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Sociedad Mexicana de Ingeniería EstructuralSociedad Mexicana de Ingeniería Estructural

ANALOGÍA ENTRE LA FORMA DE FALLA EN MUROS DE CONCRETO DE UNA

EDIFICACIÓN Y TRES BARRAS DE ACERO ESTRUCTURAL

Oscar de la Torre Rangel1 , Rogelio López Vázquez

2 y Leopoldo Salazar Dare

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RESUMEN

Se presenta una Analogía entre la forma de falla de muros de concreto reforzado de una edificación de tres

niveles y un sistema formado por tres barras de acero, las cuales se someten hasta alcanzar la plastificación y

la forma de evalúar la manera de reparar el ó los muros que alcanzaron su plastificación.

ABSTRACT

This paper presents an Analogy between the form of failure of reinforced concrete walls of a three floors

building and a system formed by three steel bars, applying a load until the plasticity is reached. The form of a

valuation of the manner for repair the plasticized walls.

ANTECEDENTES

En algunas partes de la República Mexicana existen zonas con alta actividad sísmica y dentro de éstas además

las características del suelo provocan una amplificación de la intensidad de los movimientos que ocurren

principalmente en las costas del Pacífico, tal como la Ciudad de México y otras Ciudades.

La filosofía del diseño sismorresistente requiere que se satisfagan dos estados límite, de servicio y de

resistencia para el sismo más fuerte probable registrado a la fecha. El enfoque óptimo es diseñar la estructura

de tal manera que se evite el colapso ante el sismo más severo posible asegurando con ello la vida humana,

pero aceptando la posibilidad de daño sobre la base de que es menos caro reparar o reemplazar las estructuras

afectadas por un sismo fuerte, que construír cada una de ellas lo suficientemente resistente para evitar daños

(Rosenblueth y otros, 1976).

Actualmente existen diversos Reglamentos de Construcciones en diferentes países, en México en algunos

Estados y Municipios tienen su propio Reglamento de Construcciones, aunque en algunas ocasiones dichos

Reglamentos para Diseño por Sismo difieren notablemente respecto a otros, tales como el de Baja California

donde se encuentra la Ciudad de Mexicali, con los Manuales de Diseño por Sismo y Viento de la Comisión

Federal de Electricidad Versión 2009.

Una Inmobiliaria de construcción de vivienda de interés social, tiene un proyecto estructural de un edificio de

departamentos de tres niveles, el cual tiene como sistema de estructuración losas de concreto de 100 mm

(10cm) de peralte, así como muros de concreto con diferentes posiciones y longitudes todos con un espesor

constante en toda la altura de, 100 mm (10cm), el sistema no tiene ninguna trabe porque las dimensiones de

aberturas para puertas y ventanas son de dimensiones pequeñas.

Esta estructura, se diseñó estructuralmente mediante diferentes modelos de dicho edificio con el método de

elemento finito, incrementando la fuerza sísmica hasta detectar qué muros habían alcanzado falla por cortante

y se eliminaban esos muros y se realizaba una nueva corrida con los muros restantes hasta que se detectaba

nuevas fallas y así sucesivamente hasta encontrar la máxima fuerza sísmica que resistía dicho sistema. Cabe

1 Gerente General de “Proyecto Estructural S.A.”, Darwin 18-A 1er Piso Col. Anzures, 11590 México, D.F.

Teléfono, (55) 5254-3934; fax: (55) 5254-4026; [email protected]

2 Ingeniero Consultor de “Proyecto Estructural S.A.”, Darwin 18-A 1er Piso Col. Anzures, 11590 México,

D.F. Teléfono, (55) 3619 6162 y 5732 7427; fax: (55) 5254-4026; [email protected] 3 Profesor, Universidad del Valle de México Campus Coyoacán, Calz. De Tlalpan 3016, Col. Sta Úrsula

Coapa, C.P: 14010, México, D.F. Teléfono: (55) 5599-2600; fax: (55) 5254-4026; [email protected]

mailto:[email protected]



XVII Congreso Nacional de Ingeniería Estructural León, Guanajuato noviembre 2010.

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aclarar que en la modelación de los muros y losas, se consideró el elemento finito denominado “SHELL” con

el programa de análisis y diseño de estructuras denominado SAP2000.

BREVE DESCRIPCIÓN DEL MÉTODO DE ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE ELEMENTO FINITO

Elemento finito es un método numérico para resolver una ecuación diferencial originada para un análisis

estructural de esfuerzos tensoriales, que no son sino simplemente matrices asociadas a un sistema de

referencia global, en los cuales se preservan los principios fundamentales del Análisis Estructural Clásico para

estructuras esqueléticas, las cuales son: CONTINUIDAD, MODELOS CONSTITUTIVOS (EN GENERAL

LA LEY DE HOOKE TRIDIMENSIONAL) Y EL EQUILIBRIO, los cuales aplican siempre para análisis

elástico, aunque se puede extrapolar para análisis no lineal (Cook y otros, 1989).

Ahora bien, al ser el elemento finito un método numérico, siempre habrá un margen de error, este error se

reduce significativamente cuando se discretiza con muchos elementos, la estructura que se desea analizar,

aunque ello implica bastante más tiempo y recursos de cómputo.

En el Programa SAP2000 existen diferentes tipos de elementos finitos:

SHELL: Es un elemento finito con formulación de tres o cuatro nodos que combina por separado el

comportamiento de membrana que usa una formulación isoparamétrica que incluye componentes de

traslación en rigidez plana y una componente de rigidez para rotación en la dirección normal al plano del

elemento y otra con comportamiento de placa con flexión incluyendo dos direcciones, fuera del plano,

componentes de rigidez para giro de la placa y traslación en la dirección normal. Tiene un espesor constante y

los resultados que se obtienen en la aplicación en modelos de estructuras compuestas por trabes, losas y

muros tienen una aproximación bastante aceptable para la modelación de muros y losas, ya sean de concreto ó

mampostería, incluyendo la cimentación cuando ésta es losa ó cajón, donde se pueden introducir resortes

verticales a partir del módulo de reacción que se proporciona en un Estudio de Mecánica de Suelos y se

modela completamente la estructura, desde la cimentación hasta la azotea. También este elemento es útil para

modelar paredes de tanques, cubiertas de lámina u otro material, cisternas.

Figura 1 Formulación del elemento SHELL (SAP2000 Analysis Reference, 1997)

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Figura 2 Convención de Signos para momentos en elemento finito “Placa” Shell (SAP2000 Analysis

Reference, 1997)

ASOLID: Es un elemento finito con formulación de tres a nueve nodos que modela axisimétricamente

estructuras bajo cargas también axisimétricas. El elemento ASOLID representa un sólido que es creado por la

rotación de una sección plana alrededor de un eje 360°, en la cual el “espesor” de este elemento, se fija como

una fracción de ángulo entre 0° y 360°. Este tipo de elemento, es aplicable principalmente para estructuras de

forma cilíndrica ó cónica, pues toda la formulación está basada alrededor de un eje axisimétrico incluyendo

las cargas.

Figura 3 Formulación del elemento ASOLID (SAP2000 Analysis Reference, 1997)


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SOLID: Es un elemento finito con formulación de ocho nodos para modelado tridimensional, se aplica un

esquema numérico de integración de 2x2x2. Cada elemento SOLID tiene seis caras cuadriláteras. Se han

realizado modelos, principalmente de conexiones de trabes de acero con columnas compuestas y se pueden

obtener muy claramente los esfuerzos en el concreto, placas y acero de refuerzo para este tipo de conexiones

que son muy frecuentes en la actualidad. Además, se pueden hacer modelos de estructuras con este tipo de

elemento finito, los resultados obtenidos son muy aceptables, pues modelan de manera más aproximada los

muros, losas ó suelo. Sin embargo, al estar cada elemento formado por seis caras, los recursos de cómputo son

muy altos, en los cuales cuando se intentan correr modelos de regular tamaño, en la práctica resulta poco

aceptable para estructuras a base de losas, trabes, columnas y muros.

Figura 4 Formulación del elemento SOLID (SAP2000 Analysis Reference, 1997)

DESCRIPCIÓN DE UNA ESTRUCTURA A BASE DE MUROS Y LOSAS DE CONCRETO REFORZADO ESTUDIADA A BASE DE ELEMENTO FINITO

Una Inmobiliaria de construcción de vivienda de interés social, tiene un proyecto estructural de un edificio de

departamentos de tres niveles, el cual tiene como sistema de estructuración losas de concreto de 100 mm

(10cm) de peralte, así como muros de concreto con diferentes posiciones y longitudes todos con un espesor

constante en toda la altura, de 100 mm (10cm), el sistema no tiene ninguna trabe porque las dimensiones de

aberturas para puertas y ventanas son de dimensiones pequeñas.

La estructura tiene en planta una superficie irregular. Consta de Planta Baja y tres niveles superiores. La

superficie de cada nivel es aproximadamente de 2x108 mm

2 (200m

2). La dimensión máxima de la

construcción es de 24,000 mm (24m) en el sentido longitudinal y de 8,980 mm (8.98m) en el transversal. La

altura de entrepiso es de 2500 mm (2.50m).

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Figura 5 Planta General de Cimentación del Edificio en estudio cuyos muros de concreto se repiten en 3

plantas los muros.

ESPECIFICACIÓN DE CARGAS BÁSICAS

La estructura se analizó utilizando la información contenida en el Proyecto Arquitectónico con el fin de

obtener los planos de carga de los diferentes niveles. Se definieron las siguientes especificaciones de cargas

básicas de acuerdo con el Reglamento vigente de Construcciones:

Planta Tipo.

* Losa de 10cm de espesor: 2.4 MPa (240 kg/m2)

* Acabado de piso: 1.8 MPa (18 kg/m2)

* Sobrecarga RCDF: 2 MPa (20 kg/m2)

_________

Carga Muerta: 2.78 MPa (278 kg/m2)

Carga Viva Máxima: 1.7 MPa (170 kg/m2)

Carga Viva Instantánea: 0.9 MPa (90 kg/m2)


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Azotea.

* Losa reticular de 10cm de peralte: 2.4 MPa (240 kg/m2)

* Relleno y acabado: 1 MPa (100 kg/m2)

* Sobrecarga RCDF: 0.2 MPa (20 kg/m2)

_________

Carga Muerta: 3.6 MPa (360 kg/m2)

Carga Viva Máxima: 1

MPa (100 kg/m2)

Carga Viva Instantánea: 0.7 MPa (70 kg/m

2)

PARÁMETROS DEL ANÁLISIS

Estructura del “Grupo B”.

Zona III ó del Lago

Coeficiente sísmico: c = 0.40

Factor de comportamiento sísmico: Q =2x0.8=1.6

Máxima distorsión permisible de entrepisos: Dr= 0.006H. (Considerado como muro diafragma)

Parámetros del Espectro Sísmico:

ao = 0.10

Ta = 1.25 seg.

Tb = 4.20 seg.

r = 2

Factores de Carga:

Cargas permanentes=1.4

Cargas accidentales=1.1

MATERIALES

Concreto en la cimentación: fć =2 MPa (200 kg/cm2)

Concreto en la superestructura: fć =2 MPa (200 kg/cm2)

Módulo de elasticidad del concreto: Ec = 2,500 fć ( Ec = 8, 000 f ć )

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Acero de refuerzo: fy = 4.2 MPa ( fy = 4, 200 kg/cm2 )

Malla electrosoldada: Fy = 5 MPa ( Fy = 5,000 kg/cm2 )

Módulo de reacción del suelo: k = 1.5 x 106 KN/m

3 ( k=150 Kg/cm

3 )

ANÁLISIS ESTRUCTURAL

Se realizó un análisis elástico lineal al modelo matemático tridimensional, representativo de la edificación

tomándose en cuenta los elementos que forman la estructura principal, siguiendo los lineamientos

establecidos por el Reglamento de Construcciones para el Distrito Federal y sus Normas Técnicas

Complementarias vigentes.

En este proceso se utilizó la aplicación del programa SAP2000 Versión 8.3.3, desarrollado en Berkeley

California por la empresa CSI (Computers and Structures Inc.), el cual genera automáticamente las cargas

correspondientes al peso propio de trabes y columnas, por lo que al modelo matemático se le aplicaron la

carga muerta y la carga viva actuando en la estructura. El programa SAP2000, es el más actualizado en cuanto

a algoritmos matemáticos y diseño con el Reglamento de Construcciones del D.F. para concreto, analiza la

estructura mediante la discretización de elementos finitos, tanto columnas, trabes, muros de concreto y

mampostería y realiza el análisis estructural y diseño de estos tanto ante cargas verticales como sísmicas y

toma en cuenta todos los elementos mecánicos que actúan sobre la estructura, tales como los efectos de

flexión, fuerza axial, cortante y torsión.

ANÁLISIS SÍSMICO

Las fuerzas sísmicas se evaluaron mediante un análisis dinámico modal espectral en dos direcciones

ortogonales, utilizando el espectro de diseño indicado en el Reglamento de Construcciones vigente y avalado

por el Estudio de Mecánica de Suelos.

Se realizó un análisis estructural para cada una de las condiciones básicas de cargas generadas: peso propio,

carga muerta, carga viva máxima, carga viva instantánea, sismo en dirección X, sismo en dirección Y, torsión

sísmica en X y torsión sísmica en Y.

El programa considera las masas localizadas en su lugar preciso. La respuesta sísmica se obtuvo como la raíz

cuadrada de la suma de los cuadrados de la respuesta modal, afectada por el factor de participación modal.

En el modelo analítico se verificó que el desplazamiento lateral total de la estructura y el desplazamiento

relativo de los entrepisos (distorsión de entrepiso) se encuentren dentro de los límites de servicio

reglamentarios de acuerdo al RCDF vigente.


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RESULTADOS DE LA CORRIDA

Peso de la superestructura:

(Incluye peso propio, carga muerta y carga viva reducida, no incluye cimentación)

Al nivel de cimentación: Wt = 4,260 KN (426 ton)

Periodo:

Sentido longitudinal: Tx = 0.21723 seg.

Sentido transversal: Ty = 0.08875 seg.

Cortante basal dinámico y estático:

Sentido longitudinal: Vsx = 62.4 ton.

Sentido transversal: Vsy = 44.3 ton.

Cortante estático Dir. X=426 KN (42.6 ton) (aoWo)

80% Vest.x = 453.3 KN (45.33 ton)

Cortante estático Dir. Y=426 KN (42.6 ton) (aoWo)

80 % Vesty = 435 KN (43.50 ton)

Desplazamiento lateral máximo del edificio.

Nivel azotea

Dsx = 4.2 mm (0.42cm) = 0.00056H < 0.006H, (10.7 veces menor)

Dsy = 0.52 mm (0.052cm) = 0.000069H < 0.006H, (86.9 veces menor)

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Figura 6 Modelo del Edificio en SAP 2000

Figura 7 Esfuerzos cortantes en muros de fachada posterior Eje Y=0.00, inferiores a 0.27 MPa

(2.7 Kg/cm2)


10

Figura 8 Esfuerzos cortantes en muros longitudinales interiores Eje Y=3.750, del orden de 0.8 MPa (8

Kg/cm2)

inferiores al resistente de = 0.86 MPa (8.6 Kg/cm

2) Cerca del límite.

Figura 9 Esfuerzos cortantes en muros de fachada principal remetida longitudinal Eje Y=1.250, inferiores

a 0.28 MPa (2.8 Kg/cm2)

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Figura 10 Esfuerzos cortantes en muros de principal Eje Y=0.000, longitudinal inferiores a 0.42 MPa (4.2

Kg/cm2)

Figura 11 Esfuerzos cortantes en muros de fachada lateral transversales Eje X=0.000, inferiores

de 0.135 MPa ( 1.35 Kg/cm2)


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Figura 12 Esfuerzos cortantes en muro interior transversal Eje X=6.000, inferiores a 0.22 MPa

(2.2 Kg/cm2)

Figura 13 Momentos en la losa del primer nivel (Niv. +2.50) por carga vertical menores a 10 KN – m

(1 ton-m)

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Figura 14 Momentos en la losa del segundo nivel (Nivel +5.00) por carga vertical menores a 10 KN – m

(1 ton-m)

Figura 15 Momentos en la losa de cimentación (Niv. +0.000) por carga vertical menores a 3 KN – m

(0.30 ton-m)


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Como se puede observar los esfuerzos cortantes de los muros interiores en la dirección longitudinal, en la

Planta Baja se presentan los valores mayores sólo en un muro. Se podría incrementar la fuerza sísmica en esa

dirección del orden de 1.075 veces y estaría en estado límite de resistencia dicho muro, sin embargo los otros

muros tomarían el excedente del que se presentara al incrementar dicha fuerza sísmica en esa proporción.

De la misma manera, en la dirección transversal, se podría incrementar la fuerza sísmica en esa dirección del

orden de 3.9 veces.

Lo anterior implica la aceptación de daño local en uno de los muros ya que el resto de muros de la dirección

estudiada (longitudinal ó transversal), tomarían el excedente de fuerza sísmica que se presente.

ANALOGÍA CON LA FORMA DE FALLA DE TRES BARRAS DE ACERO ESTRUCTURAL

La metodología mencionada en los párrafos anteriores, se compara con un sistema de tres barras de acero, a

las cuales se les somete a una fuerza creciente, hasta que van fallando las barras secuencialmente y de esta

forma se determina la carga máxima que resiste dicho sistema.

B C D

A

A´

T1

∆

α α

T2 T2

P

L

L

cos α

∆1

Figura 16 Presentación de las tres barras de acero en estudio

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∆1 = ∆ cos α Si las tres barras son del mismo material y son iguales entre sí

εAB = εAD = ∆1 = ∆ (cos α)2

L L

cos α

εAC = ∆ L

σAB = σAD = E(εAB ) = ∆ (cos α)2

T2 = AE ∆ (cos α)2

L L

σAC = σAD = E(εAC ) = ∆ T1 = AE ∆

L L

P = T1 + 2T2 (cos α) = AE ∆ + 2AE ∆ (cos α)3 = AE∆ ( 1 + 2(cos α)

3 )

L L L

PRIMERA OBSERVACIÓN

A medida que α se incrementa, baja la eficiencia de los tensores T2

A medida que α decrece, sube la eficiencia de los tensores T2

Por ejemplo: Si α= 45° (cos 45°)2 = 0.50

Si α= 0° (cos 0°)2 = 1 T1 = T2 = P

3

Si α= 90° (cos 90°)2 = 0 T1 = P

SEGUNDA OBSERVACIÓN

La primera barra en alcanzar el esfuerzo de fluencia σy es la barra AC y en ese momento, la fuerza que toma

es (T1)y = ( σy ) A. El criterio de aceptación por esfuerzos sería la presente condición, es decir

(T1)y = AE ∆1

L

El valor de σy ya no puede subir en la barra AC, y seguirá tomando la misma fuerza T1 y, aunque siga

deformándose verticalmente el punto A; el sistema no colapsa, ya que las otras dos barras controlan la

deformación ∆, hasta el momento en que también estas dos barras alcancen la fluencia, es decir:

(T2)y = AE ∆2 (cos α)2

L


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TERCERA OBSERVACIÓN

La deformación final del sistema, es ( ∆2 ), y sucede cuando las tres barras han alcanzado la fluencia.

El criterio de aceptación al final de este proceso, se basa en que la deformación final ( ∆2 ) esté por debajo de

valores aceptables, y que además se cumpla que la carga (P) factorizada sea menor ó igual que la resistencia

final también factorizada (Criterio plástico).

(F.C.) CARGA ≤ (F.R.) RESISTENCIA

F.C. > 1 F.R. < 1

Si ∆2 = ∆y

Py = AE( 1 + 2(cos α)3 ) ∆y

Por ejemplo:

(1.4)P ≤ (0.9) AE( 1 + 2(cos α)3 ) ∆y

B C D

L

T2 T2

A

P

Figura 17 Arreglo de las tres barras en estudio con α=45°

45° 45°

17


α= 45°

E=constante

A=constante

T1 = AE ∆

L

T2 = AE ∆ (0.50)

L

Cuando la barra AB llega a la fluencia:

(T1)y = A σy ∆1

εy L

(T2) = A σy ∆1(0.50)

εy L

P = σy A ∆1 ( 1 + 2(cos α)3 )

εy L

P = E A ∆1 ( 1.35 ) = 1.35 AE ∆1

L L

Si se permite más deformación, hasta que las barras AB y AD lleguen a la fluencia:

P = σy A ∆2 + σy A ∆2 (cos α)2 ) = σy A ∆2 (1 + 0.5) = 1.5 AE∆2

ε L ε L ε L L

Por tanto, el aumento de carga P es 1.50 = 1.11

1.35

Por ejemplo, si A= 100 mm2 (1 cm

2) E=constante

(T1)y = A σy = (1) σy

T2 = T1 = (1) σy

cos (45°) (2)cos (45°)


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P1 = σy (1 + 1 ) = 2.41 σy

cos 45°

Si sigue la deformación

(T1)y = A σy = (1) σy (Se mantiene igual)

T2 = T1 = (1) σy

cos (45°) (2)cos (45°)

P2 = σy (1 + 2 ) = 3.82 σy

cos 45°

3.82 = 1.59

2.41

Es decir, que el sistema soporta 59% más que el valor que aguanta con el primer criterio.

COMPARACIÓN ENTRE AMBOS CASOS

Aplicando este criterio para el caso de muros de concreto, en Edificaciones para habitación, sujetas a sismo.

Distorsión angular de entrepiso ∆ ≤ 0.006 (Criterio de aceptación)

H

El primer muro ó mocheta que presenta esfuerzo cortante mayor que el permisible, se elimina del

sistema y se vuelve a valor ∆ = 0.006, lo anterior no implica que las mochetas sobre-esforzadas

H

colapsen, ya que el resto de los muros controlan la deformación del conjunto, y sólo debe cuidarse el

grado de fisuramiento ó agrietamiento de las piezas sobre-esforzadas, para repararlas localmente en

caso de un evento sísmico mayor a la normativa.

CITAS, REFERENCIAS Y BIBLIOGRAFÍA Cook D.R., Malkus S.D. y Plesha E.M. (1989), “Concepts and Aplications of Finite Element Analysis”,

John Wiley & Sons pp. 501-541.

Tena C.A. (2007), “Análisis de Estructuras con Métodos Matriciales”, Limusa pp. 17-26.

Rosenblueth D.E. y Newmark M.N. (1976), “Fundamentos de Ingeniería Sísmica”, Diana pp. 475.

Meli P.R. (1985), “Diseño Estructural”, Limusa pp. 511-516.

SAP2000 (1995), “SAP2000 Analysis Reference Volume I”, Computers and Structures Inc. pp. 181-240.

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