situaciones problema estructura objeto...

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Ministerio de Educación Nacional

República de Colombia

SITUACIONES PROBLEMA ESTRUCTURA OBJETO COMPETENCIA BOGOTÁ D.C., MAYO DE 2010 ° DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS ° UNIVERSIDAD CENTRAL

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UNIVERSIDAD CENTRAL

SITUACIONES PROBLEMA – ESTRUCTURA OBJETO COMPETENCIA

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

BOGOTÁ D.C., MAYO DE 2010

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CONSEJO SUPERIOR Fernando Sánchez Torres – Presidente Jaime Arias Ramírez Rafael Santos Calderón Jaime Posada Díaz Danghelly Zuñoga Reyes – Representante docentes Guillermo Páramo Rocha – Rector Ligia Echeverri de Ferrufino – Vicerrectora Académica Nelson Gnecco Iglesias – Vicerrector Administrativo Julio Mario Rodríguez Devis – Decano Facultad de Ingeniería GRUPOS DE INVESTIGACIÓN TECNICE Y TECNIMAT Luis Facundo Maldonado David Macías Mora Ricardo Bernal Bueno Gloria Rodríguez de Granados Eva Cecilia Vargas Edel Serrano Iglesias

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CONTENIDO

LAS COMPETENCIAS MATEMÁTICAS .......................... 5

EL CONCEPTO DE PROBLEMA EN LA FORMACIÓN ....... 8

DE COMPETENCIAS COGNITIVAS ................................. 8

REFERENCIAS .............................................................. 10

EJEMPLOS DE SITUACIONES PROBLEMA .................... 11

UNIDAD 1 ..................................................................... 12

UNIDAD 2 ..................................................................... 17

UNIDAD 3 ..................................................................... 21

UNIDAD 4 ..................................................................... 25

UNIDAD 5 ..................................................................... 29

UNIDAD 6 ..................................................................... 33

UNIDAD 7 ..................................................................... 37

UNIDAD 8 ..................................................................... 41

UNIDAD 9 ..................................................................... 44

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MARCO TEÓRICO

LAS COMPETENCIAS MATEMÁTICAS

El Departamento de Matemáticas de la Universidad Central ha diseñado un modelo que articula cada uno de los objetos matemáticos a construir con las competencias matemáticas a desarrollar organizadas en tres dimensiones: conceptual, operativa y modelativa entendidas de la siguiente manera:

Se entiende por competencia conceptual: el manejo de estructuras conceptuales a través de definiciones, reglas, mapas conceptuales y ejemplos. En matemáticas la competencia conceptual liga el objeto a construir al método, esto es, a la argumentación y a los razonamientos inductivos y deductivos, que desde el planteamiento de axiomas o proposiciones generales, permiten llegar a la conclusión de verdades particulares.

El desarrollo alcanzado por el estudiante en esta dimensión se evidencia de dos maneras: la primera de ellas es por el reconocimiento de los atributos característicos de los objetos construidos y la identificación de las relaciones existentes entre los conceptos que intervienen en la red de cada uno de los objetos.

La segunda forma de evidenciar el avance en la dimensión conceptual, es a través de los argumentos planteados por el estudiante en sus trabajos colaborativos, que en el caso de este proyecto quedan registrados en la plataforma soporte del ambiente digital, en las cadenas de razonamientos construidas con las que es posible vincular

la conclusión de un argumento, o la propuesta de alternativa de una alternativa de solución elegida entre las opciones posibles, a un concepto, a una propiedad, a un objeto matemático o, a una teoría ya establecida.

Se entiende por competencia operativa: el manejo de algoritmos para dirigir procedimientos y obtener procesos válidos de solución de problemas. Cada objeto matemático está vinculado a un conjunto de símbolos y operadores que le son propios y que hacen parte de un lenguaje regulado por las jerarquías existentes entre los signos y por las reglas presentes en los algoritmos de transformación que hacen posible la simplificación de las expresiones. La competencia operativa permite calcular, intervenir sobre los signos, ejecutando las acciones de un proceso que sigue el lineamiento dado por un razonamiento.

El avance del estudiante en esta dimensión se evidencia en el desarrollo de algoritmos atendiendo a la jerarquía de los operadores, en la identificación de posibilidades de solución ante un problema dado y en la interpretación de las respuestas encontradas en cada situación.

Se entiende por competencia modelativa: la capacidad de establecer relaciones entre los objetos estudiados y por lo menos alguna de las tres representaciones dadas a continuación:

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Expresiones construidas en lenguaje natural.

Representaciones diagramáticas o geométricas del objeto.

Proposiciones matemáticas formales, expresadas a través de variables y representativas de las relaciones presentes en el objeto estudiado.

El avance logrado por el estudiante en esta dimensión se evidencia en el tránsito realizado entre las distintas representaciones, verbal, diagramática y formal, y en la capacidad de transferir aprendizajes a la solución de nuevos problemas o de problemas presentados en diferentes contextos, de establecer relaciones de analogía, de homomorfismo o isomorfismo. Los indicadores de desarrollo de las competencias descritas anteriormente se muestran en la figura 1.

El área de física introduce una cuarta categoría: la experimentativa, entendida como la capacidad de manipular instrumentos de medición, comparar resultados teóricos y experimentales, diseñar, simular o realizar experimentos para establecer relaciones entre magnitudes físicas.

La definición de estas dimensiones permite abordar cada uno de los objetos de aprendizaje atendiendo a lo que el estudiante debe poder hacer con en lo conceptual, en lo operativo y en la modelativa, lo cual permite construir un indicador o meta a alcanzar.

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ESTRUCTURA OBJETO - COMPETENCIA

DIMENSIONES

Competencia matemática

CONCEPTUAL OPERATIVA MODELATIVA

OBJETOS MATEMÁTICOS DE ESTUDIO

Articula en res los conceptos de un objeto matemático.

Construye argumentos identificando hipótesis y conclusión.

Detecta inconsistencias cuando existen en un argumento.

Utiliza herramientas computacionales para plantear y resolver problemas.

Actúa sobre símbolos usando de manera adecuada las reglas de transformación.

Analiza datos experimentales para inferir conclusiones

Expresa el conjunto de proposiciones referidas a un objeto o a un sistema:

- En lenguaje natural

- En diagrama o gráfica

- En lenguaje algebraico

- En lenguaje computacional

SITUACIÓN PROBLEMA

De esta manera se ha elaborado y se tienen como productos de este proyecto: el sistema de indicadores de la asignatura, o conjunto de matrices que articulan los objetos a construir en cada unidad con las dimensiones de la competencia matemática y, el conjunto de ejercitadores diseñados, al menos uno para cada indicador, con el cual el estudiante puede entrar a interactuar en el ambiente digital encontrando en el sistema una respuesta cualitativa que aprueba el ejercicio realizado o lo direcciona a repasar los conceptos o propiedades que sean pertinentes.

Las matrices de indicadores diseñadas para cada unidad con sus correspondientes baterías de ejercicios permiten al estudiante autoevaluar su propio avance, gestionar sus metas y detectar de manera puntual las falencias de su aprendizaje en cada una de las unidades. Este es un ejercicio que cada estudiante realiza de manera individual o bajo la orientación del monitor con el cual tiene encuentros sincrónicos o asincrónicos a través del ambiente digital.

| /EL CONCEPTO DE PROBLEMA EN LA FORMACIÓN DE COMPETENCIAS

COGNITIVAS

8

EL CONCEPTO DE PROBLEMA EN LA FORMACIÓN DE COMPETENCIAS COGNITIVAS

Russel y Norvig (1996) caracterizan los problemas con base en los conceptos de solucionador, operando, operador y transición de estados. Si un sistema (operando) está en un estado actual o Inicio y el solucionador desea que este sistema llegue a un estado Meta, el problema consiste en hallar la secuencia de estados mediante la aplicación de un operador para que el operando alcance el estado meta. Por tanto la solución de un problema es una transformación mediante una sucesión de transiciones de estado. Cada transición implica decisiones, es decir, que hay al menos dos estados posibles y su secuencia se puede representar en una estructura arbórea, que por ser representación de posibilidades constituye lo que se denomina el espacio del problema. El solucionador seguía por la representación que tenga de las posibilidades de acción (uso de operador) y de las posibles secuencias de estado, de tal manera que será más efectivo si su espacio es representación suficiente.

Goel y Pirolli (1992) distinguen, en esta perspectiva, los problemas débil y fuertemente estructurados, según se pueda construir o no el árbol de búsqueda completo y se pueda disponer del operador adecuado en cada paso. La resultante se puede ver asociado a grados de incertidumbre en los procesos de solución. Cuando se pueden encontrar secuencias que garantizan la solución, el proceso es algoritmizable; cuando no, la actividad de exploración reduce la incertidumbre mediante heurísticas o recomendaciones surgidas de la experiencia explorativa previa.

La dinámica del espacio del problema está asociado con la actividad “mental” del solucionador. En los procesos de formación, quien aprende se ve permanente retado a elaborar, frente a problemas expresados en diferentes formatos, un espacio del problema y a garantizar una solución. La solución de problemas, como se ha estudiado en la ciencia cognitiva (Newell y Simon, 1972), es un proceso de complejidad variable que involucra los patrones de representación del solucionador con su ambiente (ambiente de la tarea).

En procesos pedagógicos se habla de problemas formales o algebraicos y problemas en contexto. En términos cognitivos, significa esto que el ambiente de la tarea presenta una expresión de estructuras simbólicas abstractas y formales o que está constituido por variables del entorno que demandan del solucionador procesos de abstracción y formalización. Las dos condiciones, exigen habilidades diferentes para el solucionador. En principio, una estructura abstracta es general y aplicable a muchos contextos, la dificultad surge por cuando el solucionador debe tener la habilidad representar los contextos que tienen información relevante y no relevante, mediante esas estructuras. Encontramos entonces dos dificultades inherentes en la construcción del espacio del problema: 1. Algoritmizar la solución o al menos hallar heurísticas;

2. Tomar la información relevante del contexto, usar estructuras abstractas.

| /EL CONCEPTO DE PROBLEMA EN LA FORMACIÓN DE COMPETENCIAS

COGNITIVAS

9

El proceso de formación orientado a formar competencias de acción en el mundo de la vida implica procesos de formación en solución de problemas. La solución de un problema no es suficiente para formar el solucionador eficiente, por la dificultad inherente a la variedad de los contextos. La solución de un problema nuevo mejora la habilidad, pero, ésta siempre es mejorable. El arte de enseñar a solucionar problemas pedagógicamente está relacionado con el diseño y presentación de casos, por una parte, y con el monitoreo y asesoramiento, por otro. A este proceso, lo hemos denominado acompañamiento.

Los ambientes de la tarea se pueden mejorar pedagógicamente mediante los dispositivos tanto analógicos como digitales, pero sobretodo, mediante los procesos de interacción colaborativa tanto del solucionador que aprende con el experto, como entre pares de solucionadores en formación. En otras palabras, el aprendizaje de solución de problemas es un proceso que involucra relaciones en una red social de experticia y en consecuencia, los procesos de argumentación alrededor de la solución de problemas se destacan por su especial eficacia (Schwartz y De Groot, 2006).

| /REFERENCIAS 10

REFERENCIAS

Russell, S y Norvig, P. (1996). Inteligencia Artificial: un enfoque moderno.

Editorial Prentice Hall.

Goel, V y Pirolli, P. (1992). Structure of Design Problem Spaces. Corgnitive

Science, Vol 16, No 3, 395 – 429

Schwartz. B y De Groot, R., (2006). Argumentation in a changing world.

Interational Journal of Computer Collaborative Learnning.

| EJEMPLOS DE SITUACIONES PROBLEMA 11

EJEMPLOS DE SITUACIONES PROBLEMA

| /UNIDAD 1 12

UNIDAD 1 NÚMEROS REALES

MAPA CONCEPTUAL

1

| MATRIZ DE INDICADORES 13

MATRIZ DE INDICADORES

COMPETENCIA OBJETO

COMPRENDE LOS CONCEPTOS CONSTRUIDOS

OPERA CON SIGNIFICADO

MODELA

NÚMEROS REALES

Subconjuntos numéricos

El enfoque axiomático

Clasificar números reales de acuerdo a las características de cada subconjunto

Resolver ejercicios que hacen uso de los axiomas de orden y las propiedades de los números reales.

Expresar enunciados verbales utilizando símbolos matemáticos; así mismo tener en cuenta los axiomas de orden y las operaciones permitidas en el conjunto de los números reales,

INTERVALOS

Comprender el significado de los símbolos utilizados para expresar una desigualdad.

Usar las propiedades de las desigualdades y del valor absoluto para encontrar su conjunto solución.

Mostrar las relaciones de orden entre dos números reales a y b

SISTEMAS DE NUMERACIÓN

Identificar las propiedades básicas en cada sistema y las operaciones posibles en cada sistema de numeración.

Convertir expresiones numéricas de un sistema a otro, utilizando los algoritmos correspondientes.

Comparar las ventajas y desventajas de estos sistemas de numeración en base a su operatividad y sus usos.

| PROBLEMA COLABORATIVO 14

PROBLEMA COLABORATIVO NÚMEROS REALES

Se quiere encerrar un lote rectangular de 20

metros de largo por 12 metros de ancho. Para facilitar el cerramiento se han dispuesto 4 postes, uno en cada vértice del lote, de 2.5 metros de longitud, enterrados el 18% de su largo.

Se cuenta con un rollo de alambre acerado de 50 metros y 3 rollos de alambre de púas de 100 metros cada uno con los cuales se realizará el cerramiento con 4 cuerdas, separadas entre si 0.5 metros una de la otra. La primera cuerda también está colocada a 0.5 metros del piso.

Para dar mayor seguridad a los postes se les colocará un anillo en la parte superior, del cual se fijará una cuerda hecha en el alambre acerado, que será asegurada en un clavo colocado a dos metros del pie del poste.

Para la elaboración de los anillos se cuenta con una varilla de 1/4 de pulgada de diámetro por 3,5 metros de longitud.

EN CADA CASO JUSTIFIQUE SUS RESPUESTAS

1. ¿Es suficiente el alambre de púas, para realizar el cerramiento? ¿ por que?

2. ¿Es posible colocar, en las mismas condiciones una cuerda adicional a la cerca?

Considere todas las opciones.

3. ¿Que longitud del poste queda enterrada?

4. Si cada uno de los postes tiene un diámetro de 20cm. ¿Es suficiente la varilla para colocar los cuatro anillos?


5. Si se recomienda un margen en la longitud

del anillo de el 1% de su propia longitud, ¿Entre que valores se encontrara esta longitud? (construya el inérvalo).

5. Si cada uno de los anillos se coloca a 20cm de la parte superior del poste. ¿Qué longitud tendría cada uno de los alambres acerados que ayudan a sostenerlos?

6. Si se mantiene constante la longitud del cable que sostiene al poste. ¿Es posible colocar el clavo a un metro de distancia del pie del poste? ¿Por qué?

7. ¿Es suficiente el rollo de alambre acerado?

8. Si los anillos se colocaran no a 20cm si no a 30cm del borde. ¿En qué porcentaje se

disminuye la longitud de cada alambre acerado?

9. Realice una clasificación de las respuestas en los diferentes conjuntos numéricos.

10. Ubique los valores encontrados en la recta real.

11. Exprese en notación de valor absoluto la distancia entre el menor de los valores encontrados y un punto cualquiera de la recta real

12. Calcule la distancia entre los dos valores más distantes

13. Clasifique las respuestas en el siguiente cuadro según corresponda.

NUMEROS

NATURALES NUMEROS ENTEROS

NUMEROS RACIONALES

NUMEROS IRRACIONALES

NUMEROS NATURALES

1

2

3

4

5

6

7

| CATEGORIZACIÓN DE LAS PREGUNTAS 16

CATEGORIZACIÓN DE LAS PREGUNTAS

COMPETENCIAS

OBJETOS

COMPRENDE LOS

CONCEPTOS


REPRESENTA Y EXPRESA CON SIGNIFICADO

NÚMEROS REALES

1,2

3,7,12

6,7

INTERVALOS

5,,10

5,8

10

SISTEMAS DE NUMERACIÓN

13

11,13

11

| /UNIDAD 2 17

UNIDAD 2 EXPONENTES – LOGARITMOS – RADICALES

MAPA CONCEPTUAL

2

Operaciones

Suma

que puede ser realizado

con un mismo

y se representa

mediante la

son

Producto

son

cuyos elementos son

Potenciaciónm

Base

despejada

que cuando debe

ser

en una

requiere de

Ecuación

Exponente

Radicación

despejado

que cuando debe

ser

en una

requiere de

Ecuación

Factor

Logaritmación



COMPETENCIA

OBJETO

COMPRENDE LOS CONCEPTOS

CONSTRUIDOS


REPRESENTA, EXPRESA CON SIGNIFICADO

EXPONENTES, LOGARÍTMOS Y RADICALES

Explicar y entender la relación existente entre logaritmos, exponentes y radicales. Analizar que construcciones son posibles a partir de sus axiomas.

Resolver ejercicios con expresiones que contienen potenciación, radicación y logaritmos, a partir de sus propiedades.

Representar gráfica y algebraicamente situaciones que lleven al uso de bases, exponentes, y radicales. Realizar problemas que involucren y hagan ver la estrecha relación entre logaritmos, exponentes y radicales


PROBLEMA COLABORATIVO EXPONENTES – LOGARITMOS – RADICALES

Las gráficas representan la forma de

reproducción de dos bacterias diferentes. En los dos casos, cada bacteria en su momento de dar origen a otra(s) muere.

De acuerdo con las gráficas analice y responda los siguientes cuestionamientos?

EN CADA CASO JUSTIFIQUE SUS RESPUESTAS

1. Para cada una de las bacterias indique la población resultante en términos del tiempo t = 1, t = 2, t = 3, t = 4.

2. Construya una forma general para encontrar la población en términos del tiempo t.

3. Cuál es la población de cada una de las bacterias al cabo de un tiempo de t = 10.

4. ¿Qué operación representa la forma general?

5. ¿Cuál de la bacterias mencionadas da origen a una población de 16 en t= 4?

6. ¿Cuál de la bacterias da origen a una población de 64 en t = 2?

7. ¿Cuál de la bacterias mencionadas da

origen a una población de 64 en t=4? 8. ¿Cuál de la bacterias mencionadas da

origen a una población de 256 en t=4? 9. En cada caso indique en términos del

tiempo transcurrido el número de bacterias a los que da origen antes de morir.

10. Construya una forma general que exprese el número de bacterias a que da origen cada una antes de morir en términos del tiempo.

11. ¿Al cabo de un tiempo encontraron 32 bacteria descendientes de la bacteria A, cuánto tiempo fue necesario para que resultara esta cantidad de población?

12. ¿Al cabo de un tiempo encontraron 256 bacteria descendientes de la bacteria B,


cuánto tiempo fue necesario para que resultara esta cantidad de población?

13. Para cada una de las bacterias exprese el tiempo transcurrido en términos de la población resultante.

14. Construya una forma general que exprese el tiempo en términos del total de la población y del numero de bacterias a que da origen cada una antes de morir.

15. A partir de la población existente en t = 3, analice el comportamiento de una de las bacterias de 5 periodos adicionales de tiempo, utilice esta información para determinar la población generada por todas las bacterias existentes en el periodo t

= 3 al cabo de 5 periodos


| /UNIDAD 3 21

UNIDAD 3 OPERACIONES ALGEBRAICAS

MAPA CONCEPTUAL

3



COMPETENCIA

OBJETO

COMPRENDE LOS

CONCEPTOS CONSTRUIDOS



OPERACIONES ALGEBRAICAS

Identificar en el lenguaje algebráico el significado de conceptos como literal, exponente, y constante en una expresión algebraica. Clasificar expresiones algebraicas de acuerdo con su número de términos

Efectuar las operaciones de suma, resta, multiplicación y división cuando combinamos dos o más expresiones algebráicas.

Simbolizar en el lenguaje algebráico enunciados verbales.

PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLES. TEOREMA DEL BINOMIO Y TRIÁNGULO DE PASCAL. DIVISIÓN SINTETICA

Caracterizar los desarrollos que se tienen a partir de las formulas de productos notables y cocientes notables.

Realizar operaciones que incluyen desarrollos de productos notables y cocientes notables. Generalizar estos resultados utilizando el triángulo de Pascal y el Teorema del Binomio.

Usar gráficos para deducir las formulas de productos notables.

FACTORIZACIÓN Y FRACCIONES ALGEBRAICAS

Caracterizar la idea de mínimo común múltiplo para la suma y resta de expresiones algebraicas. Analizar los pasos a seguir en las operaciones de multiplicación y división de polinomios.

Simplificar expresiones algebraicas de tipo racional que requieren el uso de los distintos casos de factorización.

Emplear los métodos vistos para despejar variables en expresiones que requieren el uso de factorización


PROBLEMA COLABORATIVO PROBLEMA SOBRE LA BIBLIOTECA

Se va a construir una biblioteca con la

distribución y el diseño que se muestra en la figura:

1. Encuentre el perímetro de la base de la biblioteca.

2. ¿Cuál es la suma del perímetro de los entrepaños?

3. Calcular la altura del cajón que forma la parte inferior de la biblioteca.

4. Encuentre el volumen del escritorio de la biblioteca.

5. Si el área de la parte de atrás de la biblioteca está dada por 3X2 + 58X- 40 y un lado mide X + 20, utilizando la división encuentre el otro lado.

Utilizando los productos notables conocidos encuentre:

1. El área de la base de la parte inferior. 2. Calcular el área de un entrepaño. 3. Si el área de la base es X2 + 10X - 600

encuentre las dimensiones. 4. Para la elaboración de este mueble se

compraron tablones de madera de área X² - 9 encuentre el largo y el ancho.

5. Si el volumen del espacio superior de la biblioteca es de x3 - 60x2 - 400x + 24000 Encuentre el alto, largo y ancho.

6. Si el valor de x es de 100 centímetros encuentre los valores reales de cada una de las dimensiones anteriores.

| /UNIDAD 4 25

UNIDAD 4 ECUACIONES E INECUACIONES

MAPA CONCEPTUAL

4

al ser comparadas dan lugar a

que puede ser

cuya solución se

representa con

Intervalos

En una variable de

grado 1,2 o más

que son

subconjuntos de la

Recta

Real

que puede ser

cuya soluciones son

Reales

En una variable de

grado 1,2,3 o más

que contienen

Parte

real

Compleja

s

Parte

imaginaria

Se pueden operar mediante

Adición y

Sustracción

Multiplicació

n

División

Números

Complejos

que conforman las

operaciones en

Expresiones Algebraicas

Inecuacion

es

Ecuacione

s



COMPETENCIA

OBJETO

COMPRENDE LOS

CONCEPTOS CONSTRUÌDOS



ECUACIONES Y DESIGUALDADES EN UNA VARIABLE

Identificar la ecuación como una igualdad que relaciona dos expresiones que contienen constantes y una variable que toma un valor único.

Identificar que propiedades de los números reales son utilizadas en la solución de ecuaciones.

Solucionar y aplicar las ecuaciones de una variable en situaciones diversas. Extender el concepto de ecuación para aplicarlo a inecuaciones e inecuaciones con valor absoluto.

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO EN UNA VARIABLE

Identificar la ecuación como una igualdad que relaciona dos expresiones que contienen constantes y una variable que puede tomar dos valores en los números reales y aquellas soluciones que corresponden a soluciones en los números complejos.

Utilizar para la solucionar ecuaciones de segundo grado, la ecuación cuadrática, los métodos de factorización y el método completando cuadrados.

Modelar situaciones que, descritas en lenguaje algebraico, nos sirven para aplicar las ecuaciones de segundo grado. Representar situaciones para las cuales su solución sea descrita a través de intervalos.

ECUACIONES DE OTROS GRADOS

Identificar que tipos de algoritmos se deben utilizar para llevar una ecuación de grado superior a una ecuación cuadrática.

Utilizar en forma adecuada el conjunto de axiomas de los números reales, así como la división sintética para solucionar ecuaciones que grado superior a dos.

Modelar problemas que soportan el uso de ecuaciones de otros tipos. Estudiar algunos tipos de ecuaciones propias de la Ingeniería, Ciencias y Ciencias Sociales.


PROBLEMA COLABORATIVO EMPRESA DE ASESORÍA Y VENTA E COMPUTADORES

Eduardo, Carlos, Martín y Pedro deciden

conformar una empresa de asesoría y venta de computadores, los aportes fueron hechos de la siguiente manera: Carlos colocó 1/8 del capital, Pedro y Eduardo cada uno aporta el doble de lo de Carlos y el aporte de Martín es de 3/8 del capital total.

En la primera reunión después de estar conformada la sociedad se acuerda destinar el 10% del capital para muebles y enseres necesarios para la empresa, y un 15% para la compra de un vehículo.

En la segunda reunión se dan cuenta que es necesario para el funcionamiento inicial de la empresa dejar un capital en caja menor $3.000.000.

1. Expresar esta situación en forma simbólica.

2. Si al final de estos gastos nos queda un capital de $57.000.000, Expresar esta situación en forma de ecuación.

3. Hallar el capital inicial, utilizando la ecuación anterior.

4. Teniendo en cuenta las condiciones anteriores y con un capital de $50.000.000. Calcule la cantidad que se destina para

muebles y enseres, para compra de vehículo y la cantidad que queda disponible si se inicia la empresa con este capital.

5. La empresa decide invertir parte de sus utilidades en acciones y bonos. El contador, determina que puede invertirse máximo $18.000.000 en una compañía de seguros que ofrece un interés anual simple del 12% en unas acciones, pero la empresa no desea invertir más del 40% de su capital disponible ya que la inversión presenta cierto riesgo. La misma compañía también ofrece por bonos el 8% de interés. ¿Qué cantidad bajo estas condiciones se necesita invertir en bonos y acciones para que se pueda recibir en intereses una cantidad mínimo de $1.620.000 anual?

6. Si otra empresa nos ofrece por los bonos, intereses del 10% y por acciones intereses del 12%, pero sin ningún riesgo, y nos da unos intereses de $1.960.000 anual ¿Qué cantidad se debe invertir en bonos y acciones?

7. Si la empresa desea una utilidad de $4.000.000 ¿Qué cantidad debe invertir si se conservan las mismas tasas de interés?

8. Si usted fuera el encargado de esta empresa y tuviera que tomar una decisión ¿Cuál sería la mejor? ¿Por qué?

| /UNIDAD 5 29

UNIDAD 5 PLANO CARTESIANO

MAPA CONCEPTUAL

5

Ecuaciones

En dos variables

Lineales Cuadráticas

Dos puntos Punto pendiente

Intersección a los

ejes coordenados Razón de cambio

Variables

Sistema de ecuaciones

Paralelas No

paralelas

que pueden ser

que pueden ser

o

que pueden ser

determinadas mediante

que permiten determinar

entre las

Que consideradas en

conjunto constituyen un

que pueden ser rectas

o



COMPETENCIA

OBJETO

COMPRENDE LOS

CONCEPTOS CONSTRUÌDOS



PLANO CARTESIANO, RECTA Y SISTEMAS DE ECUACIONES.

Interpretar y relacionar las representaciones posibles en el plano cartesiano.Lograr deducir cada uno de los conceptos empleados como pareja ordenada, plano cartesiano, distancia entre dos puntos, pendiente de una recta, y ecuación de la recta.

Obtener la solución a ejercicios propuestos y analizar tanto el método algebraico empleado como el método gráfico.

Presentar problemas que nos permitan aplicar los conceptos vistos a otras situaciones. Proponer modelos y formas alternativas para resolver problemas que involucren el uso de sistemas de ecuaciones.


PROBLEMA COLABORATIVO

En un mapa de altimetría se relaciona la

distancia entre ciudades o municipios (en Km) y la altura sobre el nivel del mar (en m.). En un viaje de Bogotá a Barbosa (Santander ) se tiene la siguiente información: altura de Bogotá 2600 m.; primera población que se encuentra Villapinzón distanciada 95 km. de Bogotá y con una altura de 2715 m.; Tunja distanciada 123 km de Bogotá y con una altura sobre el nivel del mar de 2775 m. y Barbosa esta distanciada de Bogotá 214 km con una altura sobre el nivel del mar de 1588 m .

1. Utilizando una escala adecuada ubique los

puntos en un plano cartesiano y una con

segmentos de recta.

2. Utilizando el concepto de punto medio

ubique este entre Bogotá y Villapinzón,

Tunja y Barbosa. (Interpretar).

3. Determine la pendiente de cada uno de

los segmento de recta.

4. Construya cada una de las ecuaciones

lineales de los segmentos.

5. Determine la altura para poblaciones a 70

km; 170km y 200 km de Bogotá.

6. Si la población de Choconta (entre Bogotá

y Tunja) esta a una altura sobre el nivel del

mar de 2665 m. se podría afirma que

Choconta está distanciada a mas de 20 km

de Villapinzón?

7. Si la distancia entre Bogotá y una

población que esta a nivel del mar es de

1990 km. Construya la ecuación lineal para

la situación.

8. Utilizando la expresión del numeral 7

determine la altura para poblaciones a 300

km; 800 km y 1200 km de Bogotá.

9. exprese un modelo general para la

relación distancia entre poblaciones y altura

sobre el nivel del mar de dichas poblaciones.


| /UNIDAD 6 32

UNIDAD 6 GEOMETRÍA ANALÍTICA

MAPA CONCEPTUAL

6

puede ser

Circunferencia

que tiene como

elementos

Centro, Radio

tiene como

elementos

Ejes, Centro,

Focos, Vértices

tiene como

elementos

Ejes, Asíntotas,

Focos

tiene como

elementos

Vértice, Foco,

Directriz

Elipse Hipérbola Parábola

Lugares geométricos

en el plano

se clasifican en



COMPETENCIAS

OBJETOS

COMPRENDE LOS

CONCEPTOS

CONSTRUÍDO

OPERA CON

SIGNIFICADO REPRESENTA,

EXPRESA CON

SIGNIFICADO

PARÁBOLA Identificar la parábola

como el conjunto de

todos los puntos del

plano que equidistan

de un punto fijo, el

foco, y una recta fija,

la directriz y

reconocer sus

elementos.

6.1.2 Dadas ciertas

condiciones hallar la

ecuación de la

parábola y al

contrario: a partir de

trasformaciones

algebraicas identificar

todas las

características y

elementos de esta

cónica.

6.1.3 A partir de la ecuación

o de ciertas condiciones,

graficar correctamente la

parábola y modelar y

solucionar casos reales

asociados a la parábola.

ELIPSE Identificar la elipse

como el conjunto de


plano cuya suma de

sus distancias a dos

puntos fijos, los focos,

es una constante

positiva y reconocer

sus elementos.

Dadas ciertas


ecuación de la elipse y

al contrario: a partir

de trasformaciones


todas las

características y

elementos de esta

cónica.

6.2.3 A partir de la ecuación

o de ciertas condiciones,

graficar correctamente la

elipse y modelar y

solucionar casos reales

asociados a la elipse.

HIPÉRBOLA Identificar la hipérbola

como el conjunto de


plano cuya diferencia

de sus distancias a dos

puntos fijos, los focos,

es una constante

positiva y reconocer

sus elementos.

Dadas ciertas


ecuación de la

hipérbola y al

contrario: a partir de

trasformaciones


todas las

características y

elementos de esta

cónica.

A partir de la ecuación o de

ciertas condiciones, graficar

correctamente la hipérbola y

modelar y solucionar casos

reales asociados a la

hipérbola.


PROBLEMA COLABORATIVO ACROBACIAS AEREAS

En una escuela de aviación se hacen 3

pruebas para graduar a los alumnos como pilotos. Volando un avión T-37 deben realizar una prueba acrobática, otra de vuelo por instrumentos y otra de vuelo en formación.

En la prueba de acrobacia, el piloto deberá realizar tres figuras llamadas:

Rollo, trébol de cuatro hojas y el martillo.

1) El piloto, a una altitud de 10000 pies empieza con un rollo. Este consiste en hacer girar al avión en su eje longitudinal, 3 veces consecutivas. La envergadura del avión es de 10,2 m (distancia entre las puntas de las alas).

a) ¿Que ecuación representa un giro?

b) Escriba las ecuaciones que representan cada giro, si los tomamos como circunferencias separadas entre si una distancia de 1 metro .

c) En un avión T-34 cuya envergadura es 11,6 m , ¿que ecuación modelaría un giro estilo rollo?

d) En la realidad, lo que el avión forma en el espacio con las puntas de sus alas es una curva en forma de resorte como muestra la

imagen. Investigue la ecuación correspondiente a esta curva. (tenga en cuenta que esta ya no es una curva plana sino una curva en el espacio).

2) Una segunda maniobra acrobática es el trébol de cuatro hojas, como se ve la figura de la derecha. La figura de la izquierda representa una vista superior de la maniobra, en la que se observan 4 elipses, en dos dimensiones.

a) Suponiendo que las cuatro hojas se tocan en (0,0) ¿cuál es la ecuación general de las dos hojas horizontales?

b) ¿Cuál es la ecuación general de las dos hojas verticales?

c) ¿Cuál es la diferencia entre las ecuaciones anteriores?


d) Si el eje mayor mide 2000 ft y el eje menor mide 100 ft , encuentre las cuatro ecuaciones particulares que modelan cada hoja del trébol.

e) Construya la grafica de estas 4 ecuaciones en el mismo plano cartesiano.

f) Halle los puntos de corte de la elipse vertical superior y la elipse horizontal derecha.

g) En los focos de cada elipse se concentra el ruido producido por los motores del avión. ¿Cuáles son estos puntos en cada elipse?

h) Investigue cuál es la ecuación del trébol de cuatro hojas en coordenadas polares.

3) La tercera maniobra recibe el nombre de giro de martillo. Se inicia a 10.000 ft , de sur a norte. En esta maniobra el piloto deberá pasar de un vuelo horizontal a un vuelo vertical en ascenso, describiendo en esta transición la parte superior derecha una hipérbola vertical, antes de llegar a velocidad cero, hace un giro parabólico hacia la derecha hasta quedar en descenso vertical y posteriormente recobrar altura describiendo nuevamente otra hipérbola.

La foto que se muestra a continuación, fue tomada de frente al avión.

a) Haga una gráfica intuitiva, en dos dimensiones, del recorrido del avión.

b) Si se considera la hipérbola con centro en (0,0), vértice en ( 0, 10000 ) y el punto donde comienza la parábola es ( 75, 12.500 ). Que ecuación modela esta primera parte de la maniobra? (Recuerde que solamente es la parte superior derecha de una hipérbola vertical)


c) ¿Cuál es el foco de esta hipérbola?

d) ¿Cuál es su asíntota?

e) Si la altura máxima se consigue en el punto ( 100, 12800 ) halle una ecuación que represente la curva parabólica que realiza el avión antes de caer verticalmente.

f) ¿Cuál es el foco de esta parábola?

g) A una altura de 10000 ft el avión detiene su descenso vertical y recobra velocidad y altura describiendo la misma hipérbola inicial. ¿La ecuación de esta hipérbola es

igual a la primera? Si la respuesta es no, halle la nueva ecuación.

h) Escriba en forma matemática el recorrido total de esta acrobacia. Tenga presente que la grafica es a trozos: formada por varias curvas.

i) Investigue qué es una función matemática.

j) Según su investigación, esta maniobra es una función? Diga si o no y porque.


| /UNIDAD 7 37

UNIDAD 7 FUNCIONES

MAPA CONCEPTUAL

7

Trascendentes

Dominio

Cuando se realiza entre f y f-1 dan lugar a

Composición

Variables

Funciones

Rango

o

Inyectiva

Función Inversa

Función Idéntica

Algebraicas

Polinómicos

que se clasifican en Pueden ser operadas mediante

Sus componentes

se llaman

puede ser

pueden ser

cuyo conjunto de valores se denomina

cuyo conjunto de valores se denomina

que cuando se relacionan

uno – uno la función se llama

Condición que garantiza la existencia de la

Dependientes

Racionales

Independientes

Suma

Resta

Producto

División



COMPETENCIAS OBJETOS

COMPRENDE LOS

CONCEPTOS CONSTRUÍDOS



ELEMENTOS DE UNA RELACIÓN FUNCIONAL. DOMINIO, RANGO E INTERCEPTOS

Reconocer en una gráfica los elementos característicos de relaciones y funciones.

Asociar la intersección de gráficas con la solución algebraica de un sistema de ecuaciones.

Usar un modelo general para expresar a partir de él, situaciones en las cuales las variables toman casos particulares.

TRANSFORMACIONES DE UNA GRÁFICA

Establecer la correspondencia apropiada entre desplazamientos verticales y horizontales, realizados sobre una gráfica y las operaciones algebraicas efectuadas sobre el enunciado de una función.

Reconocer los desplazamientos horizontales y verticales realizados sobre la gráfica, y simbolizarlas de manera apropiada.

Interpretar enunciados verbales con transformaciones sobre la gráfica de una relación.

FUNCIÓN COMPUESTA FUNCIÓN INVERSA

Reconocer condiciones características de la inversa de una función.

Reconocer y comprobar las relaciones algebraicas existentes entre las funciones y sus inversas.

Modelar situaciones que incluyen el uso de la función inversa.


PROBLEMA COLABORATIVO BANDA TRANSPORTADORA

Una compañía dispone de una banda

transportadora de 18 metros longitud. Para desplazamiento de carga. Además, la banda tiene un mecanismo que permite elevar el extremo B para llevar carga hasta

una altura de 10 metros.

1. ¿A qué altura se encuentra la carga a los 2, 8, 12 y 15 metros del punto A, si el desplazamiento es horizontal?

2. Represente la situación en un sistema cartesiano. ¿Qué clase de función representa ésta situación?

3. Para objetos muy pesados, el material flexible de la banda toma la forma de la función:

Construya la gráfica de la banda deformada. ¿Qué clase de función representa ésta situación?

4. Halle la longitud máxima que se deforma con respecto al piso.

5. A que altura se encuentra la carga para una distancia horizontal de 12 m.

Para las preguntas 6 – 14 tenga en cuenta la siguiente posición de la banda transportadora.

6. Encuentre la distancia d, si se quiere llevar una carga a un deposito que esta ubicado a 5 metros de altura con respecto al piso y calcule el ángulo que forma la banda con la horizontal.

7. Si la mínima distancia de d es de 16 m., es posible colocar una carga en un deposito que se encuentra a 10 metros de altura con respecto al piso?

8. Si el ángulo que forma la banda con la horizontal es de 30 o , cuáles son los valores de h y d?

9. Represente la situación anterior en un sistema ejes coordenados.

10. Halle la pendiente de la banda en la posición anterior

11. Modele una ecuación que represente la altura desde el piso hasta cualquier punto de la banda y diga que clase de función se genera cuando se presenta ésta situación.

http://moodle.ucentral.edu.co/moodle/filter/tex/displaytex.php?f%28x%29%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B1620%7Dx%5E2+-+%5Cfrac%7B1%7D%7B90%7Dx+%2B+1

| 40

12. Encuentre el dominio y el rango para la función anterior de la banda transportadora.

13. En esta posición el peso de algunos objetos deforma la banda en forma

exponencial. Planteé una función exponencial que se aproxime a esta situación.

14. Halle la función inversa de la función anterior.


| /UNIDAD 8 41

UNIDAD 8 FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS

MAPA CONCEPTUAL

8

Exponenciales

Inyectiva

Una de sus

propiedades es la

Propiedad que

garantiza la

existencia de su

función inversa que es

la

Función Logaritmo de

base b>0

en particular

La función Logaritmo

de base b=10 La función logaritmo

natural de base b=e

que si su base es el número

de Euler se define la

Función exponencial

natural

que al combinarlas dan

origen a las

Funciones

Hiperbólicas



COMPETENCIAS

OBJETOS

COMPRENDE LOS




FUNCIONES TRASCENDENTES, FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA

Identificar las propiedades que caracterizan a las funciones exponenciales y logarítmicas.

Encuentra el dominio, el rango y la inversa de las funciones exponenciales y logarítmicas.

Modela situaciones que se ajustas a las funciones exponenciales y logarítmicas.

Soluciona problemas relacionados con interés compuesto, crecimiento y todas aquellas situaciones donde se necesite despejar exponentes o de igual manera utilizar los logaritmos.


PROBLEMA COLABORATIVO INVERSIÓN DE ACCIONES

Un inversionista compró en una empresa

petrolera, acciones por valor de $ 40.000.000 a una tasa de interés compuesto del 12 % anual. Él espera que los diferentes cambios económicos a nivel mundial no afecte el comportamiento de los intereses de dichas acciones. Teniendo en cuenta que la fórmula utilizada para el cálculo del interés compuesto es de:

(1)

A = Cantidad recibida después de t años.

t = Tiempo en años

i = Tasa de interés anual expresada como decimal.

C = Capital inicial.

1. Con base en la fórmula anterior encuentre la ganancia recibida después de 1, 2, 3, 4, 5, años.

2. Represente en una gráfica el tiempo y la cantidad acumulada en los 7 primeros años.

3. ¿Qué cantidad recibirá en15 años?

4. En el momento en que ha recibido de ganancia $20.630.943,57 ¿Qué tiempo ha transcurrido?

5. Si el interés fuera calculado con la fórmula

de interés compuesto: (2) , y,

varía de acuerdo a la relación . ¿Qué cantidad recibiría por las acciones al cabo de 1, 2, 3, 4, 5 años ?

6. ¿Cuál de las dos fórmulas (1) o (2) de pago le conviene más?

7. Haga la representación gráfica de los valores encontrados en el numeral anterior.

8. Si a los tres años de haber comprado las acciones recibe $53.994.352,3. ¿A qué interés le están pagando?

9. Si la cantidad que invirtió en acciones fuera de $20.000.000. ¿La ganancia recibida a los 5 años es la mitad de la cantidad que ganó cuando invirtió $40.000.000? . Justifique su respuesta.

10. Sí tomamos la fórmula del numeral 5, Encuentre el interés ganado en 2, 4, 6, 8 años y haga su representación gráfica, si el capital invertido es $20.000.000.


http://moodle.ucentral.edu.co/moodle/filter/tex/displaytex.php?A%3DCe%5Ei%5Et

http://moodle.ucentral.edu.co/moodle/filter/tex/displaytex.php?A%3Da%5Ei%5Et

http://moodle.ucentral.edu.co/moodle/filter/tex/displaytex.php?a

http://moodle.ucentral.edu.co/moodle/filter/tex/displaytex.php?a%3D%5Cfrac%7BC%7D%7B10%5E7%7D

| /UNIDAD 9 44

UNIDAD 9 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

MAPA CONCEPTUAL

9

| /UNIDAD 9 45


COMPETENCIAS OBJETOS

COMPRENDE LOS



MODELA

ÁNGULOS Y SUS SISTEMAS DE MEDIDA

Identificar los diferentes sistemas de medición de ángulos

Encontrar medida de ángulos negativos y positivos en los diferentes cuadrantes

Distinguir situaciones donde se utilizan ángulos de elevación y de depresión

RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS EN TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Interpretarlas razones trigonométricas como la relación entre la magnitud de los lados y la medida en ángulos de un triángulo rectángulo.

Resolver ejercicios donde se emplean las razones trigonométricas

Interpretar enunciados para describir problemas relacionados con las razones trigonométricas

TEOREMA DEL SENO TEOREMA DEL COSENO

Establecer relaciones entre lados y ángulos de un triangulo obtusángulo

Utilizar los teoremas de seno o del coseno, y sus caracterizaciones con el fin de intuir, cual es el más adecuado en cada situación.

Explicar las diferencias y semejanzas entre el teorema del seno y del coseno, al utilizarlo.

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL PLANO CARTESIANO

Identificar y verificar relaciones entre funciones trigonométricas.

Calcular valores de ángulos a partir de las gráficas y ecuaciones trigonométricas

Caracterizar situaciones características de las funciones trigonométricas, tales como, desplazamientos, periodo y fase.


PROBLEMA COLABORATIVO BOGOTA EN NAVIDAD

Cada diciembre la Alcaldía de Bogotá

coloca un árbol de navidad en la intersección de dos avenidas que forman un ángulo de 95 grados. La longitud del árbol, desde la base hasta la estrella colocada en su extremo superior, es de 7 metros.

Si desde el paradero, ubicado en la esquina E1, hasta la estrella colocada en el extremo superior del árbol se forma un ángulo de elevación de 5 grados; 1. ¿Cuál es la longitud de la calzada desde el paradero hasta la base del árbol?

2. Por la avenida 2 transita un automóvil a una velocidad de 60 km/h y tarda ½ minuto en recorrer la distancia entre la esquina E2 y la base del árbol; ¿Cuál es la longitud de la calzada desde E2 hasta la base del árbol?.

3. ¿cuál es el ángulo de elevación formado desde E2 al extremo superior del árbol?

4. ¿cuál es la distancia entre las esquinas E1 y E2?

5. El área limitada por los puntos E3, E4, y E5 es una zona verde. La longitud del lado E3 a E4 es de 650 metros y el ángulo formado en E3 es de 35°, calcule las longitudes de los otros dos lados.

6. Halle el área de la zona verde.


TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS

( NO RECTÁNGULOS)

Teorema de Pitágoras: h2 = b2 + c2

ф

c h

b

Ley de cosenos: a2 = b2 +c2 – 2bc.cos c a

b

Razon es Trigonométricas:

Ley de senos:


β

situaciones problema estructura objeto...

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