soluci´on de problemas de contorno mediante el m´etodo de ... · cap. 1: soluci´on de problemas...
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UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO
VICERRECTORADO ACADEMICO
OFICINA CENTRAL DE INVESTIGACION
Solucion de problemas decontorno mediante el metodo
de elementos finitos
Walter Orlando Gonzales Caicedo
LAMBAYEQUE - PERU
2017
Contenido
1. Solucion de problemas de contorno mediante el metodo de elementos finitos 1
1.1. Ejemplo aplicativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2. Recomendaciones 21
Bibliografıa 22
i
ii Contenido
Capıtulo 1
Solucion de problemas de
contorno mediante el metodo
de elementos finitos
1.1. Ejemplo aplicativo
Consideraremos una ecuacion diferencial con condiciones de contorno en la
cual obtendremos su solucion aproximada aplicando el MEF a partir de los
siguientes argumentos:
1. Deducir la formulacion variacional asociada al problema de valor de
contorno.
2. Aplicar el metodo de Galerkin considerando que la solucion exacta u
es aproximada por un =∑n
i=1 aiφi(x) donde φni=1 es una base del
espacio de elementos finitos.
3. Construir el espacio de elementos finitos con las funciones de base (Con-
sidere 5 elementos y 6 nodos) y determinar explıcitamente las funciones
de base y considere f(x) = 10.
4. Definir el sistema elemental para el elemento e, es decir, KeU e = Be.
5. Ensamblar la matriz de rigidez K = U5e=1K
e y el vector de carga
1
2 1.1. Ejemplo aplicativo
B = U5e=1b
e. Determinar el sistema de ecuaciones asociada al problema
variacional KU = B, dar explıcitamente la matriz de rigidez K y el
vector de cargas B.
6. Incorporar las condiciones de contorno al sistema de ecuaciones Ka =
B.
7. Resolver el sistema de ecuaciones.
8. Determine la solucion aproximada para el problema de valor de con-
torno y compare con la solucion exacta.
Para nuestra aplicacion:
Ejemplo 1.1. Consideremos la ecuacion diferencial:
d2u
dx2= −f(x) en 0 < x < 1 (1.1)
Con condiciones de contorno:
u(0) = 0 ; u(1) = 0
Solucion
1. Deducir la formulacion variacional asociada al problema de valor de
contorno.
Sea el operador:
A =d2u
dx2(1.2)
cuyo dominio esta dado por:
DA = v; v ∈ C2(0, 1); v(0) = v(1) = 0
Dado el conjunto φi∞
i ∈ DA y aplicando el metodo de Galerkin se
puede determinar una solucion aproximada un ∈ Spanφini con la
propiedad de que el residual:
Rn =d2un(x)
dx2+ fn(x) (1.3)
Cap. 1: Solucion de problemas de contorno mediante el metodo de
elementos finitos 3
sea ortogonal a todo elemento de Spanφini es decir, debemos deter-
minar un ∈ Spanφini tal que:
∫ 1
0
Rnvn(x) dx = 0, ∀ vn ∈ Spanφini (1.4)
Reemplazar (1.3) en (1.4) se tiene:
〈Aun + fn, vn〉 =∫ 1
0
[
d2un(x)
dx2+ fn(x)
]
vn(x) dx = 0, ∀ vn ∈ Spanφini
(1.5)
Como un, vn ∈ DA y aplicando integracion por partes a (1.5), se tiene:
∫ 1
0
d2un(x)
dx2vn(x)dx +
∫ 1
0
fn(x)vn(x) dx = 0
vn(x)dun(x)
dx
∣
∣
∣
∣
∣
1
0
−∫ 1
0
dun(x)
dx
dvn(x)
dxdx +
∫ 1
0
fn(x)vn(x)dx = 0
vn(1)dun(1)
dx− vn(0)
dun(0)
dx−
∫ 1
0
dun(x)
dx
dvn(x)
dxdx
+∫ 1
0
fn(x)vn(x) dx = 0, ∀ vn ∈ Spanφini
(1.6)
La ecuacion (1.6) es la Formulacion Variacional al problema de valor
de contorno.
2. Al aplicar el metodo de Galerkin la solucion exacta u es aproximada por
un =∑n
i=1 aiφi(x) donde φni=1 es una base del espacio de elementos
finitos.
Teniendo en cuenta las condiciones de contorno v(0) = v(1) = 0 el
problema de Galerkin se reduce a:
−∫ 1
0
dun(x)
dx
dvn(x)
dxdx +
∫ 1
0
fn(x)vn(x) dx = 0
∫ 1
0
dun(x)
dx
dvn(x)
dxdx =
∫ 1
0
fn(x)vn(x) dx, ∀ vn ∈ Spanφini (1.7)
4 1.1. Ejemplo aplicativo
Si asumimos que:
a(un, vn) =∫ 1
0
dun(x)
dx
dvn(x)
dxdx
l(vn) =∫ 1
0
fn(x)vn(x) dx
Entonces (1.7) queda expresada por:
a(un, vn) = l(vn) (1.8)
Donde se observa que DA es un espacio de Hilbert, a(un, vn) es una
forma bilineal acotada y coerciva de DA y l(vn) una forma lineal en
DA (Ver [11]). Por el Lema de Lax-Milgram se tiene que (1.8) tiene
solucion unica (Ver [10]).
La ecuacion (1.7) se puede expresar en forma de sistema, es decir:
n∑
j=1
∫ 1
0
dφj
dx
dφi
dxdx
aj =∫ 1
0
fn(x)φi dx, i = 1, 2, . . . , n (1.9)
Donde:
Kij =∫ 1
0
dφj
dx
dφi
dxdx, i = j = 1, 2, . . . , n (1.10)
fi =∫ 1
0
fn(x)φi dx, i = 1, 2, . . . , n (1.11)
Como se puede observar que las funciones un y vn no precisan ser tan
regulares. De hecho es suficiente, por ejemplo, que sean continuas con
derivadas continuas por partes y nulas en el contorno; esto nos conlleva
a dos aspectos importantes en el MEF:
Las funciones coordenadas son menos regulares lo que facilita su
contruccion.
Al ser menos regulares, es facil construir funciones coordenadas
de soporte compacto.
Estas funciones pueden ser construidas de la siguiente forma:
Cap. 1: Solucion de problemas de contorno mediante el metodo de
elementos finitos 5
Construcciones de las funciones base
Una alternativa de definir las funciones base o de prueba consiste en
subdividir el dominio Ω en una serie de subdominios o elementos Ωe
que no se superpongan, y luego las aproximaciones un se construyen
por trozos usando definiciones simples de las funciones base sobre estos
subdominios. Si estos subdominios son de forma relativamente simple
y la definicion de las funciones base sobre estos subdominios pueden
ser hechas de manera repetitiva, es posible aproximar dominios com-
plejos de forma bastante directa. Esta es la idea basica del Metodo de
Elementos Finitos el cual puede interpretarse como un metodo de apro-
ximacion donde las funciones base se definen en forma local en cada
elemento y son llamadas de forma las cuales se combinan para dar una
aproximacion por trozos.
Consideremos el intervalo Ω = (0, L), n es el numero de subinterva-
los que por simplicidad suponemos que tienen la misma longitud. Al
realizar esta particion se tiene n + 1 puntos (nodos) en el interior de Ω
b
0
b
L
b
xi−1
b
xi
b
xi+1
φi
Graficamente, se observa que en la particion del intervalo, si tomamos
el nodo i en el intervalo Ωe = [xi−1, xi+1] = [(i − 1)h, ih], se puede
asociar una funcion base φi que satisface lo siguiente:
φi =
x − xi−1
hx ∈ [xi−1, xi]
−x − xi+1
hx ∈ [xi, xi+1]
0 en otro caso
(1.12)
6 1.1. Ejemplo aplicativo
Donde xi = (i − 1)h y h = Ln
Se tiene que los elementos de un ∈ Spanφin−1i estan definidos por:
un =n−1∑
i=1
aiφi(x) (1.13)
Observese que los terminos en i = 0 y i = n fueron omitidos en vista
de las condiciones de contorno nulas, es decir u(x1) = a1 = 0 y u(xn) =
an = 0.
La solucion aproximada (1.13) consiste en lineas poligonales, una fun-
cion con estas caracterısticas es llamada funcion poligonal lineal por
trozos. La solucion entre dos puntos es aproximada por medio de rec-
tas, esto se deduce del hecho que se utiliza polinomios de primer grado
como funciones base.
Observese que los coeficientes ai pasean a tener un significado mas
preciso, es decir que ai es el valor de un en el nodo xi de la particion.
Esta caracterıstica se deduce directamente del MEF, ademas de esto,
es extremadamente conveniente desde el punto de vista computacional.
Esta forma de aproximacion es bastante semejante al conocido metodo
de interpolacion de Lagrange.
Por ser las funciones φi de soporte compacto, los unicos coeficientes no
nulos de (1.10) estan asociados a los indices j = i − 1, i, i + 1.
El calculo de estos coeficientes resultan aun mas simples en virtud de
que dφi
dxesta dado por:
dφi
dx(x) =
1
hx ∈ [xi−1, xi]
−1
hx ∈ [xi, xi+1]
0 en otro caso
(1.14)
Observese que las derivadas son constantes por partes, facilitando el
calculo de los coeficientes ai.
Graficamente, se tienen las derivadas de las funciones base φi:
Cap. 1: Solucion de problemas de contorno mediante el metodo de
elementos finitos 7
b
0
b
L
b
xi−1
b
xi
b
xi+1
dφi
dx
h h
1
h
3. Construir el espacio de elementos finitos con las funciones de base (Con-
sidere 5 elementos y 6 nodos) y determinar explıcitamente las funciones
de base y considere f(x) = 10.
Consideremos una particion de n = 5 subintervalos y n+1 = 6 puntos,
es decir 5 elementos y 6 nodos.
Graficamente tenemos:
x1 = 0 x2 = 1
5x3 = 2
5x4 = 3
5x5 = 4
5x6 = 1
e = 1
φ1
e = 2
φ2
e = 3
φ3
e = 4
φ4
e = 5
φ5 φ6
Donde xi = (i − 1)h y h = 1
5, determinaremos las funciones base, el
vector de carga y la matriz asociada a cada elemento, es decir:
a) Para el elemento e = 1, tenemos:
Las funciones base son:
φe1 =
−x − x2
hx ∈ [x1, x2] =
[
0, 1
5
]
0 en otro caso=
1 − 5x x ∈[
0, 1
5
]
0 en otro caso
8 1.1. Ejemplo aplicativo
φe2 =
x − x1
hx ∈ [x1, x2] =
[
0, 1
5
]
−x − x3
hx ∈ [x2, x3] =
[
1
5, 2
5
]
0 en otro caso
=
5x x ∈[
0, 1
5
]
2 − 5x x ∈[
1
5, 2
5
]
0 en otro caso
La matriz de rigidez asociada al elemento e = 1
Para determinar la matriz de rigidez asociada al elemento
e = 1, debemos calcular los coeficientes keij por (1.10) se tiene:
Keij =
∫ 1/5
0
dφej
dx
dφei
dxdx, i = j = 1, 2
Entonces:
Ke11 =
∫ 1/5
0
dφe1
dx
dφe1
dxdx
=∫ 1/5
0
(−5)(−5) dx
=∫ 1/5
0
(25) dx
= (25x)|1/5
0
Ke11 = 5
Ke22 =
∫ 1/5
0
dφe2
dx
dφe2
dxdx
=∫ 1/5
0
(5)(5) dx
=∫ 1/5
0
(25) dx
= (25x)|1/5
0
Ke22 = 5
Ke12 =
∫ 1/5
0
dφe1
dx
dφe2
dxdx
=∫ 1/5
0
(−5)(5) dx
=∫ 1/5
0
(−25) dx
= (−25x)|1/5
0
Ke12 = −5
Ke21 =
∫ 1/5
0
dφe2
dx
dφe1
dxdx
=∫ 1/5
0
(5)(−5) dx
=∫ 1/5
0
(−25) dx
= (−25x)|1/5
0
Ke21 = −5
Luego, la matriz de rigidez asociada al elemento e = 1 es:
Cap. 1: Solucion de problemas de contorno mediante el metodo de
elementos finitos 9
Ke =
5 −5
−5 5
Los efectos extremos o vectores de carga para el elemento
e = 1
Por (1.11) se tiene:
f ei =
∫ 1/5
0
f(x)φei dx, i = 1, 2
Entonces:
f e1 =
∫ 1/5
0
f(x)φe1dx =
∫ 1/5
0
10(1 − 5x)dx = − (1 − 5x)2∣
∣
∣
1/5
0= 1
f e2 =
∫ 1/5
0
f(x)φe2dx =
∫ 1/5
0
10(5x)dx = 25x2∣
∣
∣
1/5
0= 1
b) Para el elemento e = 2, tenemos:
Las funciones base son:
φe2 =
x − x1
hx ∈ [x1, x2] =
[
0, 1
5
]
−x − x3
hx ∈ [x2, x3] =
[
1
5, 2
5
]
0 en otro caso
=
5x x ∈[
0, 1
5
]
2 − 5x x ∈[
1
5, 2
5
]
0 en otro caso
φe3 =
x − x2
hx ∈ [x2, x3] =
[
1
5, 2
5
]
−x − x4
hx ∈ [x3, x4] =
[
2
5, 3
5
]
0 en otro caso
=
5x − 1 x ∈[
1
5, 2
5
]
3 − 5x x ∈[
2
5, 3
5
]
0 en otro caso
La matriz de rigidez asociada al elemento e = 2
Para determinar la matriz de rigidez asociada al elemento
10 1.1. Ejemplo aplicativo
e = 2, debemos calcular los coeficientes keij por (1.10) se tiene:
Keij =
∫ 2/5
1/5
dφej
dx
dφei
dxdx, i = j = 1, 2
Entonces:
Ke11 =
∫ 2/5
1/5
dφe2
dx
dφe2
dxdx
=∫ 2/5
1/5
(−5)(−5) dx
=∫ 2/5
1/5
(25) dx
= (25x)|2/5
1/5
Ke11 = 5
Ke22 = 5
Ke12 =
∫ 2/5
1/5
dφe2
dx
dφe3
dxdx
=∫ 2/5
1/5
(−5)(5) dx
=∫ 2/5
1/5
(−25) dx
= (−25x)|2/5
1/5
Ke12 = −5
Ke21 = −5
Luego, la matriz de rigidez asociada al elemento e = 2 es:
Ke =
5 −5
−5 5
Los efectos extremos o vectores de carga para el elemento
e = 2
Por (1.11) se tiene:
f ei =
∫ 2/5
1/5
f(x)φei dx, i = 1, 2
Entonces:
f e1 =
∫ 2/5
1/5
10φe2dx =
∫ 2/5
1/5
10(2 − 5x)dx = − (2 − 5x)2∣
∣
∣
2/5
1/5= 1
f e2 =
∫ 1/5
1/5
f(x)φe3dx =
∫ 1/5
1/5
10(5x − 1)dx = (5x − 1)2∣
∣
∣
2/5
1/5= 1
c) Para el elemento e = 3, tenemos:
Cap. 1: Solucion de problemas de contorno mediante el metodo de
elementos finitos 11
Las funciones base son:
φe3 =
x − x2
hx ∈ [x2, x3] =
[
1
5, 2
5
]
−x − x4
hx ∈ [x3, x4] =
[
2
5, 3
5
]
0 en otro caso
=
5x − 1 x ∈[
1
5, 2
5
]
3 − 5x x ∈[
2
5, 3
5
]
0 en otro caso
φe4 =
x − x3
hx ∈ [x3, x4] =
[
2
5, 3
5
]
−x − x5
hx ∈ [x4, x5] =
[
3
5, 4
5
]
0 en otro caso
=
5x − 2 x ∈[
2
5, 3
5
]
4 − 5x x ∈[
3
5, 4
5
]
0 en otro caso
La matriz de rigidez asociada al elemento e = 3
Para determinar la matriz de rigidez asociada al elemento
e = 3, debemos calcular los coeficientes keij por (1.10) se tiene:
Keij =
∫ 3/5
2/5
dφej
dx
dφei
dxdx, i = j = 1, 2
Entonces:
Ke11 =
∫ 3/5
2/5
dφe3
dx
dφe3
dxdx
=∫ 3/5
2/5
(−5)(−5) dx
=∫ 3/5
2/5
(25) dx
= (25x)|3/5
2/5
Ke11 = 5
Ke22 = 5
Ke12 =
∫ 3/5
2/5
dφe3
dx
dφe4
dxdx
=∫ 3/5
2/5
(−5)(5) dx
=∫ 3/5
2/5
(−25) dx
= (−25x)|3/5
2/5
Ke12 = −5
Ke21 = −5
Luego, la matriz de rigidez asociada al elemento e = 3 es:
12 1.1. Ejemplo aplicativo
Ke =
5 −5
−5 5
Los efectos extremos o vectores de carga para el elemento
e = 3
Por (1.11) se tiene:
f ei =
∫ 3/5
2/5
f(x)φei dx, i = 1, 2
Entonces:
f e1 =
∫ 3/5
2/5
10φe3dx =
∫ 3/5
2/5
10(3 − 5x)dx = − (3 − 5x)2∣
∣
∣
3/5
2/5= 1
f e2 =
∫ 3/5
2/5
f(x)φe4dx =
∫ 3/5
2/5
10(5x − 2)dx = (5x − 2)2∣
∣
∣
3/5
2/5= 1
d) Para el elemento e = 4, tenemos:
Las funciones base son:
φe4 =
x − x3
hx ∈ [x3, x4] =
[
2
5, 3
5
]
−x − x5
hx ∈ [x4, x5] =
[
3
5, 4
5
]
0 en otro caso
=
5x − 2 x ∈[
2
5, 3
5
]
4 − 5x x ∈[
3
5, 4
5
]
0 en otro caso
φe5 =
x − x4
hx ∈ [x4, x5] =
[
3
5, 4
5
]
−x − x4
hx ∈ [x5, x6] =
[
4
5, 1
]
0 en otro caso
=
5x − 3 x ∈[
3
5, 4
5
]
5 − 5x x ∈[
4
5, 1
]
0 en otro caso
La matriz de rigidez asociada al elemento e = 4
Para determinar la matriz de rigidez asociada al elemento
e = 4, debemos calcular los coeficientes keij por (1.10) se tiene:
Keij =
∫ 4/5
3/5
dφej
dx
dφei
dxdx, i = j = 1, 2
Cap. 1: Solucion de problemas de contorno mediante el metodo de
elementos finitos 13
Entonces:
Ke11 =
∫ 4/5
3/5
dφe4
dx
dφe4
dxdx
=∫ 4/5
3/5
(−5)(−5) dx
=∫ 4/5
3/5
(25) dx
= (25x)|4/5
3/5
Ke11 = 5
Ke22 = 5
Ke12 =
∫ 4/5
3/5
dφe4
dx
dφe5
dxdx
=∫ 4/5
3/5
(−5)(5) dx
=∫ 4/5
3/5
(−25) dx
= (−25x)|4/5
3/5
Ke12 = −5
Ke21 = −5
Luego, la matriz de rigidez asociada al elemento e = 4 es:
Ke =
5 −5
−5 5
Los efectos extremos o vectores de carga para el elemento
e = 4
Por (1.11) se tiene:
f ei =
∫ 4/5
3/5
f(x)φei dx, i = 1, 2
Entonces:
f e1 =
∫ 4/5
3/5
10φe4dx =
∫ 4/5
3/5
10(4 − 5x)dx = − (4 − 5x)2∣
∣
∣
4/5
3/5= 1
f e2 =
∫ 4/5
3/5
f(x)φe5dx =
∫ 4/5
3/5
10(5x − 3)dx = (5x − 3)2∣
∣
∣
4/5
3/5= 1
e) Para el elemento e = 5, tenemos:
14 1.1. Ejemplo aplicativo
Las funciones base son:
φe5 =
x − x4
hx ∈ [x4, x5] =
[
3
5, 4
5
]
−x − x4
hx ∈ [x5, x6] =
[
4
5, 1
]
0 en otro caso
=
5x − 3 x ∈[
3
5, 4
5
]
5 − 5x x ∈[
4
5, 1
]
0 en otro caso
φe6 =
x − x5
hx ∈ [x5, x6] =
[
4
5, 1
]
0 en otro caso=
5x − 4 x ∈[
4
5, 1
]
0 en otro caso
La matriz de rigidez asociada al elemento e = 5
Para determinar la matriz de rigidez asociada al elemento
e = 5, debemos calcular los coeficientes keij por (1.10) se tiene:
Keij =
∫ 1
4/5
dφej
dx
dφei
dxdx, i = j = 1, 2
Entonces:
Ke11 =
∫ 1
4/5
dφe5
dx
dφe5
dxdx
=∫ 1
4/5
(−5)(−5) dx
=∫ 1
4/5
(25) dx
= (25x)|14/5
Ke11 = 5
Ke22 = 5
Ke12 =
∫ 1
4/5
dφe5
dx
dφe6
dxdx
=∫ 1
4/5
(−5)(5) dx
=∫ 1
4/5
(−25) dx
= (−25x)|14/5
Ke12 = −5
Ke21 = −5
Luego, la matriz de rigidez asociada al elemento e = 5 es:
Ke =
5 −5
−5 5
Cap. 1: Solucion de problemas de contorno mediante el metodo de
elementos finitos 15
Los efectos extremos o vectores de carga para el elemento
e = 5
Por (1.11) se tiene:
f ei =
∫ 1
4/5
f(x)φei dx, i = 1, 2
Entonces:
f e1 =
∫ 1
4/5
10φe5dx =
∫ 1
4/5
10(5 − 5x)dx = − (5 − 5x)2∣
∣
∣
1
4/5= 1
f e2 =
∫ 1
4/5
f(x)φe6dx =
∫ 1
4/5
10(5x − 4)dx = (5x − 4)2∣
∣
∣
1
4/5= 1
4. Definir el sistema elemental para el elemento e, es decir, KeU e = Be.
Se tiene que el sistema para cada elemento e es:
a) El sistema para el elemento e = 1 esta dado por:
KeU e = Be
5 −5
−5 5
a1
a2
=
1
1
b) El sistema para el elemento e = 2 esta dado por:
KeU e = Be
5 −5
−5 5
a2
a3
=
1
1
c) El sistema para el elemento e = 3 esta dado por:
KeU e = Be
5 −5
−5 5
a3
a4
=
1
1
16 1.1. Ejemplo aplicativo
d) El sistema para el elemento e = 4 esta dado por:
KeU e = Be
5 −5
−5 5
a4
a5
=
1
1
e) El sistema para el elemento e = 5 esta dado por:
KeU e = Be
5 −5
−5 5
a5
a6
=
1
1
5. Ensamblar la matriz de rigidez K = U5e=1K
e y el vector de carga
B = U5e=1b
e. Determinar el sistema de ecuaciones asociada al problema
variacional KU = B, dar explıcitamente la matriz de rigidez K y el
vector de cargas B.
Se debe ensamblar las matrices locales para obtener la global, es decir:
KU = B
5 −5
−5 5 + 5 −5
−5 5 + 5 −5
−5 5 + 5 −5
−5 5 + 5 −5
−5 5
a1
a2
a3
a4
a5
a6
=
1
2
2
2
2
1
5 −5
−5 10 −5
−5 10 −5
−5 10 −5
−5 10 −5
−5 5
a1
a2
a3
a4
a5
a6
=
1
2
2
2
2
1
6. Incorporar las condiciones de contorno al sistema de ecuaciones Ka =
B.
Cap. 1: Solucion de problemas de contorno mediante el metodo de
elementos finitos 17
Se tiene que las condiciones de contorno son u(0) = a1 = 0 y u(1) =
a6 = 0, entonces:
5 −5
−5 10 −5
−5 10 −5
−5 10 −5
−5 10 −5
−5 5
0
a2
a3
a4
a5
0
=
1
2
2
2
2
1
Donde:
−5(0) 10 −5
−5 10 −5
−5 10 −5
−5 10 −5(0)
a2
a3
a4
a5
=
2
2
2
2
Entonces:
10 −5
−5 10 −5
−5 10 −5
−5 10
a2
a3
a4
a5
=
2
2
2
2
7. Resolver el sistema de ecuaciones.
El sistema de ecuaciones es:
10a2 −5a3 = 2
−5a2 +10a3 −5a4 = 2
−5a3 +10a4 −5a5 = 2
−5a4 +10a5 = 2
Resolviendo el sistema se tiene:
a2 =4
5a3 =
6
5
a4 =6
5a5 =
4
5
8. Determine la solucion aproximada para el problema de valor de con-
torno y compare con la solucion exacta.
18 1.1. Ejemplo aplicativo
Tenemos que la solucion de aproximacion en cada elemento esta dada
por:
a) Para el elemento e = 1, tenemos:
u1 = a1φe1(x) + a2φ
e2(x), x ∈ [0, 1/5]
= (0) (1 − 5x) +(
4
5
)
(5x)
u1 = 4x, x ∈ [0, 1/5]
b) Para el elemento e = 2, tenemos:
u2 = a2φe2(x) + a3φ
e3(x), x ∈ [1/5, 2/5]
=(
4
5
)
(2 − 5x) +(
6
5
)
(5x − 1)
u2 =2
5+ 2x, x ∈ [1/5, 2/5]
c) Para el elemento e = 3, tenemos:
u3 = a3φe3(x) + a4φ
e4(x), x ∈ [2/5, 3/5]
=(
6
5
)
(3 − 5x) +(
6
5
)
(5x − 2)
u3 =6
5, x ∈ [2/5, 3/5]
d) Para el elemento e = 4, tenemos:
u4 = a4φe4(x) + a5φ
e5(x), x ∈ [3/5, 4/5]
=(
6
5
)
(4 − 5x) +(
4
5
)
(5x − 3)
u4 =12
5− 2x, x ∈ [3/5, 4/5]
Cap. 1: Solucion de problemas de contorno mediante el metodo de
elementos finitos 19
e) Para el elemento e = 5, tenemos:
u5 = a5φe5(x) + a6φ
e6(x), x ∈ [4/5, 1]
=(
4
5
)
(5 − 5x) + (0) (5x − 4)
u5 = 4 − 4x, x ∈ [4/5, 1]
Luego:
La solucion aproximada al problema de valor de contorno esta dada
por:
un(x) =
4x, x ∈ [0, 1/5]2
5+ 2x, x ∈ [1/5, 2/5]
6
5, x ∈ [2/5, 3/5]
12
5− 2x, x ∈ [3/5, 4/5]
4 − 4x, x ∈ [4/5, 1]
La solucion exacta al problema de valor de contorno esta dada por:
u(x) = 5x − 5x2
Comparacion de resultados entre la solucion exacta y la solucion apro-
ximada del problema de valor de contorno:
x u(x) un(x)0.025 0.121875 0.10.05 0.2375 0.20.25 0.9375 0.90.35 1.1375 1.10.5 1.25 1.20.65 1.1375 1.10.75 0.9375 0.90.9 0.45 0.40.95 0.2375 0.2
Cuadro 1.1: Tabla de comparacion de la solucion exacta y aproximada
Graficamente, se tiene la solucion exacta y aproximada al problema de
valor de contorno:
20 1.1. Ejemplo aplicativo
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0x
y
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
Solucion ExactaSolucion Aproximada
Grafica de la solucion exacta y solucion aproximada
Capıtulo 2
Recomendaciones
Para aplicar el MEF, a problemas continuos, se debe tener en cuenta lo
siguiente:
1. Al resolver un problema, como el que se ha analizado, se debe represen-
tar el dominio del problema con un conjunto de subdominios los cuales
son los elementos finitos.
2. En el metodo del elemento finito, se debe discretizar un dominio me-
diante representaciones geometricas simples en cada elemento, para for-
mular la ecuacion que rige usando cualquier metodo variacional.
3. El MEF, se basa en: la formulacion debil de la ecuacion diferencial
en un elemento, interpolar las variables primarias de la forma debil y
formular el elemento finito sobre un elemento tıpico.
21
Bibliografıa
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of Equilibrium and Vibrations. Bulletin of the American Mathematical
Society, Vol. 49, pp. 1–23
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[3] Przemieniecki. (1968). Theory of Matrix Structural Analysis. Mc GRaw-
Hill, New York.
[4] O.C. Zienkiewicz and Holister. (1966). Stress Analysis. John Wiley, Lon-
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[5] O. C. Zienkiewicz and Cheung. (1967). The Finite Element Method in
Structural and Continuum Mechanics. Mc Graw-Hill, London.
[6] O. C. Zienkiewicz and R. L. Taylor. (1994). El Metodo de los Elementos
Finitos. Mc Graw-Hill. CIMNE. Barcelona.
[7] O. C. Zienkiewicz and R. L. Taylor. (2000). Finite Element Proce-
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Dynamic Finite Element Analysis. Prentice Hall.
BIBLIOGRAFIA 23
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tematicas del Calculo Cientıfico. Adisson - Wesley.
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