Anlisis de la respuesta Anlisis de la respuesta transitoria y estacionaria

Respuesta transitoria y en estado estacionario.

y La respuesta en el tiempo de un sistema de control consta de dos partesy La respuesta en el tiempo de un sistema de control consta de dos partes:la respuesta transitoria y la respuesta en estado estacionario.

1. Respuesta transitoria: se refiere a la que va del estado inicial al estadofinal.

2. Respuesta en estado estacionario. Es la manera como se comportala salida del sistema conforme t tiende a infinito.

)()()( tctctc sstr +=

Respuesta transitoria y en estado estacionario.

)()()( tctctc t += )()()( tctctc sstr +

Sistemas de primer orden. y En general se puede considerar como sistema de primer orden aquel cuyodiagrama de bloques se representa mediante:

y Simplificando el diagrama:

Sistemas de primer orden. y Por tanto, la relacin entrada salida de un sistema de primer orden seobtiene mediante:

11

)()(

+= TssRsC

1)( +TssRy Como se ha comentado previamente, todos los sistemas que tiene lamisma funcin de transferencia presentarn la misma salida enrespuesta a la misma entrada.

Sistemas de primer orden. y Por tanto, la relacin entrada salida de un sistema de primer orden seobtiene mediante:

11

)()(

+= TssRsC

1)( +TssRy Como se ha comentado previamente, todos los sistemas que tiene lamisma funcin de transferencia presentarn la misma salida enrespuesta a la misma entrada.

y Ahora se analizan las respuestas del sistema a entradas como: escalnunitario rampa e impulso unitariounitario, rampa e impulso unitario.

Sistemas de primer orden. y Respuesta al escaln unitario. Como la transformada de Laplace delescaln unitario es R(s) = 1/s, se tiene:

sTssC 1

11)( +=

y Desarrollando C(s):

11)(sC

y Aplicando la transformada de Laplace inversa:

)/1()(

TsssC +=

y Aplicando la transformada de Laplace inversa:

01)( / = tetc Tt 0)( tetc

Sistemas de primer orden. y Respuesta al escaln

01)( / = tetc Tt

10=T5=T

1=T

Sistemas de primer orden. y La curva de la respuesta exponencial c(t) en general para una determinadaconstante de tiempo (T) tiene como grfica:

y Observando este comportamiento, para t>4T la respuesta permanece dentro del2% del valor final, dando una aproximacin razonable al momento en que elsistema llega a la etapa de estado estacionario, es decir, cualquier sistema deprimer orden llegar al estado estacionario en 4T s.

Sistemas de primer orden. y Respuesta a una rampa unitario. Como la transformada de Laplacede la rampa unitaria es R(s) = 1/s, se tiene:

21

11)(

sTssC +=

y Desarrollando C(s):

1)(2TTC

y Aplicando la transformada de Laplace inversa:

1)( 2 ++= TssssC

y Aplicando la transformada de Laplace inversa:

0)( / += tTeTttc Tt 0)( tettc

Sistemas de primer orden. y El error e(t) es:

)1()()()( /TteTtctrte ==y Conforme t tiende a infinito:

)()()()(

T)( Te =)(

Cuanto ms pequea es la constantede tiempo T, menor es el error enpestado estacionario despus de laentrada rampa.

Sistemas de primer orden. y Respuesta impulso unitario. Como la transformada de Laplace delimpulso es R(s) = 1, se tiene:

1

y Aplicando la transformada de Laplace inversa:1

1)( += TssCp p

01)( / = teT

tc Tt

y La curva de la respuesta obtenida mediante c(t) es: