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IES Mediterrneo de Mlaga Soluciones Junio 2007 Juan Carlos Alonso Gianonatti

Junio de 2007

Soluciones de la Opcin A

1.A.-Estudia el rango de la matriz:

( )

=

111

11

mmmmmmmm

A

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )

( )

( )

( ) 2011121

112212212

2

20111

01

110010010

0

3020

2020

0202121

11111111

11111

111

111

11

22

22

==

=

==

=

=

======++=

+=++=

=

=

ArangmSi

ArangmSi

ArangAmm

Si

mmm

mmASimmmmmmmmmA

mmmmmmmmmmmmmmmmA

mmmmm

mmmmmmmmm

A

1


2.A.-Sean las matrices:

=

= 7698

1002

ByA

Hallar la matriz X tal que XAX-1= B

( )Comprobado

XXadjXX

consComprobemoXdb

ca

dbdb

ac

dbdcacdbbcaa

dbcadbca

dcba

dcba

dcba

dcba

XSiendo

BXXABXXAIBXXXAX

tt

ordendeidentidadmatrizI

=

=

=

=

=

===

==

=

==

==

=

====

=

=

=

= ==

7698

3211

1416

3211

1002

1213

3211

3211

11

3211

1123

11213

12

23

23

6699

69

7676298982

76769898

22

7698

1002

1

21

2


3.A.-Dado el punto A(1, -2, -3), la recta , el plano

==++

001

zyx

r 0132 =+ zyx , se pide:

a) Ecuacin del plano que pasa por A, es paralelo a r y perpendicular a p

b) Ecuacin de la recta que pasa por A, corta a r y es paralela a p

a) Si es paralelo a r, el vector director de esta, est contenido en el plano, lo mismo que el del plano p que es perpendicular al pedido. Nos falta un tercer vector coplanario con ellos que es el formado por el punto genrico (x,y,z) y el punto A

( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( )

+==+=

==

=

==+

=+=

=+==

===+

==

==+

===

=

+=+=+=

+=+=+=

=+

=+=++++=

++

++===

=

===

32

111

3332

032

3232

323232

322323

0323

22

03,2,1.1,,0.3,2,1

1,,302

11

32

1

)033

033023332130321

011321

3,2,13,2,1,,3,2,1

0,1,1

0

1

zyx

sab

bbaba

baba

baba

baba

ba

ba

bavvvvv

bav

ba

zbyax

s

bzyx

yzxyzzxzyx

zyxzyxvvv

zy

xr

sss

genrico

r

3


4.A.-Se considera la funcin f(x) = x2+ m, donde m > 0 es una constante

a) Para cada valor de m hallar el valor de a > 0 tal que la recta tangente a la grafica de f en el punto [a , f(a)] pase por el origen de coordenadas

b)Hallar el valor de m para que la recta y = x sea tangente a la grafica de f (x)

a) La recta pedida es de la forma y = f(a) x

( ) ( )( )

( )( ) ( ) 4

141

21

21

21.1

21

12'

)0

2.22'

2'

22

22222

===+

==

==+=

=>

===+=+

=+==

mmaafaaaf

maxf

bmaaComo

mamaamaaamaaafmaxf

xxf

4


Soluciones de la Opcin B

1.B.-Dada la funcin ( )4

122

2

+=

xxxf calcular el rea de la regin acotada encerrada por su

grfica y el eje OX

Es una funcin simtrica respecto al eje OY ya que ( ) ( )( ) ( )xfxx

xxxf =+

=+=

412

412

2

2

2

2

por lo tanto es el doble de la integral definida entre el origen de coordenadas y uno de los puntos de corte que tenga con el eje OX (tomaremos el positivo)

( )

[ ]

( ) [ ]

( )2

30

3

02

32

02

2

22

32

02

320

32

02

32

0

32

02

32

02

2

2

343

1631634

031634200

3322

163421

18341

2

180322

16

14

412

14

14

3224

16.2.24

161.24

12.2

32120120

utgarcA

tgarctgarcAdtdxtxtxtx

xtgarcdtt

dxx

A

x

xx

dxx

xdxx

dxdxx

dxxxA

xxxfyCuando

==

==

=====

=+=+

=

++

=+=

+=+

=

=====

5


2.B.- Dibujar la grafica de la funcin ( )x

xxf = 2 indicando su dominio, intervalos de

crecimiento y decrecimiento y asntotas

( ) { }

( )

( )( )

( )

( ) ( )( )

( )( )

( )( )

( )( )( ) ( )( )( ) ( )

( ) ( )( )

>

/>> >

=


Contina el problema 2.B.-

Grfica de la funcin

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Y

X

7


3.B.- Dada las matrices , se pide:

=

=

10000

100052025

ccba

ByA

a) Encontrar las condiciones que deben de cumplir a, b y c para que se verifique AB = BA

b) Para a = b = c = 1, calcular B10

cbaBBABAABABAABTambien

cba

cbcaacbc

ccbccabacbbaca

ccccbaba

ccba

BA

cbcacbca

ccba

AB

a

=====

==

====

=+=++=++=+

++++

=

=

++++

=

=

11

22222222

752752

52252525

1000522505225

100052025

10000

1000525202525

10000

100052025

)

=

====

==

=

=

=

=

=

=

=

=

10005125120512512

51222.1.21

,16,8,4,2,1Pr

1000161601616

100011011

100088088

100088088

100011011

100044044

100044044

100011011

100022022

100022022

100011011

100011011

)

5

911010

11

1

54

32

B

araara

geomtricaogresin

BB

BB

b

nn"

8


4.B.- Sean los puntos ( ) ( ) ( )2,0,0,,2;,2, + CyBA . a) Existe un valor de l para el que los puntos A, B y C estn alineados?

b) Comprobar que si A, B y C no estn alineados el tringulo que forman es issceles

c) Calcular la ecuacin del plano que contiene al tringulo ABC para el valor l= 0 y hallar la distancia de este plano al origen de coordenadas

a) Si estuviesen alineados los vectores AB y AC serian proporcionales.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) BCABBC

AB

BC

uACACAB

iableinpermaneceACqueyaBCABsiVeamosb

alineadosnuncaestarnNo

leIncompatibACABSi

ACABCyBA

=

+=+++++=++++=+=+++++=++=

+=+===+==

==

=====+=

=

=+=

==+

83244222

83242422

2,,20,,22,0,

228222,2,0,2,2

var)

1222202

112

02

1,1,02,2,0,2,2,0,,2,2,2,0,,22,0,0,,2;,2,

2222222

2222222

22

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

udCBA

DCzByAxd

zyxzyxyzx

zyx

zyxzyxAGAC

AB

c

OP 332

32

32

111

2000020202

0110011

2

,2,0,2,0,,1,1,0

0,1,10,2,20,20,02

)

222,222

000, ===++

++=++

+++==++=+=

=

===

==

9

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