6ObjetivosEn esta quincena recordars la resolucin de sistemas de ecuaciones y aprenders a resolver tambin algunos sistemas de inecuaciones. Cuando la hayas estudiado debers ser capaz de:

Sistemas de ecuaciones

Antes de empezar. 1.Sistemas de ecuaciones lineales pg. 98 Ecuacin lineal con incgnitas Sistemas de ecuaciones lineales Clasificacin de sistemas 2.Mtodos de resolucin pg. 99 Reduccin Sustitucin Igualacin 2.Aplicaciones prcticas Resolucin de problemaspg. 102

Resolver un sistema de ecuacioneslineales con dos incgnitas por los distintos mtodos. de un sistema de ecuaciones lineales con dos incgnitas.

Identificar el nmero de soluciones Utilizar los sistemas de ecuaciones Resolver sistemas de inecuacionescon una incgnita

para plantear y resolver problemas

3.Sistemas de inecuaciones pg. 104 con una incgnita Resolucin Ejercicios para practicar Para saber ms Resumen Autoevaluacin

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Sistemas de ecuaciones

Antes de empezar

Los sistemas de ecuaciones lineales ya fueron resueltos por los babilonios, los cuales llamaban a las incgnitas con palabras tales como longitud, anchura, rea o volumen, sin que tuviera relacin con problemas de medida. Un ejemplo tomado de una tablilla babilnica plantea la resolucin de un sistema de ecuaciones en los siguientes trminos:

1/4 anchura + longitud = 7 manos longitud + anchura = 10 manos

En nuestra notacin el sistema es: Anchura: x Longitud: y Manos: t

x+4y=28t x+y=10tRestando la primera de la segunda se obtiene: 3y=18t Luego:

y = 6t x = 4t

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Sistemas de ecuaciones1. Sistemas de ecuaciones linealesEcuacin lineal con dos incgnitasUna ecuacin de primer grado se denomina ecuacin lineal.3x + y = 12Coeficiente de x= 3, Coeficiente de y= 1 Trmino independiente =12 Una solucin de la ecuacin es: Observa que 3(1)+9=12 Para obtener ms soluciones se da a x el valor que queramos y se calcula la y

x=1

y=9

Una ecuacin lineal con dos incgnitas es una igualdad algebraica del tipo: ax+by=c, donde x e y son las incgnitas, y a, b y c son nmeros conocidosUna solucin de una ecuacin lineal con dos incgnitas es un par de valores (xi,yi) que hacen cierta la igualdad. Una ecuacin lineal con dos incgnitas tiene infinitas soluciones y si las representamos forman una recta

x x x x

= 0 y = 12 30 = 12 = 1 y = 12 31 = 9 = 2 y = 12 32 = 6 = 3 y = 12 33 = 3

Si representamos los puntos en un sistema de ejes coordenados forman una recta:

Sistemas de ecuaciones linealesUn sistema de dos ecuaciones lineales con dos incgnitas est formado por dos ecuaciones lineales de las que se busca una solucin comn. a1 x + b1y = c1 a2 x + b 2 y = c 2Sistema de dos ecuaciones lineales con dos incgnitas:

a1, b1, a2, b2, c1, c2 son nmeros reales

2x + 3y = 14 3x + 4y = 19

Dos sistemas con la misma solucin se dicen equivalentes

x = 1 y = 4Es una solucin del sistema anterior

Una solucin de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incgnitas es un par de valores (xi,yi) que verifican las dos ecuaciones a la vez. Resolver el sistema es encontrar una solucin.

2(1) + 3(4) = 2 + 12 = 14 3(1) + 4(4) = 3 + 16 = 19

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Sistemas de ecuacionesClasificacin de sistemasRepresentar: x-2y=1 y=0,5x-0,5 Damos valores: x 0 1 y -0,5 0

En un sistema de ecuaciones lineales con dos incgnitas, cada ecuacin representa una recta en el plano. Discutir un sistema es estudiar la situacin de estas rectas en el plano, que pueden ser:

Secantes, el sistema tiene solucin nica, se llama Compatible Determinado. Coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones, es Compatible Indeterminado Paralelas, el sistema no tiene solucin, se llama Incompatible.COMPATIBLE DETERMINADO COMPATIBLE INDETERMINADO

INCOMPATIBLE

Recuerda cmo se representan las rectas en el plano.

Observa cmo son los coeficientes de las dos ecuaciones en cada caso: Si

a1 b c = 1 1 las rectas son paralelas a2 b2 c2 a1 b c = 1 = 1 . a2 b2 c2

y son coincidentes si

2. Resolver sistemasResolver: 3x + 4y = 7 x 2y = 1 Para resolver un sistema de ecuaciones utilizamos cualquiera de los tres mtodos siguientes:

Por SUSTITUCIN Despejamos x en la 2 ecuacin y x=1+2y sustituimos en la 1:

Mtodo de sustitucinConsiste en despejar una de las incgnitas en una de las ecuaciones y sustituir la expresin obtenida en la otra ecuacin, se llega as a una ecuacin de primer grado con una sola incgnita; hallada sta se calcula la otra.

3(1+2y)+4y=-7 3+6y+4y=-7 10y=-10 y=-1 x=1+2(-1)=-1

Por IGUALACIN Despejamos x en ambas ecuaciones e igualamos:

4y 7 = 1 + 2y 3 -4y-7=3(1+2y) -4y-6y=3+7 -10y=10 y=-1 x=-1

Mtodo de igualacinConsiste en despejar la misma incgnita en las dos ecuaciones e igualar las expresiones obtenidas. De nuevo obtenemos una ecuacin de primer grado con una sola incgnita.

Por REDUCCIN Multiplicamos por 2 Sumando:

3x+4y=-7 2x4y=2 5x =-5

Mtodo de reduccinConsiste en eliminar una de las incgnitas sumando las dos ecuaciones. Para ello se multiplica una de las ecuaciones o ambas por un nmero de modo que los coeficientes de x o de y sean iguales y de signo contrario. 99

Luego: x=-1 Y sustituyendo: y=-1

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Sistemas de ecuacionesEJERCICIOS resueltos1.3x + 2y = 17 Dado el sistema: , razona si los siguientes pares son solucin. 5x y = 11 3(3) + 2(4) = 9 + 8 = 17 a) x=3 , y=4 Sol: Si es solucin 5(3) (4) = 15 4 = 11b) x=5 , y=1 c) x=3 , y=1 Sol: No es solucin Sol: Si es solucin

3(5) + 2(1) = 15 + 2 = 17 5(5) (1) = 25 1 = 24 #11

3(3) + 2(1) = 9 + 2 = 11#17 5(3) (1) = 15 1 = 14 #11

2.

Escribe un sistema de dos ecuaciones cuya solucin sea: 3x + 2y = 7 a) x=1 , y=2 Sol: 5x y = 3b) x=3 , y=1 c) x=2 , y=3 Sol: Sol:

3x y = 8 2x y = 5

3x + 5y = 21 x 4y = 10

3.

3x + 2y = 8 Haz una tabla de valores y da la solucin del sistema: 5x y = 9

x Sol: y

= 2 =1

3x + 2y = 8

x y

2 7

1 11 / 2

0 4

1 5/2

2 1

5x y = 9

x y

2 19

1 14

0 9

1 4

2 1

4.

Escribe una ecuacin para completar con la x y = 1, un sistema que sea: a) Compatible determinado b) Incompatible c) Compatible indeterminado

a) Por ejemplo 2x + y = 2

b) Por ejemplo, 2x 2y = -3

c) Por ejemplo, 3x 3y = 3

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Sistemas de ecuacionesEJERCICIOS resueltos5.

Resuelve por sustitucin: a) x + 4y = 25 10x 5y = 5

b)

3x + 5y = 45 4x y = 43

Despejamos x en la 1 ecuacin x=-25-4y 35y=-245 sustituimos en la 2 y=-7 x=-25-4(-7)=3 -10(-25-4y)-5y=5 250+40y-5y=5

Despejamos y en la 2 ecuacin y=-4x+43 -17x=-170 sustituimos en la 1 x=10 y=-410+43=3 3x+5(-4x+43)=45 3x-20x+215=45

6.

Resuelve por igualacin: a) 4x + y = 20 6x 9y = 0 6x 9

y = 20 + 4x y = 6x / 9 180+36x=6x x=-6 y=-36/9=-4

b)

3x 4y = 31 5x 9y = 11

x = (31 + 4y) / 3 x = (11 + 9y) / 5 5(31+4y)=-3(11+9y)

20 + 4x =

31 + 4y 11 + 9y = 3 5

30x=-180

155+20y=-33-27y 47y=-188 y=-4 x=(11-36)/5=-5

7.

Resuelve por reduccin: a) 5x 10y = 25 8x + 2y = 4

b) 5x 10y=25

5x + 3y = 21 7x + 8y = 37

Se multiplica por -7 -35x-21y=-147 Se multiplica por 5

Se multiplica por 5 40x+10y=20 Sumando:

35x+40y= 185 19y= 38 y=2 x=3

45x x=1

=45 y=-2

Sumando:

8.

Resuelve:

3(x + 3) = y + 10 x + 2(y + 1) = 7

Se quitan parntesis y se reorganiza cada ecuacin, quedando el sistema equivalente:

3x y = 1 x + 2y = 5que resolvemos por sustitucin:

x+2(3x-1)=5

x+6x-2 =5

7x = 7

x=1

y=2

9.

Resuelve 3

x y 22 = 5 15 7x 7y = 28 5x 3y = 22 x y = 45x 3y = 22 -3x+3y =-12 2x = 10 x=5 y=1

quitando denominadores y simplificando la 2 ecuacin, el sistema se convierte en uno equivalente. Por REDUCCIN:

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Sistemas de ecuaciones3. Aplicaciones prcticasResolucin de problemasRecuerda los pasos:

Para resolver un problema mediante un sistema, hay que traducir al lenguaje algebraico las condiciones del enunciado y despus resolver el sistema planteado. Comienza por leer detenidamente el enunciado hasta asegurarte de que comprendes bien lo que se ha de calcular y los datos que te dan. Una vez resuelta el sistema no te olvides de dar la solucin al problema.

Comprender el enunciado Identificar las incgnitas Traducir a lenguaje algebraico Plantear las ecuaciones Resolver el sistema Comprobar la solucin

Mara y su hija Sara tienen en la actualidad 56 aos entre las dos. Si dentro de 18 aos Sar tendr 5 aos ms que la mitad de la edad de su madre, qu edad tiene actualmente cada una?.SOLUCIN Llamamos x a la edad de Mara. y a la edad de Sara La suma de las edades es 56: x+y=56 Dentro de 18 aos tendrn x+18, y+18 Y entonces la edad de Sara ser y+18=5+(x+18)/2 El sistema es:

x + y = 56 x + y = 56 x + 18 x + 2y = 8 y + 18 = 5 + 2 Por Reduccin: 3y = 48 y=16 x= 56 16 = 40

Solucin:

Mara tiene 40 aos Sara tiene 16 aos

Comprobacin: 40+16=56 Dentro de 18 aos tendrn 58 y 34, 34=5+ 58/2

Una parcela rectangular tiene un permetro de 240 m, si mide el triple de largo que de ancho, cules son las dimensiones de la parcela?.SOLUCIN Llamamos x al ancho de la parcela y al largo de la parcela El largo es el triple del ancho: El permetro es: El sistema es: 2x+2y=240 Solucin: x=30 m y=90 Ancho = 30 m Largo = 90 m y=3x

y = 3x x + y = 120

Por sustitucin: x+3x=120 4x=120

Comprobacin: 90=330 290+230=240

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Sistemas de ecuaciones

EJERCICIOS resueltos10. Jorge tiene en su cartera billetes de 10 y 20, en total tiene 20 billetes y 440 Cuntos billetes tiene de cada tipo?

x : Billetes de 50

x + y = 20 x + y = 20 y = 20 x y : Billetes de 10 50x + 10y = 440 5x + y = 44 y = 44 5x x = 6 y = 14

20 x = 44 5x 4x = 24 x = 6 y = 20 x = 20 6 = 14

Tiene 6 billetes de 50 y 14 billetes de 10

11.

En un examen de 100 preguntas Ana ha dejado sin contestar 9 y ha obtenido 574 puntos. Si por cada respuesta correcta se suman 10 puntos y por cada respuesta incorrecta se restan 2 puntos, cuntas ha contestado bien y cuntas mal?.x: n de respuestas correctas, y: n de respuestas incorrectas, en total responde 100-9=91 preguntas. 2x + 2y = 182 x + y = 91 10x 2y = 574 10x 2y = 574 12x = 756 x=63 preguntas bien y=91-63=28 mal

12.

En una curso hay 70 alumnos matriculados. En el ltimo examen de Matemticas han aprobado 39 alumnos, el 70% de las chicas y el 50% de los chicos. Cuntos chicos y cuntas chicas hay en el curso? (50 y 20)x: chicas y: chicos en total hay 70: aprueban 39: 5x 5y = 350 x+y=70 0,7x+0,5y=39

x + y = 70 7x + 5y = 390

7x + 5y = 3902x =40 x=20 chicas y=50 chicos

13.

Al dividir un nmero entre otro el cociente es 2 y el resto es dos. Si la diferencia entre el dividendo y el divisor es 54, de qu nmeros se trata?. Dividendo: x Dividendo=divisor Divisor: y cociente + resto x y = 54 x = 2y+2

2 y + 2 y = 54 y = 52 x y = 54 x = 2 52 + 2 = 106 x = 2y + 2

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Sistemas de ecuaciones3. Sistemas de inecuaciones con una incgnitaResolucinUn sistema de inecuaciones con una incgnita est formado por dos o ms inecuaciones con una incgnita. Para resolver un sistema de inecuaciones con una incgnita se resuelve cada inecuacin por separado y se busca la interseccin de todas las soluciones. La solucin ser un intervalo, una semirrecta o puede ocurrir que no haya solucin. x a xa x>b x>a x bSol: [a, b) a b3x 12 > 3x 3x + 15 8xCada inecuacin por separado:3x 12 > 3x 3x + 3x > 12 6x > 12 x>23x + 15 8x 3x 8x 15 5x 15 x3Sol: (b, +)ab 2Solucin:(2, 3]3Sin solucinabEJERCICIOS resueltos14.Resuelve: 16x 9 < 19x 15x + 20 5x16x 9 < 19x 15x + 20 5x 16x 19x < 9 - 3x < 9 x >-3 15x 5x -20 10x -20 x -2-3 -2Sol: [-2, + ) 11x < 3x 28 14x + 42 16x15.Resuelve: -11x < 3x 28 -11x 3x < -28 - 14x < -28 x > 2 14x + 12 16x 14x 16x -12 -2x -12 x 6 Sol: (2, 6]3(2x + 5) < x 13x 16x 182 616.Resuelve: 3(2x + 5) < x 13x 16x 18 6x +15 < x 13x 16x -18-35x < -15 x {x3x8y15y 8> 15 +Se resuelve por separado cada inecuacin: x+8y>-8 -3x+5y>15Se resuelve grficamente. Para representar grficamente la solucin de un sistema de inecuaciones de primer grado con dos incgnitas, se representa el semiplano solucin de cada inecuacin y se toma la interseccin de todos los semiplanos representadosLa solucin es la zona comn a las dos soluciones, la zona rayada en rojoOTRO EJEMPLOx + 2y 2 0 2x y 4 0 y30La solucin es el tringulo de vrtices ABC, comn a las tres zonasMATEMTICAS A107Sistemas de ecuacionesRecuerda lo ms importanteSistemas de dos ecuacionesde primer grado con dos incgnitasSistemas de inecuacionescon una incgnitaViene dado por la expresin:ax + by = c px + qy = r a, b, p ,q son los coeficientes c y r son los trminos independientesLa solucin de una inecuacin es un conjunto de puntos de R. Ser de alguna de estas formas:x x x x > a (, a) a (, a] > (a, +) [a, )Dos ms inecuaciones lineales con una incgnita forman un sistema de inecuaciones lineales. Para resolver un sistema inecuaciones con una incgnita resuelve cada una por separado. La solucin del sistema es interseccin de todas las soluciones. de se laMtodos de solucin Reduccin Sustitucin IgualacinClasificacin Sistema Compatible DeterminadoEl que tiene una nica solucinx a xa x>b x>a x b[a, b)a b(b, +)a b Sistema Compatible IndeterminadoEl que tiene infinitas solucionesSin solucin a b Sistema IncompatibleEl que no tiene solucinPara resolver problemasComprender el enunciado. Identificar las incgnitas. Traducir al lenguaje algebraico. Resolver el sistema. Comprobar las soluciones.108MATEMTICAS ASistemas de ecuacionesAutoevaluacin1. Escribe un sistema de dos ecuaciones lineales con dosincgnitas cuya nica solucin sea: x=5 , y=-92. Halla el valor de a para qu el sistema siguiente seacompatible indeterminado.{3. Resuelve el sistema:ax 6y = 312x 24y = 1211x 4 12x{2x + 14 5x4. Escribe una solucin de la ecuacin: x + 2y = 45. Resuelve por reduccin:{3x + y = 13 2x y = 76. Resuelve por sustitucin:{{3x + 4y = 18 5x y = 77. Resuelve por igualacin:x + 4y = 23 x + 5y = 288. Halla dos nmeros cuya diferencia sea 18 y su mediaaritmtica sea 1249. Indica qu tipo de sistema es:{2x + 10y = 56 x + 5y = 2810. Halla las dimensiones de un rectngulo de permetro 692 cmsi la base mide 40 cm menos que la altura.MATEMTICAS A109Sistemas de ecuacionesSoluciones de los ejercicios para practicar1. a)15c) 5b) -18 d) 1910. a) x=7 y=8c) x=4 y=2b) x=1 y=5 d) x=4 y=02. a) x = 1 y = 21b) x = 6 y = 711. 14 y 8 12. 170, 71 13. 80 y 320 14. 15 de 10 y 37 de 5 15. 25 dobles y 42 sencillas 16. 1800 litros de 1 y 200 litros de 3 17. 3 de tipo A y 22 de tipo B 18. 12 veces a la noria y 1 a la montaa 19. 17 gallinas y 60 ovejas 20. El n 52 21. El pantaln 20 y el jersey 57 22. Luisa tiene 8 y Miguel 24 aos 23. a) [31/11, 16/9) b) (-, -15/2]c) [0, 3] d) (-, -21/5]x + y = 1 x + y = 1 3. a) b) 2x + y = 5 x + 3y = 5 2x + y = 5 x + y = 2 d) c) x + 2y = 10 x + 3y = 4 x + y = 1 4. a) 2x + 2y = 2 x + y = 1 c) x + y = 2 x + y = 2 b) x y = 05. a) nob) si6. a) Hay infinitas solucionesb) x = 5 y = 37. a) x = 3 y = 9b) x = 5 y = 18. a) x = 3 y = 1 / 3b) x = 9 y = 124. entre 15 y 24 25. x>6 26. entre 4 y 5 discos9. a) x = 1 y = 9b) x = 4 y = 7Soluciones AUTOEVALUACIN x + y = 4 1. x y = 142. a=-3 3. [-4,2] 4. x=0 y=2 5. x=4 y=1 6. x=2 y=3 7. x=3 y=5 8. 133 y 115 9. SCI 10. base=153 altura=193110MATEMTICAS A