MÉTODOS NUMÉRICOS1.1 Sistemas de numeración

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Sistemas numéricos.

Los números son los mismos en todos lados.Sus nombres y su simbología podrán ser diferentes, pero tienen el mismo

significado.Los pueblos primitivos aprendieron a contar con los dedos, con los que no

podían alcanzar cifras elevadas, pero si las suficientes para satisfacer sus necesidades.

Si querían recordar algunos números, hacían incisiones en un palo o marcas en una roca.

Sistemas numéricos.

Aún ahora, para contar algunas cosas, es útil usar rayas verticales, agrupando de cinco en cinco.

Hay muchas maneras de contar: de dos en dos, porque las personas tienen dos manos, dos pies, dos ojos y dos orejas; de cinco en cinco, porque hay cinco dedos en cada mano; de diez en diez, porque son diez los dedos de las manos; de veinte en veinte, porque se tienen veinte dedos sumando los de las manos y los pies. Por eso, los números que sirven para contar se llaman naturales: x ∈ N.

Cuando la gente empezó a escribir, también encontró la forma de representar los números de manera más sencilla, con símbolos.

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Los números egipcios.Los egipcios fueron quizá los primeros que crearon una forma de escritura numérica, usando diferentes símbolos:

| 1 1000 1 000 000∩ 10 10 000 10 000 000

100 100 000

El sistema numeral egipcio tiene como base el diez, pero no es posicional, porque no hace uso del cero; para representar un número, se repetían los ocho símbolos anotados, hasta nueve veces cada uno, con lo cual se alcanzaba un rango de representación de 1 a 99 999 999.De izquierda a derecha, primero aparecían las unidades, luego las decenas, en seguida las centenas y así, sucesivamente. La interpretación de los números se hace leyendo de derecha a izquierda, sumando los valores de los símbolos.

Ejemplo:| | | ∩∩∩

| | | |∩ | | | | ∩∩∩| | | | | | ∩∩∩

18 102 1997

Los números romanos

Los romanos usaron letras del alfabeto para construir un sistema de numeración que resultaba algo más fácil de manejar:

I V X L C D M1 5 10 50 100 500 1000

Los números romanos todavía se usan, por tradición, en relojes, para el capitulado de libros, etc., como representaciones elegantes de los números, pero ya no para fines aritméticos.Las reglas de escritura incluyen el no usar nunca tres símbolos iguales juntos, lo que implica tener que hacer restas para interpretar correctamente la representación de algunos números: IV, cinco menos uno; IX, diez menos uno; XL, cincuenta menos diez; XC, cien menos diez; CD, quinientos menos cien; y CM, mil menos cien.El sistema numeral romano usa el diez como base, es decir, que la progresión se realiza de diez en diez, de derecha a izquierda; el no uso del cero lo hace pseudo-posicional. Utiliza treinta numerales básicos para representar números en el rango de 1 a 3999:

Los números romanos– Para las unidades: I II III IV V VI VII VIII IX

1 2 3 4 5 6 7 8 9– Para las decenas: X XX XXX XL L LX LXX LXXX XC

10 20 30 40 50 60 70 80 90– Para las centenas: C CC CCC CD D DC DCC DCCC CM

100 200 300 400 500 600 700 800 900– Para las unidades de millar: M MM MMM

1000 2000 3000Con objeto de aumentar el rango de escritura de los números romanos, más tarde se optó por colocar una raya sobre los numerales, para indicar que su valor se incrementa mil veces, dos rayas, para incrementarlo un millón de veces, etc.; esta regla tiene validez a partir del número IV y hasta el número MMMCMXCIX.

Ejemplos:XVIII CII MCMXCVIIX|VIII C|II M|CM|XC|VII

10 | 8 100 | 2 1000 |900| 90 | 7

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Los números mayasEl sistema numeral maya es semejante al romano, pero resulta superior por cuanto al uso del cero y porque en ningún caso es necesario restar para interpretar un número. El sistema maya usa solamente tres símbolos:

• 0 1 5

Con estos símbolos se puede representar cualquier número de 0 a ∞, para lo cual requiere del uso de veinte numerales básicos:

0 5 10 15

• 1 • 6 • 11 • 16

•• 2 •• 7 •• 12 •• 17

••• 3 ••• 8 ••• 13 ••• 18

•••• 4 •••• 9 •••• 14 •••• 19

Los números mayas

El sistema de numeración maya es vigesimal, es decir, que la progresión se realiza de veinte en veinte, de abajo hacia arriba, lo que le da la característica de ser posicional, donde la primera posición representa unidades, la segunda veintenas, las tercera múltiplos de cuatrocientos, la cuarta múltiplos de ocho mil, etc. Se escribe y se lee de arriba hacia abajo.

Ejemplos:•••• 4 x 400 = 1600

5 x 20 = 100 •••• 19 x 20 = 380

••• 18 x 1 = 18 •• 2 x 1 = 2 •• 17 x 1 = 17

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La evolución de los números.

Además de contar, la gente empezó a necesitar hacer algo más con los números: medirlos, fraccionarlos, sumarlos, restarlos, multiplicarlos y dividirlos. Así nació la aritmética, la que ha evolucionado a medida que el hombre avanza y encuentra muchas cosas que calcular y también muy distintas maneras de hacerlo. Pero toda la matemática se basa en el simple acto de contar.

La necesidad de utilizar números cada vez mayores trajo consigo la noción de infinito: ∞, descubierta por los griegos a través de un elevado nivel de abstracción.

Los números naturales ya no fueron suficientes; había la necesidad de fraccionarlos para dividir en partes un todo, y así nacieron los números racionales: Q = {q | q = a/b}, (a, b ∈ N).

La evolución de los números.La aparición del cero: 0, nace de la necesidad de representar la diferencia entre dos números idénticos y constituye el elemento fundamental para la construcción de los sistemas numéricos posicionales.Con la invención del álgebra, aparecieron los números negativos como solución de ecuaciones, y con ello se pudo establecer la clasificación de los números enteros en positivos y negativos:Z+ = {z > 0}; Z- = {z < 0}La necesidad de representar algunas cantidades requeridas por los desarrollos geométricos trajo consigo el advenimiento de los números irracionales: π, e, √2, etc. Qc = {u | u ∈ R, u ∉ Q}La unidad y fundamento lógico del estudio de los números se alcanzó a través de la construcción del sistema de los números reales, R, que incluye a todos los mencionados anteriormente.Los números complejos, C, aparecieron de la misma manera que los negativos, al resolver ecuaciones cuyo resultado requería de la introducción de los llamados números imaginarios.