Sistemas con parámetros distribuidos

Régimen Permanente

65-10. Teoría de CamposRev. 1 -3/NOV/09

Para línea bifilar o una fase de trifilar traspuesta

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∂∂

⋅⋅+⋅⋅=−

∂∂

⋅⋅+⋅⋅=−

tudxcudxgdi

tidxlidxrdu

x dx

cdx

+

u

-

+

u+du

-gdx

rdx ldxi i+di

u,i son funciones de (x,t)

Para variación armónica

( )

( )

.ω

ω

ω

j

UcjgdxId

IljrdxUd

con afuera sacamos las yatiempo del las porque totales derivadas

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⋅+=−

⋅+=−

&&

&&

( ) ( )

armónicos eléctricos campos asimilar

22

2

UUcjgljrdxUd &&&&

⋅=⋅+⋅+=→ γωω

Variación Armónica

( ) ( )

( ) ( )dx

A

ddd

id

xx

xteUtuU

UUU

cjgljrj

eAeAU

Θ+−⋅⋅⋅=⇒

+=

+⋅+=+=

⋅+⋅=

−

−

βω

ωωβαγ

α

γγ

cos2

[1/m]n propagació de constante la Es

1

21

321

&&&

&

&&& &&

La solución es:

Variación Armónica

( )

( ) ( )

[ ]

Ude al distinto signocon

impulso de o onda de tica,caracterís Impedancia:

empleandoy

que Sabiendo

21

21

21

x

C

x

C

C

C

xx

xx

eZAe

ZAI

Z

Zcjgljrljr

eljr

Aeljr

AI

IljrdxUd

eAeAU

γγ

γγ

γγ

ωω

γω

ωγ

ωγ

ω

&&

&&

&&

&

&

&

&&

&

&&

&&&&&

&&

&&&

⋅−⋅=→

Ω=++

=+

⋅+

⋅−⋅

+−⋅

−=→

⋅+=−

⋅+⋅=

−

−

−

Propagación de ondasSe denomina velocidad de fase a aquella con la que se propaga la fase de una onda.

fvTv =⋅=

=⋅

λ

πλβ 2Se denomina longitud de onda a la distancia entre 2 puntos consecutivos de una línea en que la onda tiene igual fase

( )

βω

βω

βω

βωβω

==

=⋅=

=Θ+⋅−⋅

=Θ+⋅−⋅

=

ctefase

d

d

dtdxv

dtdx

xt

ctext

v

0

0dtd

:lados ambos a derivando

Ud

Propagación de ondas para línea bifilar sin pérdidas

km6000fv

:Hz50a;seg/km000.300v

1cl

1v

pérdidassin clrDln

c;rDlnl

00

00

==

≅

⋅=

⋅=

⋅⋅=

⋅==

λ

εμ

ωβ

εππμ

Propagación de ondas

Todas en el mismo punto

Ci

i

d

d

id

ZIU

IU

III

&&

&

&

&

&&&

==

−=+

Ud

-

+

Ui

-

x

Id Ii

( ) ( )

( ) ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

⋅+⋅−=

⋅⋅−⋅=∴

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⋅−=

⋅+=

→⎪⎩

⎪⎨⎧

−=⋅

+=→

=

xIxshZUI

xshIZxUUy

IZUA

IZUA

AAIZ

AAU

C

C

C

C

C

γγ

γγ

&&&&

&&

&&&&&&

&&

&&&&

&&&&

&&&&

&&&

cosh

cosh:A A doreemplazan

2

2

0con x(emisor),1puntoeldesdemagnitudes las Todas

11

11

21

112

111

211

211

( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

2cosh

;2

coshcosh

1

1

xγxγ

xγxγCC

eexγ

eexγsenh

IZ

Uxxγsenhxsenhxγ

IZ

U

&&

&&

&

&

&&

&

&&

&&

&&

&

−

−

+=

−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⋅⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⋅

:que Recordar

:enteMatricialm

γγ

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⋅−=

⋅+=

→

−==

⋅−⋅=

+==

⋅+⋅=⋅⋅+⋅⋅=

⎪⎩

⎪⎨⎧

⋅=

⋅=

−=

⋅−⋅

⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅−

⋅−⋅⋅

⋅⋅−⋅−

2

2

:0con

:y todopara

:0con

L) (longitudreceptor 2, punto el desde scoordenada lasmedir :dposibilida Otra

224

223

432

43

432

4321

IZUA

IZUA

ZA

ZAIy

eZAe

ZAI

AAUy

eAeAeeAeeAU

eeeeee

yLx

C

C

CC

y

C

y

C

yyyLyL

yLx

yLx

&&&&

&&&&

&&&

&&&

&&&

&&&&&

&&

&&&&&&

&&&

&&&

γγ

γγγγγγ

γγγ

γγγ

corresponde a avance en sentido negativo de y (onda directa)

Extremo emisor

1

Extremo receptor

2

Los signos de las matrices pueden entenderse a partir de U, I

( ) ( )( ) ( ) ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⋅⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⋅ 2C

2

C IZ

Uycoshyγsenhysenhyγcosh

IZU

:enteMatricialm

&&

&

&&

&&

&&

&

γγ

x

I1 I2

y

U1

x

I1 I2

y

U2

U

I

Fasores Ud (Udr) y Ui (Urf) a lo largo de la línea

Par.Distribuidos - Estacionario

LINEAS LARGAS Y CORTAS (ref. Elgerd)Si la línea no tuviera pérdidas (en el caso real son comparativamente insignificantes)

[ ]

( ) ( ) pura imaginaria

resistiva puramente

,

,

cljcjgljr

Zcl

cjgljr

Z CC

⋅⋅=+⋅+=

Ω==++

=

ωωωγ

ωω

&

&

Si quiere representarse una línea mediante un circuito equivalente al de la figura que cumpla con las relaciones entre V(L);I(L) y V(0);I(0) puede concluirse mediante inspección y comparación que la impedancia serie y las admitancias paralelo pueden expresarse como (todos elementos reactivos):

πλ

ββπλ 2xx2

⋅=⇒=

ZS

Y1P Y2P

+

V (0)

-

+

V (x)

-⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅⋅==

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅⋅=

πλ

πλ

xlcjYY

xsencljZ

PP

S

tan

2

21

inductivo y Ycapacitivo es Z 2

xSi

capacitivo y Yinductivo es Z )2

que cortas más (líneas 2

xSi

PS

PS

→>

→<

λ

λλ

Para 50 Hz la long. de onda λ es aprox. 6000 kmEn transmisión casi nunca se excede λ/8(∼750 km)

Si la línea es lo suficientemente corta, x/λ es tan chico que puede ser representada por parámetros concentrados:

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⋅≈⋅⋅⋅≈⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅⋅==

⋅⋅≈⋅⋅⋅≈⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅⋅=

⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⋅≈⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

⋅≈⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

2tan

22

tan

22

21xcjx

lcjx

lcjYY

xljxcljxsen

cljZ

xx

xxsen

PP

S

ωπλ

πλ

ωπλ

πλ

πλ

πλ

πλ

πλ

Para una línea de 200 km, x/λ =1/30 y aceptando la aproximación anterior se tendría un error del 1%.

Por lo tanto se podrían aceptar los parámetros concentrados hasta una longitud de la línea de 200 km y hablar de líneas “cortas”

Para x/λ = 0,25 (1500 km a 50 Hz) las reactancias serie y paralelas son iguales. Esto resulta en resonancia, que puede resultar inaceptable desde el punto de vista de los perfiles de tensión (línea “demasiado larga”).

( )

( )

( )( ) ( ) ( )

largas líneasen tensión de perfil elcon esdificultad las muestra

fase de kV3

10607.2

3220

07.2007.21

1

0

00166.06.30tan356

12tan

96.3112.613562;17.058701000

356

1087.550

1122)(?0P si kV,220 Upara falta hace U¿Que

.10577.9;10212.1

;0;1074 r ;km 1000 de Trifásica Línea :Ejemplo

1

2

21

6

221

126

-6

===∴=+

=

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==

Ω=⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛===

Ω==

⋅=⋅⋅

=⋅⋅

=⋅⋅

==

==

⋅=⋅=

≈Ω⋅=

−−

xVV

YZY

VxV

fasemhojjx

lcjYY

fasejsenjxsencljZx

faseclZ

mclclfcl

abiertalineam

FcmHl

gm

PS

P

PP

S

C

πλ

πλλ

ωπ

βπλ

Conceptos particulares –Línea Adaptada

ZC Z1 2

( ) ( )

( ) ( )[ ]

línea la de largo lo a puntocualquier desde carga lamirar en diferenciahay No

UUcoshUU

reflejada) ondahay no ,02

A de ec. la (de U :aquiy U

coshUU

adaptada. está línea la que dice se Z Z Si

2

22

224

22

22

22

C

∴

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⋅=

⋅=⋅+⋅=∴

=−

==

⋅⋅⋅+⋅=

=

⋅

⋅

Cy

y

C

C

C

ZIeII

eysenhy

IZUalresultarZ

IZ

I

ysenhZIy

&

&

&&

&&&&&

&&&

&

&&

&

&&

&&&&&&

&&

&

&

γ

γγγ

γγ

Conceptos particulares – Línea Adaptada

[ ]

[ ]dBN

NeperNL

e

eZ

U

eZ

UeeZ

U

Z

UUIUS

nep

L

y

C

y

C

yy

CC

=

=⋅−=

=

==

⋅=

−=+=

⋅=⋅⋅=⋅=⋅=

⋅−

⋅−

⋅⋅⋅

1

2

1

2

2

1

2

2*

21

*

2*

22

*

22

*

**

PP log 10

ó 2PPln

adaptada. línea la paraón transmisila de orendimient ,PP

:es activa potencia de L)y x 0(x saliday entrada entre variaciónLalínea. la de largo lo a puntoun en transmitese que potencia laen

tensiónde la a dobleón amotiguaci unahay ,Stambién

jyj

adaptada línea para*

α

βαγβαγ

α

α

αγγ

&

&

&&& &

Potencia Natural

El módulo de la tensión no cambia, sí la fase.Si P es distinta a Pn, la tensión sube o baja.Con línea en vacío, como ZC es capacitiva en gral, U2 sube y la corriente adelanta a la tensión.Si la pongo en corto baja, tiende a 0.En la práctica para líneas cortas, se transmite P>Pn aunque caiga la tensión porque si no es antieconómico.Para P=Pn se equilibra el reactivo capacitivo e inductivo.Para líneas largas P<Pn por estabilidad, salvo que se use compensación serie

I(0) V(0)

I(x)

V(x)

β(x)ββαγβγ jjeUeUU xjx =+=⋅=⋅= −− &&&& ;

con Z cargada línea la para pérdidas,Sin

11

C

Compensación (ref. Elgerd 6-6-8)La línea adaptada sin pérdidas da el perfil ideal de tensiones pero no se consigue en la práctica.

Ante grandes cargas la tensión cae y con baja carga la corriente capacitiva produce caída de signo cambiado en la reactancia inductiva, lo que produce la suba de tensión.

A su vez los generadores tiene sólo una capacidad limitada de absorber reactivo.

Se soluciona con capacitores serie (se insertan con cargas grandes) y reactores shunt (en los extremos para condiciones de vacío o similares).

Variación con la frecuencia

[ CCZj

cg

jlr

cl

cjgljr

yz ϕ

ω

ω

ωω

=+

+⋅=

⋅+⋅+

==&

&&CZ

:son línea la de básicas constantes las no), o (adaptada líneacualquier Para

Casos Típicos – Línea Aérea

{

Ω≈⋅=⋅==

=⋅

=

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⋅=

=

≅

300ln602

lnZ

:pérdidas doDesprecian vacioelen luz la de velocidadla es c donde

c1

ln

2

ln2

120377

0

0C

000

0

C

C

C

C

RDR

D

cl

v

RDc

RDl

πεμ

εμεπ

πμ

π

Casos Típicos –Cable Monofásico Coaxil

{

)(75ln602

lnZ

:pérdidas doDesprecian vainala de interno radio vaina;la de externo radio

vacioelen luz la de velocidadla es c donde

;2

4 para ; 1

ln

2

ln2

C

1

típicovalorRRR

R

cl

RR

cvcv

RRc

RRl

i

e

r

ri

e

ie

rrr

i

e

i

e

Ω⇒⋅⋅=⋅==

==

=⇒=⋅

=⋅

=

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⋅=

=

εμ

πεμ

εεμεμ

εππμ

Cuadripolo y circuito equivalente –Otro punto de vista

+

U1

-

+

U2

-

I1 I2

( ) ( )( ) ( )

( )

son) lo pasivos los (todos bilateral sistema ser por 1BC-ADadmitancia dimensión Cimpedancia dimensión B

simétrica ser por DA

===

⋅==

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅⋅

⋅⋅⋅=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

L

IU

DCBA

IU

LZ

LsenhLsenhZL

IU

C

C

γ

γγγγ

&

&

&

&&

&&

&

&

&&

&&&&

&

&

cosh

cosh

cosh

2

2

2

2

1

1

Cuadripolo equivalente T

+

U1

-

+

U2

-

I1 I2

YT

ZT/2 ZT/2

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅+

⋅+

⋅+

=DCBA

YZY

YZZ

YZ

TTT

TTT

TT

&&

&&

21

421

2

TK

:T cuadripolo del ciaTransferen de Matriz La

Cuadripolo equivalente Π

+

U1

-

+

U2

-

I1 I2Zπ

Yπ /2 Yπ /2

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅+

⋅+

⋅+

=

Π

ΠΠΠΠΠ

ΠΠΠ

Π DCBA

YZZYY

ZYZ

&&

&&

21

4

21

2K

: cuadripolo del ciaTransferen de Matriz La

Cuadripolo

( ) ( )[ ]( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ]( )LsenhZL

BAY

ZLsenhCY

LsenhZBZZLsenhL

CAZ

CCT

CCT

⋅⋅−⋅

=−

=⋅

==

⋅⋅==⋅⋅

−⋅=

−=

Π

Π

γγγ

γγ

γ

&

&

&

&&

&

&&&

&&&&&

&

&

&&

1cosh212

1cosh212

( )( )( )( )

( )[ ]( ) ( )

( ) ( )

( )( )

( ) ( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+⋅

+⋅

+≈⋅

⋅=

+⋅

+⋅

−≈⋅⋅⋅−⋅⋅

=

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⋅⋅=

⋅⋅=

⋅⋅=

⋅⋅=

Π

Π ...1206

1

...12012

11cosh2

YZY

Z

:términos1ºy tomandoserieen ndoDesarrolla

42

2

42

1

1

2

2T

1T

LLLLsenhK

LLLsenhL

LK

KLyKLzKLy

KLz

γγγ

γ

γγγγ

γ

&&

&

&&

&&

&&

&&

&&&

&&&

&&&

&&&

Cuadripolo

( ) 01.06L

1% el quemenor seaerror el que quiero Si.yy Yy Y para Idem

zL circuito del totalimpedancia la y Z Zcomo tomar basta1KK que para como pequeñas longitudes tengoSi

2

T

T

21

<⋅

==

Π

Π

γ

L

&&