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Computación I Sistemas de Numeración
Curso 2015
Facultad de Ingeniería
Universidad de la República
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Instituto de Computación - Facultad de Ingeniería 2 21/09/2015
Sistemas de Numeración Definición
Conjunto de símbolos y reglas sobre ellos, que se utilizan para la representación de cantidades.
La representación de una cantidad se efectúa mediante cadenas de símbolos.
Base del Sistema Elemento fundamental que caracteriza a todos los
sistemas de numeración.
Es el número de símbolos que se utilizan para la representación de cantidades.
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Sistemas de Numeración Clasificación
No Posicionales El significado de cada símbolo no depende del lugar
que ocupa en la cadena.
Posicionales El significado de cada símbolo varía en función de la
posición que ocupa en la cadena.
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Sistemas de Numeración Clasificación
Sistemas No Posicionales
Los porotitos y chapitas en el truco
Cada poroto vale 1
Cada chapita doblada Y (3, 5 …)
Números romanos (subadictivo). La cadena XXXIII equivale al valor 33.
El símbolo X aparece tres veces en la cadena.
Siempre (casi) mantiene su valor: 10 unidades, sin importar el lugar que ocupa en la cadena.
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Sistemas de Numeración Clasificación
Sistemas Posicionales Sistema Decimal o de base 10
Utilizado por el hombre en la cultura occidental.
Sistema binario o de base 2 Utilizado por los computadores para representar la
información y con el que es capaz de trabajar
Cada posición de la cadena representa el número base elevado a una potencia (exponente). Dicha potencia se relaciona con la posición.
El significado de cada símbolo se obtiene de multiplicar el valor del símbolo por la potencia de la base correspondiente a la posición que ocupa.
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Sistemas de Numeración Sistema Decimal
Sistema habitual de numeración.
Base 10
Utiliza 10 símbolos diferentes (0, 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8 y 9)
Explicación
10 dedos en la mano ?!
Las cifras se nombran de la forma:
01234..... nnnnnnN r )9,8,7,6,5,4,3,2,1,0(in
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Sistemas de Numeración Sistema Decimal
Significado de cada símbolo ni es ni * 10i
Representan el número en base 10:
Valores de las posiciones. Primera 100 = 1
Segunda 101 = 10
Tercera 102 = 100
Ejemplo 1357 = 1 x 103 + 3 x 102 + 5 x 101 + 7 x 100
0
0
1
1
2
2
3
3
4
4
0
10*10*10*10*10*....10*10* nnnnnnnN r
r
ri
i
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Sistemas de Numeración Sistema Binario
Sistema habitual en los sistemas
electrónicos digitales.
Base 2
Utiliza únicamente dos símbolos: 0 y 1.
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Sistemas de Numeración Sistema Binario
Explicación
Los computadores operan con componentes
electrónicos que se encuentran "encendidos" o
"apagados", correspondientes a 1 ó 0.
Los computadores sólo pueden comprender y
procesar datos que aparecen en formato binario,
representados por ceros y unos.
Para poder interpretar la información que recibe del
usuario el computador debe convertirla a binario.
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Sistemas de Numeración Sistema Binario
Las cifras se nombran de la forma:
Significado de cada símbolo bi es bi * 2i
Significado de la cifra
0
0
1
1
2
2
3
3
4
4
0
2*2*2*2*2*....2*2* bbbbbbbB r
r
ri
i
(0,1) b ..... i01234 bbbbbbrB
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Sistemas de Numeración Sistema Binario
Valores de las posiciones.
Primera 20 = 1
Segunda 21 = 2
Tercera 22 = 4
....
Ejemplo
10102 = 1 x 23 + 0 x 22 + 1 x 21 + 0 x 20 = 1010
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Sistemas de Numeración Sistema Octal
Base 8
Utiliza 8 símbolos diferentes (0,1,2,3,4,5,6,7)
Las cifras se nombran de la forma
Significado de cada símbolo oi es oi * 8i
Significado de la cifra
)7,6,5,4,3,2,1,0( o ..... i01234 ooooooO r
0
0
1
1
2
2
3
3
4
4
0
8*8*8*8*8*....8*8* oooooooO r
r
ri
i
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Sistemas de Numeración Sistema Hexadecimal
Base 16
Utiliza 16 símbolos diferentes (0, 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7 ,8, 9, A, B, C, D, E, F).
Los diez primeros son los símbolos decimales y
tienen el mismo significado que en la numeración
decimal.
Los seis últimos son letras que representan: A=10,
B=11, C=12, D=13, E=14 y F=15.
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Sistemas de Numeración Sistema Hexadecimal
Las cifras se nombran de la forma:
Significado de cada símbolo hi es hi * 16i
Significado de la cifra
Ejemplo E07F16 = 14x163 + 0x162 + 7x161 + 15 * 160= 5747110
),,,,,,9,8,7,6,5,4,3,2,1,0(h ..... i01234 FEDCBAhhhhhhH r
00
11
22
33
44
0
16*16*16*16*16*....16*16* hhhhhhhH rr
ri
i
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Sistemas de Numeración Cambio de base
De base b a base 10
Multiplicar cada símbolo por la potencia de b
correspondiente a la posición que ocupa
empezando por la derecha.
Se suman todos los resultados.
11012= 1*20 + 0*21 + 1*22 + 1*23 = 1310
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Sistemas de Numeración Cambio de base
De base 10 a base b
Se divide el número entre b y se toma el resto.
Se vuelve a dividir el cociente obtenido en la división
anterior entre b y se toma nuevamente el resto.
Esta operación se repite hasta que el cociente
resultante sea menor que b.
Por último se escribe, en este orden, el último
cociente, el último resto, el penúltimo resto, el
antepenúltimo resto,...
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Sistemas de Numeración Cambio de base
Convertir 653 decimal a binario
653 2
1 326 2
0 163 2
1 81 2
1 40 2
0 20 2
0 10 2
0 5 2
1 2 2
0 1
65310 = 10100011012
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Sistemas de Numeración Cambio de base
Método rápido de decimales a binarios. 1. Dado el número decimal identificar la mayor
potencia de 2 contenida en el.
2. Colocar 1 en la posición correspondiente a dicha potencia y restar la potencia al número.
3. Preguntar si cabe la siguientes potencia de 2 en orden decreciente. Si cabe coloco el símbolo 1 en la posición correspondiente
a la potencia y resto la potencia al número.
Si no cabe coloco 0 en la posición correspondiente a la potencia.
4. Repetir el procedimiento hasta llegar a 20.
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Sistemas de Numeración Cambio de base
Número Decimal
Cabe la
Potencia 2n?1 _ _ _ _ _ _ _ 0 _ _ _ _ _ _ _
Cabe la
Potencia 2n-1?_ 1 _ _ _ _ _ _ _ 0 _ _ _ _ _ _
Cabe la
Potencia 20?_ _ _ _ _ _ _ 0_ _ _ _ _ _ _ 1
SI NO
SI NO
NOSI
Número Binario
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Sistemas de Numeración Cambio de base
Convertir 135 135 – 27 = 135 -128 = 7 entonces 27 cabe
7 – 26 = 7 - 64 = -57 entonces 26 no cabe
7 – 25 = 7 - 32 = -25 entonces 25 no cabe
7 – 24 = 7 - 16 = -9 entonces 24 no cabe
7 – 23 = 7 - 8 = -1 entonces 23 no cabe
7 – 22 = 7 - 4 = 3 entonces 22 cabe
3 – 21 = 3 - 2 = 1 entonces 21 cabe
1 – 20 = 1 - 1 = 0 entonces 20 cabe
1 0 0 0 0 1 1 1
27 26 25 24 23 22 21 20
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Instituto de Computación - Facultad de Ingeniería 21 21/09/2015
Sistemas de Numeración Cambio de base
Casos particulares bases 8 y 16.
La base 8 (octal) y la base 16 (hexadecimal) tienen
una íntima relación con la base 2.
Octal a binario y viceversa
8 = 23
Cada símbolo octal corresponde a 3 símbolos binarios
Hexadecimal a binario y viceversa
16 = 24
Cada símbolo hexa corresponde a 4 símbolos binarios
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Sistemas de Numeración Cambio de base
Binario a Octal
Dividir en grupos de 3 bits a partir del punto
binario.
Asignarle a cada grupo el símbolo octal
correspondiente.
Convertir 110010100112 a base 8
11 001 010 0112 = 31238
3 1 2 3
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Sistemas de Numeración Cambio de base
Octal a Binario
Inverso del caso anterior
Convertir a binario cada símbolo octal
Ejemplo convertir 7328
78 = 1112
38 = 0112 => 7328= 1110110102
28 = 0102
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Sistemas de Numeración Cambio de base
Binario a Hexadecimal
Dividir el número hexa en grupos de 4 bits.
Asignar a cada grupo el símbolo hexadecimal
correspondiente.
Ejemplo:
1101 1011 1000 01102 = DB8616
D B 8 6
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Sistemas de Numeración Cambio de base
Hexadecimal a Binario
Inverso del caso anterior.
Convertir cada símbolo hexadecimal a
binario.
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Instituto de Computación - Facultad de Ingeniería 26 21/09/2015
Sistemas de Numeración Equivalencias
Decimal Binario Octal Hexadecimal
0 0 0 0
1 1 1 1
2 10 2 2
3 11 3 3
4 100 4 4
5 101 5 5
6 110 6 6
7 111 7 7
8 1000 10 8
9 1001 11 9
Decimal Binario Octal Hexadecimal
10 1010 12 A
11 1011 13 B
12 1100 14 C
13 1101 15 D
14 1110 16 E
15 1111 17 F
16 10000 20 10
17 10001 21 11
18 10010 22 12
19 10011 23 13
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Instituto de Computación - Facultad de Ingeniería 27 21/09/2015
Sistemas de Numeración Ejercicio
Implementar una función que permita realizar el
cambio de base de un decimal hacia otra base b
Entrada
Número decimal
Base b
Salida
Vector conteniendo la representación del decimal en
la base b
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Instituto de Computación - Facultad de Ingeniería 28 21/09/2015
Sistemas de Numeración Ejercicio
function y = CambioBase(numero, base)
resto = 0;
cociente = numero;
resultado = [];
while cociente >= base
resto = mod(cociente, base);
cociente = floor(cociente/base);
resultado = [resto resultado];
end
y = [cociente resultado]
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Operaciones
Es exactamente igual a lo que ya
conocemos !!!!
Se cumple todo lo que aprendimos en la
escuela ! (pero mucho más fácil !)
Instituto de Computación - Facultad de Ingeniería 29 21/09/2015
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Operaciones
Sumas
Empecemos por algo desafiante ..
Instituto de Computación - Facultad de Ingeniería 30 21/09/2015
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Operaciones
Sumas
Empecemos por algo desafiante ..
Instituto de Computación - Facultad de Ingeniería 31 21/09/2015
10
1 1
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Operaciones
Sumas
Algo un poco más complicado
Instituto de Computación - Facultad de Ingeniería 32 21/09/2015
100000001
10111011
1000110
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Operaciones
Restas Se puede verificar ..
Instituto de Computación - Facultad de Ingeniería 33 21/09/2015
100000001
10111011
1000110
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Operaciones
Multiplicación El mismo algoritmo que ya conocemos.
Instituto de Computación - Facultad de Ingeniería 34 21/09/2015
10001
110011
11
10001
10001
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Operaciones
Multiplicación
Que pasa al multiplicar por 2 en binario ? ( en
cualquier base al multiplicar por la base ?!)
Que pasa al multiplicar un número en binario por
otro (en binario) que es un 1 y varios 0s ? (la
misma idea en otra base)
Cuantas cifras tiene el resultado de la
multiplicación de dos números binarios ?
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Operaciones
División
El mismo algoritmo que ya conocemos.
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