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“Formando líderes para la construcción de un nuevo país en paz”

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SSOOLLUUCCIIÓÓNN DDEE PPRROOBBLLEEMMAASS AAPPLLIICCAADDOOSS EENN NNÚÚMMEERROOSS

RREEAALLEESS

IInnttrroodduucccciióónn

Las matemáticas se encuentran en muchos de los

aspectos de la vida cotidiana, pueden ser usados de

diferentes maneras: para cuantificar, para medir, para

expresar un orden o simplemente para llevar registro del

dinero que se posee, entre otros. Los números son

fundamentales en nuestra vida y una parte del gran

universo numérico, son los números reales. Pero,

¿cómo se analizan estas situaciones a través de estos

números?

TTeemmááttiiccaass::

Uso de las operaciones matemáticas básicas en la resolución de problemas

aplicadas en números enteros.

Uso de las operaciones matemáticas básicas en la resolución de problemas

aplicadas en números decimales y fraccionarios..




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CCoommppeetteenncciiaass::

Justifica procedimientos aritméticos utilizando las relaciones y propiedades de

las operaciones.

Resuelvo y formulo problemas en contextos de medidas relativas y de

variaciones de las medidas.

NNúúmmeerrooss nnaattuurraalleess

Operaciones básicas:

Las operaciones fundamentales (suma, resta, multiplicación y división), con sus

propiedades, serán de gran utilidad en la resolución de problemas que requieren el

conocimiento de las propiedades y relaciones de los números naturales.

Ejemplo: En 2 jaulas hay 150 pollos de engorde. En una hay 20 pollos más que en la

otra. ¿Cuántos pollos hay en cada jaula?

En el enunciado podemos ver que aparte de los 20 pollos de diferencia entre las jaulas,

ambas tendrían la misma cantidad, por lo tanto si al valor total de 150 le restamos esos

20 nos daría 130, luego dividimos 130 entre ambas jaulas resultando en 65, entonces

una jaula tiene 65 y la otra 20 extra sumando 85.

Los números naturales son un conjunto de números discretos que pertenece a la recta

real y puede o no incluir el número cero (0). En otras palabras, los números naturales

son el primer conjunto de números que aprendemos cuando somos pequeños y

utilizamos para contar.




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Nuestra solución es que una jaula tiene 65 pollos y la otra 85.

PPrrooppiieeddaaddeess ddee llaass ooppeerraacciioonneess

Clausurativa: El numero solución de la operación está dentro del mismo sistema

numérico. No aplica para la resta y la división.

Conmutativa: el orden de los elementos no afecta el resultado. No aplica para la

resta y la división.

Asociativa: dos o más números se pueden sumar o multiplicar formando grupos

diferentes y el resultado no cambia.

Modulativa: un numero sumado o multiplicado por su modulo respectivo resulta en

sí mismo.

Distributiva: La propiedad distributiva relaciona la operación multiplicación y la

operación suma en el sistema de los números naturales.

150 – 20 = 130

130 / 2 = 65

65 + 20 = 85

Comprobando 65 + 85 = 150




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Tabla 1. Propiedades del sistema de los números naturales.

Propiedades del sistema de los números naturales

Dados los números a, b, c y d se cumple

Propiedades Suma Multiplicación

Clausurativa a + b = c a * b = c

Conmutativa a + b = c

b + a = c

a * b = c

b * a = c

Asociativa (a + b) + c = d

a + (b + c) = d

(a * b) * c = d

a * (b * c) = d

Modulativa a + 0 = a a * 1 = a

Distributiva a * (b + c) = d

a * b + a * c = d

NNúúmmeerrooss eenntteerrooss

El conjunto de los números enteros abarcan a los números naturales (los que se utilizan

para contar los elementos de un conjunto), incluyendo al cero y a los números

negativos (que son el resultado de restar a un número natural otro mayor). Por lo tanto,

los números enteros son aquellos que no tienen parte decimal y tiene las siguientes

características:

1. El número 0 es el origen del conjunto de los números enteros. El cero no es negativo

ni positivo.




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2. Los números situados a la derecha del 0, en la recta numérica, se llaman números

enteros positivos y los números ubicados a la izquierda del 0 se llaman números

enteros negativos.

Dado que los enteros contienen los enteros positivos, se considera a los números

naturales como un subconjunto de los enteros.

Fig. 1. Conjunto de números enteros.

Origen

-+

0 Enteros negativos Enteros positivos




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OOppeerraacciioonneess bbáássiiccaass

La suma de un número entero positivo con un número entero negativo da como

resultado un número entero del mismo signo del sumando que tiene mayor valor

absoluto.

Ejemplo: Los emperadores Julio César y Augusto:

• Julio César fue un emperador romano que nació en el año 110 a. C. y murió

asesinado en el año 44 a. C.

• Augusto nació en el año 63 a. C., quien llegó a ser emperador a la edad de 36

años y murió en el año 14 d. C.

a. Representa en una recta las fechas de nacimiento y muerte de los dos personajes.

b. ¿A qué edad murió Julio César?

c. ¿Cuántos años tenía Julio César cuando nació Augusto?

d. ¿Cuál era la edad de Augusto cuando murió Julio César?

e. ¿Cuántos años duró el reinado de Augusto?

Solución

a. Teniendo en cuenta las fechas a. C. como enteros negativos y las d. C. como enteros

positivos:




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b. Para saber la edad al morir de Julio César tomamos el numero mayor (año de

muerte) y le restamos el menor (año de nacimiento)-44 - (-110) = -44 + 110 = 66, es

decir, Julio César tenía 66 años al fallecer.

c. Tomamos el numero mayor (año de nacimiento de Augusto) y le restamos el menor

(año de nacimiento de Julio César) -63 - (-110) = -63 + 110 = 47, Julio César tenía 47

años cuando nació Augusto.

d. Al número mayor (año de muerte de Julio César) le restamos el menor (año de

nacimiento de Augusto) -44 - (-63) = -44 + 63 = 20, Augusto tenía 20 años cuando

murió Julio César.

e. Primero debemos averiguar el año que empezó el reinado de Augusto, para eso

tenemos el año de nacimiento y la edad en la que se convirtió en emperador, así que

sumamos -63 + 36 = -27, el resultado siendo el año de inicio del reinado, luego al año

de muerte le restamos el número anterior 14 - (-27) = 14 + 27 = 41, entonces el reinado

de Augusto duro 41 años.

Ejemplo: Considerando un retiro bancario como negativo, una persona retira del banco

$500,000 diariamente durante seis días, ¿cuál era su estado de cuenta antes de retirar

estas cantidades?

Solución

Nótese que hace retiros diarios (–$500,000) durante 6 días ya pasados (–6), entonces:

(-6) * (-500000) = 3.000.000, la cuenta tenía $3.000.000 en dinero antes de los retiros.




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MMíínniimmoo ccoommúúnn mmúúllttiipplloo yy mmááxxiimmoo ccoommúúnn ddiivviissoorr

El mínimo común múltiplo de dos o más números es el menor múltiplo de todos ellos,

se calcula partiendo de los números y por la descomposición de factores primos se

expresan en los factores, su mínimo común múltiplo (MCM) será el resultado de

multiplicar todos los factores comunes y no comunes elevados a la mayor potencia.

También se puede entender como la unión del conjunto de la descomposición factores

primos de los números a los cuales se está sacando el MCM.

El máximo común divisor de dos o más números enteros se define como el mayor

número entero que los divide sin dejar residuo. También se puede entender como la

intersección del conjunto de la descomposición factores primos de dos o más números.

50| 2 36| 2

25| 5 18| 2 𝑚𝑐𝑚 = 22 ∗ 52 ∗ 32 = 900

5| 5 9| 3 𝑚𝑐𝑑 = 2

1| 3| 3

1|

NNúúmmeerrooss ffrraacccciioonnaarriiooss

Las fracciones son la representación de las partes de un todo. Cuando dividimos

algo en partes iguales y tomamos una cierta cantidad de estas, la forma de mostrarlo

es a través de fracciones. Lo que estamos dividiendo es un entero y cada parte

es una




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fracción de un entero. Para expresar los números fraccionarios, se necesitan dos

números llamados numerador y denominador. El número que expresa en cuántas

partes iguales está dividida la unidad y se escribe debajo de la raya horizontal, es el

denominador; y el número que indica o numera las partes que se toman es el

numerador y se escribe encima de la raya horizontal.

PPrrooppiieeddaaddeess ddee llooss nnúúmmeerrooss ffrraacccciioonnaarriiooss

Los números fraccionarios tienen las siguientes propiedades:

Tabla 2. Propiedades del sistema de los números fraccionarios.

Propiedades del sistema de los números fraccionarios

Dados los números a/b, c/d, e/f se cumple

Propiedades Suma Multiplicación

Clausurativa a/b + c/d = e/f a/b * c/d = e/f

Conmutativa a/b + c/d = c/d + a/b a/b * c/d = c/d * a/b

Asociativa (a/b + c/d) + e/f =a/b + (c/d + e/f) (a/b * c/d) * e/f =a/b * (c/d * e/f)

Modulativa a/b + 0/1 = a/b a/b * 1 = a/b

Invertiva a/b + (-a/b) = 0/b a/b * b/a = 1




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Ejemplo: Para confeccionar un vestido, una modista, dispone de 8 metros de tela.

Como solo necesita las tres cuartas partes de la tela, ¿cuántos metros utiliza?

Solución

Se toman ¾ de los 8 metros, es decir: 3

4∗ 8 =

3∗8

4=

24

4= 6, entonces se utilizan 6 metros.

Ejemplo: Una persona acude a la tienda para comprar azúcar, que recibe en tres

paquetes con las siguientes cantidades: 2/4, ¾, y ¼ de kilogramo.

Sin embargo, al pagar, nota que no cuenta con el dinero suficiente y debe regresar ¼

kg de azúcar. ¿Qué cantidad de azúcar compró?

2

4+3

4+1

4−1

4=2 + 3 + 1− 1

4=5

4

Compro en total 5/4 de azúcar, también se puede decir 1 kilogramo y ¼ extra.

NNúúmmeerrooss ddeecciimmaalleess

Los números decimales son un caso particular de los fraccionarios en los que el

denominador es la unidad seguida de ceros. Por lo tanto las unidades decimales son

las que resultan de dividir la unidad en 10, 100, 1000, etc., partes iguales. De acuerdo

al número de partes de la división, reciben diferentes nombres; las unidades enteras

que se dividen en diez partes son las de primer orden y se llaman décimas, en cien de

segundo orden y se llaman centésimas, en mil de tercer orden y se llaman milésimas, y

así sucesivamente.




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AAnnáálliissiiss ddee pprroobblleemmaass

Problemas

1. José y Carmen van de compras al mercado. José escoge 2 libras de manzana de

$1,100 cada libra y Carmen escoge 3 libras de uvas de $850 cada libra. José paga las

manzanas y las uvas con un billete de $10,000. Analiza la situación y encuentra cuánto

dinero le devolvieron a José.

2. Una diseñadora de uniformes tiene 3 rollos de tela de 20 metros de largo por 1.50

metros de ancho cada uno. Va a confeccionar 26 uniformes para un grupo de

enfermeras. Por cada 3 metros de tela confecciona 2 uniformes. Con el resto de tela va

a confeccionar delantales, empleando 1 metro de tela por cada 2 delantales. ¿Cuántos

delantales pueden hacerse?

Fig. 2. Esquemas de números decimales.




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3. Se desea hacer una formación de 24 hombres y 32 mujeres, de forma que haya el

mismo número de hombres y mujeres en cada fila. ¿Cuál debe ser el número máximo

de personas que conformen cada fila?, ¿cuántas filas se utilizaran?

4. Tengo en la huerta hierbas aromáticas y plantas ornamentales. Las hierbas

aromáticas las riego cada 2 días y la ornamentales cada 5. Si hoy he regado las dos,

¿cuántos días pasarán hasta que tenga que volver a regar las dos a la vez?

5. Miguel quiere cerrar unos bultos de naranjas y para ello tiene dos madejas de

cuerda, una de 10 metros y otra de 15 metros. Parte las dos en trozos iguales de

manera que no le sobre nada. ¿Cuál es la longitud máxima de cada trozo que le queda

a Miguel?

6. Hay algunos países que tienen las 4 estaciones: primavera, invierno, otoño y verano.

Por ejemplo, un día de otoño, cuando la naturaleza verde pareció haberse secado, la

temperatura en París, capital de la República de Francia, fue de –2°C a las 8:00 a.m. Al

anochecer, en la televisión se informó que hacía el triple de frío que en la mañana,

¿qué temperatura marcó el termómetro en la noche?

7. Rodolfo compró 4 kg de mango, ¾ kg de naranja, ½ kg de manzana y 3 kg de uva.

Depositó todas sus frutas en una caja para llevarlas a casa. ¿Cuál es el peso de las

frutas compradas?

solluuciiÓÓnn dde pprroobblleemmaass ......2. los números situados a la derecha del 0, en la...

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