situsciones de multiplicacion.pdf
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Tema 2. Aritmtica
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Ideas bsicas
1 Q t lti li di idi1. Qu es sumar, restar, multiplicar y dividir
2. Tipos de problemas aditivos y multiplicativos
3. Formas de resolver las sumas/restas y multiplicaciones/divisiones
4 Nmeros con signo y relaciones de divisibilidad4. Nmeros con signo y relaciones de divisibilidad
Cmo estudiar las operaciones?
- Qu es la suma, la resta, la multiplicacin o la divisin. En qu situaciones/problemas se utiliza
- Qu propiedades tienen las operaciones
C bt i bli t l
ConceptualConceptual
AlgebraicoAlgebraico
- Cmo obtener simblicamente el resultado de las operaciones Algortmico
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Cmo organizar el estudio de las operaciones?
Cmo resolverais los siguientes problemas?
1. Ana tiene 6 canicas y Bernardo lleva suscanicas para jugar, cuntas canicas tieneBernardo si entre los dos tienen 15 canicas?
g pQu operaciones necesitis utilizar?
2. Queremos repartir 20 rboles entre cuatrovecinos de una urbanizacin. Cuntos lecorresponden a cada uno?
Cmo organizar el estudio de las operaciones?
E t di j t t Estudio conjunto suma-resta Estudio conjunto multiplicacin-divisin Adems son operaciones inversas
Estructura Aditiva (N, +, -)
Estructura Multiplicativa (N, x, :)
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1 Estudio conceptual de la Estructura Aditiva
Estructura del Tema 2
1. Estudio conceptual de la Estructura Aditiva Significado de las operaciones Problemas aditivos Modelos para realizar operaciones y problemas
2. Estudio conceptual de la Estructura Multiplicativap p Significado de las operaciones Problemas multiplicativos Modelos para realizar operaciones y problemas
Estructura del Tema 2
3. Estudio algebraico de las operacionesg p Propiedades de suma y resta Propiedades de multiplicacin y divisin
4. Formas simblicas de obtener resultados Algoritmos de las operaciones Calculadora Clculo mental Estimacin
5. Nmeros con signo y relaciones de divisibilidad
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1 Estudio1. Estudio Conceptual de la Estructura Aditiva
Significado de las operaciones
Qu es sumar? Qu es restar?
TAREA para casa: Buscar trminos que seidentifican con sumar y con restar
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Significado de suma
Concepcin binaria: unir/combinar (combinacin de dos cantidades a las que se les asigna el mismo papel)
Concepcin unitaria: aadir (la cantidad inicial sufre un cambio de estado al aadirle la segunda cantidad, que da como resultado su incremento)
Significado de la resta
Concepcin binaria: diferencia (como resultado de la comparacin de dos cantidades)
Concepcin unitaria: quitar/separar (la cantidad inicial sufre un cambio de estado al quitarle la segunda cantidad, que da como resultado su disminucin)
Inversa de la suma. Suma donde se desconoce uno de los sumandos
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Etapas en los problemas
PROBLEMAS DE UNA ETAPA
Los problemas simples o de una etapa son los quese resuelven con una operacin aritmtica
PROBLEMAS DE UNA ETAPA
PROBLEMAS DE DOS O MS ETAPAS
Los problemas compuestos o de ms etapas son losque se resuelven con, al menos dos operaciones(iguales o diferentes)
Problemas Aditivos
Inventa varios problemas que seresuelvan con una suma o con una resta,de forma que sean diferentes
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C tid dNmero y referencia
e plcita al nmero de Cantidades
Conocidas Desconocidas
explcita al nmero de objetos
Datos Solucin o Incgnita
Tipos de Problemas Aditivos
1. Cambio
2. Combinacin
3. Comparacin3. Comparacin
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Tena 5 canicas y me dan 8, cuntastengo ahora?
T 13 l 4
Datos: 5 canicas (Estado inicial)8 canicas (Transformacin)
Problemas Aditivos de Cambio
Tengo 13 caramelos y me como 4cuntos me quedan?
Datos: 13 caramelos (Estado inicial)4 caramelos (Transformacin)
Problemas dinmicos, dependen del tiempo
Concepcin binaria de la suma/restap
Su estructura es
A T
(estado) (transformacin) (estado)
La accin es aadir/quitar o avanzar/retroceder
A B
Estaba en el piso 5 y sub 8, en qu piso me encuentro?
E t b l i 13 h t l
Datos: 5 piso (Estado inicial)8 pisos (Transformacin)
Problemas Aditivos de Cambio
Estaba en el piso 13 y ahora estoy en el 5, cuntos he bajado?
Datos: 13 piso (Estado inicial)5 piso (Estado final)
Problemas dinmicos, dependen del tiempo
Concepcin binaria de la suma/restap
Su estructura es
A T
(estado) (transformacin) (estado)
La accin es aadir/quitar o avanzar/retroceder
A B
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Tengo 5 manzanas y 8 naranjas cuntasfrutas tengo?
Tengo 13 lpices rojos y verdes si 4 son
Problemas Aditivos de Combinacin
Datos: 5 manzanas (Parte)8 naranjas (Parte)
Tengo 13 lpices rojos y verdes, si 4 sonrojos cuntos son verdes?
Problemas estticos, no dependen del tiempo
Concepcin binaria suma/resta
Datos: 13 lap. rojos y verdes(Todo)4 lap. verdes (Parte)
p
Su estructura es
A B
La accin es reunir o separar
Dos cantidades incluidas en un todo que se dan a la vez
Problemas Aditivos de Comparacin
Datos: 6 galletas (Referido)9 ll t (R f t )
Tengo 6 galletas y t tienes 9 cuntasgalletas tienes t ms que yo?
9 galletas (Referente)
Datos: 15 aos (Referido)7 aos (Comparacin)
Si tengo 15 aos y mi hermana tiene 7 menoscuntos aos tiene ella?
Problemas estticos, no dependen del tiempo
Concepcin binaria de la suma/restap
Su estructura es
A
(referente) comparacin (referido)
La accin es comparar
A BProblemas Aditivos
de Igualacin
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1. En una floristera hay 315 rosas y 205 claveles, cuntas flores hay?
2 P d t l h d P l l
Clasificar y describir los siguientes problemas
2. Pedro tena algunos euros ahorrados. Para su cumpleaos le dan 168 ms y ahora tiene 443 euros. Cuntos euros tena Pedro al principio?
3. Mara mide 28 centmetros ms que Javier. Si Mara mide 175 centmetros, cuntos centmetros mide Javier?
4. Pedro, Juan y Mara juegan a las canicas. Pedro pierde 43 canicas con Mara. Si en total ha perdido 25 canicas, cuntas ha ganado o perdido con Juan?
5. Javier tiene 37 euros menos que Carlos. Si Carlos recibe 125 euros, cuntos euros de ms o de menos que Carlos tiene Javier?
6. Irene tiene 5 aos ms que Raquel y 7 menos que Susana. Cuntos aos de ms o de menos le lleva Raquel a Susana?
Tipo de problema: cambio combinacin
Qu factores influyen en la dificultad de los problemas aditivos?
Tipo de problema: cambio, combinacin, igualacin y comparacin
Posicin de la cantidad desconocida:a + b = ?, a + ? = c, ? + b = c
Formulacin de la pregunta Lenguaje empleado Magnitud de los nmeros (datos y resultado)
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2. Estudio C t l d lConceptual de la Estructura Multiplicativa
Significado de las operaciones
Qu es multiplicar? Qu es dividir?
TAREA para casa: Buscar trminos que seidentifican con multiplicar y con dividir
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Significado de multiplicar
Suma repetida: se reitera un nmero determinado de veces (cada nmero tiene un papel diferente)
Producto cartesiano: a x b = nmero de combinaciones posibles de a elementos con belementos
5 + 5 + 5 = 3 x 5 (= 15)
Multiplicacin como Suma Repetida
5 + 5 + 5 = 3 x 5 (= 15)
a + a + a...(n) + a = n x a
multiplicador multiplicando
Los dos nmeros tienen papeles diferentes
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Multiplicacin como Producto Cartesiano
3x4
Los dos nmeros tienen el mismo papel
a x b = Card (A) x Card (B) = Card (A X B)
Significado de dividir
Divisin partitiva/Reparto: se fracciona una cantidad en un nmero de grupos (cada cantidad tiene un papel diferente)
Concepcin cuotitiva/Resta repetida: se resta una cantidad un nmero determinado de veces
Inversa de la multiplicacin. Multiplicacin donde se desconoce uno de los factores
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Divisin Partitiva/Reparto
Vamos a plantar 8 rboles en un jardn. Queremos disponerlos en 2 filas, cuntas rboles habr en cada fila?rboles habr en cada fila?
Divisin Cuotitiva/Resta reiterada
8 : 2
Vamos a plantar 8 rboles en un jardn. Queremos disponerlos en filas de 2 rboles cada una, cuntas filas habr?
Divisin Cuotitiva/Resta reiterada
8 : 2
Divisin Partitiva/RepartoVamos a plantar 8 rboles en un jardn. Queremos
disponerlos en 2 filas, cuntas rboles habr en cada fila?
Se conoce el total de elementos y el nmero
Divisin Cuotitiva/Resta reiterada
8 : 2
Vamos a plantar 8 rboles en un jardn. Queremos disponerlos
de grupos (cantidades de diferente naturaleza) No se conoce el nmero de elementos por
grupo
en filas de 2 rboles cada una, cuntas filas habr?
8 : 2 Se conoce el total de elementos y el nmero de
elementos por grupo (cantidades de igual naturaleza) No se conoce el nmero de grupos
Cuntas veces cabe un nmero en otro?
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Divisin como Inversa de la Multiplicacin
16 : 2 = x 2 = 16
a : b = b= 0 x b = a
Resumen
Multiplicacin: suma repetida o producto cartesiano
Divisin: reparto, resta repetida o inversa de la multiplicacin
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Relacin entre Operaciones
Suma Multiplicacin
Operaciones Inversas
Operaciones Inversas
Resta Divisin
Problemas Multiplicativos
Inventa varios problemas que seresuelvan con una multiplicacin o conuna divisin, de forma que seandiferentes
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Tipos de Problemas Multiplicativos
1. Proporcionalidad simple
2. Comparacin
3. Producto cartesiano3. Producto cartesiano
1. Un abuelo compra 3 dulces por nieto. Si tiene 4 nietos,cuntos dulces compra?
Problemas Multiplicativos de Proporcionalidad Simple
cuntos dulces compra?
2. Un abuelo tiene 4 nietos. Si el abuelo compra 12 dulces,cuntos dulces se puede comer cada nieto?
3. Un abuelo compra 3 dulces por nieto. Si en total ha comprado12 dulces, cuntos nietos tiene el abuelo?
Multiplicacin
Divisin partitiva
,Divisin cuotitiva
Los datos pertenecen a conjuntos diferentes Un dato indica el sumando y el otro indica el nmero de veces que se suma
Dato desconocido
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Problemas Multiplicativos de Comparacin
E ti 6 i A t i tReferente Escalar
Eva tiene 6 aos y Antonio 18, cuntas veces ms aos tiene Antonio que Eva?
Eva tiene 6 aos y su primo Antonio tres veces ms, cuntos aos tiene Antonio?
Referido o Comparado Incgnita en comparado
Antonio que Eva?
Antonio tiene tres veces los aos que Eva. Si Eva tiene 6 aos, cuntos aos tiene Antonio?
Incgnita en escalar
Incgnita en referente
Aumento vs disminucin
Problemas Multiplicativos de Producto Cartesiano
Tengo tres camisetas de diferentes colores y dos pantalones (uno deTengo tres camisetas de diferentes colores y dos pantalones (uno de rayas y uno de cuadros). De cuntas formas diferentes me puedo vestir?
Un jardn rectangular de 35 m2 tiene 5 metros de ancho, cunto mide de largo?
Combinatoria
Producto de medidas
Dato desconocido
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Tabla-resumen Problemas Multiplicativos
Problemas de estructura multiplicativa de una etapa
Proporcionalidad simple Comparacin Producto cartesiano
Multiplicacin Divisin partitivaDivisin cuotitiva Aumento Disminucin Combinatoria
Producto de medidas
Dato desconocido
Hay ms problemas multiplicativos?
1. Varias etapas
2. Problemas no rutinarios
Problemas reales Problemas de divisin con resto Problemas de divisin con resto Problemas irresolubles
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Modelos y Representaciones
1 M d l li l1. Modelos lineales
2. Modelos cardinales
3. Modelos de medida
4. Modelos numricos
pp. 214-219
5. Modelos de razn/comparacin aritmtica
6. Modelos funcionales
1. Modelos lineales
Con soporte grfico
Sin soporte grfico
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2. Modelos cardinalesEsquema rectangular
Unin repetida de conjuntos con el mismo nmero de objetos
Producto cartesiano
1 2 31
Diagrama de flechas
12
1 2 3
1
2
3
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3. Modelos de medida
Balanza
Regletas Cuisinaire
4. Modelos numricos
5 x 8 y otras posibles 5 x 8 descomposiciones de los factores
80x40 5x40 80x2 5x2 5x2 85x42
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5. Modelos de razn/comparacin aritmtica
3 x 4
1
4
3
1
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6. Modelos funcionales
7 28x 4
estado estadooperador
: 428 7
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Trabajo Autnomo
- Actividades de reflexin y evaluacin del tema 2
- Modelos y representaciones (pp. 214-219)