sistemas de numeracion

Matemáticas Generales para Maestros Carlos Maza Gómez

1.1

ENUNCIADOS

Distintas formas de contar

1) Escribe los primeros 15 números si cuentas en base 2, 3 y 5.

2) Escribe los dos números anteriores a los siguientes: 555 6) ; 100 7) ; 1000 5)

3) Escribe en mesopotámico: 47, 76, 347, 4192.

4) Escribe en numeración maya: 17, 51, 275, 401.

5) Escribe en decimal: MCMXCI ; CMLXXVI ; MMMCCXLV.

6) Escribe en numeración romana: 796 , 3054.

7) Convertir lo siguiente:a) 108 días en semanas y días.b) 94 meses en años y meses.c) 86 horas en días y horas.

8) Un recibo se paga en el banco con 432 monedas de 20 céntimos. Teniendo en cuenta lasmonedas actuales, ¿cuál es el número mínimo de billetes y monedas que necesitaremos paraexpresar esta cantidad?.

9) Escribe los números 2032 4) y 3204 5) en forma polinomial.

10) ¿Qué ventajas presenta contar en base doce respecto al número de divisores?. ¿Cómocontarías hasta 12 utilizando los dedos de una mano?. ¿Podrías contar hasta 60 con los dedosde las dos manos?.

11) Echa tres dados y anota los tres números que salen en orden. Multiplica el resultado del primerdado por 2, súmale 5 luego, multiplica después por 5. Suma a lo que resulte el número delsegundo dado, multiplica por 10 y suma finalmente el resultado del tercer dado. Si restas 250se puede adivinar lo que ha salido en cada dado. ¿Por qué?.

12) ¿En qué sistema de numeración se duplica 25 x) al invertir sus cifras?.

1: Sistemas de NumeraciónProblemas


1.2

13) En un número de dos dígitos la suma de dichos dígitos es 12. Si los dígitos se presentan enorden cambiado, al nuevo número hay que sumarle 18 para que sea igual al primero. ¿Cuál erael número original?.

14) ¿En qué sistema de numeración se cumple que 55 x) + 43 x) = 131 x) ?.

15) ¿Cuál es la base n en el que los tres números 123 n) ; 140 n) ; 156 n) cumplen que la diferenciaentre un número y el inmediatamente anterior es la misma?.

Cambio de base

16) Escribir los siguientes números en base decimal:432 5) ; 101101 2) ; 346 7) ; 551 6) ; 1.04.36 60).

17) Convertir los siguientes números de base diez a las bases indicadas: 432 a base 5 ; 1963 a base 12 ; 404 a base 4.

18) Cambiar 42 8) a base 2.

19) Cambia 1011011 2) a base 5.

20) ¿Qué bases hacen estas igualdades ciertas?: 32 = 44 x) ; 31 4) = 11 x) ; 15 x) = 30 y).

21) En los sistemas de numeración de bases n y n+1 un mismo número se representa por 435 n) y por 326 n+1) . Halla n y la expresión de dicho número en base decimal.

Algoritmos de la suma y resta

22) Sumar: 2234 5) + 1032 5) + 3333 5) .

23) Encontrar los números ocultos en las siguientes operaciones:2 _ _ 5) + 22 5) = _03 5) ; 20010 3) - 2_2_ 3) = 1_2_1 3) .

24) Considerar un número de tres dígitos siendo diferentes el primero y tercer dígitos. Invertir losdígitos y encontrar la diferencia entre ambos. Conociendo la cifra de las centenas en ladiferencia obtenida, ¿es posible obtener los otros dos dígitos de la diferencia?. ¿Cómo?.

25) La resta por “suma del complementario” consiste en lo siguiente: Para hacer la resta 619 - 476se encuentra el complementario de 476 (lo que le falta para alcanzar 999), que es 523. Serealiza la suma 619 + 523 = 1142. A continuación, se toma el número a la izquierda (1) y setransforma en una unidad que se suma a lo que queda del número (142 + 1 = 143) y ésteresulta ser el resultado de la resta inicial. ¿Por qué?.


1.3

Algoritmos de multiplicación y división

26) Multiplicar 216 8) x 54 8) ; 11011 2) x 1101 2) usando el algoritmo en celosía y el tradicional.

27) ¿En qué sistema de numeración se verifica 54 x) x 3 x) = 250 x) .

28) Sabiendo que en cierto sistema de numeración 36 x) + 45 x) = 103 x) calcula el productode 36 x) x 45 x) .

29) Para multiplicar dos números desde el 5 x 5 al 9 x 9, cada uno de un dígito, la multiplicaciónsarda procede así: Cada número se representa en una mano por un número de dedosextendidos igual a la cantidad en que el número sobrepase de cinco. El resultado se obtienesumando los números extendidos, multiplicando por 10 y añadiendo a lo obtenido el productode los números flexionados. ¿Es cierto siempre?. Demuéstralo.

30) El algoritmo ruso de la multiplicación se basa en doblar uno de los factores y dividir por la mitadel otro. Cuando esta última operación ha de ejercerse sobre un número impar se le resta unaunidad antes de dividir por dos. El algoritmo termina cuando uno de los factores es la unidad.Entonces se suman finalmente los valores doblados excepto los que correspondan a un númerodividido par. Justifica este algoritmo:

27 x 5113 x 1026 x 204 No3 x 4081 x 816

27 x 51 = 816 + 408 + 102 + 51 = 1377


1.4

SOLUCIONES

1) Base 2: 1 / 10 / 11 / 100 / 101 / 111 / 1000 / 1001 / 1010 / 1011 / 1100 / 1101 / ... Base 3: 1 / 2 / 10 / 11 / 12 / 20 / 21 / 22 / 100 / 101 / 102 / 110 / 111 / 112 / 120 Base 5: 1 / 2 / 3 / 4 / 10 / 11 / 12 / 13 / 14 / 20 / 21 / 22 / 23 / 24 / 30

2) 554 6) 66 7) 444 5)

5) 1991 / 976 / 3245

6) DCCXCVI / MMMLIV

7) 15 semanas 3 días / 7 años 10 meses / 3 días 14 horas

8) 432 x 20 = 86,40 euros repartidos como1 de 50, 1 de 20, 1 de 10, 1 de 5, 1 moneda de 1 euro, 2 de 20 cts.

9) 2 + 3 x 4 + 2 x 4 3 / 4 + 2 x 5 2 + 3 x 5 3

10) El hecho de que en base 12 habría más divisores (12, 6, 3, 2) respecto a la base 10 (10, 5, 2)lo que permite el establecimiento de una relación fraccionaria con más subunidades.

Señalando con el pulgar cada una de las falanges de los dedos restantes.Del modo anterior añadiendo que cada dedo de la otra mano corresponda a una docena.

11) Si las tiradas señalan, en este orden, a b c, la operación efectuada corresponde a2 a2 a + 55 (2 a + 5)5 (2 a + 5) + b10 [ 5 (2 a + 5) + b ]10 [ 5 (2 a + 5) + b ] + cSi se desarrolla queda10 [ 5 (2 a + 5) + b ] + c = 10 [ 10 a + 25 + b ] + c = 100 a + 250 + 10 b + c

En caso de restarle 250 resulta:100 a + 10 b + c descomposición canónica del número escrito a b c.

12) 5 2 x) = 2 x 2 5 x)

2 + 5 x = 2 ( 5 + 2 x)2 + 5 x = 10 + 4 xx = 10 - 2 = 8

13) Sea el número de dos dígitos a ba + b = 12 Además,


1.5

b a + 18 = a b(a + 10 b) + 18 = b + 10 a9 a - 9 b = 189 (a - b) = 18a - b = 2

De donde se tiene un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:a + b = 12a - b = 2

que resulta en a = 7 b = 5

14) (5 + 5 x) + (3 + 4 x) = 1 + 3 x + x2

x2 - 6 x - 7 = 0x = 7

15) 140 n) - 123 n) = 156 n) - 140 n)

( 4 n + n2 ) - ( 3 + 2 n + n2 ) = ( 6 + 5 n + n2 ) - ( 4 n + n2 )2 n - 3 = n + 6n = 9

16) 117 / 45 / 181 / 211 / 3876

17) 3212 5) / 1177 12) / 12110 4)

18) 100010 2)

19) 331 5)

20) 4 + 4 x = 32 4 x = 28 x = 71 + 3 . 4 = 1 + x 13 = 1 + x x = 125 + x = 3 y x = 4 ; y = 3

21) 5 + 3 n + 4 n2 = 6 + 2 (n+1) + 3 (n+1)2

5 + 3 n + 4 n2 = 3 n2 + 8 n + 11n2 - 5 n - 6 = 0n = 65 + 3 . 6 + 4 . 62 = 167

22) 12204 5)

23) 231 5) + 22 5) = 303 5)

20010 3) - 2022 3) = 10211 3)


1.6

24) a b c - c b a Da por resultado un número de tres cifras (a-c) 0 (c-a)pero esto no es válido ya que a > c (en caso contrario la solución sería negativa) de donde a-c > 0 peroc - a < 0. Por tanto habrá que añadir 10 unidades al minuendo llegándose en la solución a (10 + c - a).En ese caso lo mismo habría que hacer con las decenas de manera que el resultado final sería: (a - 1 - c) 9 (10 + x - a).

25) Sea la resta A - B. En la resta por el complementario se realizan las siguientes operaciones:A + (999 - B) = (A - B) + 999Al quitar la unidad de los miles se está restando 1000 y al añadirla en las unidades se suma 1,

de manera que en realidad se resta 1000 - 1 = 999 llegándose al resultado de la resta original.

26) 14150 8) / 101011111 2)

27) 3 . (4 + 5 x) = 5 x + 2 x2 12 + 15 x = 5 x + 2 x2

2 x2 - 10 x - 12 = 0x2 - 5 x - 6 = 0x = 6

28) ( 6 + 3 x ) + ( 5 + 4 x ) = 3 + x2

x2 - 7 x - 8 = 0x = 836 8) x 45 8) = 2126 8)

29) Si los números son a y bExtendidos: (a - 5) en una mano y (b-5) en la otra manoFlexionados: 5 - (a - 5) = 10 - a en una mano y 5 - (b - 5) = 10 - b en la otraLa operación realizada sería

10 [ (a - 5) + (b - 5) ] + (10 - a) (10 - b) = 10 (a + b - 10) + (100 - 10 a - 10 b + ab) = a b

30) 27 x 51 = (26 + 1) x 51 = (51) + (26 x 51) = (51) x (13 x 102) = (51) x [(12 + 1) x 102](51 + 102) + (12 x 102) = (51 + 102) + (6 x 204) = (51 + 102) + (3 x 408) =(51 + 102) + [(2 + 1) x 408] = (51 + 102 + 408) + (2 x 408) = (51 + 102 + 408) + (1 x 816) = 51 + 102 + 408 + 816

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