se sigue que x=yu de donde dx=udy+ydu, conjugando estos
resultados tenemos ( )( ) ( ) 0k ky u udy ydu y u dy
de donde
factorizando yk, y agrupando convenientemente obtenemos
( )
0( ) ( )
dy udu
y u u u
La que corresponde nuevamente a una ecuación diferencial ordinaria de variable
separable. Veamos un ejemplo de aplicación
Resolver la ecuación diferencial 2 2( ) 0; ( 3) 1y x y dx xdy sujeta a y
Solución
Haciendo el cambio de variable apropiado (y=ux), y siguiendo la teoría
descrita anteriormente se tiene:
2 2( ( ) ) ( ) 0ux x ux dx x udx xdu
De esto simplificando y agrupando convenientemente obtenemos:
20
1
dx du
x u
Integrando esta ecuación de variable separable obtenemos como solución la
familia
2 2 ;y y x k k R
Además como ( 3) 1y de la familia anterior se obtiene la solución particular
siguiente 2 9 6x y , x>0.
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Podemos hacer uso del Software Derive 6.10 para hallar la solución de una ecuación
diferencial ordinaria homogénea usando la función
DSOLVE1 (m, n, x, y, 0 0,x y )
Explicaremos a continuación su uso en el problema anteriormente desarrollado, para
ello consideramos 2 2m y x y , n x , 0 03 1x y
En seguida sustituimos estos valores en la función: DSOLVE1 (m, n, x, y, 0 0,x y )
e ingresamos en la ventana Álgebra de derive como se indica a continuación
Fig. 01
Finalmente haciendo clic en el icono de derive, obtenemos la primitiva de la
ecuación como se puede apreciar en la figura adjunta
Fig. 02
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Es posible observar gracias a derive la curva que representa la primitiva para ello
simplemente buscamos el icono bidimensional en derive y hacemos clic dos veces
en el obteniendo
Fig. 03
Resuelva con derive las ecuaciones diferenciales que se indican a continuación:
1.-2 2
2 2
20 ; (1) 1
2
dy y xy xy
dx y xy x 2.-
2
2
2; (1) 2
2
dy xy yy
dx xy x
3.- 3 2 2 2 2 2( ) 0x y x y dx xy x y dy 4.-
2 2
dy xy
dx x xy y
BIBLIOGRAFÍA
HOFFMAN,K;KUNZE.R.-...................................Álgebra Lineal .ed.Prentice Hall.1973.
IMMONS.G;ROTA.G.C.-…...Ordinary Diffencial Equations. Gin and Company.1962.
GUZMÁN. M.-…………..Ecuaciones Diferenciales Ordinarias: Teoría de Estabilidad y
Control. Editorial Alhambra.1975.
Texto de Aplicaciones
ESPINOZA. R.-…..Ecuaciones Diferenciales Ordinarias .ed.Servicios Gráficos JJ.2004.