sistemas de control

Sistemas de control

Tecnología industrial II

Antonio Vives

Definición de control

Es la acción o el efecto de poder decidir sobre el desarrollo de un proceso o sistema.

También se puede entender como la forma de manipular ciertas variables para conseguir que ellas u otras

variables actúen en la forma deseada.

Sistema de control

En el sistema de control nos vamos a encontrar.

In: Variables de entrada: Indican que es lo que debe hacer el sistema.

Out: Variables de salida: Son el efecto producido por el sistema.

Perturbaciones: Son variables ajenas al sistema pero que pueden influir en su funcionamiento y no podemos controlar

Variables de control: Son variables internas del sistema que se emplean para su funcionamiento.

Historia del control automático

Las primeras aplicaciones se remontan a los mecanismos reguladores con flotador en Grecia.

Flotador con válvula

Flotador con

apuntador

El reloj de Ktesibius fue construido alrededor de 250 AC. Es considerado el primer sistema de control automático de la historia.


Publicó un libro denominado Pneumatica en donde se describen varios mecanismos de nivel de agua con reguladores de flotador.

La Fuente mágica de

Herón de Alejandría

Herón de Alejandría (100 D. C.)

Medidor de tiempo


Sin embargo el primer trabajo significativo en control con realimentación automáticafue el regulador centrífugo de James Watt, desarrollado en 1769

Motor Carga

Engranes

Combustible

Cierra

Abre

Aceite a presión

Válvula de control

Esquema de Regulador de velocidad moderno

Definiciones

Sistema. Es una combinación de componentes que actúan conjuntamente para lograr cierto objetivo. El concepto de sistema se puede aplicar a fenómenos físicos, biológicos, económicos, sociales y otros.

Proceso. Es el desarrollo natural de un acontecimiento, caracterizado por una serie de eventos o cambio graduales, progresivamente continuos y que tienden a un resultado final

Planta. Conjunto de piezas de una maquinaria que tienen por objetivo realizar cierta actividad en conjunto. En sistemas de control, por planta se entiende el sistema que se quiere controlar.

Variable controlada (Salida). Es la cantidad o condición que se mide y controla. Variable manipulada. Es la variable que se modifica con el fin de afectar la variable

controlada. Perturbaciones. Una perturbación es algún suceso que afecta adversamente el

desarrollo de algún proceso. Si la perturbación se genera dentro del sistema, se le denomina perturbación interna, caso contrario la Perturbación es externa.

Tipos de sistemas de Control

Los sistemas de control se pueden clasificar básicamente en 2 tipos.

Lazo abierto: La salida se realiza sin tener en cuenta si lo que se pide se hace bien o mal, normalmente el tiempo es la variable que controla el sistema.

Lazo Cerrado la salida se compara con la entrada de forma que se comprueba en todo momento que la salida es la esperada y sino es así el sistema se corrige.

Representación de los sistemas de control

Los sistemas de control se pueden representar de dos maneras :

Mediante una función matemática, denominada Función de transferencia. La función de transferencia nos dará las variaciones de salida en función de las variables de entrada. La ecuación matemática obtenida tendrá normalmente como variable el tiempo y será un a función compleja y difícil de resolver. Para su resolución se cambiará la variable tiempo por una variable S a través de la transformada de LAPLACE.

Mediante diagrama de Bloques: Se representarán las operaciones del sistema mediante bloque de operaciones simples y a partir de ahí se simplificará el sistema.

)(

)(

tgin

tfoutS

La función de transferencia

Podemos calcular la función de transferencia en circuitos eléctricos

En un circuito eléctrico la función será: FDT = Vout/Vin

vin

Teniendo en cuenta la impedancia de algunos componentes como la bobina y el condensador podemos calcular la FDT :

CwjXc

1

Impedancia de la bobina:

vout

fw 2wLjXL

Impedancia del condensador: Siendo:

LsXL Cs

Xc1

Aplicando Transformada de Laplace queda:

La función de transferencia

Ejemplos de funciones de transferencia: Circuito RL

L

R

)(ti

)(tv

Utilizando ley de voltajes de Kirchhoff, se tiene:

dt

diLRivin

Aplicando la transformada de LaplaceLsIRIVin

la función de transferencia, queda:

RLs

Ls

RILsI

LsI

Vin

VoutFDT

iLwjRivin

dt

diLtvout )(

iLwjvout

LsIVout

Diagramas de bloques

La relación causa y efecto de la función de transferencia, permite representar las relaciones de un sistema por medios diagramáticos.

Los diagramas de bloques de un sistema son bloques operacionales y unidireccionales que representan la función de transferencia de las variables de interés.

Diagrama a bloques

• Tiene la ventaja de representar en forma más gráfica el flujo de señales de un sistema.• Con los bloques es posible evaluar la contribución de cada componente al desempeño total del sistema. • No incluye información de la construcción física del sistema (Laplace).• El diagrama de bloques de un sistema determinado no es único.

Consideraciones:


Elementos de un diagrama a bloques

Función de transferencia

)(sGVariablede entrada

Variablede salida

Flecha:

Representa una y solo una variable. La punta de la flecha indica la direccióndel flujo de señales.

Bloque:

Representa la operación matemática que sufre la señal de entrada para producir la señal de salida. Las funciones de transferencia se introducen en los bloques. A los bloques también se les llama ganancia.


Diagrama de bloques de un sistema en lazo cerrado

)(sG+-

punto de suma punto de bifurcación

)(sH

)(sR)(sE )(sC

)(sB

Función de transferencia en lazo abierto)()(

)()(

sHsGsEsB

Función de transferencia trayectoria directa )()()(

sGsEsC

Función de transferencia lazo cerrado)()(1

)()()(

sHsGsG

sRsC

Reducción de diagrama de bloques

)()( 21 sGsG )(sR )(sC

Por elementos en paralelo

)(1 sG)(sR

)(1 sG

+

+

)(sC

Por elementos en serie

)(1 sG)(sR )(sC)(sD

)(2 sG )()( 21 sGsG)(sR )(sC



La simplificación de un diagrama de bloques complicado se realiza mediante alguna combinación de las tres formas básicas para reducir bloques y el reordenamiento del diagrama de bloques utilizando reglas del álgebra de los diagramas de bloques.

)(sG+-

)(sH

)(sR )(sE )(sC

)(sB

Por elementos en lazo cerrado

)()(1)(

sHsGsG

)(sR )(sC




Reglas del álgebra de los diagramas de bloques

G +-

A AG BAG

B

+-

A

B

G

G1G

B

GB

A BAG

GA AG

AG

AG

GAG

AG

Diagrama de bloques original Diagrama de bloques equivalente



Reglas del álgebra de los diagramas de bloques

GA AG

A

AG

G1 A

AG

+-

A B1G

2G

+-

A B2G 1G

2

1G

Diagrama de bloques original Diagrama de bloques equivalente

Estabilidad de sistemas de control

1111111111111111111111111111111111111111111111111111111

Nos quedarán dos ecuaciones, una en el numerador y otra en el denominador. La ecuación de denominador se llamará ecuación característica y para estudiar la estabilidad del sistema tendremos que averiguar las raíces de la ecuación caracterítica.

Es la característica más importante de los sistemas de control, se refiere a que si el sistema es estable o inestable.

Definicion.Un sistema de control es estable si ante cualquier entrada acotada, el sistema posee una salida acotada.

Para comprobar la estabilidad de un sistema se tiene analiza la función de transferencia.

)(

)()(

sD

sNsG

Estabilidad de sistemas de control

1111111111111111111111111111111111111111111111111111111

Análisis de Estabilidad.

La estabilidad de un sistema se puede determinar por la ubicación de los polos (raíces de la ecuación Característica) en el plano s. Si alguno de los polos de la ecuación característica se encuentra en el semiplano derecho el sistema es inestable.

Plano s

Región estable

Región inestable

Región estable

Región inestable

RR

j

j

Estabilidad de sistemas dinámicos 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111

Plano s

Estabilidad de sistemas.

1111111111111111111111111111111111111111111111111111111

Criterio de Estabilidad de Routh

Un sistema realimentado es estable si todos los polos de lazo cerrado se ubican en el semiplano izquierdo del plano s. Esto es lo mismo a decir que todas las raíces de la ecuación característica tienen parte real negativa.

)()(

)()(

11

10

11

10

sqsp

asasasa

bsbsbsbsRsC

nnnn

mmmm

cuando no se tiene forma a encontrar las raíces de la ecuación característica…

El criterio de estabilidad de Routh permite determinar si hay raíces con parte real positiva (inestable) sin necesidad de resolver el polinomio.

Estabilidad de sistemas 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111

1º Ecuación característica

ns

1ns

2ns3ns

0s

1a

4a

5a

2a

3a

0a 6a

7a

1c

3b

5a

2b

3a

1b 4b

7a

1h

0)( 12

21

10

nnnnn asasasasasq

…

2º Están todos los términos y son todos positivos.

3º Se plantea la siguiente tabla con la ecuación característica y se resuelve.

Estabilidad de sistemas

1111111111111111111111111111111111111111111111111111111

Donde:

1

30211 a

aaaab

1

50412 a

aaaab

1

70611 a

aaaab

1

21311 b

baabc

1

31512 b

baabc

1

31713 b

baabc

1

21211 c

cbbcd

1

31312 c

cbbcd

El criterio de Routh establece que el número de raíces con partes reales positivas es igual al número de cambios de signo de la primera columna.

Estabilidad de sistemas. 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111

EjemploSea el siguiente polinomio 032

21

30 asasasa

3s

2s

s

0s

0a

1a

2a

3a

1

3021

aaaaa

3a

La condiciones para que todas las raíces tengan parte reales negativas son:

3021 aaaa 0,,, 3210 aaaa


EjemploSea el siguiente polinomio 05432 234 ssss

3s

2s

s

0s

14s

2

3

4

5

1 5

0

0

6 0

5

Hay dos cambios de signo en la primera columna por lo tanto existen dos raíces con partes reales positivas.


Casos especialesSi un término es cualquier columna es cero y los demás términos no son cero. El elemento cero puede reemplazarse por un número positivo y continuar.

EjemploSea el siguiente polinomio 01011422 2345 sssss

3s2ss

0s

14s 2

11

4 10

6 00

0

10

5s 2

1c

12124

1c

1d10

6106 1

1

cd

Si el término de arriba y el de debajo del 0 es del mismo signo no existirá cambio de signo, por tanto inestable.


Casos especialesSi toda un fila es cero hacemos la derivada del de arriba, la colocamos debajo y podemos continuar.

EjemploSea el siguiente polinomio 0502548242 2345 sssss

3s2ss

0s

14s 2

25

48 50

00

50

5s 24

0

24

50482 24 ssc

3,79

50

Si sale todo positivo estable.

ssc 968´ 3

La ecuación característica es

072 Kss

Las raíces de la ecuación característica son los polos de lazo cerrado.

Ks 25.125.312

y dependen del valor de K

Sea el sistema de lazo cerrado

)7( ssK

+-

)(sC)(sR

)(sB

En lazo cerrado

KssK

sRsC

)7()()( 0K

También puede hacerse por Routh

Determinar la estabilidad en función de K

sistemas de control

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