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Problemas ResueltosTRANSCRIPT
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Matemticas II Septiembre 2008
Problema 2.1. Dados los planos pi1: x + y + z = 3 y pi2: x + y z = 0, se pide calcular razonadamente: a) El valor de para que los planos pi1 y pi2 sean perpendiculares y, para este valor de , obtener las ecuaciones paramtricas de la recta interseccin de estos dos planos. (1,5 puntos). b) El valor de para que los planos pi1 y pi2 sean paralelos y, para este valor de , obtener la distancia entre los dos planos pi1 y pi2 . (1,8 puntos).
Solucin: a) Valor de / pi1 pi2
Sea
pin un vector ortogonal al plano pi, entonces
2121 pipipipi nnsi
),1,1()1,1,1(21
pipi ==
nyn
Para que
21 pipi
nn debe ser 021
=
pipi nn
(1, 1, 1) (1, 1, ) = 0 1 + 1 = 0 2 = 0 = 2
Para = 2, ecuaciones paramtricas de 21 pipi I
La ecuacin de la recta r ser:
=+
=++
023
:zyx
zyxr
Para obtener la ecuacin paramtrica de la recta basta con resolver el sistema de ecuaciones que define a la recta. En el sistema anterior podemos calcular el siguiente menor de orden 2 no nulo 312
2111
==
por lo que podemos tomar como incgnitas principales: y, z. El sistema a resolver ser:
=
=+
xzyxzy
23
Resolvindolo por Cramer,
133
31
31
2336
326
32
13
=
+=
=
=
+=
++=
=
xxx
x
y
xxxxx
x
x
Por lo que las ecuaciones paramtricas de r sern:
=
=
=
12
z
yx
b) Valor de / pi1 y pi2 sean paralelos. 21 pipi y son paralelos si
21// pipi nn
Deber ser:
( )21 ,111
11
11
pipi
dcalcularPara =
=
==
Para este valor de , pi1: x + y + z = 3 y pi2: x + y + z = 0 Como pi1 // pi2 , d (pi1 , pi2 ) = d ( P1, pi2 ) siendo P1 un punto de pi1, por ejemplo, para x = 0 e y = 0, sustituyendo en la ecuacin de pi1, 0 + 0 + z = 3 z = 3, por lo que P1( 0, 0, 3 )
( ) 33
333
3111
300,
22221===
++
++=piPd