”sobre la geometría local de variedades en espacios

”Sobrela geometría local de variedadesen espacios homogéneos”

Trabajo de investigación del programa de doctorado

”Matematicas”

José Luis Guijarro

Septiembre 2005

Índice General

0.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

I Las referencias móviles 9

1 Preliminares 11

2 Invariantes de orden 1 15

3 Invariantes de orden 2 19

4 Invariantes de orden q 21

5 El teorema de congruencia 23

6 El teorema de existencia: ecuaciones de estructura 29

7 El teorema de homogeneidad 31

II Problemas de clasificación 33

8 Curvas en geometría equiafín 35

9 Curvas en geometría afín 39

10 Curvas en geometría hiperbólica 43

11 Curvas en geometría de Möbius 45

12 Curvas en geometría proyectiva 49

13 Curvas en geometría de Lie 53

14 Superficies en geometría euclídea 65

3

4 ÍNDICE GENERAL

15 Superficies en geometría equiafín 7115.1 Puntos planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7215.2 Puntos parabólicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

15.2.1 Puntos cilíndricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7315.2.2 Caso genérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

15.3 Puntos elípticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7615.3.1 Cuádricas de revolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7715.3.2 Caso genérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

16 Geometría de Plücker 8116.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

16.1.1 Superficies regladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8416.1.2 Congruencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8516.1.3 Complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8616.1.4 El grupo de Plücker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

16.2 La clasificación de superficies regladas de P3 . . . . . . . . . . . . 8816.3 La clasificación de congruencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8916.4 La clasificación de complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

III Apéndice 91

17 Superficies Euclideas 9317.1 Preliminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9317.2 Método clásico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9717.3 Método de las ecuaciones reducidas. . . . . . . . . . . . . . . . . 103

18 Superficies equiafines 111

19 Alfabeto griego 113

IV Bibliografía 115

0.1. INTRODUCCIÓN 5

0.1 Introducción

Cuando me propuse dar una charla sobre la vida y la obra de S. Lie (1842 -1899) en el seminario de Historia de las matemáticas, no pensé que encontraríatanta riqueza de ideas. Y es que este matemático noruego empezó su carreracientífica con una geometría muy particular: la geometría de Lie. En 1868 enuna estancia en Berlín, conoció al joven F. Klein (1849 - 1925) quién conocíala geometría de Plücker. La amistad que surgió entre ambos fue muy fructíferapues Lie descubrió la relación entre ambas geometrías publicada en su tesisdoctoral, y Klein escribió su famoso programa de admisión en la Universidadde Erlangen, donde sentó las bases de lo que es y estudia una ”geometría deKlein”.

Al mismo tiempo, el profesor Lafuente me enseñó los trabajos de un sem-inario sobre la clasificación de las curvas en diferentes geometrías de Klein.Observé que la geometría de Lie y la de Plücker no estaban entre ellas y porotro lado la técnica empleada de Wilczinsky [14] era un poco ”ad hoc”. Decidíconsultar algunas fuentes y encontré el lecture notes [6] dónde se apreciaba unatécnica más refinada y sistemática: las referencias móviles de Cartan. Orientadopor el profesor Lafuente, fuí aplicando esta técnica al estudio de curvas que nosparecían más interesantes, y rápidamente la aplicamos al estudio de variedadesde mayor dimensión. Finalmente, apliqué estos conocimientos a la geometría dePlücker, que considero la parte más novedosa de este trabajo.

Una Geometría de Klein viene definida por un grupo de Lie G que actúadiferenciablemente sobre una variedad diferenciable M, de forma transitiva:

G×M → M(g, x) g · x

se denomina aM espacio base y a G grupo de transformaciones de la Geometría.Si M es una subvariedad de KPn y G es un subgrupo del grupo PGL(n,K),siendo K = R,C, entonces se habla de una geometría lineal. Son ejemplos, lageometría proyectiva, la afín con M = RP2 y G = PGL(3,R) / preservan unamisma recta, la euclídea con M = RP2 y G = PGL(3,R) / dejan invarianteuna misma recta y restringida a ella son una misma involución sin puntos fijos,la geometría de Möbius con M = CP1 y G = PGL(2,C), etc.

La acción de G sobre M , puede inducir de forma natural acciones

G×F → F(g, f) g · f

sobre determinadas familias F de objetos deducidas del espacio M o de even-tuales estructuras (diferenciable, métrica, conforme,...) sobre M . La propiedadque define a los objetos de F es por tanto conservada por el grupo G y sedenomina propiedad G−geométrica. Además, cada vez que tenemos una talfamilia F , queda planteado un problema de clasificación que consiste en buscarun criterio para saber cuándo dos objetos f , ef ∈ F son equivalentes, es decirestán en la misma órbita: existe g ∈ G, tal que g · f = ef . En general, el

6 ÍNDICE GENERAL

criterio más común es que exista una relación entre ciertas funciones definidassobre la familia de objetos de F . A dichas funciones, en general escalares, se lasdenominan invariantes.Podemos tomar en particular la familia de subvariedades en M : F = f :

S −→M / f es inmersión inyectiva y homeomorfismo sobre su imagen . Equiv-alentemente, se dirá que f ∈ F cuando f es un embedding. Dos de ellas f y efse dirán G-congruentes si existe una transformación g ∈ G, que lleva una en laotra, es decir ef(eS) = g · f(S). Nótese que dos variedades G-congruentes son enparticular difeomorfas y tienen por tanto la misma dimensión p. La dimensiónes por consiguiente una propiedad G−geométrica, y es por ello que los estudiosposteriores se dividen según la dimensión de la subvariedad.La teoría de G-geometría de variedades, consiste por tanto en estudiar aque-

llas propiedades de las subvariedades de M, que permanecen inalteradas porla acción del grupo G. Y el problema de G-clasificación de subvariedades enM consiste en encontrar los invariantes necesarios y suficientes para determinarcuando dos subvariedades en M son (o no son) G-congruentes. Son ejemplosparadigmáticos la geometría euclidea de curvas y superficies en el espacio, cuyosproblemas de clasificación tienen invariantes bien conocidos.Hay varias técnicas para encontrar unos invariantes completos en una ge-

ometría dada, expuestos de menor a mayor generalidad:

1. la ecuación tautológica de Wilczinsky [14], válido para el estudio de curvasen geometrías lineales

2. la teoría clásica de referencias móviles de Cartan [4], válida para ge-ometrías lineales

3. los fibrados de escamas de Lafuente [8], desarrollando el método de lasecuaciones reducidas

4. las referencias móviles de Cartan [6]

En este trabajo resumo la teoría básica del último método en la primeraparte, y luego lo aplico a diversos ejemplos en la segunda parte. En todosellos aparece una tabla resumen de la información encontrada, explicada en lapág.:22. Además cada uno de ellos ofrece distintos aspectos de esta teoría quepaso a detallar:

1. En las curvas equiafines se encuentran los invariantes a partir de unaparametrización dada

2. En las curvas afines se relacionan los invariantes con los de Wilczinsky

3. En las curvas hiperbólicas se encuentran las geodésicas y se comparan conla del modelo clásico de Lobachesky

4. En las curvas de Möbius se corrige una errata de [9]


5. En las curvas proyectivas se ve que las cónicas son todas congruentes,teorema que aparece en los libros de un primer curso de proyectiva peroque aquí se obtiene de una manera más elaborada

6. En las curvas de Lie se realiza el estudio en una geometría diferente de lasque aparece en la literatura

7. En las superficies euclídeas se compara este estudio con la teoría clásicade referencias móviles y con las ecuaciones reducidas, apareciendo ambasteorías en el apéndice

8. En las superficies equiafines, para puntos elípticos se llega a deducir laequivalencia de este estudio con el desarrollado por Spivak en [13] y recogi-do en el apéndice; y además para puntos parabólicos se ve claramente queaparecen algunos tipos de subvariedades clasificadas por las referenciasmóviles que la geometría diferencial clásica realizada por Spivak no clasi-fica.

9. En geometría de Plücker se clasifican las superficies regladas de RP3 ,las congruencias y los complejos, pensando que este era el aspecto másnovedoso de este trabajo pues no tenía constancia de que estas clasifi-caciones diferenciables se hubiesen llevado a cabo. Pero algunos mesesmás tarde encontré el libro [5] donde se emplea la geometría de Plücker yuna técnica muy básica de geometría diferencial proyectiva, para clasificartambién las superficies regladas de RP3 , las congruencias y los complejos.Sin embargo, igual que ocurre en las superficies equiafines, no se obtienenclasificados tantos tipos de subvariedades como el que yo presento usandolas referencias móviles de Cartan. Por último mencionar que sí existen des-de hace tiempo muchas clasificaciones desde un punto de vista algebraico[3], aspecto este que no está contemplado en este trabajo.

La tercera parte es el apéndice, donde he incluido extractos de otras fuentespara clarificar y apoyar algunas conclusiones de la segunda parte. Es por esoque a veces la notación de estos capítulos es un poco diferente de la que heempleado en las dos partes primeras, y algunos conceptos están poco o nadaexplicados, pero referidos a trabajos de la bibliografía. Por último he incluidoel alfabeto griego por que a lo largo de todo el trabajo he ido usando el ordensecuencial de las letras, cosa que ya se hacía en tiempos de Euclides: contarusando el alfabeto.

Quiero agradecer a D.Javier Lafuente la atención prestada y las largas charlasclarificadoras que me han orientado en todo este trabajo

8 ÍNDICE GENERAL

Parte I

Las referencias móviles

9

Capítulo 1

Preliminares

En esta primera parte se va a tratar de cuatro aspectos de la geometría local devariedades en espacios homogéneos

1. El orden de contacto entre subvariedades de la misma dimensión

Como punto de partida está el círculo osculador de una curva en geometríaeuclídea, noción que lleva al radio de curvatura, cuyo inverso es un invari-ante. Se ve así que la noción de aproximación de una variedad por otra,ofrece información geométrica importante. Concretando, se tiene:

Definición 1 Sea M una variedad m dimensional, f : S −→ M ef :eS −→M dos inmersiones de dos subvariedades p dimensionales.f, ef tienen orden de contacto al menos 0 en s ∈ S, es ∈ eS cuando f(s) =ef(es)f, ef tienen orden de contacto al menos 1 en s ∈ S, es ∈ eS cuando f(s) =ef(es) y Tsf(TsS) = Tes ef(Tes eS) como subespacios de Tf(s)MPara generalizar estas definiciones y definir el orden de contacto superior,se emplea el fibrado Grassmaniano de p planos tangentes deM, Gm,p(M).Cualquier inmersión h : N −→M de una p variedad, induce una aplicacióndiferenciable Th : N −→ Gm,p(M)

n Tnh(TnN)y con esto, se puede redefinir

el orden de contacto al menos 1 en s ∈ S, es ∈ eS cuando Tf (s) = T ef(es).Además, como h = πTh siendo π la proyección del fibrado Grassmaniano,Th es inmersión, por lo que se puede repetir el proceso y definirM (k+1) =

Gmk,p(M(k)), mk = dim M (k), T

(k+1)h = T

T(k)h

: N −→ M(k+1), k =

0, 1, 2... siendo M(0) =M, T(0)h = h.

Definición 2 f, ef tienen orden de contacto al menos k en s ∈ S, es ∈ eScuando T (k)f (s) = T (k)ef (es)

11

12 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES

Si f, ef tienen orden de contacto al menos k en s ∈ S, es ∈ eS pero no ordenk + 1, se dice que f, ef tienen orden de contacto k en s ∈ S, es ∈ eSComo en espacios homogéneos se tiende a identificar subvariedades que seobtienen una de otra por la acción de un elemento del grupo de Lie, setiene esta otra definición un poco más general

Definición 3 f, ef tienen orden de G-contacto al menos k en s ∈ S, es ∈ eScuando existe g ∈ G tal que g · f, ef tienen orden de contacto al menos k

2. La congruencia de variedades

Ya en los elementos de Euclides se recoge el criterio de que dos figurasdel plano euclídeo son iguales cuando hay un movimiento que mueve unafigura exactamente sobre la otra. El plano euclídeo se generaliza poruna geometría de Klein; el movimiento en dicha geometría euclídea vienegeneralizado por el grupo de Lie que actúa transitivamente; y la nociónde igualdad sigue siendo la misma: dos subvariedades son iguales cuandohay un elemento del grupo de Lie que transforma una en la otra. Estanoción de igualdad se denomina congruencia. Concretando, se tiene:

Definición 4 Sea M una variedad m dimensional,G un grupo de difeo-morfismos de M, f : S −→ M ef : eS −→ M dos embedding de dossubvariedades p dimensionales. f, ef son G congruentes cuando existe unatransformación g ∈ G / g(f(S)) = ef(eS)Como f, ef son embedding, se tiene que son G congruentes si y sólo siexiste una transformación g ∈ G y un difeomorfismo F : S −→ eS /g f = ef F : S −→M

Y es el teorema de congruencia (teorema 19) el que da unos criterios algo-rítmicos, necesarios y suficientes para saber cuándo dos subvariedades soniguales. Mirandolo detenidamente, la igualdad radica en tres conceptos:

(a) las referencias de Frenet de orden q, que no se calculan explícita-mente en los ejemplos, pero sí su orden que está reflejado en la tablaresumen de cada ejemplo. Como muestra de que se puede calcularexplícitamente las referencias de Frenet, está el ejemplo de las curvasen la geometría equiafín, donde se realizan todos los cálculos, y se veclaramente la dificultad de hacerlo.

(b) la sección de cierta acción, Wq que está calculada siempre. Sin em-bargo, la naturaleza de dicha sección obliga a tratar subvariedadesque tienen todos sus puntos ”pertenecientes” a dicha sección. Co-mo ejemplo, las superficies en geometría equiafín que se consideran,constan sólo de puntos planos, o sólo de puntos parabólicos o sóloelípticos (donde los hiperbólicos se han excluido por brevedad), pero

13

no aparece el caso de una superficie con una zona de puntos elípti-cos separados de otra zona de puntos hiperbólicos por una fronterade puntos parabólicos, por ejemplo. Es este el mayor defecto de es-ta teoría y por tanto el punto más importante para ser revisado enposteriores trabajos.

(c) los invariantes kf : S −→ R, que son funciones definidas sobreel abierto de parametrización de la subvariedad f : S −→ M, ydependientes de dicha parametrización de tal modo que dada otraparametrización ef : eS −→M congruente con f, es decir que verifiqueque ef ψ = g · f siendo ψ : S −→ eS un difeomorfismo y g ∈ G, setenga que

k ef ψ = kfAl igual que las referencias de Frenet, los invariantes no se calculanexplícitamente, salvo en el ejemplo de curvas equiafines, donde se veque en caso de necesidad es posible hallar en cualquier ejemplo losinvariantes en cualquier parametrización.

En resumen, estos tres conceptos sí son algorítmicos en el sentido depoder calcularse en cualquier parametrización, como se refleja en las cur-vas equiafines, pero el esfuerzo necesario hace que sólo se calculen aquellosque tengan una razón especial. Además el interés principal es saber cuán-tos tipos de congruencia hay, que son precisamente las filas de la tablaresumen de cada ejemplo, o bien identificar la variedad tipo de cada clasede congruencia, integrando una distribución sobre M, D(y) explicada enel teorema de homogeneidad.

3. La existencia de variedades con invariantes prefijados

Para encontrar una variedad que de lugar a unos invariantes dados, estosdeben de satisfacer las ecuaciones de estructura como se verá en el teoremade existencia.

4. Las simetrías de las variedades

Como ejemplo, las superficies de revolución en geometría euclídea ad-miten las rotaciones alrededor de un eje como simetrías. Encontrar estassimetrías como subgrupos de G es el resultado del teorema de homogenei-dad

14 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES

Todos estos aspectos tienen dos enfoques diferentes aunque relacionados

1. Los problemas donde la subvariedad está parametrizada, es decir se con-sideran las inmersiones f, ef : S −→M y se calculan los invariantes paraf y ef definidos todos ellos sobre S

2. Los problemas no parametrizados donde se consideran las inmersionesf : S −→M y ef : eS −→M

La diferencia de estos problemas se ilustra considerando el contacto de orden1 y la congruencia:

En el primer problema f y ef tienen al menos orden de contacto 1 en s ∈ Ssi f(s) = ef(s), y Tsf = Ts ef como aplicaciones lineales de TsS → Tf(s)M. Y soncongruentes si existe g ∈ G / f = g ef como funciones sobre S.

En el segundo problema f y ef tienen al menos orden de contacto 1 en s ∈ Sy es ∈ eS si f(s) = ef(s), y Tsf(S) = Tes ef(eS) como subespacios de Tf(s)M. Y soncongruentes si existe g ∈ G / f(S) = g ef(eS) como subconjuntos de M.En este trabajo se consideran sólo los problemas no parametrizados, pero

en las curvas equiafines se calcula el parámetro de arco, que daría lugar a unejemplo del primer enfoque: estudiar la congruencia de curvas parametrizadaspor longitud de arco. Y en las superficies euclídeas se calcula la parametrizacióngeométrica con la misma idea de dar posibles ejemplos del primer enfoque.

Capítulo 2

Invariantes de orden 1

Partimos de una subvariedad f : S →M, y una acción transitiva G×M −→Mque permite escoger cualquier punto m0 ∈ M como origen y definir τ : G −→M como τ(g) = gm0. Sea G0 el subgrupo de isotropía de m0, que permitedescomponer g = m0 ⊕ g0 siendo m0 un suplementario que salvo que G seacompacto, en general no es AdG0 invariante. Sea Eii=1..g una base adaptadaa dicha descomposición. Con el siguiente diagrama donde π es el fibrado dereferencias, y τ corresponde a la diagonal, se tiene que ei = Teτ(Ei)i=1..mforman una base de Tm0M.

Gh0−→ L(M)

↓ π0τ

& ↓ πG/G0 ' M

Se define h0(g) = g∗m0(e1), ..., g∗m0

(em) que es una aplicación fibrada porqueπh0(g) = gm0, gm0 = gkm0 = gm0. A partir de ella se define

TmMhg0−→ Rm

v (vi) / v = vig∗m0(ei) gm0 = m

Con respecto al producto del grupo, se tiene que para k ∈ G0, h0(gk) =g∗m0

(k∗m0(ei)) = g∗m0

(ρ0jiej) = g∗m0(ej)ρ0ji lo que se abreviará co-

mo h0(g)ρ0(k). Y también hgk0 (v) = (v0i) siempre que v = v0ig∗m0(k∗m0

(ei)) =v0ig∗m0

(ρ0jiej) = v0iρ0jig∗m0(ej) que comparado con la definición, queda vj =

ρ0jiv0i lo que quiere decir que h

g0 = ρ0(k)h

gk0 , siendo ρ0 : G0 −→ GL(m,R)

k k∗m0

¯ei = πm0

Adk|m0

siendo πm0 Adk|m0en definitiva la submatriz de la matriz de Adk correspon-

diente a m0

Definición 5 Una referencia de orden 0 en s es u0(s) ∈ G / u0(s)m0 = f(s)

15

16 CAPÍTULO 2. INVARIANTES DE ORDEN 1

Equivalentemente, τ(u0(s)) = f(s). El conjunto de referencias de orden 0,

L0 es el pullback de π0 :L0

u0 ↑↓ πfS

πf = f∗π0. Las secciones del fibra-

do asociadoGm,p(M)

Tf ↑↓ πf,aS

proporcionan la información sobre la aplicación

tangente de f de tal manera que Tf(s) = [u0(s),λ0(u0(s))] siendo

λ0 : L0 −→ Gm,pg hg0(Tsf(TsS))

Esta aplicación es equivariante: λ0(gk) = ρ0(k)−1λ0(g).

Lema 6 Sea g ∈ G entonces λ0(g) = λ0(gg) estando referidas a f, gf respecti-vamenteDemostración. Sea h0(g) = g∗m0

(e1), ..., g∗m0(em) ≡ vi y h0(gg) =

g∗gm0(vi). Sea η = Tsf(ξ) y η = Ts(gf)(ξ) = g∗f(s)(η), entonces

hg0(η) = (ηi) / η = ηivihgg0 (η) = (η

0i) / η = η0ig∗gm0

(vi)

pero η = g∗f(s)(η) = ηig∗f(s)(vi) de donde ηi = ηi. No hay que olvidar que g, ggson 0-referencias de f, gf.

Pero el resultado fundamental de toda esta teoría, útil incluso para el cálculopráctico es el siguiente resultado: sea Ω ∈ Λ1(G, g) la forma de Maurer - Cartan,que dada la descomposición inicial, se descompone como Ω = Θ0 + ω0 y en labase de m0 considerada, se escribe Θ0 = θiEi i = 1..m. Sea φα α = 1..puna base de T ∗S cualquiera, tan solo sujeta a que escogida una 0-referenciau ∈ L0 se verifique que u∗θi = φi i = 1..p. Esta elección permite manejar ciertasfunciones xiα : S → R obtenidas de la expresión u∗θi = xiα(s)φα con xiα = δiαpara i = 1..p

Teorema 7 λ0(u(s)) =

·Ipxiα(s)

¸i = p+ 1..m α = 1..p

Demostración. Tsf(ξ) =τu=f

Tu(s)τ Tsu (ξ) = Tu(s)τ TeLu(s) Tu(s)Lu(s)−1 Tsu (ξ) =

Tu(s)τ TeLu(s) Ω(Tsu(ξ)) =τLu(s)=u(s)τ

u(s)∗m0Teτ u

∗Ωs(ξ) = u(s)∗m0Teτ (u∗θ0+

u∗ω0)(ξ) = u(s)∗m0Teτ (u

∗θi(ξ)Ei) = u∗θi(ξ) u(s)∗m0Teτ (Ei) =

h0(u)=viu∗θi(ξ) vi = xiα(s)φ

α(ξ)vi Luego hu0 (Tsf(ξ)) = (xiα(s)φα(ξ)) y en general

en una base ξβ de TsS se tiene que hu0(Tsf(TsS)) = [xiα(s)φα(ξβ)] = [xiα(s)]

ya que φα(ξβ) ∈ GL(p,R)

17

Las ecuaciones de Maurer-Cartan de G, dθa = −12 cabcθb ∧ θc a, b, c = 1..gsiendo c los coeficientes de estructura, imponen relaciones entre estas funcionesque se deben tener en cuenta para el posterior uso de ellas.

Ahora se considera la acción

G0 × Gm,pρ0−→ Gm,p

k σ ρ0(k)(σ) = (πm0 Adk|m0)(σ)

y supongamos que existe una sección W1 con dim W1 = µ1

Definición 8 Una referencia de orden 1 en s, respecto W1, es u1(s) ∈ G /u1(s)m0 = f(s), λ0(u1(s)) ∈W1

Sea L1 el conjunto de referencias de orden 1, es decir

L1 = λ−10 (W1)

dando una subvariedad de L0, que fibra sobre S, con fibra G1 el subgrupode isotropía de W1 por ρ0. Como λ0 es constante en las fibras: si g ∈ L1k ∈ G1 entonces λ0(gk) = ρ0(k)

−1λ0(g) = λ0(g); λ0(u1(s)) no depende de la1-referencia empleada.

Definición 9 Dada una carta en W1 ψ ≡ wi :W1 → Ri=1..µ1 los invariantesde orden 1 son

ki(s) = wi(λ0(u1(s)))

El motivo de dicha definición viene dado por el siguiente teorema:

Teorema 10 Sean f : S −→ M ef : eS −→ M dos subvariedades de M p-dimensionales, sobre las que se pueden construir invariantes de orden 1. f, eftienen al menos orden de G−contacto 1 en s ∈ S es ∈ eS ⇐⇒ f, ef están en lamisma sección W1 y tienen los mismos invariantes en s ∈ S es ∈ eS

Demostración. =⇒) ∃g ∈ G / gf y ef tienen al menos orden de contacto 1en s ∈ S es ∈ eS, es decir Tgf (s) = T ef(es). Sean u0(s), eu0(es) referencias de orden0. Entonces gu0(s) es una 0-referencia de gf(s) y se tiene por el lema anteri-or que Tgf (s) = [gu0(s),λ0(u0(s))] mientras que T ef(es) = [eu0(es),λ0(eu0(es))]. Alser iguales ∃k ∈ G0 /

½gu0(s)k−1 = eu0(es)ρ0(k)λ0(u0(s)) = λ0(eu0(es)) de donde se deduce que

λ0(u0(s)), λ0(eu0(es)) están en la misma órbita y puede ser escogida una mis-ma sección W1 y unas 1-referencias u1(s), eu1(es) de tal modo que λ0(u1(s)) =λ0(eu1(es)) dando por tanto los mismos invariantes⇐=) Sean u1(s), eu1(es) 1-referencias / λ0(u1(s)) = λ0(eu1(es)). Sea g =eu1(es)u1(s)−1 ∈ G. Entonces por el lema anterior Tgf(s) = [gu1(s),λ0(u1(s))] =

[eu1(es),λ0(eu1(es))] = T ef (es) es decir f, ef tienen orden de G−contacto 1 en s ∈ Ses ∈ eS

Capítulo 3

Invariantes de orden 2

Supongamos queM1 es subvariedad M1 ≡ G/G1 ×W1 ,→ Gm,p(M)(g, w) [g, w]

de

tal forma que Tf (S) ⊂ M1. Entonces se tiene una acción G ×M1 −→ M1 queactúa por la identidad sobre la segunda componente. Descomponiendo g0 =m1 ⊕ g1 , readaptando la base Eii=1..g , definiendo ei = T(e,w)τ1(Ei)i=1..m1

siendo m1 = dim(m0 +m1) y usando el siguiente diagrama

G×W1h1−→ L(M1)

↓ π1 × idτ1& ↓ π

G/G1 ×W1 = M1

se define h1(g, w) = g∗(e,w)(e1), ..., g∗(e,w)(em1), (∂w1)(g,w), ..., (∂wµ1 )(g,w) queda lugar a las mismas definiciones y con las mismas propiedades que en el

apartado anterior:ρ1 : G1 −→ GL(m1 + µ1,R)

k (πm0+m1 Adk|m0+m1)× Id

λ1 : L1 −→ Gm1+µ1,p

g h(g,λ0(g))1 (TsTf(TsS))

verificando también el siguiente teorema

Teorema 11 λ1(u1(s)) =

Ipxiα(s)kj ,α (s)

i = p+ 1..m1 j = 1..µ1 α = 1..p

Demostración. Partiendo de Tf (s) = τ1((u1(s),λ0(u1(s)))) se tiene que:TsTf(ξ) = Ts(π1u1)(ξ)⊕Ts(λ0u1)(ξ) = u∗1θi(ξ) TeLu1 Teπ1(Ei)⊕ dkj(ξ) (∂wj )λ0 =xiα(s)φ

α(ξ) (u1)∗(e,λ0)T(e,λ0)τ1(Ei)⊕ kj;α(s)φα(ξ)(∂wj)λ0 lo que significa que h

(u1,λ0(u1))1 (TsTf(TsS)) =

(xiα(s)φα(ξβ), k

j;α(s)φ

α(ξβ))

19


Observación 12 las funciones kj ,α (s) no aparecen en los ejemplos prácticosdebido a que no son necesarias para el cálculo posterior

Las ecuaciones de Maurer-Cartan de G, imponen relaciones entre estas fun-ciones, que deben ser tenidas en cuenta para la elección de la siguiente secciónW2.Se considera también la acción

G1 × Gm1+µ1,pρ1−→ Gm1+µ1,p

k σ ρ1(k)(σ) = (πm0+m1 Adk|m0+m1

)(σ)

y supongamos que existe una sección W2 con dim W2 = µ2

Definición 13 Una referencia de orden 2 en s, respecto W2, es u2(s) ∈ G /u2(s)m0 = f(s), λ0(u2(s)) ∈W1, λ1(u2(s)) ∈W2

Sea L2 el conjunto de referencias de orden 2, es decir

L2 = λ−11 (W2)

dando una subvariedad de L1, que fibra sobre S, con fibra G2 el subgrupode isotropía de W2 por ρ1. Como λ1 es constante en las fibras: si g ∈ L2k ∈ G2 entonces λ1(gk) = ρ1(k)

−1λ1(g) = λ1(g); λ1(u2(s)) no depende de la2-referencia empleada.

Definición 14 Dada una carta en W2 adaptada a W1, ψ ≡ wii=1..µ2 losinvariantes de orden 2 son

ki(s) = wi(λ1(u2(s))) i = µ1 + 1..µ2

Capítulo 4

Invariantes de orden q

Para llegar a los invariantes de orden q se construye sucesivamente

• La subvariedad Mq−1 = G/Gq−1 ×Wq−1

• La aplicación equivariante λq−1 : Lq−1 −→ Gmq−1+µq−1,p cuya expresión

en una carta de Wq−1 es

Ipxiα(s)kj ,α (s)

i = p + 1..mq−1 j = 1..µq−1

α = 1..p

• La acción adjunta ρq−1 : Gq−1 ×Gmq−1+µq−1,p −→ Gmq−1+µq−1,p

• Una sección Wq de dicha acción, cuyo subgrupo de isotropía es Gq

• Las referencias de orden q, Lq que dan lugar a los invariantes de orden q,que a su vez determinan el G-contacto de orden q.

Al suponer que este es el último paso, estas referencias se llaman de Frenet.Para que sea así sólo puede ocurrir de 2 maneras:

1. ρq = id por lo que Wq+1 = Gmq+µq ,p y su subgrupo de isotropía coincidecon Gq. En este caso Lq+1 = Lq y las referencias de Frenet no son únicas,sino tienen dim Gq grados de libertad, pudiendo aparecer nuevos mq +µq − (mq−1 + µq−1) invariantes de orden q + 1. Hay que notar que en lapráctica, no es la acción ρq la que se mira sino el subgrupo de isotropíaGq+1, por eso cuando se ve que Gq+1 = Gq es porque se está en el pasoq + 1, pero las referencias de Frenet son de orden q y los invariantes deorden q+1. Para distinguir esta situación un tanto anómala, en las tablasresumenes se ha indicado este último paso con tilde: ]q + 1

21

22 CAPÍTULO 4. INVARIANTES DE ORDEN Q

G0 m0 λ0 ec.comp. ρ0 W1 L1 inv.orden 1I G1 m1 λ1 ec.comp. ρ1 W2 L2 inv.orden 2· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·q Gq mq λq ec.comp. ρq Wq+1 Lq+1 inv.orden q + 1

id Gmq+µq ,p Lq mq + µq − (mq−1 + µq−1)]q + 1 Gq+1 mq+1 λq+1 ec.comp. ρq+1 Wq+2 Lq+2 inv.orden q + 2

Gq

2. Gq = Id En este caso la referencia de Frenet es única en cada s ∈ S.Sin embargo, el proceso al continuar proporciona una acción adjunta ρq :Id × Gg+µq ,p −→ Gg+µq ,p que induce como sección Wq+1 = Gg+µq ,p ypueden aparecer nuevos g+µq − (mq−1+µq−1) invariantes de orden q+1a pesar de que las referencias tengan orden q ya que Lq+1 = Lq

G0 m0 λ0 ec.comp. ρ0 W1 L1 inv.orden 1I G1 m1 λ1 ec.comp. ρ1 W2 L2 inv.orden 2· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·q − 1 Gq−1 mq−1 λq−1 ec.comp. ρq−1 Wq Lq inv.orden q

unicaq Gq mq λq ec.comp. ρq Wq+1 Lq+1 inv.orden q + 1

Id Gg+µq ,p Lq g + µq − (mq−1 + µq−1)

Estos pasos se pueden repetir tantas veces como permita la clase de diferen-ciabilidad de las variedades. Pero ya no surgen nuevos invariantes porque en elprimer caso las componentes xiα quedan estabilizadas en i = mq, y en el segundocaso en i = g. Lo que sí aparecen son las derivadas sucesivas de los invariantesya encontrados. Es por esto que si f : S −→ M ef : eS −→ M son dos sub-variedades de M p-dimensionales, sobre las que se pueden construir invariantesde orden q + 1, f, ef están en la misma sección Wq y tienen al menos orden deG−contacto q + 1 en s ∈ S es ∈ eS entonces tienen orden de G−contacto k paracualquier k.Más todavía, si f, ef son G congruentes ∃g ∈ G / gf = ef. Entonces si u ∈ Lq

es una referencia de Frenet para f , por la propiedad de λq−1 se tiene queλfq−1(u) = λgfq−1(gu) luego eu ≡ gu es una referencia de Frenet para gf = ef ydespejando g = u−1eu, es decir las referencias de Frenet dan la congruenciaComo resumen, se presenta en cada problema de clasificación una tabla

donde cada fila corresponde a una clase de G-congruencia. Las primeras colum-nas indican los pasos que se han dado; la columna ”ref. F” indica el orden delas referencias de Frenet; la columna ”inv” proporciona todos los invariantesescalares que determinan dicha clase de congruencia, y como subíndice figura elorden de cada invariante; cuando no aparecen invariantes es porque todas lasvariedades de este tipo son ya congruentes; y por último en algunos casos dondehay una variedad tipo, se dice cuál es, integrando la distribución D(y) explicadaen el teorema de homogeneidad.

Capítulo 5

El teorema de congruencia

Lema 15 Sea f(x) = h(x)g(x) : M −→ G entonces f∗Ω = g∗Ω+Adg−1(h∗Ω)

Demostración. Considerando Txf = TgLh Txg + ThRg Txh se tiene quef∗Ω =Ωhg(TgLh Txg)+Ωhg(ThRg Txh) = ThgLg−1h−1 TgLh Txg+ ThgLg−1h−1ThRg Txh =TgLg−1 Txg+ TgLg−1 ThgLh−1ThRg Txh = TgLg−1 Txg+ TgLg−1 TeRg ThLh−1 Txh =g∗Ω+Adg−1(h∗Ω)

Teorema 16 Sean u, eu : S −→ G dos aplicaciones diferenciables de una var-iedad conexa S en un grupo de Lie G.

∃g ∈ G fijo / u(s) = g eu(s)⇐⇒ u∗Ω = eu∗ΩDemostración. =⇒) Ω es invariante por la izquierda⇐=) G ⊂ GL(n,R) : entonces Ω = g−1dg. Derivando la expresión u(s) =

g(s)eu(s) se obtiene que u−1du = u−1dg eu+eu−1deu y queda claro que dg = 0⇐⇒u∗Ω = eu∗Ω

En el caso general se utiliza el hecho de que una aplicación diferenciableh : S −→ G es constante ⇔ h∗Ω = 0 ya que Ω proporciona una base delespacio dual del tangente en cada punto de G. Supongamos por otra parteque u(s0) = eu(s0) = e ya que de lo contrario se considerarían las funcionesu(s0)−1u(s) y eu(s0)−1eu(s). Sean ξ, η ∈ TeG los vectores tangentes en s0 a lascurvas u(s) y eu(s). Entonces ξ − η ∈ TeG es el tangente en s0 a la curvau(s)eu(s)−1 luego h∗Ω = u∗Ω−eu∗Ω y aplicando la hipótesis se deduce el resultadoTeorema 17 Sea ϕ ∈ Λ1(M,g) una 1-forma con valores en g sobre una var-iedad conexa, simplemente conexa M

∃f :M −→ G / f∗Ω = ϕ⇐⇒ dϕ = −[ϕ,ϕ]siendo f única salvo traslaciones a izquierda

23

24 CAPÍTULO 5. EL TEOREMA DE CONGRUENCIA

Demostración. =⇒) Son las ecuaciones de Maurer-Cartan para Ω⇐=) Localmente alrededor de un punto x0 ∈ M : sea x0 ∈ U ⊂ M un

entorno del punto. Usando la aplicación exponencial se encuentra g : U −→G / g(x0) = e , g∗Ω = ϕ en x0. Sea f(x) = h(x)g(x). Si h verificase queh∗Ω = Adg(ϕ− g∗Ω) ≡ ψ entonces f∗Ω = ϕ por el lema anterior. ψ verifica 1)ψ(x0) = 0 2) dψ = −[ψ,ψ]1. Sobre U×G se considera el sistema diferencial exterior dado por la 1-formacon valores en g : θ = π∗1ψ−π∗2Ω. Este sistema es completamente integrableporque dθ = −[π∗1ψ, π∗1ψ] + [π∗2Ω, π∗2Ω] = −[θ,π∗1ψ]− [π∗2Ω, θ] = 0(θ)

2. Sobre T(x0,e)U ×G la ecuación θ(x0) = 0 define Tx0U

Con estas 2 condiciones se verifica el teorema de Fröbenius por lo que sepuede encontrar una variedad integral maximal V del sistema diferencial θ = 0que pasa por (x0, e). Como T(x0,e)V = T(x0,e)(U × e) , V es el grafo de unaaplicación h : U −→ G, verificandose que 0 = (id×h π1)∗θ = π∗1ψ−π∗1h∗Ω dedonde h∗Ω = ψGlobalmente sobre M : se recubre M por abiertos Uα sobre los que hay

aplicaciones fα : Uα −→ G / f∗αΩ = ϕ. En Uα ∩ Uβ sea gαβ = f−1α · fβ.Como g∗αβΩ = f∗βΩ + Adf−1β

(f−1∗α Ω) = f∗βΩ + Adf−1β((Iv fα)∗Ω) = f∗βΩ +

Adf−1β(f∗α(Iv

∗Ω)) = f∗βΩ−Adf−1β(f∗α(AdfαΩ)) = f

∗βΩ−Adf−1β fα

(f∗αΩ) = f∗βΩ−

Adg−1αβ(f∗αΩ) Luego se cumple que g∗αβΩ+Adg−1αβ (ϕ) = ϕ lo que permite construir

un fibrado principal π sobre M con fibra G, y una conexión ω de tal maneraque las secciones locales σα relacionadas por σαgαβ = σβ verifican σ∗αω = ϕ. Deaquí se ve que ω es plana y como M es simplemente conexo existe una secciónglobal σ / σ∗(ω − π∗ϕ) = 0, es decir que σ∗ω = ϕ. Definiendo jα : M −→ G através de σ = σαjα se deduce que f ≡ fαjα está bien definida sobre todo M.Además f∗Ω = j∗αΩ+ Adj−1α (f

∗αΩ) = j

∗αΩ+Adj−1α (ϕ) = ϕ porque ϕ = σ∗ω =

Adj−1α (σ∗αω) + j

∗αΩ

Corolario 18 Sean f : S −→M ef : eS −→M dos p-subvariedades del espaciohomogéneo M = G/G0.

f, ef son G congruentes⇔ ∃u ∈ Γ(πf), eu ∈ Γ(π ef ) F : S −→ eS difeomorfismo/ u∗Ω = (eu F )∗Ω

Demostración. ⇒) ∃g ∈ G / gf = ef F : S → M. Luego si eu es una0-referencia de ef entonces eu F es una 0-referencia de ef F y u ≡ g−1(eu F )es una 0-referencia de f. Entonces u∗Ω = (eu F )∗Ω por ser Ω invariante por laizquierda⇐) Por el primer teorema, ∃g ∈ G fijo / u = g(eu F ). Pero f = π0 u =

π0 (g(eu F )) = g(π0 eu F ) = g( ef F )Teorema 19 El teorema de congruencia. (Cartan 1937)

f, ef son G congruentes ⇐⇒ 1) sus referencias de Frenet son de orden q2) corresponden a las mismas secciones Wq

3) ∃ψ : S −→ eS difeomorfismo / ka = eka ψ ∀a ≤ µq+1

25

Demostración. =⇒) por construcción de los invariantes⇐=) Sean u, eu referencias de Frenet de f, ef. Por el corolario anterior,es su-

ficiente encontrar un difeomorfismo F : S −→ eS y K : S −→ Gq tales que

(uK)∗Ω = F∗eu∗ΩDada la descomposición g = m ⊕ gq se tiene que Ω = θ + ω. De donde

(uK)∗(θ+ω) =K∗(θ+ω)+AdK−1(u∗(θ+ω)) =K∗ω+AdK−1u∗θ+AdK−1u∗ω =K∗(ω|Gq )+AdK−1u∗θ|m+AdK−1u∗θ|gq+AdK−1u∗ω =K∗(ω|Gq

)+AdK−1u∗θ|m+

AdK−1u∗Ω|gq de donde se ve que actuando sólo sobre m nos queda:

(uK)∗Ω|m = AdK−1u∗θ|m

Por lo tanto, tener F,K es equivalente a tener dos condiciones

½AdK−1u

∗θ|m = F∗eu∗θK∗(ω|Gq

) + AdK−1u∗Ω|gq = F∗eu∗ω

Introducimos coordenadas de la siguiente manera:La construcción de los invariantes ya ha establecido una base deG Eaa=1..g

adaptada a la descomposición g = m⊕ gq =qPi=0

mi ⊕ gq

1.

1 ≤ a, b, c, d, e ≤ g = dimG1 ≤ i, j, k, l ≤mq = dim m mq + 1 ≤ λ, µ, ν ≤ g1 ≤ α,β,γ, δ, ² ≤ p = dimS 1 ≤ A,B ≤ µq = dimWq

1 ≤ ς ≤ n n+ 1 ≤ ε ≤ p

2.

Ω = θa ⊗Ea θ = θi ⊗ Ei ω = θλ ⊗Eλ ω|Gq= κλ ⊗Eλ

3.

[Eb, Ec] = cabcEa dθa = − 1

2cabcθ

b ∧ θc ciλµ = 0

4.

AdgEa =HbaEb

AdemásHcaH

eb cdce Ed =H

caH

eb [Ec,Ee] = [AdgEa,AdgEb] = Adg[Ea, Eb] =

ccab AdgEc = ccabH

dc Ed

Y para g ∈ Gq Hiλ = 0


5.

d AdK = AdK adK∗ω

Partiendo de S K−→ (Gq, ω|Gq ) ⊂ (G,ω)Ad−→ GL(g) y de

TS −→ TG = G× gZ TK(Z) = (K,ω(TK(Z))

donde TK(Z) = (K,K∗ω(Z)) = TLK(K∗ω(Z)), se calcula: (d AdK)s(Z) =g=K(s)

(d Adg)(TsK(Z)) = (TsK(Z))g(Adg) = TeLg (K∗ω(Z)) (Adg) = d

dt

¯0AdCTeLg(K∗ω(Z))(t) =

ddt

¯0AdgCK∗ω(Z)(t) = Adg

ddt

¯0AdCK∗ω(Z)(t) = Adg adK∗ω(Z). Entonces

también se deduce que adK∗ω = AdK−1dAdK = −dAdK−1AdK es de-cir dAdK−1 = −adK∗ω AdK−1 lo que en coordenadas queda dHb

a =−cbλcHc

a κλ

6.

bφα ≡ ((uK)∗θ)αComo ρq en cualquier caso está siendo una acción trivial, se obtiene unamatriz A no singular de orden p ∀i, a través de: Hi

jxjα = Aβ

αxiβ . Resul-

ta que esta matriz da el cambio entre φα y bφα : (uK)∗θ = AdK−1(u∗θ)|m =AdK−1(u

∗θi ⊗ Ei)¯m= u∗θi⊗Hj

iEj =Hji u∗θi⊗Ej . Luego bφα ≡ ((uK)∗θ)α =

Hαi u∗θi = Hα

i xiβφ

β = Aγβx

αγφ

β = Aαβφ

β

7. Sea n ∈ 0, 1, 2...p el número máximo de invariantes de f independi-entes sobre S. Sean ζ1, ζ2, ..., ζn dichos invariantes. Entonces ka =ha(ζ1, ζ2, ..., ζn) para algunas funciones h. Por la tercera hipótesis, tam-bién existe la misma relación funcional entre los invariantes eka.Así, eζ1, ..,eζnson independientes, ζς = eζς ψ, y eka = ha(eζ1, ..,eζn) para las mismas fun-ciones h.

8. Siempre se puede suponer que dζ1, dζ2, ..., dζn,φn+1, ...,φp son una basedel cotangente T ∗S. Entonces si dζς = ζς;αφ

α las n primeras columnas de(ζς;α) forman un menor invertible. Al ser las funciones ζς , ζς;α invariantes,

se obtiene también que dζς = ζς;αbφα para cualquier referencia de Frenet

u. Luego dζ1, dζ2, ..., dζn, bφn+1, ..., bφp también forman una base de T ∗S.Análogamente deζς = eζς;αeφα. Pero como ζς;α = eζς;α ψ también las n

primeras columnas de (eζς;α) son linealmente independientes, por lo quedeζ1, deζ2, ..., deζn, eφn+1, ..., eφp forman también una base de T ∗ eS.

Con esto la demostración prosigue intentando expresar en coordenadas lasdos condiciones anteriores. Por un lado AdK−1u

∗θ|m = Hji u

∗θi ⊗ Ej =

27

Hji x

iαφ

α ⊗ Ej = Aβαx

jβφ

α ⊗ Ej mientras que F∗eu∗θ = F ∗(exjβeφβ) ⊗ Ej. SiF preserva los invariantes, es decir ka = eka F entonces F∗exjβ = xjβ . Por otrolado, K∗(κλ ⊗ Eλ) + AdK−1u

∗Ω|gq = (K∗κλ + Hλa u∗θa) ⊗ Eλ mientras que

F ∗eu∗ω = F∗eu∗θλ ⊗Eλ. En resumen(Aβαφ

α = F ∗eφβ ; ka = eka FK∗κλ +Hλ

a u∗θa = F∗eu∗θλ

Luego F,K deben ser soluciones del sistema diferencial exterior:

(F∗eφβ − bφβ = 0

F∗eu∗θλ −Hλa u∗θa −K∗κλ = 0

sujetas a la condición: ka = eka FEn la variedad Sp × eSp × Gg−mq

q sea X2p−n+g−mq = (s, es, g) / ζς(s) =eζς(es) . Sobre ella se definen las 1-formas(ηα = eφα(es)− bφα(s)

ξλ = eu∗θλ(es)−Hλa (g) u

∗θa(s)− κλ(g)

Sea D ≡ ηα = 0, ξλ = 0 una distribución sobreX. Demostrando que dim D =p, que proyecta sobre TsS en cada punto y que es involutiva, se tendrían definidasF,K con la propiedad que ζς(s) = eζς(F (s)) de donde ka = eka F.Entonces:

1. dim D = pξλ son linealmente independientes por serlo κλ. ηε también son lin-ealmente independientes como se vio anteriormente. Por último, ηςdependen de los anteriores: de la igualdad dζς = ζς;α

bφα y poniendo lamatriz (ζς;α) = (a, b) siendo a el menor invertible, se tiene que

bφ1...bφn = a−1

dζ1...dζn

− a−1bbφn+1...bφp

Análogamente sobre eS. Pero sobre X, ζς = eζς , (ζς;α) = (eζς;α) de donde

η1

...ηn

=

eφ1...eφn−

bφ1...bφn = −a−1b

ηn+1

...ηp


Luego D está determinado por p−n+ g −mq ecuaciones independientes,por lo que su dimensión vale 2p− n+ g −mq− (p− n+ g −mq) = p.

2. Sean e1, ..., ep ee1, ..., eep, las bases duales de dζ1, dζ2, ..., dζn, bφn+1, ..., bφpdeζ1, deζ2, ..., deζn, eφn+1, ..., eφp. Sea v = vαeα ∈ TsS y a partir de él, sedefine ev = vαeeα ∈ Tes eS y w = (eu∗θλ(ev) −Hλ

a u∗θa(v))Eλ ∈ gq, entonces

(v, ev,w) ∈ D(s,es,g) y este vector proyecta sobre TsS3. D es involutiva: dηα, dξλ = 0 módulo ηα, ξλSobre X, exiα = xiα, eφα = Hα

i u∗θi, κλ = eu∗θλ −Hλ

a u∗θa

(a) deφα = eu∗dθα = −12 cαbc eu∗θb∧eu∗θc = −12cαij xiβxjγ eφβ∧eφγ−cαiλ xiβ eφβ∧eu∗θλdbφα = d(Hα

i u∗θi) = −cαλjHj

i xiβ κ

λ∧φβ+Hαi u∗dθi =−cαλjHj

i xiβ κ

λ∧φβ − 1

2Hαi c

ibc u

∗θb ∧u∗θc = −cαλjHji x

iβ κλ ∧φβ − 1

2Hαi c

ijk x

jβx

kγ φβ ∧

φγ −Hαi c

ijλ x

jβ φβ ∧ u∗θλ

dηα = (−12cαij x

iβx

jγ H

βkH

γl x

kδx

l²+c

αλjH

jiH

λk x

iδxk²+

12Hαi c

ijk x

jδxk² ) φ

δ∧φ²+ (−cαiλHβ

j xiβx

jδ −cαλjHj

i xiδ) φ

δ∧eu∗θλ+ (cαµjHjiH

µλ x

iδ+H

αi c

ijλ x

jδ) φ

δ∧u∗θλ modηα, ξλPara φδ∧u∗θλ : se amplía el rango de los índices debido a los múltiplesceros que hay, y sale cαabH

biH

aλ x

iδ+H

αi c

ijλ x

jδ = c

cλiH

αc x

iδ+c

jiλH

αj x

iδ =

cjλiHαj x

iδ + c

jiλH

αj x

iδ = 0

Para φδ∧eu∗θλ :−cαiλHβj x

iβx

jδ −cαλjHj

i xiδ =−cαiλxiβ Aγ

δxβγ−cαλjAβ

δ xjβ =

−cαiλAβδ x

iβ − cαλiAβ

δ xiβ = 0 porque x

βγ = δβγ por la elección de las φ

α

Para φδ ∧ φ² : − 12cαij H

ikH

jl x

kδx

l² + c

αλjH

jiH

λk x

iδxk² +

12Hαi c

ijk x

jδxk² =

−12cαij HikH

jl x

kδx

l²−cαjλHj

iHλk x

iδxk²+

12 cjikH

αj x

iδxk² =−12cαij Hi

kHjl x

kδx

l²−

cαiλHikH

λl x

kδx

l²+

12cjikH

αj x

iδxk² = −12 cαabHa

kHbl x

kδx

l²+

12cjklH

αj x

kδx

l² =

−12caklHαa x

kδx

l² +

12 caklH

αa x

kδx

l² = 0

(b) Se demuestra análogamente dξλ = 0 módulo ηα, ξλ sin necesidadde utilizar ninguna propiedad adicional, aunque la siguiente fórmulaayuda a los cálculos: xjαH

αi u∗θi = Hj

i u∗θi módulo ηα, ξλ porque

xjαHαi u∗θi−Hj

i u∗θi = xjαeφα−Hj

i xiβφ

β = xjαeφα−xjαAα

βφβ = xjα(

eφα−bφα) = xjαηα

Capítulo 6

El teorema de existencia:ecuaciones de estructura

Sea S ⊂ Rp un dominio conteniendo el cero, 0 ∈ S0 ⊂ S ⊂ Rp, S0 un abiertointercalado, φ1, ...,φp una base de T ∗S, kA, xaα, funciones diferenciables sobreS, de tal manera que xiα = F

iα(k

1, ..., kµq ) donde F iα son funciones determinadaspor Wq ⊂ Gmq+µq ,p

Teorema 20 ∃ f : S0 −→M un embedding de una subvariedad p dimensionalde M, sujeta a la sección Wq con un conjunto de invariantes de ordenes ≤ qk1, ..., kµq si y sólo si

½dφα = −cαbc xbβxcγ φβ ∧ φγ β < γxaβ;γ − xaγ;β = (cabc − xaαcαbc) xbβxcγ p < a

Demostración. ⇒) Sea u una referencia de Frenet para f, de tal forma queu∗θa = xaαφ

α teniendo además que u∗θα = φα o lo que es lo mismo xβα = δβα.Derivando y aplicando las ecuaciones de Maurer-Cartan du∗θa = −12 cabcu∗θb ∧u∗θc de donde sale las primeras ecuaciones. Para p < a se sigue d(xaαφ

α) =− 12cabc x

bβx

cγ φβ ∧ φγ ; dxaα ∧ φα + xaαdφ

α = − 12cabc x

bβx

cγ φβ ∧ φγ ; usando las

primeras ecuaciones xaγ;βφβ ∧ φγ = 1

2xaαc

αbc x

bβx

cγ φβ ∧ φγ − 1

2cabc x

bβx

cγ φβ ∧ φγ ;

luego (xaγ;β − 12xaαc

αbc x

bβx

cγ +

12cabc x

bβx

cγ) φ

β ∧ φγ = 0. Entonces xaβ;γ − xaγ;β =−xaαcαbc xbβxcγ + cabc xbβxcγ de donde se siguen las segundas ecuaciones.⇐) Sea φa = xaαφα por supuesto con xβα = δβα, y sea ϕ = φa⊗Ea ∈ Λ1(S, g).

Por la hipótesis, dϕ = − 12ϕ ∧ ϕ por lo que existe u : S0 −→ G / u∗Ω = ϕ. Sea

f = τ u : S0 −→M. Construyendo los invariantes de f se ve que son parte delos xiα que al depender de las k

A estas forman los invariantes.

Observación 21 En la teoría de curvas p = 1 no existen ecuaciones de estruc-tura

29

30CAPÍTULO 6. EL TEOREMADEEXISTENCIA: ECUACIONESDEESTRUCTURA

Capítulo 7

El teorema dehomogeneidad

Teorema 22 Sea f : S −→M un embedding de una subvariedad p dimensionalde M, sujeta a la sección Wq con un conjunto de invariantes de ordenes ≤ qk1, ..., kµq y sea k : S −→ Rµq la aplicación cuyas componentes son los invari-antes; y sea y ∈ Rµq un valor regular de k, y Y (y) = k−1(y) una subvariedad deS. Entonces existe un subgrupo cerrado (Gq)0 ⊂ H(y) ⊂ G de tal manera quef(Y (y)) es G congruente a una subvariedad abierta de τ(H(y)) es decir

∃g ∈ G / gf(Y (y)) ⊆ τ(H(y))

Demostración. Sea u una referencia de Frenet de f, u∗θi = xiαφα, con

xβα = δβα. Entonces xiα = F

iα(k

1, ..., kµq) son constantes sobre Y (y) ⊂ S.Sea D(y) la distribución invariante a izquierda de G definida por

D(y) ≡ θi = xiα(y)θα; kA;αθα = 0

31

32 CAPÍTULO 7. EL TEOREMA DE HOMOGENEIDAD

Obsérvese que i = 1..p no define ninguna ecuación, y que como n es el máx-imo número de invariantes independientes sobre S, entonces rg(kA;α) = n. Endefinitiva hay mq − p + n ecuaciones independientes por lo que dim(D(y)) =g+p−mq−n. Además Y (y) es una subvariedad de codimensión n. Si n = 0, loque significa que no hay invariantes o que todos los invariantes son constantes,entonces Y (y) = S.

Sea Lq ⊂ G la subvariedad de referencias de orden q de f. Hemos visto que elfibrado Lq −→ S tiene como fibra u(s)Gq(λq(u(s))) ∀s ∈ S. Pero k : S −→ Rµqson las coordenadas de λq respecto del sistema de coordenadas elegido en Wq

por lo que Lq restringido a Y (y) trivializa, es decir Lq(y) = Y (y)×Gq(y).Lq(y) es una subvariedad integral de D(y) y por lo tanto sus traslaciones a

izquierda siguen siendo subvariedades integrales por cualquier punto de G. PerodimLq(y) = dimY (y) + dimGq(y) = p− n+ g −mq = dimD(y) luego D(y)es involutiva, es decir es una subalgebra de Lie de g.

SeaH(y) el subgrupo deG, cuya álgebra de Lie es D(y). EntoncesH(y) y sustraslaciones a izquierda son las subvariedades integrales maximales de D(y). Portanto, H(y) contiene la componente conexa de la identidad de Gq(y). Y comotambién Lq(y) es una subvariedad integral, existe g ∈ G / gu(Y (y)) ⊂ H(y).Entonces gf(Y (y)) = gτu(Y (y)) = τ(gu(Y (y))) = τ(H(y))

Observación 23 Realmente hay que calcular H(y)/Gq(y) puesto que es lo quemueve a m0

Parte II

Problemas de clasificación

33

Capítulo 8

Curvas en geometríaequiafín

ref.F. inv.

I fIIa 1 rectasIIb III 3 κ4

El grupo de Lie G = SL(2,R)sR2 actúa transitivamente sobre R2 y seescoge como origen el punto m0 = (0, 0). Hay dos clasificaciones: una generalque utiliza AdK−1u∗θ|m ; y la segunda en coordenadas, que usa (uK)∗Ω|m1. Invariantes de orden 1

(a) Su grupo de isotropía es G0 = SL(2,R) que permite tomar Θ0 =

θ1µ10

¶+θ2

µ01

¶.Una 0-referencia verifica que u∗0θ

1 = xφ u∗0θ2 =

yφ y siendo k0 = A ∈ G0 la acción adjunta actúa de tal modo quesobre la Grassmaniana

·µ exey¶¸

= A−1·µ

xy

¶¸de donde se con-

sidera la sección W1 =

·µ10

¶¸que consta de un solo punto en la

Grassmaniana, por lo que no hay invariantes de orden 1.

(b) Dada una curva α(t) = (x(t), y(t)) ⊂ R2 una 0-referencia viene dadapor

u0 =

½I,

µx(t)y(t)

¶¾y como

©u∗0θ

1 = x0(t) dt u∗0θ2 = y0(t) dt mirando al apartado 1a

se escoge k0 =½µ

x0 ay0 b

¶,

µ00

¶¾∈ G0 con x0b− y0a = 1, de tal

modo que se obtiene una 1-referencia

35

36 CAPÍTULO 8. CURVAS EN GEOMETRÍA EQUIAFÍN

u1 = u0k0 =

½µx0 ay0 b

¶,

µxy

¶¾2. Invariantes de orden 2

(a) El estabilizador de W1 es G1 =½µ

a b0 a−1

¶¾⊂ G0 que per-

mite tomar Θ1 = ω21

µ0 01 0

¶. Las 1 referencias verifican pues½

u∗1θ1 = φ u∗1θ

2 = 0u∗1ω21 = xφ

y siendo k1 ∈ G1 la acción adjunta actúa de

tal modo que sobre la Grassmaniana resulta

10a3x

de dondese consideran las secciones W2a = x = 0 W2b = x = 1 que al serpuntuales indican que no hay invariantes de orden 2

(b) u∗1Ω = (u0k0)∗Ω = k∗0Ω + Adk−10 (u∗0Ω) = k−10 dk0+ Adk−10

(u∗0Ω) =½µbx00 − ay00 ba0 − ab0x0y00 − x00y0 x0b0 − y0a0

¶,

µ10

¶¾de donde se tiene que

½u∗1θ

1 = dt u∗1θ2 = 0

u∗1ω21 = (x0y00 − x00y0) dty mirando al apartado 2a se deduce que al elegir

k1 =

½µ 1(x0y00−x00y0)1/3 c

0 (x0y00 − x00y0)1/3¶,

µ00

¶¾∈ G1

se consigue una referencia de orden 2:

u2 = u1k1 =

(Ãx0

(x0y00−x00y0)1/3 cx0 + a(x0y00 − y0x00)1/3y0

(x0y00−x00y0)1/3 cy0 + b(x0y00 − x00y0)1/3!,

µxy

¶)

3. Invariantes de orden 3

(a) Hay dos posibilidades

i. El estabilizador de W2a es G2 = G1

ii. El estabilizador deW2b es G2 =½µ

1 b0 1

¶¾⊂ G1 que permite

tomar Θ2 = µ

µ1 00 −1

¶. Las 2 referencias verifican pues u∗2θ

1 = φ u∗2θ2 = 0

u∗2ω21 = φ

u∗2µ = xφy siendo k2 ∈ G2 la acción adjunta actúa

37

de tal modo que sobre la Grassmaniana

101

x− b

de donde

se considera la sección W3 = x = 0 y por tanto tampoco hayinvariantes de orden 3

(b) Mediante la fórmula u∗2Ω = (u1k1)∗Ω = k∗1Ω+Adk−11 (u∗1Ω) = k

−11 dk1+

Adk−11(u∗1Ω) resulta

u∗2θ

1 = (x0y00 − x00y0)1/3 dt u∗2θ2 = 0

u∗2ω21 = (x0y00 − x00y0)1/3 dtu∗2µ = (bx

00 − ay00 − c(x0y00 − y0x00)2/3 − 13x0y000−x000y0x0y00−x00y0 ) dt

y mirando al apartado 3aii se deduce que al elegir

k2 =

(Ã1 bx00−ay00

(x0y00−x00y0)1/3 − c(x0y00 − x00y0)1/3 − 13

x0y000−x000y0(x0y00−x00y0)4/3

0 1

!,

µ00

¶)∈

G2 se consigue una referencia de orden 3:

u3 = u2k2 =

x0

(x0y00−x00y0)1/3x00(x0y00−x00y0)− 1

3x0(x0y000−x000y0)

(x0y00−x00y0)5/3y0

(x0y00−x00y0)1/3y00(x0y00−x00y0)− 1

3y0(x0y000−x000y0)

(x0y00−x00y0)5/3

,µ xy

¶4. Invariantes de orden 4

(a) El estabilizador deW3 esG3 = I que permite tomarΘ3 = ω12

µ0 10 0

¶

La 3 referencia verifica pues

u∗3θ

1 = φ u∗3θ2 = 0

u∗3ω21 = φu∗3µ = 0u∗3ω

12 = κφ

siendo por tanto

κ un invariante de orden 4: la curvatura equiafín(b) Mediante la fórmula anterior se obtiene el valor de u∗3ω12 que propor-

ciona el valor de la curvatura equiafín en coordenadas:

κ(t) =1

3

x0000y0 − x0y0000(x0y00 − x00y0)4/3 +

4

3

x000y00 − x00y000(x0y00 − x00y0)4/3 +

5

9

(x000y0 − x0y000)2(x0y00 − x00y0)7/3

De la referencia de Frenet se puede obtener un parámetro de arco τidentificando la primera columna v1 con el vector tangente a la curva:v1 =

dαdτ= α0 1dτ

dt

de donde dτdt= (x0y00−x00y0)1/3. Se calcula también

que las ecuaciones de Frenet para esta referencia son:

µdv1dτdv2dτ

¶=

µ0 1κ 0

¶µv1v2

¶obteniendose el mismo valor de la curvatura.

38 CAPÍTULO 8. CURVAS EN GEOMETRÍA EQUIAFÍN

Como aplicación del teorema de homogeneidad, se calcularán las curvas decurvatura constante de esta geometría, entre ellas las geodésicas.

Sea D ≡θ2 = 0, ω21 = θ1, µ = 0, ω12 = κθ1 una distribución sobre G =SL(2,R)sR2 siendo κ una constante. Aquí, g = 5, n = 0, p = 1, mq = 5, luegodim H = 1 siendo H el subgrupo de Lie cuya órbita que pasa por (0, 0) da lacurva en cuestión.

H = exp

½µ0 κ1 0

¶t,

µ10

¶t

¾Como en el producto semidirecto la exponencial viene dada por exp(A, v) =

(eA,∞Pi=0

Ai

(i+1)!v) y dado que la acción empieza en (0, 0), sólo es necesario calcular

la entrada (1, 1) y (2, 1) del sumatorio. (1, 1) = 1 +P

κn t2n

(2n+1)!= 1√

κt(√κt+P (

√κt)2n+1

(2n+1)! ) =senh(

√κt)√

κt(2, 1) = t

2 +P

κn t2n+1

(2n+2)! =1t (t2

2 +P (

√κt)2n+2

κ(2n+2)! ) =

1κt(

(√κt)2

2 +P (

√κt)2n+2

(2n+2)! ) =cosh(

√κt)−1

κt y al aplicar la acción queda la curva

(x(t) = senh(

√κt)√

κ

y(t) = cosh(√κt)−1

κ

y para las geodésicas queda

½x(t) = t

y(t) = t2

2

Capítulo 9

Curvas en geometría afín

ref.F. inv.

I fIIa 1 rectas

IIb III fIV a 3 parabolasIVb 4 κ5

Se considera R2 con origen enm0 = (0, 0), sobre el que actua transitivamenteel producto semidirecto GL(2,R)sR2 de dimensión 6.


El subgrupo de isotropía de m0 es G0 = SL(2,R) que permite tomar

Θ0 = θ1µ10

¶+ θ2

µ01

¶. Una 0-referencia verifica u∗0θ

1 = xφ u∗0θ2 =

yφ y siendo k0 = A ∈ G0 la acción adjunta actúa de tal modo que sobre laGrassmaniana

·µ exey¶¸

= A−1·µ

xy

¶¸de donde se considera la sección

W1 =

·µ10

¶¸que consta de un solo punto en la Grassmaniana, por lo

que no hay invariantes de orden 1.


El estabilizador de W1 es G1 = µa b0 d

¶/ ad 6= 0 que permite tomar

Θ1 = α

µ0 01 0

¶. Una 1-referencia verifica

½u∗1θ

1 = φ u∗1θ2 = 0

u∗1α = xφy

siendo k1 ∈ G1 la acción adjunta actúa de tal modo que sobre la Grass-

maniana resulta

10

a2d−1x

de donde se consideran las secciones

W2a = x = 0 y W2b = x = 1 ambas unipuntuales por lo que no hayinvariantes de orden 2.

39

40 CAPÍTULO 9. CURVAS EN GEOMETRÍA AFÍN


(a) El estabilizador de W2a es G2 = G1

(b) El estabilizador deW2b es G2 = µa b0 a2

¶/ a 6= 0 lo que permite

tomarΘ2 = β

µ2 00 1

¶. Una 2-referencia verifica

u∗2θ1 = φ u∗2θ

2 = 0u∗2α = φu∗2β = xφ

y la acción adjunta proporciona

101

x− a−2b

cuya secciónW3 =

x = 0 no da lugar a invariantes de orden 3


El estabilizador deW3 esG3 = µa 00 a2

¶/ a 6= 0 yΘ3 = γ

µ0 10 0

¶.

Una 3-referencia verifica

u∗3θ

1 = φ u∗3θ2 = 0

u∗3α = φu∗3β = 0u∗3γ = xφ

y la acción adjunta pro-

porciona

1010a2x

que admite dos secciones W4a = x = 0 y W4b =

x = 1 unipuntuales por lo que no hay invariantes de orden 4.5. Invariantes de orden 5


(b) El estabilizador deW4b es G4 = I por lo que Θ4 = δ

µ1 00 2

¶. Una

4-referencia verifica

u∗4θ

1 = φ u∗4θ2 = 0

u∗4α = φu∗4β = 0u∗4γ = φu∗4δ = κφ

siendo κ la curvatura

afín, invariante de orden 5.

Para calcular las curvas de curvatura constante, se integra la distribuciónD ≡θ2 = 0, α = θ1, β = 0, γ = θ1, δ = κθ1 sobre GL(2,R)sR2; y siendog = 6, n = 0, p = 1, mq = 6, sale que dim H = 1 siendo H el subgrupo de Liecuya órbita que pasa por (0, 0) da la curva en cuestión.

41

H = exp

½µκ 11 2κ

¶t,

µ10

¶t

¾

Y siendo B =

µκ 11 2κ

¶, dicha curva viene dada por la ecuación A(t) =µ

x(t)y(t)

¶= 1

tB−1(eBt − I)

µt0

¶= (eBt − I)B−1

µ10

¶= 1

2κ2−1(eBt −

I)

µ2κ−1

¶. En el trabajo de Wilczinsky (14) dada una curva en R2, A(t),

y siendo p = − |A000 A0|

|A00 A0| q =|A000 A00||A00 A0| K = q− p0

3− 2p2

9, su curvatura afín viene

dada por

κ = 1p|K| (−p3 + K0

2K)

y para la curva en cuestión se obtiene que p = 3κ, q = 2κ2 − 1, K = −1 yfinalmente κ = −κ

42 CAPÍTULO 9. CURVAS EN GEOMETRÍA AFÍN

Capítulo 10

Curvas en geometríahiperbólica

ref.F. inv.I 1 κ2

Como espacio hiperbólico se considera H2 = (x, y, z) ⊂ R3 / x2+ y2− z2 =−1, z > 0 que es una hoja del hiperboloide de 2 hojas; y como origen se tomam0 = (0, 0, 1). El grupo de Lie que actúa transitivamente es O(2, 1) de dimensión

3 y su álgebra de Lie viene dada por o(2, 1) = 0 a b−a 0 cb c 0

/ a, b, c ∈ R


El subgrupo de isotropía de m0 es G0 = cos ϕ −sen ϕ 0sen ϕ cos ϕ 00 0 1

quepermite tomar Θ0 = α

10

1

+β 0

11

. Una 0-referenciaverifica que u∗0α = xφ u∗0β = yφ y la acción adjunta actúa de tal modo

que sobre la Grassmaniana·µ exey

¶¸=

µcos ϕ sen ϕ−sen ϕ cos ϕ

¶·µxy

¶¸de donde se considera la sección W1 =

·µ10

¶¸que consta de un solo

punto en la Grassmaniana, por lo que no hay invariantes de orden 1.


El estabilizador deW1 esG1 = I que permite tomarΘ1 = γ

1−1

0

.43

44 CAPÍTULO 10. CURVAS EN GEOMETRÍA HIPERBÓLICA

Las 1 referencias verifican pues½u∗1α = φ u∗1β = 0u∗1γ = κφ

siendo por tanto κ

un invariante de orden 2: la curvatura hiperbólica.

En esta geometría, las geodésicas son las imágenes bajo la acción del grupo,de la curva (senh t, 0, cosh t)Para la comparación de este resultado con el obtenido clásicamente, hay que

fijarse en otros modelos de dicha geometría:

1. El modelo de Beltrami:

H2B = (x0 : x1 : x2) ∈ RP2 / x20 + x21 − x22 < 0

PGL(3,R) / deja invariante la conica x20 + x21 − x22 = 0

2. El modelo de Poincaré:

H2P = z ∈ C / |z| < 1

ρµ

α ββ α

¶/ αα− ββ = 1 ⊂ PGL(2,C)

3. El modelo de Lobachesky

H2L = z ∈ C / Im z > 0

PSL(2,R)

y sus correspondientes relaciones:

H2 −→ H2B −→ H2P −→ H2L(x, y, z) (x : y : z) x+iy

z+1i−yz−x

Entonces en la geometría de Lobachesky, las geodésicas resultan las imágenesbajo PSL(2,R) de la curva 1

cosh t−senh t i que es un resultado bien conocido

Capítulo 11

Curvas en geometría deMöbius

ref.F. inv.

I II gIIIa 2 rectasIIIb IV 4 κ5

Se considera el conjuntoM2 = (t : x : y : z) ∈ RP3 / −t2+x2+y2+z2 = 0y el origen m0 = (1 : 1 : 0 : 0). El grupo de Lie que actua transitivamente esla componente conexa de la identidad de O(3, 1) de dimensión 6 y cuya álgebra

de Lie viene dada por 0(3, 1) =

0 a b ca 0 u vb −u 0 wc −v −w 0

/ a, b, c, u, v,w ∈ R


El subgrupo de isotropía dem0 esG0 =

ρ2+12ρ

+ ρ2(c2 + d2) ρ2−1

2ρ− ρ

2(c2 + d2)

ρ2−12ρ + ρ

2 (c2 + d2) ρ2+1

2ρ − ρ2 (c

2 + d2)

c −cd −d

ρ(c cos ϕ+ d sen ϕ)ρ(c cos ϕ+ d sen ϕ)

cos ϕsen ϕ

ρ(−c sen ϕ+ d cos ϕ)ρ(−c sen ϕ+ d cos ϕ)

−sen ϕcos ϕ

que permite tomarΘ0 =

α

1

01

0

+ β

1

00

1

. Una 0-referencia verifica queu∗0α = xφ u∗0β = yφ y la acción adjunta actúa de tal modo que sobre la

Grassmaniana·µ exey

¶¸=

µρ2+12ρ


¶+ ρ

2 (c2 − d2)

µ −cos ϕ sen ϕsen ϕ cos ϕ

¶−

45

46 CAPÍTULO 11. CURVAS EN GEOMETRÍA DE MÖBIUS

ρdc

µsen ϕ cos ϕcos ϕ −sen ϕ

¶¶ ·µxy

¶¸de donde se considera la sección

W1 =

·µ10

¶¸que consta de un solo punto en la Grassmaniana, por

lo que no hay invariantes de orden 1.


El estabilizador de W1 es G1 obtenido de G0 imponiendo las condiciones

sen ϕ = 2ρ2dc√(ρ2(c2+d2−1)−1)2+4ρ2d2(1+ρ2)

cos ϕ = ρ2(c2−d2−1)−1√(ρ2(c2+d2−1)−1)2+4ρ2d2(1+ρ2)

y por tanto de dimensión 3. Esto permite tomarΘ1 = γ

00

−11

y las 1 referencias verifican pues

½u∗1α = φ u∗1β = 0u∗1γ = xφ

y la acción adjunta

actúa de tal modo que sobre la Grassmaniana resulta

10

2ρ1−ρ2(c2−1) (x+ ρd)

de donde se obtiene la sección W2 = x = 0 que al ser puntual indicaque no hay invariantes de orden 2


El estabilizador de W2 es G2 obtenido de G1 con d = 0 ⇒ sen ϕ = 0

cos ϕ = 1 es decir G2 =

ρ2+12ρ

+ ρ2c2 ρ2−1

2ρ− ρ

2c2 ρc 0

ρ2−12ρ + ρ

2 c2 ρ2+1

2ρ − ρ2 c2 ρc 0

c −c 1 00 0 0 1

y di-

mensión 2. Entonces Θ2 = δ

1

0 10 0

1 −1

y una 2-referencia ver-

ifica

u∗2α = φ u∗2β = 0u∗2γ = 0u∗2δ = xφ

y la acción adjunta sale

1002

ρ2+1−ρ2c2x

de donde se obtienen dos secciones W3a = x = 0 y W3b = x = 1unipuntuales por lo que tampoco hay invariantes de orden 3



47

(b) El estabilizador de W3b se obtiene para c =q1− 1

ρ2 es decir G3 =

ρ 0

pρ2 − 1 0

ρ− 1ρ

1ρ

pρ2 − 1 0√

ρ2−1ρ −

√ρ2−1ρ 1 0

0 0 0 1

de dimensión 1. Se consid-

eraΘ3 = ²

0

1−1

0

y una 3-referencia verificau∗3α = φ u∗3β = 0

u∗3γ = 0u∗3δ = φu∗3² = xφ

Al aplicar la acción adjunta sale

1001

ρ2x+ 1− ρ2

cuya única

sección es W4 = x = 0 por lo que no hay invariantes de orden 45. Invariantes de orden 5

El estabilizador de W4 es G4 = I. Luego Θ4 = ζ

1

100

y una

4-referencia verifica

u∗4α = φ u∗4β = 0

u∗4γ = 0u∗4δ = φu∗4² = 0u∗4ζ = κφ

luego κ es la curvatura de la

geometría de Möbius y es de orden 5.

48 CAPÍTULO 11. CURVAS EN GEOMETRÍA DE MÖBIUS

Capítulo 12

Curvas en geometríaproyectiva

ref.F. inv.

I fIIa 1 rectas

IIb III IV eVa 4 conicasVb V I 6 κ7

Se considera el conjunto RP2 y el origen m0 = (1 : 0 : 0). El grupo de Lieque actua transitivamente es SL(3,R) de dimensión 8 y cuya álgebra de Lie estáformada por matrices de traza nula.


El subgrupo de isotropía de m0 es G0 = A ∈ SL(3,R) / a21 = a31 = 0

que permite tomar Θ0 = α

01 0

0

+ β

00

1 0

. Una 0-referencia verifica que u∗0α = xφ u∗0β = yφ y siendo k0 =

a ξT

00

A

∈G0 la acción adjunta actúa de tal modo que sobre la Grassmaniana

·µ exey¶¸

=

A−1·µ

xy

¶¸de donde se considera la secciónW1 =

·µ10

¶¸que consta

de un solo punto en la Grassmaniana, por lo que no hay invariantes deorden 1.


El estabilizador de W1 es G1 = A ∈ SL(3,R) / a21 = a31 = a32 = 0 ⊂

49

50 CAPÍTULO 12. CURVAS EN GEOMETRÍA PROYECTIVA

G0 que permite tomar Θ1 = γ

001 0

. Las 1 referencias verificanpues

½u∗1α = φ u∗1β = 0u∗1γ = xφ

y siendo k1 =

a b c0 d e0 0 f

∈ G1 la acciónadjunta actúa de tal modo que sobre la Grassmaniana resulta

10d3x

de donde se consideran las secciones W2a = x = 0 W2b = x = 1 queal ser puntuales indican que no hay invariantes de orden 2



(b) El estabilizador deW2b esG2 = A ∈ SL(3,R) / a21 = a31 = a32 = 0, a22 = 1 ⊂

G1 que permite tomar Θ2 = δ

01−1

. Una 2-referencia ver-ifica

u∗2α = φ u∗2β = 0u∗2γ = φu∗2δ = xφ

y siendo k2 =

a b c0 1 e0 0 a−1

∈ G2 laacción adjunta actúa de tal modo que sobre la Grassmaniana resulta

101

a−1x− e

de donde se considera la sección W3 = x = 0 y

no hay invariantes de orden 3.


El estabilizador deW3 esG3 = A ∈ SL(3,R) / a21 = a31 = a32 = a23 = 0, a22 = 1

y Θ3 = ²

00 10

. Una 3-referencia verificau∗3α = φ u∗3β = 0

u∗3γ = φu∗3δ = 0u∗3² = xφ

y siendo k3 =

a b c0 1 00 0 a−1

∈ G3 la acción adjunta actúa de tal mo-

do que sobre la Grassmaniana resulta

1010

a−2x+ ca−1

de donde se

considera la sección W4 = x = 0 y no hay invariantes de orden 4.5. Invariantes de orden 5

51

El estabilizador deW4 esG4 = A ∈ SL(3,R) / a21 = a31 = a32 = a23 = a13 = 0, a22 = 1

y Θ4 = ζ

0 100

. Una 4-referencia verificau∗4α = φ u∗4β = 0

u∗4γ = φu∗4δ = 0u∗4² = 0u∗4ζ = xφ

y siendo k4 =

a b 00 1 00 0 a−1

∈ G4 la acción adjunta actúa de tal modo

que sobre la Grassmaniana resulta

10100

a−3x

de donde se considerala sección W5a = x = 0 y W5b = x = 1 y no hay invariantes de orden5



(b) El estabilizador deW5b esG5 =.A ∈ SL(3,R) / a21 = a31 = a32 = a23 = a13 = 0, a11 = a22 = 1

y Θ5 = η

1−1

0

.Una 5-referencia verifica

u∗5α = φ u∗5β = 0u∗5γ = φu∗5δ = 0u∗5² = 0u∗5ζ = φu∗5η = xφ

y siendo k5 =

1 b 00 1 00 0 1

∈ G5 la acción adjunta actúa de tal

modo que sobre la Grassmaniana resulta

101001

x− b

de donde se

considera la sección W6 = x = 0 y no hay invariantes de orden 6.


El estabilizador deW6 esG6 = I que permite tomarΘ6 = ξ

0 100

.

52 CAPÍTULO 12. CURVAS EN GEOMETRÍA PROYECTIVA

Una 6-referencia verifica

u∗6α = φ u∗6β = 0u∗6γ = φu∗6δ = 0u∗6² = 0u∗6ζ = φu∗6η = 0u∗6ξ = κφ

siendo κ un invariante de

orden 7: la curvatura proyectiva.

Capítulo 13

Curvas en geometría de Lie

ref.F. inv.

Ia II gIIIa 2

IIIb fIV a 3IVb V 5 κ6

IIIc IV 4 κ4, τ5Ib II gIIIa 2

IIIb IV V fV I 5 κ6Ic II gIIIa 2

IIIb IV 4 κ4, τ5

Se considera la cuádrica de RP4 Q = (a : s1 : s2 : s3 : b) ∈ RP4 / −a2 + s21 + s

22 + s

23 − b2 = 0 con origen m0 = (1 : 1 : 0 : 0 : 0) sobre la que

actúa transitivamente la componente conexa de la identidad del grupo de LieG = O(3, 2) de dimensión 10. Su álgebra de Lie viene dada por matrices de la

forma g =

0 x1 x2 x3 y1x1 0 y2 y3 x4x2 −y2 0 y4 x5x3 −y3 −y4 0 x6−y1 x4 x5 x6 0


• G70 =

ρ2 (1 + c

2 + d2 − e2) + 12ρ ρ− 1

2ρ − ρ2 (1 + c

2 + d2 − e2)ρ2 (1 + c

2 + d2 − e2)− 12ρ ρ+ 1

2ρ − ρ2 (1 + c

2 + d2 − e2)c −cd −de −e

53

54 CAPÍTULO 13. CURVAS EN GEOMETRÍA DE LIE

ρ(c√1 + v2cos ϕ+ d

√1 + v2sen ϕ− ev)

ρ(c√1 + v2cos ϕ+ d

√1 + v2sen ϕ− ev)√

1 + v2cos ϕ√1 + v2sen ϕ

v

ρ(cvwcos ϕ−√1+v2+w2sen ϕ√1+v2

+ dvwsen ϕ+√1+v2+w2cos ϕ√1+v2

− ew)ρ(cvwcos ϕ−√1+v2+w2sen ϕ√

1+v2+ dvwsen ϕ+

√1+v2+w2cos ϕ√1+v2

− ew)vwcos ϕ−√1+v2+w2sen ϕ√

1+v2

vwsen ϕ+√1+v2+w2cos ϕ√1+v2

w

ρ(cv√1+v2+w2cos ϕ−wsen ϕ√

1+v2+ dv

√1+v2+w2sen ϕ+wcos ϕ√

1+v2− e√1 + v2 +w2)

ρ(cv√1+v2+w2cos ϕ−wsen ϕ√

1+v2+ dv

√1+v2+w2sen ϕ+wcos ϕ√

1+v2− e√1 + v2 +w2)

v√1+v2+w2cos ϕ−wsen ϕ√

1+v2

v√1+v2+w2sen ϕ+wcos ϕ√

1+v2√1 + v2 +w2

• Θ0 = α

0 0 1 0 00100

O

+ β

0 0 0 1 00010

O

+

γ

0 0 0 0 1000−1

O

• u∗0α = xφ u∗0β = yφ u∗0γ = zφ

• La acción adjunta restringida a m0 queda: exeyez =

(1 + v2) cos ϕ (1 + v2) sen ϕ

vw cos ϕ−√1 + v2 +w2 sen ϕ vw sen ϕ+√1 + v2 + w2cos ϕ

−w senϕ+ v√1 + v2 +w2cos ϕ w cos ϕ+ v√1 + v2 + w2sen ϕ

v√1 + v2

w√1 + v2√

1 + v2√1 + v2 + w2

xyz

Como se verifica que ex2 + ey2 − ez2 = (1+ v2)(x2 + y2 − z2) hay tressecciones unipuntuales: W1a = [(1, 0, 0)] que a través de la acciónproduce todos los hiperboloides de una hoja, W1b = [(1, 0, 1)] queproduce el cono, y W1c = [0, 0, 1)] que produce los hiperboloidesde dos hojas. No hay invariantes de orden 1.


55

(a) W1a

• G51 =

ρ2 (1 + c

2 + d2 − e2) + 12ρ ρ− 1

2ρ − ρ2 (1 + c

2 + d2 − e2) ρcρ2 (1 + c

2 + d2 − e2)− 12ρ ρ+ 1

2ρ − ρ2 (1 + c

2 + d2 − e2) ρc

c −c 1d −d 0e −e 0

ρ(d√1 +w2 − ew) ρ(dw − e√1 +w2)

ρ(d√1 +w2 − ew) ρ(dw − e√1 +w2)0 0√

1 + w2 w

w√1 +w2

• Θ1 = δ

O

0 −√1 + w2 −w√1 +w2 0 0−w 0 0

+ ²

O

0 w√1 + w2

−w 0 0√1 +w2 0 0

•½u∗1α = φ u∗1β = 0 u∗1γ = 0

u∗1δ = xφ u∗1² = yφ

•

100

1ρ

µ √1 +w2 −w−w √

1 +w2

¶µxy

¶−µde

¶

• W2 = [(1, 0, 0, 0, 0)] por lo que no hay invariantes de orden 2

(b) W1b

• G51 =

ρ2 (1 + c

2 + d2 − e2) + 12ρ ρ− 1

2ρ − ρ2 (1 + c

2 + d2 − e2)ρ2 (1 + c

2 + d2 − e2)− 12ρ ρ+ 1

2ρ − ρ2 (1 + c

2 + d2 − e2)c −cd −de −e

ρ(c√1 + v2 − ev) ρd ρ(cv − e√1 + v2)

ρ(c√1 + v2 − ev) ρd ρ(cv − e√1 + v2)√1 + v2 0 v0 1 0

v 0√1 + v2

• Θ1 = δ

O

0 −1 01 0 00 0 0

+ ²O

0 0 00 0 10 1 0

•½u∗1α = φ u∗1β = 0 u∗1γ = 0

u∗1δ = xφ u∗1² = yφ


•

101

1ρ(v+

√1+v2)

µ √1 + v2 −v−v √

1 + v2

¶µx+ ρdy − ρd

¶


(c) W1c

• G51 =

ρ2 (1 + c

2 + d2 − e2) + 12ρ ρ− 1

2ρ − ρ2 (1 + c

2 + d2 − e2)ρ2 (1 + c

2 + d2 − e2)− 12ρ ρ+ 1

2ρ − ρ2 (1 + c

2 + d2 − e2)c −cd −de −e

ρ(c cos ϕ+ d sen ϕ) ρ(−c sen ϕ+ d cos ϕ) −ρeρ(c cos ϕ+ d sen ϕ) ρ(−c sen ϕ+ d cos ϕ) −ρe

cos ϕ −sen ϕ 0sen ϕ cos ϕ 00 0 1

• Θ1 = δ

O

0 0 10 0 01 0 0

+ ²O

0 0 00 0 10 1 0

•½u∗1α = 0 u∗1β = 0 u∗1γ = φ

u∗1δ = xφ u∗1² = yφ

•

001

1ρ


¶µx− ρcy − ρd

¶



(a) W1a W2

• G32 =

ρ2(1 + c2) + 1

2ρρ− 1

2ρ− ρ

2(1 + c2) ρc 0 0

ρ2(1 + c2)− 1

2ρρ+ 1

2ρ− ρ

2(1 + c2) ρc 0 0

c −c 1 0 0

0 0 0√1 +w2 w

0 0 0 w√1 +w2

• Θ2 = ζ

0 0 0 1 00 0 0 1 00 0 0 0 01 −1 0 0 00 0 0 0 0

+ η

0 0 0 0 10 0 0 0 10 0 0 0 00 0 0 0 0−1 1 0 0 0

57

• u∗2α = φ u∗2β = 0 u∗2γ = 0

u∗2δ = 0 u∗2² = 0u∗2ζ = xφ u∗2η = yφ

•

10000

1ρ2

µ √1 +w2 w

w√1 + w2

¶µxy

¶

• Hay 4 secciones puntuales: W3a = [(1, 0, 0, 0, 0, 0, 0)] , W3b =[(1, 0, 0, 0, 0, 1, 1)] , W3c = [(1, 0, 0, 0, 0, 1, 0)] , W3d = [(1, 0, 0, 0, 0, 0, 1)] ,por lo que no hay invariantes de orden 3.

(b) W1b W2

• G42 =

ρ2 (1 + c

2 − e2) + 12ρ ρ− 1

2ρ − ρ2 (1 + c

2 − e2) ρ(c√1 + v2 − ev)

ρ2 (1 + c

2 − e2)− 12ρ ρ+ 1

2ρ − ρ2 (1 + c

2 − e2) ρ(c√1 + v2 − ev)

c −c √1 + v2

0 0 0e −e v

0 ρ(cv− e√1 + v2)0 ρ(cv− e√1 + v2)0 v1 0

0√1 + v2

• Θ2 = ζ

0 0 0 1 00 0 0 1 00 0 0 0 01 −1 0 0 00 0 0 0 0

• u∗2α = φ u∗2β = 0 u∗2γ = φ

u∗2δ = 0 u∗2² = 0u∗2ζ = xφ

•h(1, 0, 1, 0, 0, 1

ρ2(v+√1+v2)

x)i

• W3a = [(1, 0, 1, 0, 0, 0)], W3b = [(1, 0, 1, 0, 0, 1)], por lo que no hayinvariantes de orden 3.

(c) W1c W2

• G32 =

ρ2 (1− e2) + 1

2ρ ρ− 12ρ − ρ

2(1− e2) 0 0 −ρeρ2 (1− e2)− 1

2ρ ρ+ 12ρ − ρ

2(1− e2) 0 0 −ρe0 0 cos ϕ −sen ϕ 00 0 sen ϕ cos ϕ 0e −e 0 0 1


• Θ2 = ζ

0 0 cos ϕ sen ϕ 00 0 cos ϕ sen ϕ 0

cos ϕ −cos ϕ 0 0 0sen ϕ −sen ϕ 0 0 0

0 0 0 0

+

η

0 0 sen ϕ cos ϕ 00 0 sen ϕ cos ϕ 0

sen ϕ −sen ϕ 0 0 0cos ϕ −cos ϕ 0 0 0

0 0 0 0 0

• u∗2α = 0 u∗2β = 0 u∗2γ = φ

u∗2δ = 0 u∗2² = 0u∗2ζ = xφ u∗2η = yφ

•

00100

1ρ2cos2ϕ


¶µxy

¶

• W3a = [(0, 0, 1, 0, 0, 0, 0)], W3b = [(0, 0, 1, 0, 0, 1, 0)] luego no hayinvariantes de orden 3


(a) W1a W2 W3a

• G3 = G32

• u∗2α = φ u∗2β = 0 u∗2γ = 0

u∗2δ = 0 u∗2² = 0u∗2ζ = 0 u∗2η = 0

(b) W1a W2 W3b

• G23 =

ρ2(1 + c2) + 1

2ρρ− 1

2ρ− ρ

2(1 + c2) ρc 0 0

ρ2(1 + c2)− 1

2ρρ+ 1

2ρ− ρ

2(1 + c2) ρc 0 0

c −c 1 0 0

0 0 0 ρ4+12ρ2

ρ4−12ρ2

0 0 0 ρ4−12ρ2

ρ4+12ρ2

• Θ3 = ξ

000

11

59

•

u∗3α = φ u∗3β = 0 u∗3γ = 0

u∗3δ = 0 u∗3² = 0u∗3ζ = φ u∗3η = φ

u∗3ξ = xφ• [(1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1ρx)]• W4a = [(1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0)] , W4b = [(1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1)]

(c) W1a W2 W3c y al mismo tiempo se considera el caso W1a W2 W3d

porque tienen el mismo estabilizador:

• G13 =

1 + c2

2 − c2

2 c 0 0c2

21− c2

2c 0 0

c −c 1 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1

• Θ3 = ξ

1

1000

+ ι

000

11

•

u∗3α = φ u∗3β = 0 u∗3γ = 0

u∗3δ = 0 u∗3² = 0u∗3ζ = εφ u∗3η = εφu∗3ξ = xφ u∗3ι = yφ

siendo ε = 0, 1

• [(1, 0, 0, 0, 0, ε, ε, x− c, y)]• W4 = [(1, 0, 0, 0, 0, ε, ε, 0,κ)] que es una sección unidimensional,lo que implica que κ es un invariante de orden 4, la curvatura.

(d) W1b W2 W3a

• G3 = G42

• u∗2α = φ u∗2β = 0 u∗2γ = φ

u∗2δ = 0 u∗2² = 0u∗2ζ = 0

(e) W1b W2 W3b

• G33 =

ρ2 (1 + c

2 − e2) + 12ρ ρ− 1

2ρ − ρ2 (1 + c

2 − e2) ρ4(c+e)+c−e2ρ

ρ2 (1 + c

2 − e2)− 12ρ ρ+ 1

2ρ − ρ2 (1 + c

2 − e2) ρ4(c+e)+c−e2ρ

c −c 1+ρ4

2ρ2

0 0 0

e −e 1−ρ42ρ2

0 −ρ4(c+e)+c−e2ρ

0 −ρ4(c+e)+c−e2ρ

0 1−ρ42ρ2

1 0

0 1+ρ4

2ρ2


• Θ3 = η

00

10

1

•

u∗3α = φ u∗3β = 0 u∗3γ = φ

u∗3δ = 0 u∗3² = 0u∗3ζ = φu∗3η = xφ

• [(1, 0, 1, 0, 0, 1,ρ(x− ρ(c+ e)))]

• W4 = [(1, 0, 1, 0, 0, 1, 0)]

(f) W1c W2 W3a

• G3 = G32

• u∗2α = 0 u∗2β = 0 u∗2γ = φ

u∗2δ = 0 u∗2² = 0u∗2ζ = 0 u∗2η = 0

(g) W1c W2 W3b

• G13 =

2−e22

e2

2 0 0 −e−e2

21 + e2

20 0 −e

0 0 1 0 00 0 0 1 0e −e 0 0 1

• Θ3 = ξ

00

1−1

0

+ ι

1

1000

•

u∗3α = 0 u∗3β = 0 u∗3γ = φ

u∗3δ = 0 u∗3² = 0u∗3ζ = φ u∗3η = 0u∗3ξ = xφ u∗3ι = yφ

• [(0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, x− e, y)]• W4 = [(0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, κ)] siendo κ un invariante de orden 4:la curvatura.


(a) W1a W2 W3b W4a

• G4 = G23

•

u∗3α = φ u∗3β = 0 u∗3γ = 0

u∗3δ = 0 u∗3² = 0u∗3ζ = φ u∗3η = φ

u∗3ξ = 0

61

(b) W1a W2 W3b W4b

• G14 =

1 + c2

2− c2

2c 0 0

c2

2 1− c2

2 c 0 0c −c 1 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1

• Θ4 = ι

1

1000

•

u∗4α = φ u∗4β = 0 u∗4γ = 0

u∗4δ = 0 u∗4² = 0u∗4ζ = φ u∗4η = φ

u∗4ξ = φu∗4ι = xφ

• [(1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, x− c)]• W5 = [(1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0)]

(c) W1a W2 W3c W4 y W1a W2 W3d W4

• G4 = I

• Θ4 = λ

0

1−1

00

•

u∗4α = φ u∗4β = 0 u∗4γ = 0

u∗4δ = 0 u∗4² = 0u∗4ζ = εφ u∗4η = εφu∗4ξ = 0 u∗4ι = κφ

u∗4λ = τφ

siendo ε = 1 en el caso 3c y

ε = 0 en el caso 3d; y τ la torsión, invariante de orden 5.

(d) W1b W2 W3b W4

• G24 =

ρ2 +

12ρ

ρ2 − 1

2ρcρ 0 c

ρρ2 − 1

2ρρ2 +

12ρ

cρ 0 c

ρ

c −c 1+ρ4

2ρ20 1−ρ4

2ρ2

0 0 0 1 0

−c c 1−ρ42ρ2

0 1+ρ4

2ρ2

• Θ4 = ξ

0 1

0 100

−1 1 0


•

u∗4α = φ u∗4β = 0 u∗4γ = φ

u∗4δ = 0 u∗4² = 0u∗4ζ = φu∗4η = 0u∗4ξ = xφ

• [(1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 12ρ2 (x(1 + ρ4) + 1− ρ2))]

• W5 = [(1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0)]

(e) W1c W2 W3b W4

• G4 = I

• Θ4 = λ

0

100

1

•

u∗4α = 0 u∗4β = 0 u∗4γ = φ

u∗4δ = 0 u∗4² = 0u∗4ζ = φ u∗4η = 0u∗4ξ = 0 u∗4ι = κφ

u∗4λ = τφ

siendo τ la torsión, invariante

de orden 5.


(a) W1a W2 W3b W4b W5

• G5 = I

• Θ5 = λ

0

1−1

00

•

u∗5α = φ u∗5β = 0 u∗5γ = 0u∗5δ = 0 u∗5² = 0u∗5ζ = φ u∗5η = φ

u∗5ξ = φu∗5ι = 0u∗5λ = κφ

siendo κ la curvatura, invari-

ante de orden 6

(b) W1b W2 W3b W4 W5

• G15 =

1 0 c 0 c0 1 c 0 cc −c 1 0 00 0 0 1 0−c c 0 0 1

63

• Θ5 = ι

1

1−2

0−2

•

u∗5α = φ u∗5β = 0 u∗5γ = φu∗5δ = 0 u∗5² = 0

u∗5ζ = φu∗5η = 0u∗5ξ = 0u∗5ι = xφ

• [(1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, x)] que es la identidad. En este caso, hay uninvariante de orden 6.

Capítulo 14

Superficies en geometríaeuclídea

ref.F. inv.

I fIIa 1 planofIIb 1 r2 = cte esferaIIc IIIb 3 r2 minimales

IId gIIIa 2 r2 cilindroIIIb 3 r2, t2, x3, y3

Se considera R3 con origen en m0 = (0, 0, 0), sobre el que actua transitiva-mente el producto semidirecto SO(3,R)sR3 de dimensión 6.


• G30 = A ∈ SO(3,R)

• Θ0 = θ1

100

+ θ2

010

+ θ3

001

• ©u∗0θ1 = x1iφi u∗0θ

2 = x2iφi u∗0θ

3 = x3iφi i = 1, 2

• ex11 ex12ex21 ex22ex31 ex32

= A−1 x11 x12

x21 x22x31 x32

• W1 =

·µI0 0

¶¸No hay invariantes de orden 1


• G11 ' B ∈ O(2,R)

65

66 CAPÍTULO 14. SUPERFICIES EN GEOMETRÍA EUCLÍDEA

• Θ1 = α

−10

1

+ β

0−1

1

•½u∗1θ

1 = φ1 u∗1θ2 = φ2 u∗1θ

3 = 0u∗1α = xφ

1 + yφ2 u∗1β = yφ1 + zφ2

donde las condiciones de com-

patibilidad dadas por la primera fila, obligan a tener la matriz simétri-

caµx yy z

¶

•

I0 0

|B|BTµx yy z

¶B

• W2a = 0; W2b = rI / r > 0 invariante de orden 2;W2c =

µ −r 00 r

¶/ r >

0 invariante de orden 2; W2d =

µr 00 t

¶/ |r| < t invariantes de

orden 2.


(a) W2a = 0

• G2 = G11•½u∗1θ

1 = φ1 u∗1θ2 = φ2 u∗1θ

3 = 0u∗1α = 0 u∗1β = 0

• Integrando dicha distribución sale un plano(b) W2b = rI / r > 0

• G12 ' SO(2,R)•½u∗1θ

1 = φ1 u∗1θ2 = φ2 u∗1θ

3 = 0u∗1α = rφ

1 u∗1β = rφ2 r = cte

• Integrando dicha distribución sale una esfera de radio r

(c) W2c =

µ −r 00 r

¶/ r > 0

• G02 = ±I, ±µ0 11 0

¶ ⊂ G11

• Θ2 = γ

−11

0

• u∗2θ

1 = φ1 u∗2θ2 = φ2 u∗2θ

3 = 0u∗2α = −rφ1 u∗2β = rφ

2

u∗2γ = xφ1 + yφ2

67

•

I0 0−r 00 r

|C| (x, y)C

siendo C ∈ G02

• W3a = (0, 0) sin invariantes; W3b = (x, y) / y ≥ 0− (0, 0)y aparecen 2 invariantes de orden 3.

(d) W2d =

µr 00 t

¶/ |r| < t

• G02 = ±I ⊂ G11

• Θ2 = γ

−11

0

•u∗2θ

1 = φ1 u∗2θ2 = φ2 u∗2θ

3 = 0u∗2α = rφ

1 u∗2β = tφ2

u∗2γ = xφ1 + yφ2

•

I0 0r 00 t

|C| (x, y)C

siendo C ∈ G02

• W3a = (0, 0) sin invariantes; W3b = (x, y) / y ≥ 0− (0, 0)y aparecen 2 invariantes de orden 3.


(a) W2c W3a

• G3 = G02• Las ecuaciones de compatibilidad imponen que r = 0 lo quequiere decir que este caso no existe.

(b) W2c W3b

• G3 = I

•u∗3θ

1 = φ1 u∗3θ2 = φ2 u∗3θ

3 = 0u∗3α = −rφ1 u∗3β = rφ

2

u∗3γ = xφ1 + yφ2

• Las ecuaciones de compatibilidad quedan: r,1 = −2yrr,2 = 2xrr2 = x2 + y2 − x,2 + y,1

(c) W2d W3a

• G03 = G02


• u∗3θ

1 = φ1 u∗3θ2 = φ2 u∗3θ

3 = 0

u∗3α = 0 u∗3β = tφ2

u∗3γ = 0• Las ecuaciones de compatibilidad quedan: r = 0; t,1 = 0 por loque sólo hay un invariante de orden 2.

• La integración de la distribución anterior, proporciona un cilin-dro

(d) W2d W3b

• G3 = I

• u∗3θ

1 = φ1 u∗3θ2 = φ2 u∗3θ

3 = 0u∗3α = rφ

1 u∗3β = tφ2

u∗3γ = xφ1 + yφ2

• Las ecuaciones de compatibilidad quedan:

½dφ1 = x φ1 ∧ φ2dφ2 = y φ1 ∧ φ2

r,2 = x(r − t)t,1 = y(r − t)rt = −(x2 + y2) + x,2 − y,1

(14.1)

• La matriz de Cartan queda: 0 −xφ1 − yφ2 −rφ1xφ1 + yφ2 0 −tφ2rφ1 tφ2 0

La manera de reconocer los invariantes del caso W2d W3b es utilizando elmétodo clásico del apéndice A, donde se tiene que ω31 ∧ ω32 = Kφ1 ∧ φ2 siendoK la curvatura de Gauss. Aplicando esta fórmula a la matriz de Cartan resultaque K = rt. Asimismo, de φ1 ∧ ω32 − φ2 ∧ ω31 = 2Hφ1 ∧ φ2 resulta que lacurvatura media vale H = r+t

2 . La ecuación de Gauss es dω21 = −ω31 ∧ ω32 y al

sustituir los valores de la matriz de Cartan sale la tercera ecuación de 14.1. La

ecuación de Mainardi-Codazzi es½dω31 = −ω32 ∧ ω21dω32 = −ω21 ∧ ω31 que en este caso salen las

dos primeras ecuaciones de 14.1.Recíprocamente, entrando con la matriz de Cartan del caso W2d W3b en el

método de las ecuaciones reducidas del apéndice A, se encuentra que:

b0 =r

2b1 =

t

2

69

c0 =1

6r,1 c1 =

1

2r,2 =

x

2(r − t) c2 =

1

2t,1 =

y

2(r − t) c3 =

1

6t,2

y la tercera ecuación de 14.1, que es la ecuación de Gauss como se acaba dever, da lugar a la ecuación 17.30 y las dos primeras ecuaciones de 14.1, que sonlas ecuaciones de Mainardi - Codazzi según se acaba de ver, dan lugar a lasecuaciones 17.29

Capítulo 15

Superficies en geometríaequiafín

ref.F. inv.

I fIIa 1 plano

IIb IIIa fIV a 3 cilindro parabolico

IVb eV 4 κ5 cilindro

IIIb IV eVa 4 κ5Vb 5 κ4, τ5, ρ6

IIc IIIa fIV 3 κ4 = cte cuadricas de revolucionIIIb 3 κ3, τ4, ρ4

IId IIIa fIV 3 κ4IIIb 3 κ3, τ4, ρ4

Se considera R3 con origenm0 = (0, 0, 0), sobre el que actúa transitivamenteG11 = SL(3,R)sR3


• G80 = A ∈ SL(3,R)

• Θ0 = θ1

100

+ θ2

010

+ θ3

001

• ©u∗0θ1 = x1iφi u∗0θ

2 = x2iφi u∗0θ

3 = x3iφi i = 1, 2 donde no se

han impuesto condiciones de compatibilidad.

• ex11 ex12ex21 ex22ex31 ex32

= A−1 x11 x12

x21 x22x31 x32

71

72 CAPÍTULO 15. SUPERFICIES EN GEOMETRÍA EQUIAFÍN

• W1 =

·µI0 0

¶¸No hay invariantes de orden 1


• G61 = B

ab

0 0 1|B|

/ B ∈ GL(2,R)

• Θ1 = α

00

1

+ β

00

1

•½

u∗1θ1 = φ1 u∗1θ

2 = φ2 u∗1θ3 = 0

u∗1α = x41φ1 + x42φ

2 u∗1β = x42φ1 + x52φ

2 donde las condiciones

de compatibilidad dadas por la primera fila, obligan a que x51 = x42

•

I0 0

|B|BTµx41 x42x42 x52

¶B

Nótese que se tiene una estructura

conforme dada porµx41 x42x42 x52

¶

• W2a =

I0 0O

caso de puntos planos,W2b =

I0 01 00 0

caso de puntos parabólicos, W2c =

I0 0I

caso de pun-tos elípticos, W2d =

I0 01 00 −1

caso de puntos hiperbólicos.

Ninguno de ellos tiene invariantes de orden 2.

15.1 Puntos planos

3 Invariantes de orden 3

• G2 = G61

•½u∗1θ

1 = φ1 u∗1θ2 = φ2 u∗1θ

3 = 0u∗1α = 0 u∗1β = 0

15.2. PUNTOS PARABÓLICOS 73

15.2 Puntos parabólicos


• G42 = a 0 cb a−3 d0 0 a2

• Θ2 = γ

10

0

+ δ

1−1

0

• u∗2θ

1 = φ1 u∗2θ2 = φ2 u∗2θ

3 = 0u∗2α = φ1 u∗2β = 0

u∗2γ = 2x72φ1 u∗2δ = x71φ

1 + x72φ2

•

I0 01 00 0

2a3x

72 0

ax71 + 3bx72 − 3c

2a1a3x

72

• W3a = x71 = x72 = 0 caso de puntos cilíndricos, W3b = x71 = 0,x72 = 1 caso genérico

15.2.1 Puntos cilíndricos


• G33 = a 0 0b a−3 d0 0 a2

• Θ3 = ²

10

0

•

u∗3θ

1 = φ1 u∗3θ2 = φ2 u∗3θ

3 = 0u∗3α = φ1 u∗3β = 0u∗3γ = 0 u∗3δ = 0u∗3² = x

81φ1

•

I0 01 00 00 00 0a2x81 0

• W4a = x81 = 0, W4b = x82 = 1



(a) W4a

• G4 = G33

•

u∗3θ

1 = φ1 u∗3θ2 = φ2 u∗3θ

3 = 0u∗3α = φ1 u∗3β = 0u∗3γ = 0 u∗3δ = 0

u∗3² = 0(b) W4b

• G24 = 1 0 0b 1 d0 0 1

• Θ4 = ζ

1−3

2

•

u∗4θ

1 = φ1 u∗4θ2 = φ2 u∗4θ

3 = 0

u∗4α = φ1 u∗4β = 0u∗4γ = 0 u∗4δ = 0

u∗4² = φ1

u∗4ζ = x91φ1

• La acción adjunta sale la identidad, por lo que hay un invariantede orden 5: κ = x91.

15.2.2 Caso genérico


• G23 = 1 0 cc/2 1 d0 0 1

• Θ3 = ²

10

0

+ ζ

1−3

2

•

u∗3θ

1 = φ1 u∗3θ2 = φ2 u∗3θ

3 = 0

u∗3α = φ1 u∗3β = 0u∗3γ = 2φ

1 u∗3δ = φ2

u∗3² = x81φ1 + 2x91φ

2 u∗3ζ = x91φ1 − φ2

•

I0 01 00 02 00 1

x81 + 4cx91 + 4d− c2 2x91x91 −1

15.2. PUNTOS PARABÓLICOS 75

• W4 = x81 = 0 que es una sección unidimensional porque x91 estálibre, por lo que aparece la curvatura κ como invariante de orden 4.


• G14 = 1 0 cc/2 1 c2/4− κc0 0 1

Este subgrupo de isotropía depende

del valor de la curvatura.

• Θ4 = η

01

0

•

u∗4θ

1 = φ1 u∗4θ2 = φ2 u∗4θ

3 = 0u∗4α = φ1 u∗4β = 0u∗4γ = 2φ

1 u∗4δ = φ2

u∗4² = 2κφ2 u∗4ζ = κφ1 − φ2

u∗4η = x101 φ1 − (κ2 + 12κ,1)φ

2

y además, las condiciones de

compatibilidad imponen que κ,2 = −4κ

•

I0 01 00 02 00 10 2κκ −1

x101 +52κ

2c− 34κc

2 − κ,1c4 −κ2 − 1

2κ,1 − 3κc

Esta acción

se entiende mejor poniendo x = x101 , y = −(κ2 + 12κ,1), porque en-

tonces resulta½ ex = x+ c

2y + 3κ2c− 3

4κc2ey = y − 3κc

• W5a = κ = 0 que es una sección unidimensional y a pesar de queeste invariante deja de aparecer, hay otro que vuelve a ser nombradoκ pues es la curvatura para este caso, de orden 5; W5b = (x, 0)siendo κ 6= 0, de donde resulta la torsión τ como invariante de orden5


(a) W5a

• G5 = G14

•

u∗4θ

1 = φ1 u∗4θ2 = φ2 u∗4θ

3 = 0u∗4α = φ1 u∗4β = 0u∗4γ = 2φ

1 u∗4δ = φ2

u∗4² = 0 u∗4ζ = −φ2u∗4η = κφ1


(b) W5b

• G5 = I

• Θ5 = ξ

0 0 21 0 −2κ0 0 0

•

u∗5θ1 = φ1 u∗5θ

2 = φ2 u∗5θ3 = 0

u∗5α = φ1 u∗5β = 0u∗5γ = 2φ

1 u∗5δ = φ2

u∗5² = 2κφ2 u∗5ζ = κφ1 − φ2

u∗5η = τφ1

u∗5ξ = (τ,26κ +

τκ − κρ)φ1 + ρφ2

cumpliéndose además que

½κ,1 = −2κ2κ,2 = −4κ

• Dado que el subgrupo de isotropía es la identidad, aparece unnuevo invariante ρ de orden 6

• Las ecuaciones de compatibilidad quedan½dφ1 = −2φ1 ∧ φ2dφ2 = (3κ+ ρ)φ1 ∧ φ2

ρ,1 + κρ,2 + (κ,2 + 5κ)ρ+ ρ2 =2τ ,23κ

+4τ

κ+³τ ,26κ

´,2+³τκ

´,2

15.3 Puntos elípticos


• G32 = cos ϕ −sen ϕ csen ϕ cos ϕ d0 0 1

Este subgrupo de isotropía determi-

na una métrica riemaniana de la estructura conforme anteriormenteobtenida. Se denotará <,> .

• Θ2 = γ

10

0

+ δ

1−1

0

+ ² 1

0−1

•

u∗2θ

1 = φ1 u∗2θ2 = φ2 u∗2θ

3 = 0

u∗2α = φ1 u∗2β = φ2

u∗2γ = (2x72 + 3x82)φ1 + (−2x71 + x81)φ2

u∗2δ = x7iφ

i u∗2² = x8iφi

•

I0 0I

2ey + 3et −2ex+ ezex eyez et

siendo x = x71, y = x

72, z = x

81, t = x

82

y sus transformados:

15.3. PUNTOS ELÍPTICOS 77exeyezet =

−3cos ϕ+ 4cos3ϕ −sen ϕ+ 4sen ϕcos2ϕ 0 −sen ϕ+ 4sen ϕcos2ϕsen ϕ− 4sen ϕcos2ϕ −3cos ϕ+ 4cos3ϕ sen ϕ −4cos ϕ+ 4cos3ϕ

0 0 cos ϕ sen ϕ0 0 −sen ϕ cos ϕ

xyzt

+

0 0−sen ϕ cos ϕ−cos ϕ −sen ϕsen ϕ −cos ϕ

µ cd

¶

• W3a(0, 0, 0, 0) que van a dar cuádricas de revolución,W3b = (x, 0, 0, 0)que es el caso genérico y consta de un invariante κ de orden 3

15.3.1 Cuádricas de revolución


• G13 = cos ϕ −sen ϕ 0sen ϕ cos ϕ 00 0 1

• Θ3 = ζ

10

0

+ η

01

0

•

u∗3θ

1 = φ1 u∗3θ2 = φ2 u∗3θ

3 = 0

u∗3α = φ1 u∗3β = φ2

u∗3γ = 0 u∗3δ = 0 u∗3² = 0u∗3ζ = x102 φ1 u∗3η = x102 φ2

siendo además x102 una fun-

ción constante debido a las condiciones de compatibilidad.

• Como la acción adjunta sale la identidad, x102 es realmente el únicoinvariante de orden 4, denotado eκ para evitar confusiones con lostipos de superficies posteriores. Como es constante, en función de susigno aparecen las siguientes superficies de revolución, integrando la

distribución correspondiente:

eκ > 0 hiperboloides de 2 hojaseκ = 0 paraboloideseκ < 0 elipsoides

15.3.2 Caso genérico


• G3 ' Z3 puesto que el estabilizador de W3b es c = d = 0 peroϕ = 0o, 120o, 240o Analizando el casoG3 = I se obtiene lo siguiente

• Θ3 = ζ

10

0

+ η

01

0

+ ξ

−11

0


•

u∗3θ

1 = φ1 u∗3θ2 = φ2 u∗3θ

3 = 0

u∗3α = φ1 u∗3β = φ2

u∗3γ = −2κφ2 u∗3δ = κφ1 u∗3² = 0u∗3ζ = (6κ2 + 2κ,1 + 5κρ+ τ2 + ρ2 − τ ,2 + ρ,1)φ

1 + (3κτ − κ,2)φ2

u∗3η = (3κτ − κ,2)φ1 + (τ2 − κρ+ ρ2 − τ ,2 + ρ,1)φ

2 u∗3ξ = τφ1 + ρφ2

siendo τ , ρ dos nuevos invariantes de orden 4

• Las ecuaciones de compatibilidad son:

½dφ1 = τφ1 ∧ φ2

dφ2 = (κ + ρ)φ1 ∧ φ2 (15.1)

(ρ,1 − τ ,2),1 = 3κτ ,2 + 5κ,2τ − 6κτ2 − 2ττ ,1 + 6κ2ρ+

+6κρ2 + 3κ,1ρ− 2ρρ,1 + κρ,1 − κ,22(ρ,1 − τ ,2),2 = 18κ

2τ + 12κτρ+ 5κ,1τ + 3κτ ,1 − 2ττ ,2−−7κ,2ρ− 16κκ,2 − 2ρρ,2 − 5κρ,2 − 2κ,12 − κ,21

(15.2)

• La matriz de Cartan queda: κφ1 −τφ1 − (2κ+ ρ)φ2

τφ1 + ρφ2 −κφ1φ1 φ2

(6κ2 + 2κ,1 + 5κρ+ τ2 + ρ2 − τ ,2 + ρ,1)φ1 + (3κτ − κ,2)φ

2

(3κτ − κ,2)φ1 + (τ2 − κρ+ ρ2 − τ ,2 + ρ,1)φ

2

0

La matriz de Cartan C verifica (dE1, dE2, dN) = (E1, E2, N) C siendoE1, E2, N una referencia equiafín sobre la subvariedadM de R3 : E1,E2 soncampos tangentes a M ortonormales respecto de <,>, y dN : TM −→ TM. Estas ecuaciones establecen una conexión ∇ sobre la subvariedad que noproviene de la conexión de R3. Para determinarla, de

0 = Ei(< Ej, Ek >) =<∇EiEj ,Ek > + < Ej,∇EiEk >

se obtiene que

∇E1E1 = − < ∇E1E2, E1 > E2∇E1E2 = < ∇E1E2,E1 > E1∇E2E1 = < ∇E2E1,E2 > E2∇E2E2 = − < ∇E2E1, E2 > E1

. Por otro lado, usando el

hecho de que los campos Ei son duales de las formas φi se deduce que si se

escogen campos X = x1E1 + x2E2 Y = y1E1 + y2E2 se tiene que:

15.3. PUNTOS ELÍPTICOS 79

1. dφ1(X,Y ) = X(< E1, Y >)− Y (< E1,X >)− < E1, [X, Y ] > = <∇XE1, Y > + < E1,∇XY > − < ∇Y E1,X > − < E1,∇YX > −< E1, [X, Y ] > = < ∇XE1, Y > − < ∇Y E1, X > = − <∇E1E2,E1 >(x1y2 − x2y1)

2. φ1 ∧ φ2(X,Y ) = < E1, X >< E2, Y > − < E1, Y >< E2,X > =x1y2 − x2y1

3. Y son precisamente las ecuaciones de compatibilidad (15.1) las que deter-minan que − < ∇E1E2, E1 > = τ

Análogamente se deduce que < ∇E2E1,E2 > = κ + ρ. En definitiva lossímbolos de Christoffel quedan

Γ111 = 0 Γ211 = τΓ112 = −τ Γ212 = 0Γ121 = 0 Γ221 = κ+ ρΓ122 = −(κ+ ρ) Γ222 = 0

La conexión inducida por R3 sobreM viene dada por la matriz de Cartan:

dE1 = κ φ1 ⊗E1 + τ φ1 ⊗E2 + ρ φ2 ⊗E2 + φ1 ⊗N

dE2 = −τ φ1 ⊗ E1 − (2κ + ρ) φ2 ⊗ E1 − κ φ1 ⊗E2 + φ2 ⊗Nes decir ∇XY =

x1(E1(y1) + y1κ− y2τ)E1 + x1(y1τ + E1(y2)− y2κ)E2 + x1y1N+

x2(E2(y1)− y2(2κ+ ρ))E1 + x2(y1ρ+E2(y2))E2 + x2y2N

y comparada con ∇XY =

x1(E1(y1)− y2τ)E1 + x1(y1τ + E1(y2))E2+

x2(E2(y1)− y2(κ+ ρ))E1 + x2(y1(κ+ ρ) +E2(y2))E2

se deduce de la fórmula ∇XY = ∇XY + S(X, Y )+ < X, Y > N que

S(X,Y ) = κ((x1y1 − x2y2)E1 − (x1y2 + x2y1)E2)


siendo S : D(M) × D(M) −→ D(M) una aplicación C∞(M)− lineal, queequivale a un tensor S ∈ D12(M) el cual en componentes queda

S111 = κ S

112 = 0 S

121 = 0 S

122 = −κ

S211 = 0 S

212 = −κ S

221 = −κ S

222 = 0

resultando un tensor apolar es decir CS = 0, simétrico y totalmente simétrico.

Observación 24 Estos datos han sido calculados con una elección de ϕ = 0o.Mirando cómo actúa el subgrupo de isotropía G3 ' Z3 para otro valor de ϕ, seobtiene otra matriz de Cartan y los siguientes resultados

Γ111 = 0 Γ211 = τ cos ϕ+ (κ+ ρ) sen ϕΓ112 = −(τ cos ϕ+ (κ+ ρ) sen ϕ) Γ212 = 0Γ121 = 0 Γ221 = −τ sen ϕ+ (κ + ρ) cos ϕΓ122 = τ sen ϕ− (κ+ ρ) cos ϕ Γ222 = 0

S1

11 = κ cosϕ S1

12 = −κ senϕ S1

21 = −κ senϕ S1

22 = −κ cosϕS2

11 = −κ senϕ S2

12 = −κ cosϕ S2

21 = −κ cosϕ S2

22 = κ senϕ

Independientemente de la elección del valor de ϕ, con los datos anterioresya se pueden relacionar los elementos del teorema 36 con los invariantes reciénobtenidos:

J = 2κ2

H = −(κ,1 − τ ,2 + ρ,1 + 3κ2 + 2κρ+ τ2 + ρ2)

K = (6κ2 + 2κ,1 + 5κρ+ τ2 + ρ2 − τ ,2 + ρ,1)(τ2 − κρ+ ρ2 − τ ,2 + ρ,1)− (3κτ − κ,2)

2

y finalmente, las ecuaciones de compatibilidad (15.2) es exactamente la ecuaciónd[C(divII ⊗ II)− div(divII)] = 0

Con todo ello se deduce que el teorema 20 es equivalente al teorema 36

Capítulo 16

Geometría de Plücker

16.1 Introducción

La geometría de Plücker como geometría de Klein consta de la cuádrica de RP5

℘ = (p1 : p2 : p3 : p4 : p5 : p6) ∈ RP5 / p1p4 + p2p5 + p3p6 = 0con origen m0 = (1 : 0 : 0 : 0 : 0 : 0), sobre la que actúa transitivamente lacomponente conexa de la identidad del grupo de Lie G = O(3, 3) de dimensión15. En este contexto se han clasificado las variedades de dimensión 1, 2 y 3apareciendo más adelante las tablas resúmenes de cada clasificación. No sepresentan los cálculos realizados, no sólo por cuestión de espacio sino por queel interés ahora radica en extraer consecuencias de las clasificaciones. Y esque esta geometría encierra conceptos de RP3 como el de superficies regladas,focales, de Kummer, etc, que aunque rebasan el contenido de este trabajo,ponen de manifiesto la importancia de esta geometría. Los conceptos que sevan a introducir son invariantes bajo una renormalización de las coordenadas,una reparametrización de las ecuaciones y la acción del grupo PGL(4,R) sobreP3.

81

82 CAPÍTULO 16. GEOMETRÍA DE PLÜCKER

RP3 RP5

rectas Ψ←→ ℘

interseccion

½ortogonalidadconjugacion

¾

haz parabolico recta

regulus conicasuperficie reglada curva

bundle π − plano

field π − plano

congruencia lineal cuadricacongruencia superficie

complejo lineal cuadricacomplejo espacio

homograf ıas

½P3 −→ P3P3 −→ P3?

homograf ıas P5 −→ P5que preservan ℘


Dada una recta de P3 generada por 2 puntos r = (ai) + (bi) i = 0..3 se

define un punto de P5 L = (lij)i<j por lij =¯ai ajbi bj

¯(Coordenadas de Grass-

man). Estas coordenadas verifican (lij)T

0 0 0 0 0 10 0 0 0 −1 00 0 0 1 0 00 0 1 0 0 00 −1 0 0 0 01 0 0 0 0 0

Σ

(lij) =

¯¯ a1 a2 a3 a4b1 b2 b3 b4a1 a2 a3 a4b1 b2 b3 b4

¯¯ = 0 luego la imagen de una recta está sobre la cuádri-

ca ℘ que respecto a las coordenadas de Grassman tiene asociada la matriz Σ.Además se ve fácilmente que si 2 rectas tienen un punto en común, sus imágenesson puntos conjugados: r1 = a+ b , r2 = b+ c

0 =

¯¯ a1 a2 a3 a4b1 b2 b3 b4b1 b2 b3 b4c1 c2 c3 c4

¯¯ = LT1 ΣL2

Plücker, en 1865, fue quién realmente introdujo dichas coordenadas, pero dela siguiente manera:

(lij) =

I

1−1

1

(pk)de tal forma que ahora Σ =

µ0 II 0

¶(Coordenadas de Plücker). Histórica-

mente, Plücker buscaba una descripción de las rectas l ≡½x = ρ+ rzy = σ + sz

de tal

forma que el grado de una ecuación algebraica de ellas permaneciera invariantebajo transformaciones proyectivas. Lo consiguió tomando en cuenta, además delos parámetros ρ, r,σ, s el parámetro η ≡ ρs− σr. A la luz de esta teoría se veque en efecto las coordenadas de Plücker de l son L = (r : s : 1 : σ : −ρ : η)

Recíprocamente, dadas las coordenadas de Plücker de un punto de P5 en ℘,L = (pi), se le asocia una recta de P3, l = (ai), mediante

0 p4 p5 p6−p4 0 p3 −p2−p5 −p3 0 p1−p6 p2 −p1 0

a0a1a2a3

= 0


Esta aplicación es la inversa de la aplicación anterior por lo que se tiene unabiyección Ψ entre las rectas de P3 y los puntos de ℘

De estas fórmulas se ve que las coordenadas de Plücker de una recta l =(−→p ,−→q ) se pueden interpretar como: −→p la dirección de l, −→q = −→a × −→p elmomento de l siendo (1,−→a ) ∈ l un punto propio de l. Además si a = (a0,−→a ),b = (b0,

−→b ) ∈ P3 π1 = (u0,−→u ), π2 = (v0,−→v ) ∈ P3? se tiene que

a+ b = (a0−→b − b0−→a ,−→a ×−→b )

π1 ∩ π2 = (−→u ×−→v , u0−→v − v0−→u )a+ l = (−→a ·−→q ,−a0−→q +−→a ×−→p ) a /∈ ll ∩ π1 = (−→u ·−→p ,−u0−→p +−→u ×−→q ) l " π1

Con esta terminología se puede ver otra vez que si 2 rectas l = (−→p ,−→q ) r =(−→r ,−→s ) se cortan, son puntos conjugados de ℘ : sea −→s = −→a × −→r con a =

(1,−→a ) ∈ r, como a ∈ l se cumple½ −→a ·−→q = 0−−→q +−→a ×−→p = 0 luego −→p ·−→s =

−→p ·(−→a ×−→r ) = −→r ·(−→p ×−→a ) = −−→r ·−→q , −→p ·−→s +−→q ·−→r = 0, lTΣr = 0. En elcaso de que se corten en un punto impropio se tiene que −→p = −→r , −→q = −→a ×−→p ,−→s = −→b ×−→p , para a ∈ l, b ∈ r. Entonces lTΣr = −→p ·−→s +−→q ·−→p = 0La muerte le sobrevino a Plücker en 1868, cuando el joven Klein estaba

doctorándose con él en la universidad de Bonn. Tuvo la tarea de escribir laúltima obra de Plücker,”Nueva geometría del espacio” y se dió cuenta que sobrelos complejos se puede diagonalizar ℘. Escogiendo para los cálculos

p1p2p3p4p5p6

=

−i 1 0 0 0 00 0 1 −i 0 00 0 0 0 −1 −i−i −1 0 0 0 00 0 −1 −i 0 00 0 0 0 1 −i

x0x1x2x3x4x5

se tiene que Σ = −2I (Coordenadas de Klein).

16.1.1 Superficies regladas

Un haz parabólico de rectas está formado por las rectas que pasan por un puntoa, y cortan a una recta que no pasa por a, r = b + c . Las coordenadas dePlücker de las rectas del haz quedan λ(a+ b) + µ(a + c) es decir forman unarecta que además está contenida en ℘. Recíprocamente, una recta totalmentecontenida en ℘ está generada por 2 puntos de ℘ que provienen de 2 rectas que secortan. Dichas rectas generan un haz parabólico cuya imagen por Ψ es la rectaoriginal. En resumen, cada haz parabólico está asociado a una y sólo una rectade ℘ y recíprocamente, cada recta de ℘ proviene de un único haz parabólico deP3.


Un regulus R es el conjunto de rectas que cortan a 3 rectas alabeadas ri.Luego Ψ(R) = P

Ψ(ri) ∩ ℘ es una cónica ya que el planoPΨ(ri) no puede

estar contenido en ℘ por ser las rectas alabeadas.Una superficie reglada S es una curva parametrizada en ℘ : S = r(u) ∈ ℘.

Cuando S = a(u) + b(u) = λ(v)a(u) + µ(v)b(u), (λ : µ) ∈ P1, a(u) y b(u) sellaman curvas directrices. El plano tangente como superficie de P3 viene dadopor:

Tλa+µbS = (λa+ µb) + (λ•a+ µ•b) + (

•λa+

•µb)

Se define:

generatriz singular rg(a,•a, b,

•b) = 2 rg(r,

•r) = 1

regular torsal rg(a,•a, b,

•b) = 3

•r ∈ ℘

no torsal rg(a,•a, b,

•b) = 4

•r /∈ ℘

donde las equivalencias en las definiciones se deducen de la igualdad•rTΣ•r =¯

a,•a, b,

•b

¯Sobre una generatriz torsal hay un único punto singular de la superficie

porque rg(λa + µb,λ•a + µ

•b,•λa+

•µb) = rg(a, b,λ

•a + µ

•b) y como es torsal se

puede tener por ejemplo que•b = αa+ βb + γ

•a sin ninguna dependencia en v.

Por tanto rg(a, b,λ•a+ µ

•b) = rg(a, b, (λ+ γµ)

•a) encontrándose un único valor

de v tal que λ + γµ = 0 para el que el plano tangente degenera en una recta.Este punto se llama punto cuspidal y se puede calcular como r∩ •r. Y salvo estepunto, los planos tangentes sobre una generatriz torsal son el mismo pues quedaT(u,v)S = a+ b + •

a sin dependencia en v. Este plano se llama plano torsal y se

puede calcular como r +•r.

Sobre una generatriz no torsal no hay puntos singulares y los planos tan-gentes se pueden calcular como Ξ•

r(r) (la polaridad nula asociada a

•r /∈ ℘ como

se define en el apartado de los complejos) y forman una congruencia parabólica.Además como Ψ(S) es una curva en ℘ se tiene el regulus R = osc(Ψ(S)) ∩ ℘que genera una cuádrica Φ ⊂ P3, la cuádrica de Lie, que también está generadapor otro regulus R0. Las propiedades de los reguli son dos: 1) Ψ(R), Ψ(R0) soncónicas en planos Σ− conjugados 2) R R0 son las direcciones asintóticas de S

16.1.2 Congruencias

Un bundle de rectas está formado por todas las rectas que pasan por un puntode P3. Su imagen por Ψ corresponde a un plano π ⊂ ℘. Dualmente, un sheafde rectas consta de todas las contenidas en un plano de P3. Su imagen por Ψ


es otro plano π ⊂ ℘. La posición relativa de estos planos dentro de ℘ vieneresumida por la siguiente tabla:

dim(π1 + π2) = 4 dim(π1 ∩ π2) = 0dim(π + π) =

½53

dim(π ∩ π) =½ −1

1dim(π1 + π2) = 4 dim(π1 ∩ π2) = 0

Una congruencia lineal está formada por las rectas cuya imagen por Ψ esuna cuádrica, es decir la imagen es el corte de ℘ por un plano de P5. Distintostipos de cuádricas dan lugar a distintas congruencias: si es reglada se dice quela congruencia es hiperbólica; si es no degenerada y no reglada, la congruenciaes elíptica; si es un cono, la congruencia es parabólica y si es un par de planosque se cortan a lo largo de una recta, la congruencia es singular.Una congruencia G es una superficie contenida en ℘

16.1.3 Complejos

Un complejo lineal E se define como Ψ(E) = ℘ ∩ Hξ siendo Hξ el hiperplanoconjugado de ξ ∈ P5.

Si ξ /∈ ℘ sea ξ = (−→e ,−→g ) = (E23,E31,E12, E01,E02,E03) que induce unamatriz antisimétrica ET = −E. Como |E| = 1

4(ξTΣξ)2, se tiene una polaridad

nula Ξ.

Ξ(a) = Ea = a+ ξ

Ξ(l) = 12 (ξ

TΣξ)l − (ξTΣl)ξΞ(h) = E−Th = h ∩ ξ

En este caso E consta de las rectas nulas de la polaridad, es decir las que sonautoconjugadas respecto de ΞSi ξ ∈ ℘, E consiste en todas las rectas que cortan a ξ.Un complejo C es una superficie tridimensional de ℘.

16.1.4 El grupo de Plücker

El grupo de Plücker son las homografías de P5 que dejan invariante ℘ : P=ρA ∈ PGL(6,R) / ATΣA = ρΣ. Por lo tanto las filas de A representan 6rectas, cada una de ellas cortando a otras 4 y a sí misma, por lo que forman untetraedro. Como grupo de Lie, P es isomorfo a G = O(3, 3), que consta de 4componentes conexas. En coordenadas de Plücker, la componente conexa de laidentidad viene determinada por

SO0(3, 3) = A =µA1 A2A3 A4

¶∈ O(3, 3) / |A| = 1,

¯¯4Xi=1

Ai

¯¯ > 0


Por otro lado, dada una homografía de P3 f ≡ ρC si a0 = f(a) y b0 = f(b),

se tiene que l0ij =¯a0i a0jb0i b0j

¯=

¯a0i b0ia0j b0j

¯=

¯Pk

µcikcjk

¶ak,Pl

µcilcjl

¶bl

¯=P

k<l

¯cik cilcjk cjl

¯lkl Es decir, se induce una homografía sobre P5 ef y puesto que

f manda rectas en rectas, ef ≡ ρB ∈ P de tal manera que la fila ij de B sonlas coordenadas de Grassman de la recta generada por las filas i y j de C,luego son rectas de un tetraedro cuyos vértices son las filas de C. Si partimosde una homografía en el dual f : P3 −→ P3∗ f ≡ ρC, esta induce la correlaciónF : P −→ P de tal manera que F (a + b) = F (a) ∩ F (b) En coordenadas:µa00 · · · a03b00 · · · b03

¶x = 0

µx0x1

¶= −

µa00 a01b00 b01

¶−1µa02 a03b02 b03

¶µx2x3

¶=

− 1l001

µ −l012 −l013l002 l003

¶µx2x3

¶de donde

x = λ

l012−l002l0010

+ µ

l013−l0030l001

recta cuyas coordenadas de Grassman son

l023−l013l012l003−l002l001

=

1

−11

1−1

1

∆

(l0ij)

luego se tiene inducida ef ∈ P de tal manera que ef ≡ ρ∆B Pero como |∆| = −1,ef no está en la componente conexa de la identidad de P, por lo que en las clasifi-caciones siguientes para cualquier tipo de subvariedad su transformado medianteuna correlación es otro tipo de subvariedad no congruente: por ejemplo, en su-perficies regladas aparece el cono que es un conjunto de rectas que pasan porun mismo punto, el vértice y por una curva dada en un plano que no contieneal vértice. Al transformar un cono por una correlación aparece una superficietangente plana, es decir un conjunto de rectas en un mismo plano cuya envol-vente es una curva dada de dicho plano. Ambos tipos de subvariedad: el conoy la superficie tangente, no son por tanto congruentes. Por esta razón, en lassiguientes tablas resumen he omitido la subvariedad obtenida a través de unacorrelación, es decir aparece la mitad de la tabla.


16.2 La clasificación de superficies regladas deP3

ref.F. inv

I fIIa 1 haz parabolico

IIb III IV Va fV Ia 5V Ib V II 7 κ8

Vb V I 6 κ6, τ7 no torsales

IIc III IV eVa 4 regulus

Vb fV I 6 κ7 cono

Tan sólo indicar dos ideas: que no he podido identificar todos los tipos queaparecen debido a que no he podido integrar la distribución D(y) del teoremade homogeniedad (quizás un ordenador más potente si pueda, puesto que escuestión de calcular una exponenecial de una matriz 6 × 6 en este caso); y porotro lado observar cómo los conos están determinados por una sección planaque no pasa por el vértice del cono, lo que quiere decir que están determinadospor una curva en un plano proyectivo y como vimos en la geometría proyectiva,dichas curvas están determinadas por un único invariante de orden 7, que es lainformación que está dando esta tabla.

16.3. LA CLASIFICACIÓN DE CONGRUENCIAS 89

16.3 La clasificación de congruencias

ref.F. inv.eIa 0 planos π

Ib fIIa 1

IIb III fIV a 3fIV b 3 κ4IVc 4 κ5, τ5

IIc III fIV a 3fIV b 3 κ4IVc 4 κ5, τ5

IId IIIa fIV a 3IVb 4

IIIb 3 κ3, (τi)4 i = 1..5

IIe gIIIa 2IIIb 3 κ3, (τ i)4 i = 1..4IIIc 3 κ4, τ4

IIf IIIa fIV a 3IVb 4 κ4, τ5, ρ5

IIIb 3 κ3, (τ i)4 i = 1..5IIg III 3 κ3, τ3, (ρi)4 i = 1..6IIh III 3 κ2, (τ i)3, (ρj)4 i = 1..5, j = 1..3

Tan sólo destacar el hecho de que los planos tienen referencias de Frenet deorden cero y de que los planos π se obtienen de los planos π por una correlación,por lo que como ya expliqué no aparecen en la tabla.

16.4 La clasificación de complejos

ref.F. inv

I fIIa 1 singular

IIb III IVa eVa 4

Vb V I gV II 6 κ7IVb V fV Ia 5

V Ib 6

IIc IIIa fIV 3IIIb IV 4 κ3, (τ i)4, (ρj)5 i = 1..3, j = 1..9

Doy por último esta clasificación con la idea de identificar estos tipos en untrabajo posterior, pero es fácil aventurar por ejemplo que el tercer tipo estádeterminado por una curva plana.

Parte III

Apéndice

91

Capítulo 17

Superficies Euclideas

17.1 Preliminar

Geometría euclídea

Considérese el espacio de Klein E = R3 con grupo estructural G = ASO (3,R)formado por matrices reales de la forma

(a;A) =

µ1 0a A

¶, a =

a1

a2

a3

, A = (A1, A2,A3) Ai = a1ia2ia3i

donde a ∈ E y (A1, A2,A3) forman base ortonormal positivamente orientada,es decir AtA = id, detA = 1. Visto así, G es un subgrupo cerrado de Lie deGL (4,R), cuya regla de producto es

(a;A) (b;B) = (Ab+ a;AB)

(a;A)−1 =¡A−1a;A−1

¢Los elementos x de E, son ternas ordenadas de números, que serán consid-

erados filas o columnas dependiendo del contexto.El grupo G actua fiel y transitivamente sobre E de la forma

(a;A) .x = Ax+ a, para (a;A) ∈ G, x ∈ Ey la matriz (a;A) ∈ G, puede considerarse una rotación euclidea (o movimientodirecto de E) de E con ecuaciones respecto al sistema de referencia canónicoµ

1x

¶=

µ1 0a A

¶µ1x

¶Si fijamos como punto base o = (0, 0, 0) ∈ E, podemos interpretar (a;A) =

(a;A1,A2,A3) como un sistema de referencia (cartesiano), con origen (a;A) .o =a En particular la matriz identidad (o; I) es el sistema de referencia canónico.

93

94 CAPÍTULO 17. SUPERFICIES EUCLIDEAS

El grupo de isotropía de o es

G0 = (o;A) : A ∈ SO (3,R) = SO (3,R)la última igualdad se obtiene al identificar

(o;A) = A

Acción sobre la Grassmaniana de 2-planos.G2,3

El álgebra de Lie g de G está formada por matrices tipo

g =

½(ξ|X) =

µ0 0ξ X

¶con ξ ∈ R3, Xt +X = 0

¾y álgebra de Lie g0 de G0 es

g0 =©(0|X) : Xt +X = 0

ªcon complementario

m0 =©(ξ|0) : ξ ∈ R3ª

que es invariante por la acción adjunta de G0 en g:

Ad(o,A) [ξ,X] = (o, A) (ξ|X) (o, A)−1 =£Aξ,AXA−1

¤Si x ∈ E, y ξ ∈ R3 denotamos ξx = (x, ξ) ∈ TxE al vector ξ apoyado en x,

de manera que

TxE =©ξx : ξ ∈ R3

ªSe identifica m0 = ToE = R3, cuando escribimos

(ξ|0) = ξo = ξ

y se identifica por tanto también G12 (E, o) = G2 (ToE) = G2 (m0) = G2,3.La acción de Go sobre ToE es la natural dada por la multiplicación matricial

G0 × ToE → ToE, (A, ξ)→ Aξ

y en general la acción G× TE → TE viene descrita por

(a;A) .ξx = (Aξ)Ax+a

La acción de G0 sobre G12 (E, o) está descrita porA. [ξ, η] = [Aξ, Aη] = [A (ξ, η)]

y es transitiva ya que en particular A. [I1, I2] = [A1, A2], y todo plano de R3admite una base ortonormal (A1, A2).

17.1. PRELIMINAR 95

El plano

o1 = [I1, I2] =

1 00 10 0

nos sirve por tanto como referencial de orden 1.Nótese que en general la acción de G sobre G12 (E) viene descrita por

(a;A) [ξ, η]x = [A (ξ, η)]Ax+a

Forma de Maurer-Cartan

Finalmente analizemos la forma de Maurer-Cartan ΩG ∈ Ω1 (G, g):Fijado (a;A) ∈ G es

T(a;A)G =©(a;A) (ξ|X) = (Aξ|AX) : Xt +X = 0

ªy por definición ΩG (Aξ|AX) = (ξ|X) . tomando coordenadas canónicas (enGL (4,R)) y restringiendolas a G quedan

xi, xij : G→ R, xi (a;A) = ai, xij (a;A) = Aij

con estas coordenadas es

ΩG = [Θ,Ω] =h¡xij¢tdx,

¡xij¢t ¡dxij¢i

Θi =Pxki dx

k, Ωij =Pxki dx

kj ∈ Ω1 (G0)

,

Como ΩG toma valores en g se concluye que Ωt+Ω = 0, por tanto Ωij = −Ωji .Una interpretación de la forma de Maurer-Cartan es la siguienteSi (a (t) , A (t)) ∈ G , t ∈ I es una referencia movil a lo largo de la curva

a (t), entonces

(a0 (t) , A0 (t)) = (a (t) , A (t))ΩG (a0 (t) ,A0 (t))

que se puede desdoblar en

a0 (t) =PΘi (t)Ai (t) con Θi (t) = Θi (a0 (t) ,A0(t))

A0 (t) = A (t)Ω (t) con Ω (t) = Ω (A0 (t))

Más general, si F : S → G es una aplicación diferenciable, F (s) = (a (s) ,A (s)),entonces la derivada de Darboux de F es

F∗ΩG = (θ|ω) ∈ Ω1 (S, g)

donde θi, ωij ∈ Ω1 (S) tienen la siguiente interpretación

da =X

θiAi (17.1)

dAj =X

ωkjAk


en donde da, y dAj son las diferencialesde las aplicaciones a, Aj : S → R3Tomando F = id : G→ G queda

da =PΘiAi

dAj =PΩkjAk

(17.2)

Ecuaciones de Maurer Cartan.

Las ecuaciones de Maurer-Cartan se obtienen por manipulación formal de (17.2)al imponer: d2a = 0, y d2Aj = 0 el resultado es el siguiente:

dΘi +PΩij ∧Θj

dΩij +PΩik ∧Ωkj = 0

(17.3)

Naturalmente estas ecuaciones se transforman por pullback en

dθi +P

ωij ∧ θj = 0dωij +

Pωik ∧ ωkj = 0

(17.4)

cuando se toma F : S → G.

Referencias adaptadas.

Es nuestro propósito establecer en esta geometría un teorema de clasificaciónde superficies f : S → E según distintas versiones y compararlos.Una referencia de orden cero a lo largo de f es U : S → G aplicación

diferenciable con U (s) = (f (s) , U (s)). Si U∗ΩG = (θ|ω) ∈ Ω1 (S, g), se tienepor (17.1)

df =X

θiUi (17.5)

dUj =X

ωkjUk

y podemos conseguir θ3 = 0, si tomamos (U1(s), U2(s)), generando f∗TsS, paratodo s, o de forma equivalente

U (s) . [I1, I2] = [U (s) (I1, I2)]f(s) = [U1 (s) , U2 (s)]f(s) = f∗TsS

. Por tanto θ3 = 0 es el criterio de las referencias de orden 1 o (1-adaptadas).La primera de las ecuaciones (17.5) se escribe ahora para cada s ∈ S, ξ ∈ TsS

f∗ξ = θ1 (ξ)U1 (s) + θ2 (ξ)U2 (s) (17.6)

lo que indica que f∗¡θ1, θ2

¢es base dual de (U1, U2).

Por otra parte el vector U3 = N f siendo N el vector normal unitario aM = f(S). La segunda de las ecuaciones (17.5) se escribe en forma matricial:

(dU1, dU2, dU3) = (U1, U2, U3)

0 −ω21 −ω31ω21 0 −ω32ω31 ω32 0

(17.7)

17.2. MÉTODO CLÁSICO. 97

17.2 Método clásico.

Aplicación de Weingarten.

La primera de las ecuaciones (17.4), dθi +P

ωij ∧ θj = 0 aplicada a θ3 = 0, da

ω31 ∧ θ1 + ω32 ∧ θ2 = 0y aplicando el lema de Cartan se concluye que existen funciones lij : S → Rdiferenciables con l12 = l21 de forma queµ

ω31ω32

¶=

µl11 l12l21 l22

¶µθ1

θ2

¶(17.8)

La segunda de las ecuaciones (17.4), dωij +P

ωik ∧ ωkj = 0 da ahora parai = 1, j = 2:

dω21 = −ω31 ∧ ω32 = −Kθ1 ∧ θ2 (17.9)

dondeK = (KM f) = det (lij) es independiente de la referencia 1-adaptada,y KM :M → R es la llamada curvatura de Gauss que solo dependeM. De hecho(lij (s)) es la matriz, de la aplicación lineal (llamada aplicación de Weingarten)−dN : Tf(s)M → Tf(s)M en la base (U1, U2)s.En efecto, para ξ ∈ TsS, se tiene

−dN (f∗ξ) = −dU3 (ξ) = (U1, U2)sµ

ω31ω32

¶ξ

= (U1, U2)s

µl11 l12l21 l22

¶s

µθ1

θ2

¶ξ

Formas Fundamentales.

Sea gE el producto escalar ordinario de E = R3. Si f : S → E es una superficie,M = (f : S) entonces

f∗gE = gf =2X1

dθi ⊗ dθi (17.10)

es la Primera Forma Fundamental y transforma a S en una superficie riemanni-ana abstracta. Además si N es campo normal unitario aM, la aplicación −dN :Tf(s)M → Tf(s)M induce por pullback un tensor −f∗dN = Lf ∈ T11 (S), queda lugar al endomorfismo simétrico Lf (s) : TsS → TsS, para todo s ∈ S, quees la aplicación de Weingarten. El tensor covariante simétrico gf−equivalentea Lf es

hf = gf (Lf , •) =X

lijθi ⊗ θj (17.11)

y se denomina Segunda Forma Fundamental, y viene determinada salvo el signo


Teoremas de congruencia: Versión 1

La solución al Nivel 1 del problema de clasificación de superficies euclideas vienedada en el siguiente.

Teorema 25 Sean f, f : S → E son superficies. Entonces:

1. Si existe (a;A) ∈ G con f = a+Af entonces gf = gf y ±hf = ±hf2. Si gf = gf y ±hf = ±hf , supuesto S simplemente conexo, existe (a;A) ∈G con f = a+Af .

Demostración. 1. Si f = a+Af , entonces a partir de una referencia móviladaptada a f , U (s) = (f (s) , U (s)) s ∈ S se construye U (s) = ¡f (s) , U (s)¢ =(a;A)U (s) = (a+Af (s) ,AU (s)) que es referencia adaptada a f .y resultaU∗Ω = (θ|ω) = U∗Ω = ¡θ|ω¢ las igualdades (17.10) y (17.11) .aplicadas a f yf garantizan gf = gf , y hf = hf .

2. Supuesto que hf = hf (eligiendo adecuadamente las normales N y N)como gf = gf , podemos construir

¡θ1, θ2

¢con

gf = gf =2X1

dθi ⊗ dθi

de forma que f∗¡θ1, θ2

¢sea base dual de (U1, U2) y f∗

¡θ1, θ2

¢es base dual

de¡U1, U2

¢. y las correspondientes referencias móviles U =(f,U1, U2,N f),

U=¡f, U1, U2,N f

¢sean referencias móviles. SeaU∗Ω = (θ|ω),U∗Ω = ¡θ|ω¢.

De momento tenemos θ = θ. La Hipótesis hf = hf implica por (17.11) que(lij) =

¡lij¢y por (17.8) se concluye ω3i = ω3i . Finalmente la identidad de

más adelante (17.12) da lugar a ω12 = ω12, por tanto ω = ω, U∗Ω = U∗Ω.

Por el Teorema Fundamental, se concluye que existe (a;A) ∈ G, con U (s) =(a;A)U (s), y en particular f = a+Af.La solución a Nivel 2 pretende responder a la pregunta siguiente:Supóngase (S, g) superficie riemaniana abstracta, y sea h ∈ T02 (S) un tensor

2-covariante simétrico en S. ¿Que condiciones deben verificar g y h, para queexista f : S → E superficie tal que g = gf y ±h = ±hf ?Observación 26 El punto crucial es que los datos g y h son suficientes parareconstruir una (θ|ω) ∈ Ω1 (S, g) que en el caso g = gf y h = hf coincide con elpullback U∗ΩG para cierta referencia movil adaptada a f.En efecto, supuesto S paralelizable, podemos elegir θ1, θ2 ∈ Ω1 (S) con g =P2

1 dθi⊗dθi. La expresión de h será de la forma h =P lijθ

i⊗θj con l12 = l21,y la igualdad (17.8) permite determinar ω31 = −ω13 y ω32 = −ω23. Nos faltaaún conocer ω21 = −ω12 = λ1θ

1 + λ2θ2. Usando dos primeras condiciones de

integrabilidad (17.4) tenemos:

dθ1 = −θ2 ∧ ω21 = λ1¡θ1 ∧ θ2¢

dθ2 = θ1 ∧ ω21 = λ2¡θ1 ∧ θ2¢


de donde se despejan λ1, λ2 y por tanto ω21 que simbólicamente podemos es-cribirlo como:

ω21 = −ω12 =X dθi

θ1 ∧ θ2 θi (17.12)

Por aplicación directa del Teorema de integrabilidad, se tiene:

Teorema 27 Supóngase (S, g) superficie riemaniana abstracta, simplementeconexa, g =

P21 dθ

i ⊗ dθi y sea h ∈ T02 (S) .La condición necesaria y sufi-ciente para que exista f : S → E superficie tal que g = gf y ±h = ±hf es quela 1-forma (θ|ω) ∈ Ω1 (S, g) construida en la observación 26 verifique:1. La ecuación de Gauss: dω21 = det (lij)

¡θ1 ∧ θ2¢

2. Las ecuaciones de Mainardi-Codazzi:

dω31 + ω32 ∧ ω21 = 0dω32 − ω31 ∧ ω21 = 0

Por supuesto, es posible que datos iniciales diferentes (g,±h) y ¡g,±h¢sobre S, verificando las condiciones 1 y 2 proporcionen soluciones respectivasf : S → E y f : S → E que den lugar a la misma clase de superficie, es decir,existe (a;A) ∈ G con

f φ = a+Af para cierto difeo φ : S → S

La solución del problema aNivel 3 exige fijar las parametrizaciones geométri-cas en torno a cada punto construidas a partir de una familia más restringida dedatos iniciales sobre discos de R2 de forma que cada germen geométrico [M, a]de superficie proceda de un único dato, o en todo caso, disponer de un criterioalgorítmico computable para reconocer cuando dos datos dan lugar al mismogermen..

Todo esto requiere la presencia de las referencias adaptadas al segundo orden.

Referencias de Frenet

Sea f : S → E una superficie. Para cada s ∈ S −dN(s) : Tf(s)M → Tf(s)M , esun endomorfismo simétrico en el plano vectorial euclideo Tf(s)M . Por álgebralineal elemental, se concluye que −dN(s) tiene autovalores reales k1 (f (s)) =k2f(s), k

2 (f (s)) = k2f (s) y existe una base ortonormal (U1 (s) , U2 (s)) de Tf(s)Mcon −dN (Ui (s)) = kif (s)Ui (s).Observación 28 Nótese que k1, k2 son funciones de M con valores reales, yademás definen (salvo un signo) invariantes escalares euclideos, y se denominancurvaturas principales. Asimismo Ui (f (s)) = Ui (s) define sin ambigüedad uncampo de vectores en M . Son los campos unitarios principales, y ±U1,±U2constituye un invariante euclideo.

Si k1f (s) 6= k2f (s) ∀s, diremos que M es genérica.


En este caso la elección de la normal N , adecuada permite exigir¯k2f

¯< k1f que

se transforman así en autenticos invariantes euclideos (con signo incluido).

Si M es genérica, es posible elegir Ui (s) diferenciablemente y construirU=(f, U1, U2, U3 = N f) que se denomina referencia de Frenet. La deriva-da de Darboux U∗ΩG = (θ|ω) se llama forma de Frenet, que vale entonces:

θ =

θ1

θ2

0

, ω = 0 −ω21 −k1fθ1

ω21 0 −k2fθ2k1fθ

1 k2fθ2 0

(17.13)

(se denomina a esto matriz de Frenet) ya que por (17.8) esµω31ω32

¶=

µk1f 00 k2f

¶µθ1

θ2

¶Parametrizacion Geométrica.

Fijemos S una bola abierta de R2,con coordenadas¡s1, s2

¢:

Proposición 29 Sea M una superficie del espacio afín R3 y sean U1, U2 cam-pos tangentes a M, definidos sobre un cierto abierto de M y linealmente inde-pendientes en algún punto a del mismo. Entonces existe una parametrizaciónϕ : S→M, en torno a a de forma que Ui ϕ = fi∂ϕ/∂si siendo f1, f2 : S→R+ funciones diferenciables

¡s1, s2

¢Aplicando la proposición anterior a los dos primeros vectores (U1, U2) de una

referencia de Frenet, U = (U1, U2, U3) definida en un entorno de un punto a ∈M , se deduce la existencia de una parametrización ϕ : Sε →M con ϕ (0, 0) = a,y

gϕ = g1ds1 ⊗ ds1 + g2ds2 ⊗ ds2hϕ = k

1ϕg1ds

1 ⊗ ds1 + k2ϕg2ds2 ⊗ ds2 (17.14)

ya que en la matrizU∗ΩG = (θ|ω) de la referencia de FrenetU = (ϕ, U1, U2, U3)se tiene θi =

√gids

i para ciertas aplicaciones diferenciables gi : Sε → R+.Llamamos a ϕ parametrización adaptada por a.Si ϕ : Sε → M es otra parametrrización adaptada entonces las ecuaciones

del cambio de coordenadas serían:

si = φi¡s1, s2

¢y de la identidad

ϕ¡φ1¡s1, s2

¢,φ2

¡s1, s2

¢¢= ϕ

¡s1, s2

¢(17.15)

se deduce

∂ϕ

∂si=

2Xj=1

∂ϕ

∂sj∂φj

∂si(17.16)


Finalmente del hecho de que ∂ϕ/∂si y ∂ϕ/∂si sean proporcionales a Ui seconcluye que

∂φ1

∂s2=

∂φ2

∂s1= 0

y por tanto

φi¡s1, s2

¢= φi

¡si¢.con φi (0) = 0. (17.17)

Por otra parte, este tipo de cambio de variable permite obtener todas lasprametrizaciones ϕ : Sε →M adaptadas por a.

Lema 30 Existe una parametrización adaptada ϕ : Sε →M por a, de maneraque (ver (17.11)) se tenga

gi(0, s2) = gi

¡s1, 0

¢= 1 (17.18)

Demostración. En efecto partiendo de una parametrización adaptada ϕ :Sε →M por a, y en vista de las fórmulas (17.16) con la restricción (17.17) pode-mos hacer el cambio de variable si = φi

¡si¢para obtener ϕ

¡s1, s2

¢verificando

(17.15) y se tiene Ã∂φi

∂si

!2gi = gi

por lo cual,‘para conseguir gi(0, s2) = gi

¡s1, 0

¢= 0 basta tomar

φ1¡s1¢=R s10g1 (s, 0)

−1/2ds

φ2¡s2¢=R s20g2 (0, s)

−1/2ds

Se dice entonces que ϕ es una parametrización geométrica deM por a (breve-mente ϕ es PG por a).

Si ϕ es PG por a ∈M , entonces ˜ϕ definida por

˜ϕ¡s1, s2

¢= ϕ

¡−s1,−s2¢es también una PG por a, y se tiene el siguiente resultado:

Proposición 31 Sea M superficie genérica y a ∈M . Si ϕ, ψ son dos PG pora, entonces o bien ψ = ϕ, o bien ψ = ˜ϕ en la intersección de los dominios.

Teoremas de Congruencia: Versión 2.

En lo que sigue, todas las superficies se consideran genéricas. supongamos (M,a)y¡M,a

¢superficies punteadas.


Podemos preguntarnos primero cual es la condición necesaria y suficientepara que las funciones diferenciables g1, g2 : Sε → R verificando (17.18) y k1, k2 :Sε → R con

¯k2¯< k1 definan un germen geométrico.

En este caso, tomando h1 = k1g1, h2 = k2g1tenemos sobre Sε, las formas

g = g1ds1 ⊗ ds1 + g2ds2 ⊗ ds2

h = h1ds1 ⊗ ds1 + h2ds2 ⊗ ds2

y se aplican las condiciones de compatibilidad dadas en el teorema 27.. Seobtiene entonces:

Teorema 32 Sean g1, g2 : Sε → R verificando (17.18) y k1, k2 : Sε → R con¯k2¯< k1 funciones diferenciables. La condición necesaria y suficiente para que

exista ϕ : Sε → E PG de ϕ (Sε) por ϕ (0, 0) con gϕ = g1ds1 ⊗ ds1 + g2ds2 ⊗

ds2, hϕ = k1g1ds1 ⊗ ds1 + k2g2ds2 ⊗ ds2 es que se verifiquen las relaciones

(condiciones de integrabilidad):a) La ecuación de Gauss

k1k2 = − 1

2√g1g2

½∂

∂s2

µ∂g1/∂s

2

√g1g2

¶+

∂

∂s1

µ∂g2/∂s

1

√g1g2

¶¾(17.19)

b) Las ecuaciones de Mainardi con H = 12

¡k1 + k2

¢, h1 = k1g1, h2 = k2g2½

∂h1∂s2

= ∂g1∂s2H

∂h2∂s1 =

∂g2∂s1H

, (17.20)

Observación 33 Los datos iniciales del teorema pueden reducirse a dos fun-ciones g1, g2, verificando (17.18) y otra k1 . La ecuación de Gauss (17.19)permite calcular la Curvatura de Gauss K = k1k2 en función de g1 y g2, y ”de-spejar” k2 = K/k1. Por otra parte las ecuaciones (17.20) también se escriben K ∂g1

∂s2=

∂³(k1)2g1

´∂s2

K ∂g2∂s1 =

∂³(k2)2g2

´∂s1

,

Nos preguntamos si hay algún procedimiento algorítmico para saber si a ya admiten entornos congruentes.

Una posible respuesta la proporciona el siguiente resultado:

Teorema 34 Sean [M,a] y£M,a

¤dos germenes euclideos de superficies en E,

con ϕ : Sε → M , y ϕ : Sε → M las correspondientes PG de M y M pora, y a respectivamente. Pongamos gϕ =

Pgids

i, gϕ =Pgids

i. Entonces[M, a] =

£M,a

¤, si y solo si

1. ϕ = ϕ, o ϕ = ˜ϕ en Sδ para cierto δ ≤ ε.

2. Supuesto por ejemplo ϕ = ϕ en Sδ , se debe verificar (en Sδ) :

g1 = g1, g2 = g2, k1ϕ = k

1ϕ

17.3. MÉTODO DE LAS ECUACIONES REDUCIDAS. 103

17.3 Método de las ecuaciones reducidas.

Acción sobre las escamas de segundo orden

Tal y como se vió en el epígrafe 17.1, la acción de

SO (3) = G0 = Ao = (o;A) : A ∈ SO (3) ⊂ G

sobre G2,3 ' G2 (m0) ' G2 (ToE) = G12 (E, o) es la natural,

A. [X1, X2] = [AX1, AX2] , A ∈ SO (3) , [X1,X2] ∈ G2,3y resulta ser transitiva. Se había fijado w1 = o1 = [I1, I2] como origen, y elgrupo de isotropía de o1 resulta ser

O(2) = G1 =

½A1 =

µo,

µA 00 detA

¶¶: A ∈ O (2)

¾así una referencia U (s) = (f (s) , U (s)) de orden 1 en la p-variedad f : S → Edebe verificar U (s) . [I1, I2] = f∗TsS, que equivale a que U (s) = (U1(s), U2(s)),genere f∗TsS.Desde el punto de vista de los fibrados de escamas, esto se ve así:Para cada l = (l1, l2) ∈ R2 se considera la parametrización eζl : R2 → E de

la gráfica de la función z = ζl (x, y) = l1x+ l2y, dada poreζl (x, y) = (x, y, ζl (x, y))y la aplicación

R2 −→ G1 ¡E, o1¢l g1o

eζldefine una parametrización local de G1 (E, o) que asigna a o1 coordenadas (0, 0).

Observación 35 En lo que sigue, y para descargar notación, suprimimos elsubíndice 2 de Gk2 (E) para denotar los fibrados de escamas de superficie deorden superior, que será en su ausencia sobre entendido.[8]

Análogamente para cada q = (q1, q2, q3) ∈ R3 se considera la parametrizacióneζq : R2 → E

eζq (x, y) = ¡x, y, ζq (x, y)¢de la gráfica de la función z = ζq (x, y) = q1x

2 + 2q2xy + q3y2. Identificando

q =

µq1 q2q2 q3

¶


queda

ζq (x, y) = (x, y) q

µxy

¶Si ζl,q = ζl + ζq la aplicación

R2 × R3 → G2 (E, o)(l, q) → g2o

gζl,qdefine una parametrización local de G22 (E, o), en un entorno de o1. En estascoordenadas la proyección G22 (E, o) → G12 (E, o) viene dada por la proyeccióncanónica

R2 × R3→R2, (l, q)→ l

Por tanto, la aplicación

R3 → G2 ¡E, o1¢ , q→ g2oeζq

define una parametrización global de G2 ¡E, o1¢.La acción G1 ×G2

¡E, o1

¢→ G2 ¡E, o1¢, puede entonces describirse así:Dada la escama g2o eζq de coordenadas q, y A ∈ O(2), para calcular A−1.g2o eζq,

hacemos sustitución formal en la igualdad z = ζq (x, y) de x, y, z por xyz

=

µA 00 detA

¶ xyz

de forma que si q son las coordenadas de A−1.g2o eζq son q = (detA)AtqA. Portanto

A.g2oeζq = g2o eζq con q = (detA)AqAt = ±AqAt

Formalmente por tanto debemos analizar la acción

O(2)×R3 → R3, A.q = (detA)AqAt (17.21)

bien conocida del álgebral lineal.Una sección de la acción (17.21) viene dada por

W 2a =

½µr1 00 r2

¶: |r2| < r1

¾que se corresponde para ζ(r1,r2) = r1x

2 + r2y2

O2a =ng2o

³eζ(r1,r2)´ : |r2| < r1o


Una escama σ ∈ Gk (E), se dice genérica si A.σ = σ ⇒ A = I donde I ∈ Ges el elemento neutro. Sea

Gen¡Gkp (E)¢ = ©σ ∈ Gkp (E) : σ es genéricaª

Resulta ahora que la familia G.O2a es la familia de escamas genéricas deorden 2. Obsérvese además que:

R1) No existen escamas genéricas de orden inferior a 2, es decir:

Gen¡G1 (E)¢ = ∅

R2) Las escamas genéricas de orden 2, G.O2a = Gen¡Gqp (E)¢, forman un

abierto denso del espacio total G2 (E) de escamas de orden 2.Por esto decimos que la geometría afín euclidea es (2-)regular de orden 2.Una superficie f : S → E se dice genérica si g2sf es genérica para todo s ∈ S,

y se denota por F∞ de superficies genéricas de E, que constituye una familiaregular.

Caso genérico.

Fijado un punto f (s) de una superficie genérica M = (f : S) sumergida en E,queda determinada una única referencia de Frenet

U (s) = (f (s) ;U1 (s) , U2 (s) , U3 (s)) ∈ G

con U (s)−1 g2sf = g2o

³eΨ(r1(s),r2(s))´, para (r1 (s) , r2 (s)) ∈W 2a, con

Ψ(r1,r2) (x, y) = r1x2 + r2y

2

Todo lo anterior podemos replantearlo admitiendo que hay una función difer-enciable ζ = ζ (s,X,Y ) con valores reales definida en un entorno de S× (0, 0)en S×R2, tal que en las coordenadas (X (s) , Y (s) , Z (s)) respecto a U (s), lasuperficie M se ve como la gráfica de una función de la forma

Z (s) = ζ (s,X (s) , Y (s)) (17.22)

y verifica para todo s ∈ S.0 = ζ (s, 0, 0) = ζX (s, 0, 0) = ζY (s, 0, 0) = ζXY (s, 0, 0) (17.23)

se consideran entonces las funciones diferenciables bi, cj, dk : S→ R definidaspor:

2b0 = ζXX (s, 0, 0) 2b1 = ζY Y (s, 0, 0)6c0 = ζXXX (s, 0, 0) 6c1 = ζXXY (s, 0, 0)6c2 = ζXY Y (s, 0, 0) 6c3 = ζY Y Y (s, 0, 0)24d0 = ζXXXX (s, 0, 0) · · · 24d3 = ζY Y Y Y (s, 0, 0)


por tanto, Z = ζ (s,X,Y ) = b0X2+ b1Y

2+ c0X3+ c1X

2Y+ c2XY2+

c3Y3+ d0X

4+ d1X3Y+ d2X

2Y 2+ d3XY3+ d4Y

4 + · · ·Las funciones bi cj son en realidad f∗bi = bi f , f∗cj = cj f . y pueden ser

consideradas, funciones enM , y constituyen de hecho un sistema de invariantesescalares. Probaremos que se trata de un sistema completo de invariantes, ydeterminaremos las relaciones de integrabilidad.

Para ello tomemos un punto fijo P deM , con coordenadas (x (s) , y (s) , z (s))respecto aU (s). La idea clave, es que entonces se tiene para todo s la identidad:

P = f (s) + (U1 (s) , U2 (s) , U3 (s))

x (s)y (s)z (s)

y diferenciando ambos miembros se obtiene por ser P un punto fijo:

0 = df + (dU1, dU2, dU3)

xyz

+ (U1, U2, U3) dxdydz

Usando ahora las fórmulas (17.6) y (17.7) podemos escribir (U1, U2, U3) .

θ1

θ2

0

+ dxdydz

+ 0 −ω21 −ω31

ω21 0 −ω32ω31 ω32 0

xyz

= 0 (17.24)

Por otra parte, como P ∈M , a partir de (17.22) se concluye que para todos se verifica la identidad:

z (s) = ζ (s, x (s) , y (s)) (17.25)

A partir de aquí, fijamos s ∈ S, y sean (x (s) , y (s) , z (s)) = (x,y, z) lascoordenadas de P respecto al sistema de referencia U (s). También fijamosuna curva α (t), en S, con α (0) = s, y α0 (0) = ξ ∈ TsS. La igualdad (17.24)particularizada en ξ ∈ TsS da:

dx = −θ1+ω21y+ω31ζ (s,x,y)

dy = −θ2−ω21x+ω32ζ (s,x,y)dz = −ω31x−ω32y

con (17.26)

dx = dx (ξ) = (x α)0 (0)dy = dy (ξ) , dz = dz (ξ)ωij = ωij (ξ) , ζ (t, x, y) = ζ (α (t) ,x,y)

(17.27)

diferenciando y aplicando a ξ ambos miembros de (17.25) queda: −ω31x− ω32y=ζt (0,x,y)+ ζX (s,x,y)dx+ ζY (s,x,y)dy= ζt (0,x,y)+ ζX (s,x,y)

¡−θ1+ω21y+ ω31ζ (s,x,y)¢

+ζY (s,x,y)¡−θ2−ω21x+ ω32ζ (s,x,y)

¢y al mover P en M , se concluye que

la igualdad es válida para todo (x,y) de un entorno de (0, 0) ∈ R2. Derivando


los dos miembros de (17.3) respecto a x, particularizando para (x,y) = (0, 0) yteniendo en cuenta (17.23) queda

−ω31 = ζtx (0, 0, 0)− ζXX (s, 0, 0)θ1

pero nuevamente por (17.23)

ζtx (0, 0, 0) =d

dt

¯t=0

ζX (α (t) , 0, 0) =d

dt

¯t=0

0 = 0

además de la definición de b0 se concluye ω31 = 2b0 (s)θ1. Dado que el resultado

vale para todo s y todo ξ ∈ TsS, se concluye:ω31 = 2b0θ

1

Procediendo de forma análoga con las derivadas sucesivas de (17.3) hasta elorden 3, se obtienen, según se indica, las siguientes condiciones:

[x] ω31 = 2b0θ1

[y] ω32 = 2b1θ2

[xy] ω21 =c1

b0−b1 θ1 + c2

b0−b1 θ2£

x2¤

db0 = 3c0θ1 + c1θ

2£y2¤

db1 = c2θ1 + 3c3θ

2£x3¤

dc0 = c1ω21 − 2b20ω31 + 4d0θ1 + d1θ2£

y3¤

dc3 = −c2ω21 − 2b21ω32 + d3θ1 + 4d4θ2£x2y

¤dc1 = (−3c0 + 2c2)ω21 − 2b0b1ω32 + 3d1θ1 + 2d2θ2£

y2x¤

dc2 = (3c3 − 2c1)ω21 − 2b0b1ω31 + 2d2θ1 + 3d3θ2

(17.28)

Las últimas condiciones se pueden desglosar en componentes sobre θ1, θ2 obte-niendose:

c0 =

13 b0,1

c1 = b0,2c2 = b1,1

¾c3 =

13b1,2

(17.29)

d0 =1

12b0,11 + b

30 −

1

4

b20,2b0 − b1

d1 =1

3b0,12 − b0,2b1,1

b0 − b1 =1

3b0,21 +

1

3(b0,1 − 2b1,1) b0,2

b0 − b1

d2 = 4b0b21 + b0,22 +

b0,1b1,1 − 2b21,1b0 − b1 = 4b20b1 + b1,11 +

2b20,2 − b1,2b0,2b0 − b1


d3 =1

3b1,12 +

1

3(2b0,2 − b1,2) b1,1

b0 − b1 =1

3b1,21 +

b1,1b0,2b0 − b1

d4 =1

12b1,22 + b

31 +

1

4

b21,1b0 − b1

Y sabiendo que la diferencial segunda ya es cero, queda

(dθ1 = c1

b0−b1 θ1 ∧ θ2

dθ2 = c2b0−b1 θ

1 ∧ θ2

Las igualdades encontradas para d1 y d3 resultan ser identidades; no así parad2 que resulta:

4b0b1(b0 − b1) = b0,22 − b1,11 +b0,1b1,1 + b1,2b0,2 − 2(b20,2 + b21,1)

b0 − b1 (17.30)

Observaciones:

1. Las condiciones [x] y [y] expresan que 2b0 y 2b1 son exactamente las cur-vaturas principales k1 y k2 establecidas en la observación 28, y determinanω31 = 2b0θ

1, y ω32 = 2b1θ2.

2. Suponiendo que

rango db0, db1, dc0, dc1, dc2,dc3 = 2 (17.31)

las condiciones (17.28), permiten calcular θ1 y θ2, conocidos b0, b1, c0, c1,c2, c3. En efecto, las condiciones

£x2¤y£y2¤se escriben:µ

db0db1

¶=

µ3c0 c1c2 3c3

¶µθ1

θ2

¶(17.32)

lo que permite en general despejar de aquí θ1, y θ2, cuando rango db0, db1 =2. Pero en todo caso la condición [xy] da

ω21 =c1

b0 − b1 θ1 +

c2b0 − b1 θ

2 (17.33)

Esto nos permite escribir el resto de las ecuaciones como combinaciones deθ1 y θ2 y depejarlas de dos de ellas en virtud de la condición (17.31). Quedaasí determinada toda la matriz de Cartan (17.13). Esto demuestra conayuda del Teorema Fundamental que en efecto b0, b1, c1, c2 constituyeun sistema completo de invariantes.


3. Supongamos que sobre S nos dan funciones b0, b1, c0, c1, c2, c3, que verifi-can las condiciones autónomas y la (17.31). Podemos reconstruir entoncesuna matriz de Cartan (17.13) usando las definiciones dadas por [x], [y],[xy]. Probaremos que se verifican las ecuaciones de Maurer-Cartan. Por elteorema Fundamental quedaría determinada entonces salvo congruenciasuna única superficie f : S→ E que da lugar a tal sistema de invariantes.Por un lado las igualdades ya garantizan las ecuaciones de Mainardi-Codazzi

dω31 + ω32 ∧ ω21 = 0, dω32 − ω31 ∧ ω21 = 0En efecto, se tiene por ejemplo

1

2

¡dω31 + ω32 ∧ ω21

¢= d

¡b0θ

1¢+ b1

¡θ2 ∧ ω21

¢=¡db0 ∧ θ1 + b0 ∧ dθ1

¢− b1dθ1= −c1θ1 ∧ θ2 + (b0 − b1) dθ1 = 0

Tambien se verifica automáticamente la ecuación de Gauss dω21 = −ω31∧ω32que ahora se escribe:

dω21 = −4b0b1¡θ1 ∧ θ2¢ (17.34)

En efecto, diferenciando ambos miembros de la condición [xy] queda

(db0 − db1) ∧ ω21 + (b0 − b1) dω21= dc1 ∧ θ1 + dc2 ∧ θ2 + c1dθ1 + c2dθ2

Sustituyendo ahora db0, db1, dc1, dc2 por sus valores en (17.28), y usandoqueda ¡

(3c0 − c2) θ1 + (c1 − 3c3) θ2¢ ∧ ω21 + (b0 − b1) dω21

= (−3c0 + 2c2)ω21 ∧ θ1 + 4b0b21θ1 ∧ θ2 +(3c3 − 2c1)ω21 ∧ θ2 − 4b20b1θ1 ∧ θ2

dejando ahora solo en el primer miembro el sumando que interesa queda:(b0 − b1) dω21 =

c2ω21 ∧ θ1 − c1ω21 ∧ θ2 +

µ4b0b1 (b1 − b0) + c

21 + c

22

b0 − b1

¶θ1 ∧ θ2

Finalmente, de (17.33) se concluye

c2ω21 ∧ θ1 − c1ω21 ∧ θ2 = −

c21 + c22

b0 − b1 θ1 ∧ θ2

que al sustituirlas más arriba reproduce la fórmula de Gauss (17.34).En consecuencia, las condiciones de integrabilidad, se reducen a las condi-ciones autónomas extraidas de (17.28), y la condición de rango (17.31).

Capítulo 18

Superficies equiafines

En la referencia bibliográfica [7] (pg 193) se encuentra el siguiente teoremaexpresado siguiendo la notación de [8]:

SeaM una 2-variedad orientada, conexa, simplemente conexa,(o lo que es lomismo, las funciones siguientes son locales) con una métrica riemaniana <,>∈D02(M) y un tensor simétrico y totalmente simétrico S ∈ D12(M) que verifiquen

CS = 0

d[C(divII ⊗ II)− div(divII)] = 0

siendo C la contracción métrica y II ∈ D03(M) métricamente equivalente a S.Con esta construcción existen:

1. J ∈ C∞(M) / J = 12C(II ⊗ II)

2. H ∈ C∞(M) / dH = C(divII ⊗ II) − div(divII) que en coordenadasresulta

(divII)ij = ∂kSkij + Γ

kkmS

mij − ΓmkiS

kmj − ΓmkjS

kim

dHi = gmn[(divII)lmSl

ni − ∂n(divII)im + Γlni(divII)lm + Γlnm(divII)il]

3. T ∈ D11(M) / T = divS − H Ev siendo Ev ∈ D11(M) el tensor deevaluación, con lo que H = −12CT

4. K ∈ C∞(M) / K = detT

Teorema 36 Hay una inmersión f :M −→ R3 tal que <,>= f∗I II = f∗IIsiendo I, II la primera y segunda forma equiafín de f(M) como subvariedadde R3

111

112 CAPÍTULO 18. SUPERFICIES EQUIAFINES

Capítulo 19

Alfabeto griego

El alfabeto griego empleado es el siguiente:

α alfa η eta µ mu τ tauβ beta ξ xi ν nu υ ıpsilonγ gamma θ theta o omicron ϕ fiδ delta ι iota π pi χ ji² epsilon κ kappa ρ rho ψ psiζ szeda λ lambda σ sigma ω omega

113

114 CAPÍTULO 19. ALFABETO GRIEGO

Parte IV

Bibliografía

115

Bibliografía

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[14] E.J. Wilczinsky, Projective differential geometry of curves and ruled sur-faces, Leipzig, Teubner 1906

117

”sobre la geometría local de variedades en espacios

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