Sistemas de Ecuaciones Lineales

Introducción:

Durante mucho tiempo se considero al Algebra como el arte de resolver

ecuaciones. Desde la antigüedad se ocuparon de ellas los babilonios, los griegos

también lo hicieron desde la Geometría, con la notable excepción de Diofanto. Dichos

trabajos continuaron en Italia en la época del Renacimiento.

A fines del año 1949 el profesor de la Universidad de Harvard, Wassily

Leontief dividió la economía estadounidense en 500 sectores tales, como la industria

del carbón, automovilística y la industria de las comunicaciones. Para cada sector,

él escribió una ecuación lineal que describía cómo este distribuía sus salidas hacia otros

sectores de la economía. Por este trabajo Leontief gano el premio Nobel de economía.

Debido a la cantidad masiva de datos implicados, estos modelos son generalmente

lineales, es decir, se describen por medio de ecuaciones lineales.

En un modelo económico descripto por un sistema de ecuaciones lineales es

importante Para dar condiciones generales de existencia y unicidad de soluciones mi

objetivo en esta unidad es clasificar y resolver sistemas de “ecuaciones lineales con “n”

incógnitas.

Definición de ecuación algebraica lineal

Llamamos ecuación algebraica lineal a una expresión de la forma:

a1x1 + a2x2 + a3x3 +….+ anxn = b (1)

Donde los ai,con i = 1,2,3…,n y b son constantes pertenecientes a un cuerpo

cualquiera, en general R, los a1 se llaman coeficientes, b se llama termino independiente

y xi R para todo i y se llaman variables o incógnitas. El nombre lineal se debe a que

cada término es de primer grado en cada una de las incógnitas.

Si b=0, la ecuación se denomina homogénea.

Si b0, la ecuación se denomina inhomogenea.

Ejemplos:

a 3x - 4y + 2z - 3w cuatro incógnitas inhomogenea.

b x1 + 3x2 - 7x3 + 2x4 - 8x5 = 0, es una ecuación lineal con cinco incógnitas homogéneas

1

Observación:

A partir de este momento vamos a convenir en llamar a un vector fila o a un

vector columna; vector n-dimensional, y al referirnos a sus elementos hablaremos de

elementos o componentes de manera indistinta. Esto quedara totalmente justificado

cuando estudiemos el tema Espacios Vectoriales.

Un conjunto de valores numéricos: {x1, x2,…xn}, o un vector n-dimensional (x1,

x2, x3,...xn) que satisfaga la ecuación (1) se llama una solución de la misma. Por lo tanto,

resolver una ecuación es encontrar el vector o los vectores n-dimensionales que la

verifiquen un vector n-dimensional también lo llamaremos n-upla ordenada de números

reales.

Ejemplo:

La ecuación: x + 2y – 3z = -3, es una ecuación lineal con tres incógnitas .La

terna ordenada: (1, 1, 2) es una solución de la misma ya que:

1 + 2.1 – 3.2 = -3

Pero esta solución no es la única, ya que la terna (0, 0, 1) también es solución

puesto que: 0 + 0 -3.1 = -3 y también lo es la terna (3, 3, 4) ya que: 3 + 2.3 -3.4 = -3

Si consideramos una ecuación homogénea: a1x1 + a2x2 +… + anxn =0, es evidente

que esta ecuación admite siempre la solución: x1 =x2 =… = xn = 0.Es decir, el vector n-

dimensional (0, 0,0,…0) es siempre solución de la misma y se llama “solución trivial”.

No quiere decir que sea la única. Veamos el ejemplo siguiente.

Ejemplo:

Sea la ecuación x – 2y = 0.Evidentemente admite como solución el vector (0,0),

pero los pares ordenados (2,1), (-2,-1), (3,3∕2) etc. También son soluciones de la misma.

Podemos concluir que: Dada una ecuación lineal con “n” incógnitas

Existen infinitos vectores n-dimensionales que son solución de la misma.

Ecuaciones equivalentes: Diremos que dos ecuaciones son equivalentes si

tienen las mismas soluciones

2

(1)(1)

Ejemplo:

Las ecuaciones:”x + 2y -3z -3” y “2x + 4y – 6z = -6” son equivalentes ya que

tienen las mismas soluciones.Algunas ternas soluciones de la primera son:

(1, 1,2), (0, 0,1), (3, 3,4) etc.

Podemos verificar que estas ternas son también solución de la segunda. Por ejemplo,

reemplazando “x”,”y”,”z” en la segunda ecuación por la terna (3, 3,4) obtenemos: 2.3 +

4.3 – 6.4 = -6.Es fácil ver que la segunda ecuación se obtuvo de la primera

multiplicando todos los elementos de la misma por “2”.

Aceptaremos la siguiente propiedad sin demostración.

Propiedad: Si multiplicamos ambos miembros de una ecuación lineal por una

constante distinta de cero, se obtiene una ecuación equivalente a la dada.

Ejemplo:

Las ecuaciones: 2x1 – 3x2 = 5 y 6x1 – 9x2 = 15 son equivalente, la segunda

ecuación se obtuvo multiplicando la primera por 3.

Sistema de ecuaciones: Llamamos sistema de ecuaciones a un conjunto de dos o

más ecuaciones con varias incógnitas, consideradas simultáneamente.

Sistemas de “m” ecuaciones lineales con “n” incógnitas

Es un conjunto de “m”ecuaciones lineales con “n”incognitas consideradas

simultáneamente.

La forma general del mismo es:

a11x1 + a12x2 + a13x3 +…+ a1nxn = b1

a21 + a22x2 + a23x3 +…+ a2nxn = b2

………………………………………..

………………………………………..

……………………………………….

am1x1 + am2x2 + am3x3 +…+amnxn = bm

Hemos provisto de dos subíndices a los coeficientes: el primero nos indica la ecuación a la cual pertenece y el segundo, la incognita.Asi, aij es el coeficiente de xjen la i-esima ecuaciones cambio, los términos independientes tienen un solo subíndice el cual indica la ecuación a la cual pertenecen.

Notación matricial de un sistema:

3

Usando el concepto de producto de matrices, el sistema (1) se puede escribir de manera más sencilla mediante una única ecuación matricial. Veamos:

a11 a12 a13… a1n

a21 a22 a23… a2n

Si representamos con A= .....................…………….am1 am2 am3…amn

x1

x2

Con el vector columna X= . . .

. xn

y con el vector columna b1

b2

. B = . la matriz de los términos independientes

. B Mmx1

bn

El sistema (1) lo podemos escribir mediante una sola ecuación matricial, usando el concepto de producto de matrices de la siguiente manera:A . X = B, (2)

Donde: A M10xn, XMnx1, BMmx1, o como:

a11 a12 a13… a1n x1 b1

a21 a22 a23… a2n x2 = b2 (3).....….............. . . . ...………………. . .am1 am2 am3... amn xn bm

De hecho, si calculamos el producto de las matrices del primer miembro de esta igualdad, esta ecuación se convertirá en:

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La matriz de los coeficientes A Mmx1

la matriz de las incógnitas; X Mmx1,

a11x1 + a12x2 + a13x3 +…+a1nxn b1

a21x1 +a23x2 + a23x3 + …+ a2nxn b2

……………………………………… = . ……………………………………… .

am1x1 + am2x2 + am3x3 + ...amnxn bm

Como estas dos matrices son iguales ↔ sus elementos correspondientes son iguales escribimos: a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + a23x3 + ... + a2nxn = b2

..................................................................

..................................................................

am1x1 + am2x2 + am3x3 + ..+ amnxn= bm

que es el sistema de partida.

Tanto la igualdad (2) como la (3) reciben el nombre de notación matricial del sistema.

Ejemplo:

Escriba usando notación matricial el siguiente sistema de ecuaciones:

3x - 2y + 3z – w = 0-x + 2y – w = 2x – y +2z = -13x – y - 2z + w = 1

La matriz de los coeficientes es:

3 -2 3 -1 x

-1 2 0 -1 ; la matriz de las incógnitas es: X = y

1 -1 2 0 z

3 -1 -2 1 w 0

Y la matriz de los términos independientes es B= 2

5

S

-1

1

La notación matricial del sistema es: 3 -2 3 -1 x 0 -1 2 0 -1 y 2 1 -1 2 0 ; z = -1 3 -1 -2 1 w 1

Si conocemos las matrices A, X y B escribimos A . X = B

Si bi. = 0 para todo i tal que B=N (matriz nula) y llamamos a (1) sistema homogéneo, en este caso la notación matricial del sistema es: A.X=N

Si BN (existe algún bi. 0) el sistema se llama sistema inhomogeneo.

Resolver un sistema de “m” ecuaciones lineales con “n” incógnitas significa encontrar todos los vectores X que verifican la igualdad A.X = B, es decir encontrar todas las n ordenadas, (x1, x2, x3,…xn) que verifican simultáneamente todas las ecuaciones del sistema.

x1

“Cada n-upla (x1,x2,x3…xn) o vector columna n-dimensional X = x2 . . . xn

que cumpla con esta condición lo llamaremos una solución- del sistema”.

Ejemplo: El sistema

3X1 + 2X2 = 3

-x + x2 = 4

-1

Tiene como solución el vector X1 = 3 ya que ambas ecuaciones se verifican para dicho vector .Sin embargo, el vector X2 = 1 no es solución del sistema porque verifica solo la primera ecuación. 0

Llamemos S= {Xj / Xj = B}.Este conjunto S tiene dos posibilidades:

= : el sistema no tiene solución y lo llamaremos Incompatible.

: el sistema admite solución y lo llamaremos Compatible.

Los sistemas compatibles pueden ser tal que:

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a) Admitan solución única, es decir existe un único vector columna X que verifica todas las ecuaciones.En este caso se llaman Sistemas compatibles determinados.

b) Admitan infinitas soluciones, es decir existen infinitos vectores columna X que verifican simultáneamente todas las ecuaciones, lo llamamos Sistemas compatibles indeterminados.

De acuerdo a esto clasificamos a los sistemas de ecuaciones lineales según su solución de la siguiente manera:

Incompatibles (no tienen solución)

Sistemas a) Determinados (solución única)

Compatibles

b) Indeterminados (infinitas soluciones)

Observemos que, si el sistema es homogéneo, es decir si B= N, con N ϵ Mmx1

0

0

el sistema admite siempre como solución el vector X = . X ϵ Mmx1

.

0

es decir, x1 = x2 = x3 =…= xn = 0 es solución del mismo .Se llama Solución trivial.

Esto es evidente, ya que si todas las ecuaciones admiten este vector como solución, el mismo es solución del sistema, por lo tanto:

Los sistemas homogéneos son siempre compatibles

Como dijimos al principio, nuestro objetivo es clasificar y resolver sistemas, por ello debemos encontrar criterios para decidir cuando es compatible y cuando no, y métodos para resolverlos cuando sea posible.

Dos son los problemas que se nos presentan entonces:

*Clasificar un sistema dado, es decir, determinar si tiene solución y cuantas tiene.

*Resolverlo (en el caso que sea posible), es decir, encontrar su o sus soluciones.

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Comenzaremos nuestras consideraciones suponiendo un sistema en el que el número de ecuaciones y de incógnitas sea el mismo. La forma general del mismo es en este caso:

A11x1 + a12x2 + a13x3 +… +a1nxn = b1

A21x1 + a22x2 + a23x3 +… + a2nxn = b2

……………………………………………

…………………………………………… (1)

……………………………………………

An1x1 + an2x2 + an3x3 +… + annxn = bn

Sistemas Cramerianos:

Si el determinante asociado a la matriz del sistema es distinto de cero el sistema recibe el nombre de sistema crameriano.

Definición: un sistema A.X= B con igual numero de ecuaciones que de incógnitas y tal que det (A) 0 (A Mnxn, matriz de los coeficientes) se llama sistema Crameriano.

Para estos tipos de sistemas vale el siguiente Teorema que nos proporciona una importante aplicación de la inversa de una matriz y una manera de resolver los mismos:

Teorema de Leibniz-Cramer:

Sea el sistema crameriano A.X= B con A Mnxn, X Mnx1, B Mnx1 (B N, entonces:a) El sistema tiene solución únicab) La componente j-esima del vector solución X, xj = det (Aj) det(A)donde Aj M nxn es la matriz que se obtiene al reemplazar en la matriz de los coeficientes la columna j-esima por la columna de los términos independientes.

Demostración:

a) El procedimiento que seguiremos para probar este apartado se conoce con el nombre de resolución matricial de un sistema.

Sea el sistema dado escrito con notación matricial: A. X = B (1)Por ser el sistema crameriano, det (A) 0, entonces existe A-1 y es única.

Premultiplicando ambos miembros de la igualdad (1) por A-1 obtengo:A-1.A.X = A-1.B → 1. X = A-1 .B → X = A-1. B (2)

8

Entonces, el vector X dado por la igualdad: X = A-1. B nos proporciona la solución del sistema, y como A-1 es única, este vector es único. Por lo tanto el sistema tiene solución única.

Hemos probado el apartado a).Por la igualdad (2) sabemos que el vector solución es: X = A-1. B, reemplazando

A-1 por su valor obtenemos:

C11 C21 C31 …Cn1 b1 C12 C22 C32… Cn2 b2

…………………. . ... ,X = 1 C1j C2j C3j …..Cnj bj

det(A) ………………… ... C1n C2n C3n ... Cnn bn

efectuando el producto indicado obtenemos:

x1 C11b1 + C21b2 + C31b3 +…+ Cn1bn

x2 C12b1 + C22b2 + C32b3 +…+Cn2bn

x3 C13bi + C23b2 + C33b3 + …+Cn3bn

… = 1 ……………………….xj det (A) C1jb1 + C2jb2 + C3jb3 + … +Cnjbn

… ………………………xn C1nb1 + C2nb2 + C3nb3 + … +Cnnbn

Evidentemente la matriz del segundo miembro es de orden nx1.Aplicando el concepto de igualdad de matrices concluimos que:

x1 = 1 (c11b1 + c21b2 + c31b3 + … + cn1bn ) det(A)

x2 = 1 (c12b1 + c22b2 + c32b3 + … +cn2bn ) det(A)

........................................................................

xj = 1 (c1jb1 + c2jb2 + c3jb3 + ... + cnjbn ) det(A)

......................................................................

xn = 1 (c1nb1 + c2nb2 + c3nb3 + ... + cnnbn ) det(A)

En cada uno de los segundos miembros de estas igualdades, el segundo factor es el determinante que resulta al reemplazar la j-ésima columna de A por la columna de los términos independientes:

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b1

b2

B = . ; por lo tanto: . bn

Xj =det (Aj) ˅ j = 1, 2,3,…n que es lo que queríamos probar!

Este teorema no solo nos asegura que todo sistema crameriano tiene solución única, sino también que dicha solución viene dada por lo que se conoce con el nombre de:

Regla de Cramer: dado un sistema de “n” ecuaciones lineales con “n” incógnitas y tal que det (A) 0 (A matriz de los coeficientes) los valores de las incógnitas, x, con j =1,2…n pueden calcularse como el cociente entre dos números: el numerador es el determinante que se obtiene a partir de det (A) cuando se reemplaza la j-esima columnapor la de los términos independientes y el denominador común para todos es det (A).

“Todo sistema crameriano es compatible con solución única”

Esta regla de Leibniz-Cramer se llama así en honor a Gotfried Leibniz (1646-1716), gran matemático y filósofo alemán co-descubridor con Newton de los principios básicos del cálculo infinitesimal y a Gabriel Cramer es uno de los resultados más famosos en la historia de la Matemática. Durante 200 años fue esencial en la enseñanza del Algebra y la teoría de las ecuaciones. Debido a la gran cantidad de cálculos que requiere, en la actualidad se usa menos que antes: sin embargo fue de gran importancia en su tiempo.

Ejemplos:

a) Dado el sistema:

3x1 + x2 + x3 =1 x1 – x3 =5 x2 –x3 = -5

Averigüe si es crameriano y en caso afirmativo resuélvalo usando la regla de Cramer.Como el sistema es de tres ecuaciones con tres incógnitas, para averiguar si es

crameriano debemos calcular el valor de │A │.

det (A) = |3 1 11 0 −10 1 −1|=50∴ el sistema es crameriano.

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X1 = = 165

;X1 = = 165

; X2 = = −34

5 ; X3 = =

−95

| 1 1 15 0 −1

−5 1 −1| |3 1 11 5 −10 −5 −1|

|3 1 11 0 50 1 −5| 5 5

5

La solución, única, esta dada por la terna: (16 ∕ 5,-34 ∕ 5,-9 ∕ 5)

b) Determine “K” para que el sistema kx + 4y =8 x + ky = 3i) Tenga solución única.ii) Asigne a “K” un valor apropiado y encuentre su solución.i) Para que el sistema tenga solución única (i): │A│ 0 → k 4 = k2 -4 0 → k ± 2

1 kPor lo tanto │A│ 0 → k (- , -2) Ʋ (-2, 2) Ʋ (2,).

ii) Asignado a “K” el valor “0” (siempre debemos tratar de elegir un valor sencillo), obtenemos: │A │= -4

8 4 0 8Por lo tanto: x = 3 0 = -12 = 3, y = 1 3 = -8 = 2 |A| -4 |A| -4 La única solución (para k = 0) es el par ordenado: (3 , 2)

Sistemas homogéneos:

En el apartado anterior, supusimos que el sistema no era homogéneo .Nos preguntamos, ¿que pasa si B = N?, es decir si b1 = 0 para todo iLa notación del sistema seria en este caso:A.X= N, donde A Mnxn, X Mnx1, N Mnx1

Evidentemente este sistema es siempre compatible, ya que admite siempre la solución: x1 = x2 =…= xn = 0

Pero, si de: (A) 0, el sistema es crameriano, existe A-1 y su solución, viene dada por la regla de Cramer es decir:

Xj = det (Aj) = 0 = 0 V j= 1, 2,3,…n det (A) det(A)

det (Aj)= 0 para todo j =1, 2,3,…n, ya que siempre tendrá una columna nula. De acuerdo al Teorema anterior esta solución es única.

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Los conceptos anteriores nos permiten enunciar el siguiente teorema:

Teorema:

Todo sistema de “n” ecuaciones lineales con “n” incógnitas tiene solución única ↔ det(A) 0.Si: i) El sistema es inhomogeneo: xj =det (Aj), para todo j = 12, 2,3,…n.

det(A)ii) El sistema es homogéneo: xj = 0 para todo j = 1, 2,3,…, n.Esta solución, recibe el nombre de solución trivial.

Ejemplos: a) Averigüe si el siguiente sistema es crameriano y en caso afirmativo encuentre su solución:

x1 + 3x2 - 2x3 = 0 x1 + 5x2 - 3x3 = 0 -2x1 –x2 + x3 = 0

El sistema dado es homogéneo .Calculemos el valor de det (A):

1 3 -2det (A) = 1 5 -3 = 5 + 18 +2 -20 -3 -3 = -1 -2 -1 1 Como det(A) 0, el sistema es crameriano, y su única solución es la trivial:x1 = x2 =x3 = 0, o lo que es lo mismo, la única solución es la terna: ( 00,0 )

b) Calcule el valor de “m” de manera que el sistema:

x1 + x2 – x3 = 0 mx1 + 2x2 + 2x3 = 0 tenga solución única. -x1 + 2x2 +4x3 = 0

Como el sistema es homogéneo, para que tenga solución única debe ser: det(A) 0 1 1 -1det(A) = m 2 2 = 8 – 2 -2m-2-4-4m 0 →-6m 0 → m 0 -1 2 4

Si m (- , 0) Ʋ (0, ) el sistema admite como única solución trivial.

Recapitulación importante:

Sea A Mnxn, relacionando los conceptos de matrices equivalentes, matriz inversa y sistemas cramerianos, podríamos probar que los cinco enunciados siguientes son equivalentes. Es decir cada enunciado implica los otros cuatro (o dicho de otra manera, si uno es verdadero, todos son verdaderos y si uno es falso, todos son falsos):

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Teorema: A es inversible↔ la única solución del sistema homogéneo A. X=N es la solución trivial (X = N) ↔El sistema A.X = B tiene solución única ↔ Aes equivalente por filas a In ↔ det (A) 0

Consideremos ahora un sistema de “m” ecuaciones lineales con “n” incógnitas. Vimos que nuestro primer problema consistía en analizar un sistema para saber cuando es compatible o no .Ya hemos visto como hacerlo para el caso que el sistema sea crameriano, pero si el sistema no es crameriano, o tiene mas ecuaciones que incógnitas o mas incógnitas que ecuaciones, usaremos el valioso teorema de Rouche-FrobeniusQue nos permite solo este primer paso, es decir, clasificar el sistema.

Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales:

Consideremos un sistema de “m” ecuaciones lineales con “n” incógnitas:

a1x1 + a12x2 +… + a1nxn = b1

a1x1 + a22x2 +… + a2nxn = b2

……………………………… (1) a1x1+ am2x2 +….+ amnxn = bm

Definimos el concepto de matriz ampliada:

Matriz ampliada: llamamos matriz ampliada de un sistema a la matriz que se obtiene agregando a la matriz de los coeficientes la columna de los términos independientes, la representamos con A’.

a11a12 …a1n b1

A = a21 a22 … a1n b2 “es la matriz ampliada del sistema (1)” ……………… .... ...

am1 am2...amn bm

La notación matricial del sistema (1) es: A.B = B, por lo tanto: A’ = (A)B).Si efectuamos operaciones elementales sobre las filas de A, obtenemos otra matriz: M’ = (M)Y) ∕ M’ A’

Esta matriz M, representa un nuevo sistema de ecuaciones: M.X= Y. Nos interesa saber que relación existe entre el sistema A.X = B y el sistema M.X =Y.Con este fin aceptaremos sin demostración el importante siguiente teorema:

Teorema: Sistemas equivalentes: dos sistemas de “m” ecuaciones lineales con “n”incognitas son equivalentes si tienen el mismo conjunto solución.

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Dado un sistema de “m” ecuaciones lineales con “n” incógnitas es posible trasformarlo en otro equivalente al dado mediante las siguientes operaciones:

Operaciones que conducen a Sistemas de Ecuaciones Equivalentes:

1-Intercambio de dos ecuaciones.2-Multiplicación de una ecuación por una constante “k” 0.3-Suma a una ecuación de otra multiplicada por un escalar “k” cualquiera.En terminología matricial .estas tres operaciones corresponden a las operaciones elementales definidas sobre las filas de una matriz. Lo que implica que:

“A matrices equivalentes corresponden sistemas de ecuaciones equivalentes”.

De acuerdo a esto los sistemas: A.B =B y M.X = Y son equivalentes, vimos que si dos sistemas de ecuaciones son equivalentes entonces tienen las mismas soluciones. Por lo tanto el sistema M, X = Y tiene las mismas soluciones que el sistema de partida.Si observemos que sucede con A, al efectuar operaciones elementales sobre sus filas, esta afirmación es fácilmente visualizable:1) Si multiplicamos una fila de A, por una constante distinta de 0, equivale a multiplicar una ecuación del sistema por una constante, en cuyo caso obtenemos una ecuación equivalente a la dada.2) Si permutamos dos filas de A, equivale a intercambiar dos ecuaciones de lugar (tampoco varían las soluciones del sistema).3) Si sumamos a una fila de A, otra multiplicada por una constante, esto equivale a sumar a una ecuación otra multiplicada por una constante.Tampoco cambian las soluciones.

Podemos concluir que, al efectuar operaciones elementales sobre las filas de la matriz ampliada de un sistema, no se alteran las soluciones del mismo, pero podemos arribar a otro más sencillo con el mismo conjunto solución.

Apliquemos estas consideraciones al sistema:

X + 4y = 8 1 4 8 Donde A’ =X + y = 3 1 1 3

F2 + (-1)F1

(-1/3)F2

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Aplico a A’ el método Gauss-Jordan tratando de formar en ella, el mayor número de vectores columnas canónicos distintos.

(1) 4

1 1

8

3

1 4

0 -3

8

-5 1 4

0 1

8

5/3 1 0

0 1

4/3

5/3

F1 + (-4)F2

A El sistema (equivalente) obtenido es: x1 + 0x2 = 4∕3 0x1 + x2 =5∕3 A’

ó lo que es lo mismo : x1 = 4∕3 x2 = 5∕3

x1 4∕3Por lo tanto el vector X = = es solución única.

x2 5∕3

Recordando el concepto de rango de una matriz podemos observar que: r (A) = 2 y r (A’) = 2, esto no es casualidad, sino consecuencia del siguiente teorema que enunciaremos sin demostrar:

Teorema de Rouche-FrobeniusCondición necesaria y suficiente para que un sistema de “m” ecuaciones lineales con “n”

incógnitas tenga solución es que la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada tengan igual rango, es decir el sistema es compatible ↔ r (A) = r (A’).

Podemos concluir que: si r (A) r (A,), el sistema es compatible.

Las siguientes consecuencias del teorema de Rouche-Frobenius las aceptaremos sin demostración:

* Si r(A,) = r(A,) = n (numero de incógnitas) la solución es única .El sistema es compatible determinado con solución única.* Si r(A) = r(A,) 0 r n el sistema tiene distintas soluciones. El sistema es compatible indeterminado con infinitas soluciones.Es claro que siempre: r (A) n donde n = n0 de incógnitas.

¿Por qué es valida esta desigualdad...? Piensen

¿Por qué decimos en el último caso que el sistema tiene infinitas soluciones?

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Porque existen “r” incógnitas llamadas incógnitas principales, las cuales dependen de infinitos valores que le podemos asignar a las “n-r” restantes que reciben el nombre de “incógnitas libres”. Nos referimos a este hecho diciendo que el sistema tiene orden de x1

x2 Indeterminación igual a “n - r”. En este caso existen infinitos vectores . que son solución del sistema. .

xn

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales

El método de Gauss-Jordan no solo nos permitirá clasificar un sistema diciendo si es compatible o no, sino también nos proporcionara la solución del mismo, es decir determinar su conjunto solución. Esencialmente este método se basa en la determinación de los rangos de A y A, para lo cual escribimos a la derecha de A la columna compuesta por los términos independientes y se opera de la manera conocida.

Debemos aclarar que el mismo es aplicable a cualquier sistema de ecuaciones lineales: homogéneo o inhomogéneo. También cabe destacar que si estamos en presencia de un sistema crameriano de orden superior a tres el trabajo de resolución del mismo se reduce de manera considerable.El método de Gauss-Jordan, que usa para clasificar y resolver sistemas, es de comprensión más sencilla por medio de ejemplos.

Ejemplo: Analizar y resolver los siguientes sistemas de ecuaciones aplicando el método de Gauss-Jordan

2x -3y +4z = 13 a) x + y + 2z = 4 3x + 5y –z = -4

2 -3 4 13 La matriz ampliada del sistema es 1 1 2 4 3 5 -1 -4

Calculamos los rangos de A y A, usando el método de Gauss-Jordan y clasificamos el sistema usando el teorema de Rouche-Frobenius. Para ello aplicaremos operaciones elementales, sobre las filas de A, hasta obtener el máximo numero de vectores columnas canónicos distintos. Dispondremos la matriz ampliada del sistema y las sucesivas matrices equivalentes a ella de la siguiente manera:

2 -3 4 13 (1) 1 2 4 F1 ↔ F2

3 5 -1 -4

(1) 1 2 4 2 -3 4 13 Efectúo: F2 + (-2) F1

16

3 5 -1 -4 F3 + (-3) F1

1 1 2 4 0 -5 0 5 Efectúo: (-1∕5) F2

0 2 -7 -15

1 1 2 4 0 (1) 0 -1 Efectúo: F1 + (-1) F2

0 2 -7 -15 F3 + (-2) F2

1 0 2 5 0 (1) 0 -1 Efectúo: (-1∕7) F3

0 0 -7 -4 1 0 2 50 1 0 -1 Efectúo : F1 + (-2) F3

0 0 (1) 2

1 0 0 10 1 0 -10 0 1 2

Hemos obtenido tres vectores canónicos distintos en A, y no podemos obtener otro; por lo tanto: r(A) = r(A,) = 3; el sistema es compatible .Aparte, r(A) = r(A,) = 3 = n0 de incógnitas, lo que significa que el sistema es compatible determinado.La matriz final representa el sistema equivalente: x + 0y + 0z = 1 x = 1 0x +1y + 0z = -1 o y = -1 0x + 0y +1z = 2 z = 2

La solución única del sistema es la terna (1,-1,2) igual resultado hubiéramos obtenido aplicando la Regla de Cramer.

¿Quieren probar? …

b) x – 3y +2z = 1 2x + y – 2z = -2 x + 4y = -3

(1) -3 2 1 2 1 2 -2 F3 – (-1) F1

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1 4 0 -3 F2 – (-2) F1

1 -3 2 1 0 7 -2 -4 0 7 -2 -4 F3 + (-1) F2

1 -3 2 1 0 7 -2 -4 (-1/2) F2

0 0 0 0 Puedo eliminar esta fila ya que todos sus elementos son nulos por lo que no puedo encontrar otro vector canónico. 1 -3 2 1 0 -7/2 (1) 2 F1 + (-2) F2

1 4 0 -3 0 -7/2 1 2

r(A) = 2 y r(A’) = 2 por lo tanto el sistema es compatible, pero r(A) 3 = n0 de incógnitas, lo que nos indica que es compatible indeterminado , como r(A) = 2 el grado de indeterminación es 1, tengo dos variables principales y una incógnita “libre”. Las variables principales son las correspondientes a lo pivotes, es decir: “x” y “z”.

El sistema equivalente obtenido es: x + 4y = -3 (-7/2) y + z = 2

Cuando un sistema es compatible indeterminado como este, podemos describir el conjunto solución resolviendo el sistema de ecuaciones reducido para las variables principales en términos de las libres. En este caso resolvemos para “x” y para “z” en términos de y, incógnita libre ya que puede tomar cualquier valor real. x = -3 – 4y z = 2 + (7/2) y y es libre

Por ejemplo, si y = 1 entonces x = -3 – 4.1 = -7, z = 2 + (7/2).1 =11/2, así una terna solución es (-7, 1,11/2)La solución general del sistema Viena dada por la terna:(-3-4y, y, 2 + (7/2) y), que también puede ser escrita como: -3-4a X= a con a R 2 + 7/2a -3 5Otros vectores solución del sistema son: si a = 0, X1 = 0 ; si a = -2 X2 = -2 , etc. 2 -5

c) x + 4y – z = 3 3x –y + 2z = 4 x – 9y + 4z = 3

1 4 -1 3 0 -13/5 (1) -1 (1) 4 -1 3 0 -13 5 0 r(A) = 2 y r(A,) = 3

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3 -1 2 4 1 7/5 0 2 r(A) r(A,), por lo tanto 1 -9 4 3 0 -13/5 1 -1 el sistema es incompatible. 1 4 -1 3 0 0 0 (5) 0 -13 5 5 1 7/5 0 0 0 -13 5 0 0 -13/5 1 0

0 0 0 1

d) x1 + x2 + x3 = 2 2x1 – x2 + x3 = 1

Este sistema tiene mas incógnitas que ecuaciones, nunca puede ser compatible determinado solo puede ser compatible indeterminado o incompatible.

(1) 1 1 2 2 -1 1 1 F2 + (-2) F 1 1 1 2 0 -3 -1 -3 (-1) F2

1 1 1 2 0 3 (1) 3 F1 + (-1) F1 -2 0 -10 3 1 3

r(A) = r(A’) = 2 nº de incógnitas, sistema compatible indeterminado.

El sistema equivalente obtenido es: x1 – 2x2 = -1 3x2 + x3 = 3

Despejando x1 y x3 en función de x2 tenemos: x1 = 2x2 -1, y x3 = 3 – 3x2

2a -1La solución general es el vector: X = a , con a R

3 – 3a

2) Clasifique y resuelva los sistemas de ecuaciones lineales representados por las siguientes matrices ampliadas:

a) 1 0 -1 2 b) 1 2 1 0 0 1 1 3 0 0 1 -1

0 0 0 0

a) La matriz ampliada de este sistema tiene dos vectores canónicos distintos y no se pueden encontrar más. Por lo tanto r(A) = r(A,) = 2 nº de incógnitas, sistema compatible indeterminado.

El sistema equivalente correspondiente es: x1 – x3 = 2 x2 + x3 = 3

Como x1 y x3 son las incógnitas principales, despejándolas en términos de x2 tenemos:

x1 = 2-x3 y x2 = 3-x3

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2-kLa solución general es el vector X = 3-k , con k R

k

1 2 1 0b) 0 0 1 -1 0 0 0 0

Esta matriz ampliada corresponde a un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, pero la última fila tiene todos sus elementos nulos por lo que podemos suprimirla.

0 2 1 0 Para encontrar otro vector canónico : F1 + (-1)F2

0 0 (1) -1 1 2 0 1 0 0 1 -1

Por lo tanto r (A) = r (A,) = 2 nº de incógnitas, sistema compatible indeterminado .El sistema equivalente es: x1 + 2x2 = 1

x3 = -1

La incógnita x3 toma el valor fijo “-1” y la incógnita x2 es libre. Por lo tanto la solución general del sistema es la terna: (1 – 2x2, x2,-1).

Sistemas homogéneos

Sabemos que los sistemas homogéneos tienen siempre la solución trivial, es

0 0decir el vector X = . es siempre solución de los mismos.

. 0

Si aplicamos a un sistema de este tipo el teorema de Rouche-Frobenius es fácil obtener que la matriz ampliada siempre tiene una columna de ceros:

a11 a12 . . .a1n 0 a21 a22 . . .a2n 0 A, = . . . . . . lo que implica r(A) = r(A’) siempre, por lo tanto . . . . . . am1 am2 . . amn 0

r = n, solución única (trivial)Si r(A) = r(A,) = r

R n, compatible indeterminado con Infinitas soluciones aparte de la trivial.

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Ejemplo: clasifique y resuelva los siguientes sistemas:

x – y + 3z = 0a) x + y – z = 0 x + z = 0

Si calculamos det(A) encontramos que es igual a cero, debemos resolverlo aplicando el método de Gauss-Jordan.

(1) -1 3 0 1 1 -1 0 F2 + (-1) F1 1 0 1 0 F3 + (-1) F1 1 -1 3 0 F1 + F3 0 2 -4 0 F2 + (-2) F3 0 (1) -2 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 -2 0 r(A) = 2 3 = nº de incógnitas, el sistema es compatibleindeterminado. Hemos obtenido el siguiente sistema equivalente:

x + z = 0y- 2z = 0 , despejando las incógnitas “x” e “y” (incógnitas principales) en función de “z” obtenemos: x = -z y = 2z

Las infinitas soluciones están dadas por la terna: (-z, 2z, z), o por:S= {(-k, 2k, k) / k R}

Si asignamos el valor “-3” a “k” una terna solución es (3,-6,-3).Asignando a “k” el valor ½ otra terna es: (-1/2, 1,1/2).

b) x – y + z = 0 2x + 5y – z = 0

Estamos en presencia de un sistema homogéneo en el que el numero de ecuaciones es menor que el numero de incógnitas. Por ser homogéneo es siempre compatible ,pero como el numero de incógnitas es mayor que el numero de ecuaciones no puede ser compatible determinado , por lo tanto es compatible indeterminado. Todo sistema de ecuaciones homogéneo que tiene mas incógnitas que ecuaciones es siempre compatible indeterminado.

(1) -1 1 0 2 5 -1 0 F2 + (-2) 1 -1 1 0 0 7 -3 0 (1/7) F2 1 -1 1 0 0 1 -3/7 0 F1 + F2 1 0 4/7 0

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0 1 -3/7 0 Como podemos observar r(A) = 2 nº de incógnitas.El sistema equivalente obtenido es: x + (4/7) z = 0

y – (3/7) z = 0

Despejamos “x” e “y”, variables correspondientes a los pivotes en función de “z”, variable libre, resulta: x = - (4/7) z, y = (3/7) z.La solución general es S= {((-4/7) t, (3/7) t, t)/ t R}, que también puede ser

-4/7 tEscrita como: X = 3/7 t

t

Aplicación de los sistemas de ecuaciones

Una de las aplicaciones practicas mas importante de los sistemas de ecuaciones es la programación

lineal .Esta técnica es ampliamente usada en operaciones (militares, técnicas, industriales) en las que la precisión y eficacia son muy importantes para determinar unos valores que maximicen o minimicen una

forma polinómica dada.

La resolución de estos problemas se lleva a cabo grafica o algebraicamente por medio de sistemas de ecuaciones.

La Ingeniería realiza sus cálculos a partir de modelos científicos. Los modelos científicos se realizan sobre modelos matemáticos (de lo contrario no se podría calcular), a partir de la observación de los fenómenos naturales (física, química, biología, etc.).

Existen ingenierías, como las de información, que se dedican a ambientes artificiales y en parte pueden desligarse de los fenómenos naturales, (solo en parte), pero, igualmente, a la hora de realizar cálculos dependerán de comportamientos estadísticos y otros modelos, que también se realizan a partir de modelos matemáticos.

Todo aquello que sea calculable requiere basarse en algún modelo matemático, y la ingeniería se basa en las técnicas constructivas, y para construir apropiadamente se debe calcular.

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Partiendo de la historia, se pueden construir edificios, arcos y monumentos por 'prueba y error', pero, evidentemente si 'están calculados' tanto el constructor, como los usuarios, se sentirán más seguros. Desde la época de las grandes construcciones a la actualidad, la ingeniería siempre se dedico a la construcción, por ende, requiere calcular, por ende, requiere de la matemática.

No es tan importante el porque los sistemas de ecuaciones se aplican a la ingeniería, sino porque tales sistemas de ecuaciones modelan con tanta exactitud a los fenómenos naturales. El espacio de solución de la ecuación cuadrática común se aplica a un sin número de fenómenos naturales con excelente precisión. Sistemas de ecuaciones más complejos y con más variables permiten predecir el comportamiento de fenómenos naturales más complejos o delicados. Lo asombroso es que las ecuaciones matemáticas 'predigan' con tal exactitud a los fenómenos de la naturaleza; y por eso, se utilizan en Ingeniería.

Bibliografía

* Di Caro.Hector (Algebra y elementos de Geometría 2)*Fernández de Musomecci, Kempf de Gil Mulki, Lilia.Matematica para ingresantes a la universidad*Rojo Armando (tomo 2)

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