solución de sistemas de ecuaciones lineales

Universidad Fermín Toro

Sistema de Aprendizaje Interactivo a Distancia

Análisis Numérico

Solución de Sistemas de Ecuaciones

Lineales

Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales 2

2016 Autor: Violeta León

Método de Eliminación Gaussiana

El método de eliminación Gaussiana para la solución de sistemas de ecuaciones lineales

consiste en convertir a través de operaciones básicas llamadas operaciones de renglón un sistema

en otro equivalente más sencillo cuya respuesta pueda leerse de manera directa. El método de

eliminación Gaussiana es el mismo para sistemas de ecuaciones 2×2, 3×3, 4×4 y así sucesivamente

siempre y cuando se respete la relación de al menos una ecuación por cada variable.

Algoritmo de Eliminación Gaussiana

El Algoritmo de Gauss o de Eliminación gaussiana consta de los siguientes pasos:

1. Determine la primera columna (a la izquierda) no cero.

2. Si el primer elemento de la columna es cero, intercámbielo por un renglón que no tenga cero.

3. Obtenga ceros abajo del elemento delantero sumando múltiplos adecuados a los renglones debajo

de él.

4. Cubra el renglón y la columna de trabajo y repita el proceso comenzando en el paso 1. Al término

del ciclo entre el paso 1 al 4 (es decir cuando se han barrido todos los renglones), la matriz debería

tener forma de escalón.

5. Comenzando con el último renglón no cero avance hacia arriba para que en cada renglón tenga

un 1 delantero y arriba de él queden sólo ceros. Para ello debería sumar múltiplos adecuados del

renglón a los renglones correspondientes.

Es importante observar que en el método de eliminación Gaussiana:

Los pasos del 1 a 4 aplicados repetidamente escalonan la matriz; el paso 5 aplicado

repetidamente reduce la matriz.

En el paso 2, si el elemento no es cero no se realiza intercambio.

En el paso 3, los elementos que se hacen cero son sólo los inferiores al pivote.

Eliminación de Gauss-Jordan

La eliminación de Gauss - Jordan, más conocida como método de Gauss, es un método

aplicable únicamente a los sistemas lineales de ecuaciones, y consistente en triangular la matriz

aumentada del sistema mediante transformaciones elementales, hasta obtener ecuaciones de una

sola incógnita, cuyo valor será igual al coeficiente situado en la misma fila de la matriz.



¿Cómo aplicar el método?

Sea AX = B un sistema de ecuaciones m x n.

1. En el sistema de ecuaciones AX = B se crea un arreglo que contiene la matriz de coeficientes

del sistema y las constantes que aparecen al lado derecho de la igualdad, es decir, se

considera la matriz aumentada (A │ B) asociada al sistema.

2. Se transforman los coeficientes en forma triangular, una columna a la vez, comenzando por

la primera columna. El proceso de transformar una columna en la forma deseada recibe a

veces el nombre de pivoteo.

a. En cualquier transformación de columna primero se crea el elemento que es igual a 1,

llamado 1 principal.

b. Se crea un cero en la parte inferior de la columna usando el 1 principal.

3. En la parte inferior de la matriz equivalente (A’ │B’) se obtienen, si existen, los renglones

cero.

4. Una vez triangulada la matriz, al tener los unos principales en cada renglón, se hace cero la

parte superior de esta columna utilizando el 1 principal.

Método de Descomposición LU

Su nombre se deriva de las palabras inglesas "Lower" y "Upper", que en español se traducen

como "Inferior" y "Superior". Estudiando el proceso que se sigue en la descomposición LU es posible

comprender el porqué de este nombre, analizando cómo una matriz original se descompone en dos

matrices triangulares, una superior y otra inferior. La descomposición LU involucra solo

operaciones sobre los coeficientes de la matriz [A], proporcionando un medio eficiente para calcular

la matriz inversa o resolver sistemas de álgebra lineal.

Primeramente, se debe obtener la matriz [L] y la matriz [U].

[L] es una matriz diagonal inferior con números 1 sobre la diagonal. [U] es una matriz diagonal

superior en la que sobre la diagonal no necesariamente tiene que haber números 1.

El primer paso es descomponer o transformar [A] en [L] y [U], es decir obtener la matriz triangular

inferior [L] y la matriz triangular superior [U].



Pasos Para Encontrar La Matriz Triangular Superior (Matriz [U])

1. Hacer cero todos los valores abajo del pivote sin convertir este en 1.

2. Para lograr lo anterior se requiere obtener un factor el cual es necesario para convertir a cero

los valores abajo del pivote.

3. Dicho factor es igual al número que se desea convertir en cero entre el número pivote.

4. Este factor multiplicado por -1 se multiplica luego por el pivote y a ese resultado se le suma

el valor que se encuentra en la posición a cambiar (el valor en la posición que se convertirá

en cero). Esto es: - factor * pivote + posición a cambiar

Método de Jacobi

El método de Jacobi permite hallar las aproximaciones a una solución de sistemas de ecuaciones

lineales, utilizando los valores iniciales para la primera aproximación, luego los de la primera para

la segunda y así sucesivamente; en este método el cálculo de cada variable es independiente por lo

tanto ninguna variable depende de la otra.

Procedimiento A Seguir Para La Aplicación Del Método Jacobi

Se debe introducir unas aproximaciones iniciales, la matriz de coeficientes, el vector de términos

independientes, una tolerancia y un número total de iteraciones.

Se toman las aproximaciones iniciales para hallar las nuevas aproximaciones, teniendo en

cuenta el fundamento del método.

En cada paso, es posible calcular el error, que es este caso está definido en normas (las cuales

son infinitas).

Para la finalización de los programas se tiene en cuenta, si el programa sobrepasa el número

de iteraciones, o si el error es menor del propuesto al principio; una vez ocurra alguna de

estas dos situaciones, la última iteración tendrá las aproximaciones a la solución del sistema

de ecuaciones estudiado.

Método de Gauss Seidel

Permite hallar las aproximaciones a una solución de sistemas de ecuaciones lineales, utilizando

los valores calculados en cada uno de los pasos, para hallar los nuevos valores, en pocas palabras, en

este método un cálculo siempre depende del anterior, dependiendo las variables de otras variables.



Secuencia De Pasos Que Constituyen El Método De Gauss-Seidel

1. Asignar un valor inicial a cada incógnita que aparezca en el conjunto. Si es posible hacer una

hipótesis razonable de éstos valores, hacerla. Si no, se pueden asignar valores seleccionados

arbitrariamente. Los valores iniciales utilizados no afectarán la convergencia como tal, pero

afectarán el número de iteraciones requeridas para dicha convergencia.

2. Partiendo de la primera ecuación, determinar un nuevo valor para la incógnita que tiene el

coeficiente más grande en esa ecuación, utilizando para las otras incógnitas los valores

supuestos.

3. Pasar a la segunda ecuación y determinar en ella el valor de la incógnita que tiene el coeficiente

más grande en esa ecuación, utilizando el valor calculado para la incógnita del paso 2 y los

valores supuestos para las incógnitas restantes.

4. Continuar con las ecuaciones restantes, determinando siempre el valor calculado de la incógnita

que tiene el coeficiente más grande en cada ecuación particular, y utilizando siempre los últimos

valores calculados para las otras incógnitas de la ecuación. (Durante la primera iteración, se

deben utilizar los valores supuestos para las incógnitas hasta que se obtenga un valor calculado).

Cuando la ecuación final ha sido resuelta, proporcionando un valor para la única incógnita, se

dice que se ha completado una iteración.

5. Continuar iterando hasta que el valor de cada incógnita, determinado en una iteración

particular, difiera del valor obtenido en la iteración previa, en una cantidad menor que cierto є

seleccionado arbitrariamente. El procedimiento queda entonces completo.

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