SISTEMAS NO LINEALES

Un sistema no lineal puede tener una de las formas siguientes:1.-

Donde los

Son campos escalares definidos en un mismo subconjunto D contenido en 2.- donde

Siendo G un campo vectorial que tiene como componentes los campos escalares g1 , g2 ,, gm Es usual trabajar con la forma 1.Para resolver numricamente el sistema vamos a usar elMTODO DE OPTIMIZACINTenemos el sistema no lineal

A partir de l definimos el siguiente campo escalar, que denotamos por F(x1, x2,., xn) de la siguiente manera:

Proposicin: Se verifica que el sistema (1) y el campo = son equivalentes, es decir tienen las mismas soluciones.DemostracinSea A = (a1, a2,., an) una solucin de (1), vamos a calcular F(A)

Tomemos ahora S=(s1, s2,., sn) raiz de F y veamos que valen las gi en SF(S) =Como es una suma de cuadrados, las gi(S) tienen que ser todas nulas, de manera que S es solucin de (1).Ahora nos queda calcular los ceros de = , que son las soluciones de nuestro sistema.Por definicin F(X) 0 para todos los X de D. De manera que el menor valor que puede tomar esta funcin es cero. Segn esto las soluciones buscadas son los MINIMOS de F.MATLAB tiene un comando para calcular mnimos de campos escalares, que es fminsearch.Este comando tambin se conoce como algoritmo de Nelder - Mead y est basado en los SIMPLEX (cuerpos geomtricos que aparecieron en la teora de la programacin lineal).El comando fminsearch solo requiere que el campo al que se le aplique sea continuo.Observacin y archivo para el comando:Si tenemos que calcular los extremos de un campo escalar f con MATLAB, el comando est diseado para calcular los mnimos, para hallar los mximos se usa la siguiente igualdad:max(f(x)) = -min(-f(x))El archivo de fminsearch necesita como datos: 1.- El campo del que calculamos el mnimo 2.- Un punto X0 de D para que el algoritmo comience la construccin.Damos a continuacin la forma de construccin de los archivos para el comando. No se requiere en ningn momento que n coincida con mfunction b = campoF(vari)x1=vari(1); x2=vari(2); . ; xn=vari(n);b = expresin