SISTEMAS DE ECUACIONES EJERCICIOS RESUELTOS

Nexos II – Sistemas de Ecuaciones Lineales - Ejercicios Resueltos

Sistemas de 2 ecuaciones con dos incógnitas

1) Un grupo de amigos fueron dos días a un bar, donde hicieron consumiciones que pagaron con

un fondo común. Ahora quieren saber el gasto que hizo cada uno, pero no recuerdan el precio

unitario de lo que consumieron. Recuerdan que el primer día pagaron $ 620 por 5 tostados y 8

gaseosas, y que el segundo día pagaron $ 380 por 3 tostados y 5 gaseosas.

¿Cuál el precio de cada tostado y de cada gaseosa?

Solución:

Precio tostado: x

Precio gaseosa: y

൜5. 𝑥 + 8. 𝑦 = 6203. 𝑥 + 5. 𝑦 = 380

Método de Sustitución:

De 1° Ecuación:

𝑥 =620−8𝑦

5⇒ 𝑥 = 124 −

8

5𝑦

Reemplazando en 2° ecuación:

3. ൬124 −8

5. 𝑦൰ + 5. 𝑦 = 380

Resolviendo esta última ecuación:

372 −24

5. 𝑦 + 5. 𝑦 = 380 ⇒

⟹1

5. 𝑦 = 380 − 372 ⟹

⟹ 𝑦 = 8.5 ⟹

⟹ 𝑦 = 40

Reemplazando en igualdad de 1° paso:

𝑥 = 124 −8

5. 40 ⟹

⟹ 𝑥 = 60

Precio del tostado: $ 60

Precio de la gaseosa: 40

2) Un ciclista se desplaza en línea recta con una velocidad media de 200 metros por minuto.

Recorre en total una distancia de 5000 metros.

Esta distancia la hace en dos tramos y se sabe que en el primero empleó 2/3 del tiempo

empleado en el segundo.

¿Cuánto tiempo necesitó para recorrer cada tramo?

¿Cuál fue la distancia recorrida en cada uno de los tramos?

Solución:

La velocidad media es la razón entre la distancia recorrida y el tiempo empleado para

hacerlo, o sea:

𝑉𝑚 =𝑑

𝑡

Si despejamos distancia: 𝑑 = 𝑉𝑚. 𝑡

Reemplazando la velocidad media por 200 metros por minuto tenemos: 𝑑 = 200 𝑚

𝑚𝑖𝑛. 𝑡

En el primer tramo: 𝑑1 = 200 𝑚

𝑚𝑖𝑛. 𝑡1 (a)

En el segundo tramo: 𝑑2 = 200 𝑚

𝑚𝑖𝑛. 𝑡2 (b)

Además: 𝑡1 =2

3𝑡2 (c)

Y por otro lado: 𝑑1+𝑑2 = 5000 ⇒ 𝑑1 = 5000 − 𝑑2 (d)

Si reemplazamos t1 y d1 en la ecuación (a) tenemos:

5000 − 𝑑2 = 200𝑚

𝑚𝑖𝑛∙

2

3∙ 𝑡2 (e)

Si observamos las ecuaciones (b) y (e) podemos ver que tienen las mismas incógnitas

(d2 y t2) por lo tanto podemos armar un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

൝𝑑2 = 200. 𝑡2

5000 − 𝑑2 = 200 ∙2

3∙ 𝑡2

Lo resolvemos por el método de sustitución:

La primera ecuación nos dice que: 𝑑2 = 200. 𝑡2 por lo tanto podemos

reemplazar a d2 por 200. t2 en la segunda ecuación:

5000 − 200. 𝑡2 = 200 ∙2

3∙ 𝑡2

La sustitución hecha nos deja una ecuación con una sola incógnita que podemos resolver:

5000 − 200. 𝑡2 = 200 ∙2

3∙ 𝑡2 ⇒

⇒ 5000 − 200. 𝑡2 =400

3∙ 𝑡2 ⇒

⟹ −200. 𝑡2 −400

3∙ 𝑡2 = −5000 ⇒

⇒ −1000

3∙ 𝑡2 = −5000 ⇒

⇒ 𝑡2 = −5000 ∙ ൬−3

1000൰ ⇒

⇒ 𝑡2 = 15

Reemplazando t2 por 15 en la primera ecuación del sistema:

𝑑2 = 200.15 ⇒

𝑑2 = 3000

Entonces el segundo tramo lo hace en 15 minutos y recorre 3000 metros.

Teniendo en cuenta por (c) que:

𝑡1 =2

3∙ 𝑡2

entonces:

𝑡1 =2

3∙ 15 ⇒

𝑡1 = 10

Además, por (d):

𝑑1 = 5000 − 𝑑2

Con lo cual:

𝑑1 = 5000 − 3000 ⇒

𝑑1 = 2000

En el primer tramo recorre 2000 metros en 10 minutos.

3) La cantidad demandada de un producto se relaciona con el precio a través de una función

lineal, es decir de la forma 𝑄 = 𝑚. 𝑝 + 𝑏, done q es la cantidad demandada del producto y p el precio unitario del mismo, mientras que m y b son constantes para esta función.

Se sabe que para un precio de $ 10 el público demanda 200 artículos, en tanto que si el precio

aumenta un 50 % la demanda es de 120 unidades.

Determinar la función de demanda para este producto.

Debemos hallar el valor de las constantes m y b para determinar la función de

demanda.

Según los datos del problema: 𝑆𝑖 𝑝 = 10 ⟹ 𝑞 = 200

Reemplazando en la función tendremos:

200 = 𝑚. 10 + 𝑏

Además sabemos que: 𝑆𝑖 𝑝 = 15 𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 𝑎𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑢𝑛 50 %) ⟹ 𝑞 = 120

Si reemplazamos ahora:

120 = 𝑚. 15 + 𝑏

Tenemos dos ecuaciones con 2 incógnitas cada una (el precio y la cantidad

demandada). Con las mismas armamos un sistema:

ቄ10. 𝑚 + 𝑏 = 20015. 𝑚 + 𝑏 = 120

Método de Igualación:

Despejamos b de ambas ecuaciones:

De 1era ecuación: 𝑏 = 200 − 10𝑚 De 2da ecuación: 𝑏 = 120 − 15𝑚

Igualamos los segundos miembros de cada igualdad:

200 − 10𝑚 = 120 − 15𝑚

Resolvemos la última ecuación:

−10𝑚 + 15𝑚 = 120 − 200 ⇒ 5𝑚 = −80 ⇒ 𝑚 = −80

5 ⇒ 𝑚 = −16

Determinamos el valor de b (reemplazamos a m por -16 en cualquiera de las dos

igualdades del 1er paso):

𝑏 = 200 − 10. ሺ−16) ⇒ 𝑏 = 360 o bien: 𝑏 = 120 − 15. ሺ−16) ⇒ 𝑏 = 360

Por lo tanto la función de demanda es: 𝑄 = −16. 𝑝 + 360