Sistema DecimalEl sistema decimal se usa en forma rutinaria para las representaciones de cantidades mediante los siguientes 10 caracteres diferentes:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9Para expresar cantidades más allá de este número es necesario introducir la representación posicional, es decir, a cada cifra se le asigna un valor posicional determinado de acuerdo con el lugar que ocupa dentro del número. Por ejemplo:El número decimal 836.74 se compone en la parte entera de la cifra 8 con el valor posicional 100, la cifra 3 con el valor posicional 10 y la cifra 6 con el valor posicional 1, y en la parte fraccionaria de la cifra 7 con el valor posicional 0.1 y la cifra 4 con el valor posicional 0.01.Usando exponentes esto se puede representar como:836.74= 8 x 10 + 3 x 10 + 6 x 10° + 7 x 10 + 4 x 10² ¹

A esta forma de representación se le llama representación exponencial.La representación exponencial es esencialmente importante porque por medio de ella se puede convertir una cantidad representada en cualquier sistema numérico al sistema decimal.Sistema binario, octal y hexadecimalSistema binarioEn el sistema binario sólo hay dos cifras: 0 y 1. Como sucede en el sistema decimal, en este sistema binario también se utilizan exponentes para expresar cantidades mayores. Mientras que en sistema decimal la base es 10, en el sistema binario la base es 2.Como ya mencionamos anteriormente la representación exponencial se utiliza para convertir una cantidad de un sistema numérico cualquiera al sistema decimal.Ejemplo:Convertir el número binario 10011.01 a decimal.

10011.01 (2) = 1 x 24 + 0 x 23 + 0 x 22 + 1 x 21 + 1 x 20 + 0 x 2-1 + 1 x 2-2 = 16 + 0 + 0 + 2 + 1 + 0 + 0.25 = 19.25 (10) Si se desea convertir una cantidad que tiene parte entera y otra fraccionaria de base diez a base dos, la parte entera se divide sucesivamente entre 2 y el resultado se toma de abajo hacia arriba. La parte fraccionaria se multiplica por 2 y el entero del resultado conforma la parte fraccionaria en el orden en que fueron encontrados.Convertir el numero 27.025 (10) a binario.Parte entera: Residuo27 / 2 = 13 113 / 2 = 6 16 / 2 = 3 03 / 2 = 1 11 / 2 = 0 1Parte fraccionaria:

Entero0.025 x 2 = 0.05 00.05 x 2 = 0.1 00.1 x 2 = 0.2 00.2 x 2 = 0.4 00.4 x 2 = 0.8 00.8 x 2 = 1.6 10.6 x 2 = 1.2 10.2 x 2 = 0.4 00.4 x 2 = 0.8 0 De esta forma, resultado es: 27.025 = 11011, 000001100

Sistema OctalLas reglas descritas para los sistemas decimal y binario, también son aplicables al sistema octal. En los siguientes ejemplos se ilustra este planteamiento.

Los enteros se toman en el mismo orden que fueron encontrados.

Los residuos se toman en orden contrario a

como fueron encontrados.

El sistema de numeración octal usa 8 dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) que tienen el mismo valor que en el sistema de numeración decimal.

Ejemplo:Convertir 37.6 (8) a binario. Primero se convierte el número dado a decimal y luego de decimal a binario. Para convertir cualquier sistema numérico a decimal, se plantea su representación en notación exponencial y se realizan las operaciones.37.6 (8) = 3 x 81 + 7 x 80 + 6 x 8-1 = 31.75 (10)La conversión del número obtenido a binario es la siguiente:Parte entera Residuo Parte fraccionaria Entero31 / 2 = 15 1 0.75 x 2 = 1.5 115 / 2 = 7 1 0.5 x 2 = 1 1 7 / 2 = 3 13 / 2 = 1 11 / 2 = 0 1La conversión de octal a binario y de binario a octal es relativamente fácil si se utiliza la siguiente tabla de equivalencias.

Ejemplo:Convertir 37.6 (8) a binario usando la tabla de equivalencia. 3 7 . 6 (8)011 111 . 110 (2)

Sistema Hexadecimal

Se puede apreciar que se utilizan tres dígitos en binario, para cada número en octal, debido a que la cantidad mayor válida en el sistema octal es el número 7, que ocupa tres bits, por lo tanto, todos deberán usar la misma cantidad de bits.

OCTAL BINARIO0 0001 0012 0103 0114 1005 1016 1107 111

Con esto pueden formarse números según el principio del valor posicional como en los demás sistemas aritméticos. Los caracteres validos en hexadecimal son del 1 al 15, con la particularidad de que a las letras se les asigna el siguiente valor: A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15.Ejemplo:Convertir 6BD a octal.El número dado primero se convierte a decimal:6BD (16) = 6 x 162 + 11 x 161 + 13 x 160 = 1725(10)Ahora el número obtenido se convierte a octal:

Parte entera Residuo 1725 / 8 = 215 5215 / 8 = 26 726 / 8 = 3 23 /8 = 0 3De igual manera que en la conversión de binario a octal, se puede obtener la siguiente tabla de equivalencias de binario a hexadecimal.HEXADECIMAL BINARIO

0 00001 00012 00103 00114 01005 01016 01107 01118 10009 1001A 1010B 1011C 1100D 1101E 1110F 1111Ejemplo:Convertir 6BD a octal.

La base numérica del sistema hexadecimal es 16 y para representar cantidades en él se utilizan los diez dígitos del sistema decimal (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) así como las seis primeras letras del alfabeto (A,

Nuevamente el número mayor del sistema numérico es el que manda en relación con cuantos bits se deberán usar para representar cada uno de los caracteres. En este caso F = 15 es el símbolo mayor y ocupa cuatro bits, por lo tanto todos los símbolos deberán representarse por cuatro

A diferencia del método general, en el que el sistema intermedio es el sistema decimal, cuando utilizamos las tablas de equivalencias el sistema intermedio es el binario. Por lo que primero se pasa la cantidad a sistema binario. 6 B D0110 1011 1101

A continuación se pasa de binario a octal, agrupando la información en bloques de tres bits, ya que en la tabla de equivalencia octal-binario utiliza solamente tres bits para cada uno de los caracteres. En caso de no completarse los bloques de tres bits, se deberán agregar los ceros necesarios en los extremos:011 010 111 1013 2 7 5

Suma, Resta, Multiplicación y división Suma de BinariosLas posibles combinaciones al sumar dos bits son:

0 + 0 00 + 1 11 + 0 11 + 1 0 y llevo 1Note que al sumar 1 + 1 es 102, es decir, llevamos 1 a la siguiente posición de la izquierda (acarreo). Esto es equivalente, en el sistema decimal a sumar 9 + 1, que da 10: cero en la posición que estamos sumando y un 1 de acarreo a la siguiente posición.Ejemplos:

100111 10011000 + 11101 + 00010101 1000100 10101101Resta de números binariosEl algoritmo de la resta en sistema binario es el mismo que en el sistema decimal. Pero conviene repasar la operación de restar en decimal para comprender la operación binaria, que es más sencilla. Los términos que intervienen en la resta se llaman minuendo, sustraendo y diferencia.Las posibles combinaciones al restar:

0 - 0 01 - 0 11 - 1 00 - 1 1 y llevo uno

La resta 0 - 1 se resuelve igual que en el sistema decimal, tomando una unidad prestada de la posición siguiente: 0 - 1 = 1 y me llevo 1, lo que equivale a decir en el sistema decimal, 2 - 1 = 1.Ejemplos:

11101011 10001- 1011101 - 0101010001110 00111Complemento a uno y complemento a dosEn realidad, el complemento a uno de un número binario es el número resultante de invertir los UNOS y CEROS de dicho número. Por ejemplo si:

N = 110100101obtenemos su complemento a uno invirtiendo ceros y unos, con lo que resulta:

C1N = 001011010y su complemento a dos es:

C2N = C1N + 1 = 001011011Utilizando el complemento a dos (C2). La resta de dos números binarios puede obtenerse sumando al minuendo el «complemento a dos» del sustraendo.Ejemplo:La siguiente resta, 91 - 46 = 45, en binario es: 1011011 1011011- 0101110 el C2 de 0101110 es 1010010 +1010010 0101101 10101101

En el resultado nos sobra un bit, que se desborda por la izquierda. Pero, como el número resultante no puede ser más largo que el minuendo, el bit sobrante se desprecia.Multiplicación de números binariosLa multiplicación en binario es más fácil que en cualquier otro sistema de numeración. Como los factores de la multiplicación sólo pueden ser CEROS o UNOS, el producto sólo puede ser CERO o UNO. En otras palabras, las tablas de multiplicar del cero y del uno son muy fáciles de aprender:

0 0 00 1 01 0 01 1 1Ejemplo:100111x 101100111 000000 + 100111 11000011

División de BinariosLa división en binario es similar a la decimal; la única diferencia es que a la hora de hacer las restas, dentro de la división, éstas deben ser realizadas en binario.Ejemplo:Dividir 100010010 (274) entre 1101 (13):100010010 |1101-0000 010101 10001 -1101 01000 - 0000 10000 - 1101 00111 - 0000 01110 - 1101 00001