sistemas de ecuaciones lineales con excel

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON

MICROSOFT EXCEL

ING. IVÁN COLLANTES VÁSCONEZ

DOCENTE EN ESPE-EL

Abril de 2013.

1

1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES, MÉTODOS DE RESOLUCIÓN, REDUCCIÓN, IGUALACIÓN, SUSTITUCIÓN Y MATRIZ INVERSA

Muchas aplicaciones de las matemáticas en las diferentes ingenierías implican más de una ecuación con varias incógnitas. Un conjunto de estas ecuaciones constituye un sistema. El conjunto de soluciones o conjunto solución de un sistema de ecuaciones consiste en hallar todas las soluciones comunes a las ecuaciones del sistema.

Puede representarse como

=+=+

222

111

cybxa

cybxa

Que es un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas cuyo conjunto de soluciones es el punto de intersección entre las dos rectas, así:

http://ivancollantes.jimdo.com

2

Como el sistema es de tipo lineal, el conjunto solución es unitario y es el punto de intersección entre las rectas, sea que existan dos o más líneas.

En el caso del ejemplo, el número de incógnitas es 2, por lo que el conjunto de soluciones será el punto de coordenadas (x, y), es decir que el conjunto solución del sistema tiene un solo elemento, un punto, así:

C.S. ( ){ } , yx=

De no existir un punto de intersección entre todas las rectas que conforman el sistema se dice que dicho sistema es inconsistente. Y si las rectas se sobreponen entre sí, entonces se trata de un sistema dependiente.

El número de ecuaciones no necesariamente debe ser igual al número de incógnitas, pero todas las rectas deben tener un punto de intersección, caso contrario se tratará de un sistema inconsistente.

Así por ejemplo:

1) Determine si el siguiente sistema de ecuaciones es consistente o inconsistente:

−=−=+=−

325

52

14

yx

yx

yx

Si existe un punto de intersección entre las 3 rectas entonces el sistema será consistente, pero si no hay un solo punto de intersección, entonces el sistema es inconsistente.

Podemos resolver el sistema tomando pares de ecuaciones y obteniendo los puntos de intersección entre las tres rectas:

52

14

=+=−

yx

yx (sumando las primeras dos ecuaciones)

x6 6=

∴ 1=x

3=y el primer punto de intersección es (1, 3)

Otro par de ecuaciones nos da el segundo punto de intersección, de ser igual al primero será un sistema consistente, caso contrario será inconsistente:


3

( ) 1024252 =+→→=+ yxyx (para eliminar la variable “y”)

325 −=− yx → 325 −=− yx

x9 7=

∴ 9

7=x

9

31=y

=9

31.

9

7P Este punto es diferente del anterior, por lo tanto el

sistema es inconsistente.

Geométricamente puede entenderse que las 3 rectas no tienen un solo punto común sino que forman un triángulo, como se indica en la siguiente gráfica:

2) Indique si el siguiente sistema es consistente o inconsistente:

−=−−=−

=−

143

523

452

yx

yx

yx


4

( )2452 →=− yx → 8104 =− yx

( )5523 −→−=− yx → 251015 =+− yx

x11− 33=

∴ 3−=x

2−=y Primer punto de intersección: ( )2,3 −−

452 =− yx → ( )4 → 16208 =− yx

143 −=− yx → ( )5− → 52015 =+− yx

x7− 21=

∴ 3−=x

2−=y Segundo punto de intersección: ( )2,3 −−

No hace falta un tercer punto de intersección pues el sistema es consistente y el conjunto solución es el punto común: ( )2,3 −−

Geométricamente se verifica:


5

3) Obtenga el conjunto solución del siguiente sistema de ecuaciones:

−=+=+

7410

625

yx

yx

En la ecuación de la recta cbyax =+ la pendiente está dada por b

am −=

Si dos o más rectas tienen la misma pendiente significa que son paralelas y no tienen punto de intersección, por lo tanto su conjunto solución es vacío y el sistema también es inconsistente.

En este ejemplo las pendientes son iguales, por lo tanto las rectas son paralelas y el sistema es inconsistente:

1525 =+ yx → 2

51 −=m

7410 −=+ yx → 2

5

4

102 −=−=m

∴ C.S.= Ø

2. RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES POR E L MÉTODO DE

MATRIZ INVERSA UTILIZANDO EXCEL

Una forma sencilla de resolver un sistema de ecuaciones con igual número de incógnitas es matricialmente.

En el sistema

=++=++

=++

3333

2222

1111

dzcybxa

dzcybxa

dzcybxa


6

se cumple

=

−

3

2

1

1

333

222

111

d

d

d

cba

cba

cba

z

y

x

En donde la matriz resultante o de soluciones es de orden 1×n (n filas y una sola columna) siendo n el número de ecuaciones o el número de incógnitas.

Actualmente resulta muy simple obtener la inversa de una matriz de orden nn× ya sea en una calculadora o en un programa de computadora, por lo que resolver un sistema de 12 ecuaciones con 12 incógnitas, o más, resulta sumamente fácil si se aplica la siguiente fórmula:

[ ] [ ] [ ]tkR 1−=

En donde [ ] 1−k es la matriz inversa de los coeficientes ordenados de cada una de las variables,

[ ]t es la matriz de orden 1×n de los términos independientes,

[ ]R es la matriz resultante o conjunto de soluciones del sistema de ecuaciones.

Debe tenerse en cuenta las propiedades de las matrices, es decir si se va a multiplicar una matriz por otra debe tenerse cuidado de cual va primero, pues no se cumple la propiedad conmutativa.

En la hoja electrónica Excel es sencillo calcular la inversa de una matriz de cualquier orden y también multiplicar dos matrices o más.

Si se siguen estas indicaciones pueden resolverse sistemas lineales de cualquier orden:

1) Formar las matrices necesarias colocando en cada celda el valor correspondiente a los coeficientes y términos independientes.

2) Marcar todas las celdas donde se desea obtener la matriz resultante (recuerde que es de orden 1×n ).

3) Ingresar el comando para Excel en la primera de las celdas previamente marcadas donde se desea que aparezca la matriz resultante:

=MMULT(MINVERSA(A1:C3),E1:E3)

4) Combinar las teclas SHIFT CTRL ENTER


7

Recuerde que dependiendo de la versión de Excel debe usarse coma (,) o punto y coma (;) en la programación de la matriz.

La selección de la matriz se la realiza arrastrando el ratón o seleccionando con los cursores hasta obtener en la codificación el dato A1:C3 y E1:E3

Es totalmente imprescindible que para obtener la respuesta se combinen las teclas SHIFT CTRL ENTER ya que si solo se pulsa ENTER ( ↵ ) la respuesta es errónea.

Intente resolver el siguiente sistema utilizando Excel:

=−−=−+=−−

12546

4435

8324

zyx

zyx

zyx

Las matrices a ingresar en Excel son:

−−−−−

5 4 6

4 3 5

3 2 4

que es la matriz [ ]k (todavía no es la inversa)

12

4

8

Aplicando la fórmula tenemos:

=

−−−−−

−

z

y

x

12

4

8

5 4 6

4 3 5

3 2 41


8

Esto es lo que vamos a calcular en Excel en la zona seleccionada (celdas G5, G6, G7):

Ingresamos el comando =MMULT(MINVERSA(A1:C3),E1:E3)


9

Y finalmente combinamos las teclas SHIFT CTRL ENTER:

Que es la solución del sistema dado en forma de matriz:

=−=

=

2

1

3

z

y

x

Demás está decir que si sólo se quiere calcular una matriz inversa basta con digitar:

=MINVERSA( seleccionar la matriz)

e inmediatamente combinar las teclas SHIFT CTRL ENTER en las celdas previamente marcadas.

Ahora resuelva en Excel el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

=−−=+−

−=−+

5322

16234

1

zyx

zyx

zyx


sistemas de ecuaciones lineales con excel

Education