SISTEMAS DINÁMICOS DE PRIMER ORDEN

DEFINICIÓN DE UN SISTEMA DE PRIMER ORDEN

Un sistema de primer orden es aquel cuya salida y (t) es modelada mediante una ecuación

diferencial de primer orden. Así en el caso de un sistema lineal o linealizado, se tiene:

Donde f(t) es la entrada (función forzada). Si es diferente de cero 1.1 se escribirá

Definiendo:

 

Entonces la ecuación toma la forma

es conocida como constante de tiempo y Kp es conocida como ganancia de estado estable o

ganancia del proceso.

A partir de las ecuaciones (1.2), se encuentra rápidamente que la función de transferencia de un

proceso de primer orden esta dado por:

Un proceso de primer orden con una función de transferencia dada por la ecuación (1.3) es

también conocido como Sistema de primer orden, retardo de primer orden ó retardo lineal.

 

Si ocurre que entonces la ecuación (1.1) toma la forma:

en este caso la función de transferencia es

2. MODELAMIENTO DE PROCESOS COMO SISTEMAS DE PRIMER ORDEN.

• Tiene capacidad para almacenar materia o energía.

• Presentan una resistencia asociada con el paso del flujo de masa ó energía.

2.1 Sistema con capacidad de almacenar masa :

Se asume que la masa de flujo de Fo es lineal a la presión hidrostática del nivel del liquido h, a

través de la resistencia R:

Figura 1.1 Sistema con capacidad de almacenar masa.

En algún momento el tanque habrá almacenado masa y el balance total de masa será:

acomodando la ecuación

Donde A es la sección del área del tanque. En el estado estable se tiene que:

Valor para tomar como referencia en la variable de desviación,

Usando la ecuación (1.6) y las variables de desviación se tendrán:

Donde

Haciendo:

Constante de tiempo del proceso

Ganancia de estado estable del proceso.

Entonces a partir de la ecuación (1.7), la función de transferencia del sistema es

2.2 Sistema con capacidad de almacenar energía.

Sea un tanque cuyo liquido es calentado mediante vapor saturado, vapor que fluye a través de una

bobina inmersa en el tanque, como se representa en la figura 2.1

El estudio de la estructura de un crecimiento en S se basa en considerar que durante un tiempo el

comportamiento es similar al de un sistema de realimentacion positiva, pasando despues a un

segundo periodo que es analogo a un sistema de realimentación negativa, es decir que el cambio

en el dominio de la curva produce el crecimiento en S; como se muestra en la figura 1.26 , donde

un diagrama causal esta formado por un bucle 1 de realimentacion positiva y un bucle 2 de

realimentacion negativa.

Un gran incremento en la curva positiva conduce a una curva negativa, la curva negativa no

aparece espontáneamente, al contrario se encuentra presente en todo el momento, pero su efecto

depende de la influencia de una variable en la curva positiva. Cuando la curva positiva empieza a

aumentar a todas las variables envueltas en el ciclo, la curva negativa también aumenta hasta que

el dominio cambia y se forma la curva negativa

Sistemas de primer orden sin oscilaciones

* Procesos termicos:

Se denominan procesos térmicos a aquéllos en los que el sistema que evoluciona

sufretransformaciones térmicas de interés (varía su temperatura y10 intercambia calor)

TANQUE CON AGITACIÓN CONTINUA. Este reactor consiste en un tanque donde hay un flujo

continuo de material reaccionante y desde el cual sale continuamente el material que ha

reaccionado. La agitación del contenido es esencial, debido a que el flujo interior debe estar en

constante circulación y así producir una mezcla uniforme.

PROCESO TERMICO NO ADIABATICO: cuando el sistema interacciona, térmicamente con los

alrededores, el calor fluye a través de las paredes diatérmicas que los constituyen y se procude un

cambio tanto en los alrededores como en el sistema mismo. Durante los procesos térmicos no

adiabáticos un sistema absorbe o sece calor. La cantidad de calor intercambio en estos depende

de la sustancia y del proceso de que se trate

Sistemas dinámicos de primer orden

 Este tipo de sistemas dinámico posee un único nivel en su estructura y además pueden estar

formados por bucles de realimentación positiva o por bucles de realimentación negativa.

Sistemas de primer orden con realimentación positiva

 relaciona  a fenómenos de crecimiento, con comportamiento explosivo, el caso de un crecimiento

desmedido en la población, es un ejemplo de un sistema de primer orden.

Sistemas de primer orden con realimentación negativa.

Estos sistemas se caracterizan por tener un comportamiento determinado por un objetivo. Los

sistemas de realimentación negativa también son llamados sistemas autorreguladores y

homeostáticos. En su comportamiento esta implícito la definición de un objetivo, el cual se

determina externamente, por lo tanto, es una variable exógena. El nivel es el objeto de control que

representa la acumulación de todas las acciones pasadas, además este solo puede ser variado por

medio del flujo.