Software matematico para asignaturas de contenidos fısico-matematicos

Concepcion MURIEL

Departamento de Matematicas

Juan Manuel VIDAL

Departamento de Construcciones Navales

Adrian RUIZ, Juan B. GARCIA, Pablo PINIELLA

Alumnos colaboradores del Departamento de Matematicas

Universidad de Cadiz,

11510 Puerto Real, Cadiz, Espana

RESUMEN

Se describen algunas de las rutinas elaboradascon el programa Mathematica para la ensenanza deasignaturas con contenidos matematicos relacionadoscon el calculo vectorial. La creacion de ejerciciosinteractivos facilitan la comprension de contenidosmatematicos y el aprendizaje de tecnicas querequieren estas disciplinas.

Palabras clave: analisis vectorial, integracion,orientacion, aplicaciones fısicas, software, innovaciondocente, evaluacion.

1. INTRODUCCION

La Declaracion de Bolonia (1999), suscrita inicial-mente por 30 paıses europeos y con mas de 40 partici-pantes en la actualidad, sienta las bases para la cons-truccion de un Espacio Europeo de Educacion Superior(EEES) que modifica profundamente las metodologıaspara la transmision del conocimiento en el entornouniversitario. Los nuevos estudios cuantifican el traba-jo durante el proceso de aprendizaje, en un contextode renovacion metodologica docente y de evaluacioncontinua de los conocimientos y de las competenciasadquiridas. El EEES implica una nueva manera de en-senar y de aprender centrado en el alumno.

Este nuevo marco obliga al profesor universitarioa renovar su propia formacion, su metodologıa, susmateriales didacticos y los sistemas tradicionales deevaluacion. Con objeto de mejorar tanto el aprendizajede los alumnos como la forma de ensenar de losprofesores, la Unidad de Innovacion docente de laUniversidad de Cadiz en Espana convoca anualmenteProyectos de Innovacion y Mejora Docente. Losresultados presentados en este trabajo se enmarcandentro del proyecto PI1-12-005 titulado “Diseno

de metodologıas y elaboracion de material docentepara la organizacion, planificacion y coordinacion deasignaturas con contenidos fısico-matematicos”. Elproyecto de innovacion docente tiene como objetivosprincipales:

Fomentar el intercambio de recursos docentesentre los departamentos, adecuando los mismospara compartir experiencias de laboratorio.

Desarrollar una metodologıa comun entre depar-tamentos que favorezca el caracter interdiscipli-nar de algunas materias.

Las principales lıneas de trabajo del proyecto son lassiguientes:

1. Disenar y mejorar la clases practicas y talleres deasignaturas con contenidos fısico-matematicos dediferentes titulaciones.

2. Coordinar contenidos de asignaturas y nomencla-turas fısico-matematicas.

3. Mejorar la exposicion magistral en este tipode asignaturas mediante material grafico yanimaciones.

4. Potenciar el trabajo activo del alumno con lacreacion de ejercicios interactivos en entornosinformaticos amigables.

Uno de los resultados del proyecto es la creacionde un marco de interaccion entre profesores dediferentes titulaciones y/o areas de conocimientoque produzca beneficios en un doble sentido: lasasignaturas de Matematicas se enriquecen con casospracticos y las de Ciencias Experimentales (Fısica,Ingenierıas, etc.) pueden avanzar con mas facilidad siutilizan la misma notacion y conceptos que el alumnoestudia en asignaturas de Matematicas. Para ello se

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crean materiales didacticos comunes que permitanuna metodologıa diferente e innovadora en estasdisciplinas: se potencia el uso de las nuevas tecnologıaspara que el alumno pueda ir resolviendo problemas deforma interactiva y agudizar su pensamiento crıtico.

Uno de los materiales didacticos creados duranteel proyecto de innovacion es un software informatico,interactivo y especıfico para la ensenanza del CalculoVectorial y sus aplicaciones e interpretaciones fısicas([5],[9],[8]). En este trabajo nos centramos en loscontenidos mas matematicos del software y en elanalisis de resultados en alumnos que han cursado laasignatura Analisis Vectorial de tercer curso del gradoen Matematicas que se imparte en la Universidadde Cadiz. Un enfoque centrado en las aplicaciones aproblemas practicos en las Ciencias Experimentales,sus interpretaciones fısicas y el analisis de resultadospara alumnos de Ingenierıas son presentados en [16].

Las rutinas han sido creadas usando Mathematica8.0 por su potencia grafica y la posibilidad de crearproyectos elaborados que pueden ser muy complicadosde realizar en otros lenguajes de programacion([1],[4],[7],[17]). Ademas, las nuevas instruccionesincluidas en las ultimas versiones para realizaranimaciones, que permiten al usuario manipulargraficos o calculos de forma interactiva, se adaptana la perfeccion a las necesidades propias de estasdisciplinas. El paquete de rutinas se ha creado enbase a la necesidad de desarrollar los contenidos quese describen a continuacion, agrupados en diferentesunidades didacticas.

2. VARIEDADES DIFERENCIABLES

El alumno de la titulacion de Grado en Matematicasse ha encontrado en cursos anteriores de calculo de unay/o varias variables con variedades diferenciables des-critas como graficas de funciones. Este concepto pre-vio se formaliza mediante la representacion explıcita.Localmente, estos conjuntos son graficas de funcionesdiferenciables, expresadas en alguna base ordenada deRn. Si la base es la canonica, las ordenes de Mathe-matica mas adecuadas a este tipo de representacionson las instrucciones Plot y Plot3D para representargraficas de funciones en R2y en R3. El uso de basesdiferentes requiere utilizar otras instrucciones comoParametricPlot y ParametricPlot3D.

Muchos conjuntos de la geometrıa clasica aparecenal describir un recinto como el lugar geometrico delos puntos del plano o del espacio que satisfacen unascondiciones descritas por una o varias ecuaciones. Seformaliza matematicamente el concepto de representa-cion implıcita, especialmente adecuada para describirconjuntos que se obtienen como cortes o intersecciones

de otros, y se introducen las ordenes de Mathematicanecesarias para representar curvas y superficies dadasen forma implıcita (ContourPlot, ContourPlot3D).

En otras ocasiones es muy natural describir un con-junto por medio de uno o varios parametros que fi-jan de forma inequıvoca la posicion de los puntos delconjunto. Las ordenes ParametricPlot y Parametric-Plot3D con sus opciones son las adecuadas para repre-sentar conjuntos descritos en forma parametrica. Loscambios de coordenadas polares, cilındricas y esfericasjuegan un papel fundamental a la hora de aprender aparametrizar ciertas curvas y superficies. La potenciade las ultimas versiones del Mathematica son de granayuda para comprender el significado de los parame-tros involucrados en los nuevos sistemas de coordena-das ([2],[10]).

En la Figura 1 se muestra una rutina sobre lascoordenadas esfericas, que permite experimentar alalumno eligiendo los valores de los parametros yobservando los cambios producidos sobre la grafica.Automaticamente el procedimiento calcula y escribelas correspondientes coordenadas del punto en ambossistemas de coordenadas. Rutinas analogas permitentrabajar con las coordenadas polares en R2 y lascoordenadas cilındricas en R3.

Figura 1: Coordenadas esfericas

r

!

"

r # 11.00

! # 17.00 !10.00

" # !5.00

x # r cos!!" sin!"" # 3.80y # r sin!!" sin!"" # "5.20z # r cos!"" # 8.90

x y

z

#

$

La nocion de recta tangente a la grafica deuna funcion de una variable se generaliza paraintroducir el concepto de espacio afın tangenteutilizando representaciones explıcitas. A traves delas equivalencias entre las distintas representacionesse deducen formas alternativas de calcular espaciostangentes y se introducen las instrucciones delprograma necesarias para realizar los calculos. Es muyimportante que el alumno aprenda a calcular vectorestangentes utilizando las diferentes respresentaciones yque sepa elegir entre ellas la que mas se adapta a cadarecinto.

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Animaciones como la de la Figura 2, inspirada en[14], es muy util para representar de forma interactivalos vectores tangentes y normales a curvas en R2.El alumno puede elegir que tipo de vector quiererepresentar y se pueden elegir diferentes recintos defunciones, con diferentes caracterısticas. Los vectorespueden normalizarse a eleccion. La seleccion del puntosobre el que se quieren representar dichos vectores serealiza sobre un panel bidimensional, de forma queambos vectores se dibujan sobre cualquier punto delespacio, y no solo sobre los puntos de la grafica. Es unexcelente ejercicio para ilustrar el concepto de campovectorial, que aplica a cada punto un vector. De estaforma se facilita la comprension de los conceptos decampos vectoriales tangentes y/o campos vectorialesnormales a una variedad que se usaran en posterioresunidades didacticas.

Figura 2: Vectores tangentes y normales a graficas de funciones

Tangente Normal normalizar granformato ecuación

función ej.1 ej.2 ej.3 ej.4 ej.5 ej.6 ej.7

localización

!3 !2 !1 1 2 3

!3

!2

!1

1

2

3

y ! x3 " 0

Entre las competencias especıficas que el alumnoadquiere en esta unidad didactica se destacan:

1. Saber dibujar curvas y superficies en el plano yen el espacio dadas en forma implıcita, explıcitasy parametricas.

2. Saber decidir intuitivamente a partir de lasrepresentaciones graficas y un conjunto esvariedad diferenciable o no.

3. Entender el concepto de curva y/o superficiede nivel y saber decidir cuando son variedadesdiferenciables.

4. Reconocer recintos clasicos a partir de susecuaciones implıcitas.

5. Entender el significado de los parametros encoordenadas polares, cilındricas y esfericas.

6. Saber parametrizar curvas y superficies

7. Saber calcular y dibujar la recta tangente auna curva y el plano tangente a una superficieutilizando diferentes representaciones.

8. Saber calcular y dibujar vectores normales a unavariedad utilizando diferentes representaciones.

9. Utilizar animaciones para visualizar vectorestangentes y vectores normales.

3. ORIENTACION

El cambio de signo en una integral de Riemman deuna funcion de una variable cuando se intercambianlos lımites de integracion es una idea sencilla quejustifica la necesidad de definir conceptos comorecorrer una curva de izquierda a derecha, la caraexterior de una superficie, etc. Estos conceptos seusan constantemente en los textos de calculo vectorialsin mucha precision, pues dependen del punto devista del observador. Por otro lado, definicionesbasada en formas fundamentales, sistemas continuosde orientaciones, etc., usuales en libros de matematicaavanzada ([6],[15]), son demasiado abstractos ydificultan la compresion intuitiva del concepto deorientacion.

En este tema tan delicado, las ordenes demanipulacion dinamica (Manipulate, Animate) de lasultimas versiones del Mathematica son de especialutilidad. El software desarrollado incluye rutinas quepermiten:

1: Visualizar el concepto de vector que apunta haciafuera en puntos del borde de variedad con pseudo-borde ([12],[13]). En la Figura 3 se muestra unaaplicacion de la rutina, que permite visualizar losvectores en cada punto del borde. Utilizando diferentesvectores en el espacio de los parametros, el alumnocomprueba que el signo de la primera coordenada esel que determina el sentido del vector en el borde dela variedad.

Figura 3: Vector que apunta hacia fuera

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2: Dibujar animaciones para visualizar la orien-tacion a traves de campos de vectores tangentes,transversales y normales en el caso de hipersuperficies.

3: Comprobar de una forma interactiva si unaparametrizacion es coherente o no con una orientacionprefijada. La rutina presentada en la Figura 4 permiteelegir diferentes parametrizaciones y dibujar un vectortangente en cada punto de la curva. El movimientodel vector a lo largo de la curva ayuda a visualizarla orientacion que la parametrizacion elegida definesobre la curva.

Figura 4: Parametrizaciones y orientacion

t0 4.8

longitud 1.8

!!t""#cos!t", sin!t", t$

#10

1#1

0

1

0

$

2

$

3 $

2

2 $

t0 #4.8

longitud 1.8

!!t""#cos!t", #sin!t", #t$

#10

1#1

0

1

0

$

2

$

3 $

2

2 $

4: Determinar visualmente la orientacion inducidaen el borde por una orientacion prefijada en lavariedad.

5: Comprender el concepto de no-orientabilidad conanimaciones utilizando la banda de Mobius (Figura5).

Figura 5: Parametrizaciones y orientacion

t0

0

t!0

"4

"2

0

2

4

X

"4"2

02

4

Y

"2

"1

0

1

2

Z

t0

2#

t!2#

"4

"2

0

2

4

X

"4"2

02

4

Y

"2

"1

0

1

2

Z

4. MEDIDA E INTEGRACION EN

VARIEDADES

El alumno del grado en Matematicas conoce de lateorıa de integracion como asociar longitudes, areas yvolumenes a los subconjuntos medibles en R, R2 y R3

respectivamente. Sin embargo, la medida de Lebesgueasocia valor cero a un segmento en R2 o en R3, auna superficie en R3 y no proporciona una medidade longitud en R2 ni una medida de area en R3.Comenzando por el caso mas sencillo se establece unconcepto de medida adecuada sobre los subespaciosde un espacio vectorial para llegar de forma natural alconcepto de medida de paralelepıpedo y su relacioncon del producto exterior de los vectores que lodirigen. Con ordenes del tipo Wedge o Cross se puedenresolver facilmente los problemas de calculo en estassituaciones sencillas. En la Figura 6 se muestra lainterpretacion geometrica del producto mixto de tresvectores en el espacio. El alumno puede seleccionar lascoordenadas de los vectores y la rutina los dibuja ycalcula el valor de su producto mixto. Opcionalmentepuede mostrarse el paralelepıpedo que forman dichosvectores y su volumen se calcula de forma dinamica.

Figura 6: Producto mixto

Al concepto de medida (local) en una variedadpuede llegarse de forma heurıstica por aproximacionesde medida de paralelepıpedos construidos sobre cadaespacio tangente. En la Figura 7 se muestra elresultado de aplicar una rutina que representa dichosparalelepıpedos y su proyeccion como una regionsombreada en la superficie, con la posibilidad demodificar todos los elementos de forma interactiva,ayudan a entender de una forma muy efectivaeste procedimiento de medida por aproximacion ya interpretar el elemento de medida (longitud osuperficie) como el factor de expansion entre la medidaen Rk.

Se disenan diferentes rutinas para automatizar

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Figura 7: Medidas en una variedad

h1

h2

Posición incial

!

4

!

2

3 !

4!

t

!

2

!

3 !

2

2 !

a

"2

"1

0

1

2

X

"2

"1

0

1

2

Y

0

1

2

3

Z

el calculo de integrales de lınea y superficie. Lasnuevas ordenes PlotVectorField, ListPlotVectorField,GradientFieldPlot, y sus versiones en 3D incluidasen la version 8.0 del programa Mathematica sonutilizadas para explicar la interpretacion fısica de unaintegral de linea en terminos del trabajo al considerarel campo como un campo de fuerzas o de una integralde superficie como el flujo del campo a traves de lasuperficie.

La Figura 8 muestra los objetos que intervienenen la evaluacion de una integral de linea en R2

([3]). Los alumnos pueden cambiar la curva o utilizardiferentes parametrizaciones para investigar el efectode la orientacion sobre el resultado de la integral. Elcampo vectorial que se integra tambien puede elegirsea conveniencia.

5. LOS TEOREMAS CLASICOS DEL ANALISIS

VECTORIAL

Los teoremas clasicos del analisis vectorial aparecencomo casos particulares del teorema de Stokes general,usualmente presentado y demostrado en los textos dematematica avanzada en el lenguaje de las formasdiferenciales. La potencia de Mathematica comoprograma de calculo simbolico facilita la comprension,mediante comprobacion directa de calculos, dela equivalencia entre el enfoque clasico (camposvectoriales y escalares) y el enfoque moderno de lasformas diferenciales. Al mismo tiempo, el alumnoadquiere la agilidad y destreza necesarias para utilizarindistintamente ambas tecnicas. En esta traduccionde lenguajes, las operaciones clasicas (gradiente,rotacional, divergencia etc.) aparecen asociadas a ladiferencial exterior de formas diferenciales ([12]).

Los teoremas de Green, Stokes clasico, y de la

Figura 8: Integral de linea

punto 7.1

Campos !x,y"

!3 !2 !1 1 2 3

!3

!2

!1

1

2

3

divergencia nos permiten en particular establecersignificados fısicos para los conceptos de divergenciay rotacional. Todas estas operaciones entre camposescalaras y/o vectoriales estan implementadas comoinstrucciones del package Vector Analysis. La figura9 muestra un ejemplo de aplicacion del teoremade Green sobre una circunferencia. El alumnopodra comprobar la equivalencia entre calcular laintegral de lınea en la circunferencia o hallar la integralen su interior.

Figura 9: Teorema de Green

ÙdWF âΜ = 2 Π ÙW

H¶xQ-¶yPL âxdy = 2 Π

-1.0 -0.5 0.5 1.0

-1.0

-0.5

0.5

1.0

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

Este mismo procedimiento permite al alumnocomprobar la importancia de la orientacion cuandose calcula la integral de lınea. Por un lado el alumnopuede observar como cambia el signo de la integral alcambiar la orientacion (figura 10), ası como verificarque la misma es cero cuando se aplica a un campoconservativo.

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Figura 10: Orientacion e integracion de un campo vectorial

ÙdWF âΜ = 2 Π ÙdW

F âΜ = -2 Π

-1.0 -0.5 0.5 1.0

-1.0

-0.5

0.5

1.0

-1.0 -0.5 0.5 1.0

-1.0

-0.5

0.5

1.0

Ademas de ejercicios de verificacion del teoremade Stokes, se incluyen otros ejercicios interactivosde calculos tıpicos de asignaturas de fısica, comopuede ser la determinacion de centros de gravedad ymomentos de superficies.

6. METODOLOGIA Y RESULTADOS

El material elaborado se organizo en diferenteslaboratorios agrupados por unidades tematicas. Ladocencia de la asignatura Analisis Vectorial seimpartio durante el primer semestre del cursoacademico 2011-2012 para alumnos del tercer cursodel grado en Matematicas en la Universidad de Cadiz.Cada alumno recibe tres sesiones de una hora dirigidaspor el profesor mas dos horas a la semana dedicadasa los laboratorios. Las clases de laboratorio se dividenen grupos, con una media de diez alumnos por aula. Atraves del campus virtual de la Universidad de Cadizlos alumnos disponen del material con antelacion,incluyendo informacion sobre los objetivos que sedesean alcanzar en cada taller y las pruebas que tienenque realizar y entregar para su evaluacion. En laprimera de las dos sesiones el profesor explica loscontenidos y los procedimientos de los que constacada laboratorio, mostrando ejemplos resueltos, comocoleccion de problemas tipo. En la segunda de lassesiones el alumno experimenta con el material ytrata de resolver los problemas propuestos; se fomentala participacion en grupos aunque la entrega deejercicios es individual. El profesor supervisa losprogresos y resuelve las posibles dificultades o dudasque estan surgiendo. Al final de la segunda sesionel alumno dispone de un tiempo limitado paraenviar sus respuestas a traves del campus virtual.Adicionalmente, se realizo unas clases-problemas conalgunos de los contenidos de este trabajo con alumnosde Ingenierıa Naval y Oceanica e Ingenierıa Marina,Nautica y Transporte Marıtimo.

Con el objetivo de evaluar la eficacia del metodo deaprendizaje, se plantea una serie de tests y pruebascon alumnos de los primeros cursos de los grados quetienen asignaturas comunes de matematicas y fısica

general.

El diseno utilizado fue en formato de encuesta apartir de 14 preguntas cerradas. Se presentaron 14afirmaciones para que los alumnos las clasificaran, enuna escala de 5 a 0, desde totalmente de acuerdo (5)a totalmente desacuerdo(0).

Dividida en tres partes, en la primeras 5 preguntasse intenta indagar si la dificultad que encuentra elalumno en los problemas se debe a los conceptos fısicosen sı o al aparato matematico que se necesita parasu desarrollo y la coherencia de nomenclaturas a lahora de explicar los mismos conceptos en asignaturasde fısica y matematicas. La segunda parte, estudiala percepcion que el alumno tiene sobre la aplicacionde los conceptos matematicos en fısica y viceversa,ası como sus posibles aplicaciones en posterioresasignaturas. La ultima parte, desde la pregunta 9 a la14, se pregunto sobre la apreciacion del alumno de laeficacia del metodo tradicional de desarrollo del temaen la pizarra o del metodo de intercalar practicas concomputadoras. El cuestionario fue el siguiente:

1. Entiendo los conceptos fısicos que se explican.

2. Entiendo el desarrollo matematico que se utilizapara explicar los conceptos fısicos.

3. Entiendo la nomenclatura matematica.

4. La nomenclatura matematica era conocida.

5. Habıa aprendido los conocimientos previos nece-sarios en otras asignaturas.

6. Los conceptos matematicos me fueron utiles paracomprender los algunos conceptos fısicos.

7. Las interpretaciones fısicas me ayudaron acomprender algunos conceptos matematicos

8. Creo que los conceptos fısicos-matematicos estu-diados en la asignatura me seran utiles para otrasasignaturas.

9. Considero suficiente la coleccion de ejerciciospracticos.

10. El contenido teorico de la asignatura es adecuado.

11. Los recursos multimedia fueron suficientes.

12. El uso de material multimedia ha sido util.

13. Entiendo mejor los conceptos teoricos cuando sedesarrollan en la pizarra

14. Valoro positivamente las practicas con softwarepara comprender los conceptos.

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La encuesta se paso a alumnos de tercer curso delgrado de matematicas y alumnos de primero de gradode ingenierıas marina, nautica y transporte marıtimoy radioelectronica, que cursan asignaturas de fısicageneral. En total fueron 74 alumnos de ingenierıas y20 alumnos de matematicas.

La mayorıa de los alumnos, tanto de ingenierıas co-mo de matematicas, valoraron positivamente las clasescon software y el empleo de material multimedia. Sinembargo, uno de las conclusiones mas interesantes enfuncion de la opiniones de los alumnos es que todoscreen necesario el uso de la pizarra tradicional peromanifiestan que las aplicaciones son necesarias paraentender esos conceptos. En cuanto a titulaciones, lasprincipales diferencias se encuentran en que los alum-nos de ingenierıas manifestaron tener dificultades ala hora de entender los desarrollos matematicos y lanomenclatura no le resulto conocida. Los alumnos dematematicas puntuaron con menor nota las posiblesutilidades de los conceptos fısicos. Sin embargo, sı va-loran positivamente el emplear ejemplos fısicos.

Algunas de las conclusiones generales son:

1. Al final de la experiencia los alumnos valoraronpositivamente el uso del material para compren-der mejor conceptos difıciles de aprender, comoel de orientabilidad y variedad con pseudoborde.

2. Los alumnos demandan mas dedicacion de horasa los laboratorios, posiblemente porque despiertasu interes y participacion, pero al mismo tiempocreen necesario el desarrollo de la materia enpizarra por parte del profesor.

3. Los alumnos consideran muy positivas lasaplicaciones a problemas fısicos pero manifiestanpoca satisfaccion sobre los resultados obtenidos,lo que nos lleva a reforzar este punto enexperiencias sucesivas.

4. La interaccion entre profesores de distintasdisciplinas que se ha desarrollado gracias a esteproyecto nos ha aportado una vision mas ampliade las necesidades y deficiencias de cada sistemade ensenanza individual.

Agradecimientos: Los autores agradecen la ayudadel grupo FQM201 de la junta de Andalucıa, delproyecto MTM2009-11875 del Ministerio de Cienciae Innovacion y del proyecto de Innovacion DocentePI1-12-005 de la Universidad de Cadiz.

REFERENCIAS

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