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Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural

1

ESTIMACIÓN DE LA CONFIABILIDAD SÍSMICA DE EDIFICIOS POR MEDIO DEL ÍNDICE DE

CONFIABILIDAD BETA DE CORNELL Y UN MARGEN DE SEGURIDAD Z. APLICACIÓN A UN EDIFICIO DE 15 NIVELES.

Marco Antonio Montiel Ortega1, Roberto Cíntora García

2, Karla Iliana Ávila Hermosillo

3, Tania

Esmeralda González Robles3, Daniel Rodríguez Naranjo

3, Juan de Dios Herrada Hernández

3,

José Arvizu Rico3, Israel Luna Vaca

3.

RESUMEN

Se evalúa la confiabilidad sísmica de un edificio de 15 niveles para diferentes niveles de la intensidad sísmica,

diseñado de acuerdo con el Reglamento de Construcción del D.F. (RCDF-2004), tomando en cuenta las

incertidumbres asociadas con las propiedades del sistema estructural considerado y con las características

detalladas de los registros sísmicos. Se hace un programa en FORTRAN para realizar Análisis Dinámicos por

Incrementos del Índice de la Degradación de la Rigidez Secante (ADI-IDRS), cuyos resultados permiten

evaluar de manera eficiente la intensidad de colapso del sistema. La confiabilidad se evalúa por medio del

índice β de Cornell y el margen de seguridad Z.

ABSTRACT

The structural seismic reliability of a 15-story building designed in accordance with Mexico City’s building

code is evaluated considering the uncertainties associated with the properties of the structural system and with

the seismic registers. It is developed a computer program in FORTRAN to perform Incremental Dynamic

Analysis of the Secant Stiffened Degradation Index (IDA-SSI), these results allowed in an efficient manner

assess the collapse intensity of the system. The reliability is evaluated by means of Cornell’s β index and a Z

safety margin.

INTRODUCCIÓN Y METODOLOGÍA

La evaluación de la confiabilidad de una estructura no es fácil, en especial cuando se desea tomar en cuenta

todas las incertidumbres asociadas. En el caso de la obtención de la confiabilidad de una estructura ante un

evento extraordinario, como el caso de un sismo, la dificultad es mucho mayor. Cuando una estructura es

sometida a un evento sísmico, el parámetro más difícil de obtener es el estado de colapso. La dificultad estriba

en determinar cuando la estructura ha colapsado, bajo qué criterio se considera que la estructura colapsó y en

consecuencia que método utilizar para obtenerlo.

Esta investigación usa el Método de Análisis Dinámico por Incrementos (Incremental Dynamic Analysis

Method, IDAM), propuesto por Vamvatsikos y Cornell (2002), del cual se obtiene la intensidad de colapso

(Yc) haciendo uso de un factor de escala adecuado que se aplica para escalar la intensidad del acelerograma.

Las posibilidades que ofrece este método de visualizar la evolución de la respuesta sísmica conforme la

intensidad aumenta, y observar los valores alcanzados por la intensidad antes de que la estructura colapse,

constituyen una gran ventaja de este método. Por estas razones, en este trabajo, la intensidad de colapso (Yc)

fue obtenida mediante el uso del Método de Análisis Dinámico por Incrementos pero aplicado al Índice de

Degradación de la Rigidez Secante. Este índice está dado por medio de la siguiente ecuación (Díaz-López and

Esteva, 2009):

1Profesor de la Maestría en Estructuras, DEPFI. Universidad Autónoma de Querétaro, Centro Universitario, Cerro de las Campanas s/n C.P. 76010, Santiago de Querétaro, Qro. Tel: 442-17-44-190, [email protected] 2Tesista de Maestría, DEPFI-UAQ, [email protected].

3 Alumnos de la materia de Dinámica Estructural, DEPFI-UAQ.

XVIII Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Acapulco, Guerrero 2012

2

0

( ) 1 sKD y

K (1)

Donde y es la intensidad del movimiento sísmico, K0 es el valor que adquiere KS cuando es lineal, y KS es el

valor de la rigidez secante degradada adoptada por el sistema cuando el desplazamiento lateral de la azotea

presenta su valor máximo. De esta manera, la intensidad de colapso (Yc) es obtenida cuando D(Yc)=1,es decir

cuando Ks=0.

Por otro lado, la confiabilidad de una estructura está dada por R la cual se define como:

1 fR P (2)

En este trabajo, nuestro interés es la confiabilidad ante el colapso de una estructura. Por simplicidad en vez de

trabajar con la probabilidad de falla Pf, las funciones de confiabilidad serán obtenidas haciendo uso del

indicador aproximado β de Cornell (1969); en este caso para una excitación sísmica con intensidad conocida

y, como sigue:

( )

( )( )

z

z

m yy

y

(3)

Donde mZ(y) es el valor medio del margen de seguridad Z del edificio ante un temblor de intensidad igual a

(y), y Z(y) es la desviación estándar de dicho margen de seguridad.

Este índice β es el inverso del coeficiente de variación de la variable aleatoria Z. La Figura 1 muestra que el

índice indica el número de desviaciones estándar entre el punto medio, mZ, y el estado límite cuando Z=0. β es

un número sin una representación física. Esto refleja la práctica frecuente en la ingeniería de alejarse unas

pocas desviaciones estándar de la media con el fin de estar en el dominio de seguridad, por lo que los valores

habituales de un índice de confiabilidad son unas pocas unidades (Lemaire, 2009).

Figura 1. Representación del Índice de Cornell, (Lemaire, 2009).

Para la estimación del índice β(y), en el presente trabajo, se utilizó un enfoque alternativo propuesto por Díaz

y Esteva, (2009), en donde el margen de seguridad Z(y) está definido como el logaritmo natural de la razón de

(Yc) y de la intensidad de la excitación del movimiento del suelo (y) que actúan sobre el sistema, es decir:


3

( ) ln ln lnCC

YZ y Y y

y (4)

De aquí que el colapso se presente cuando Z(y)=0 para D(y)=1. Al sustituir Z en la ec. 3, el índice de

confiabilidad queda definido como:

ln ln( )

ln

C

C

E Y yy

Y

(5)

Donde E(lnYc), es el valor esperado del lnYc.

ESTRUCTURA ANALIZADA La metodología es aplicada a un edificio de 15 niveles tomando en cuenta las incertidumbres asociadas a la

resistencia del concreto (f´c), la fluencia del acero (fy), las cargas vivas (Wvmáx) y 40 acelerogramas registrados

en el Valle de la Cd. de México. Las propiedades geométricas del edificio original son mostradas en la Figura

2. El edificio fue diseñado de acuerdo con el Reglamento de Construcción del Distrito Federal RCDF (2004)

para uso de oficinas (Grupo B). El periodo fundamental del edificio es de To = 1.65 s y con un coeficiente

resistente de fluencia de Cy=0.4, (Montiel, 2006).

3 @10 m

15 NIVELES @ 4m

3 @10 m

Marco Interior Marco Exterior

3 @10 m

15 NIVELES @ 4m

a) b)

Figura 2 a) Planta y elevación del edificio original y b) Modelo bidimensional usado para el análisis no

lineal.

Para la modelación se utilizo el programa DRAIN 2D modificado por Campos y Esteva (1997), para su

análisis no lineal. El modelo del edificio contiene un marco exterior y uno interior, conectados por un

diafragma rígido. El acoplamientos entre los marcos fueron tomados en cuenta por medio de un modelo

estructural de dos dimensiones ligando a los marcos por medio de conectores biarticulados (ver Figura 2b).

Los marcos fueron formados por columnas y vigas a flexión. La relación momento-rotación para cada

elemento fue calculada asumiendo el modelo para concreto confinado originalmente propuesto por Kent and

Park (1971) y modificado por Park et al (1982). La relación esfuerzo-deformación axial para las barras de

acero fueron representados por medio del modelo de Mander (Mander, 1984). El comportamiento estructural

histerético se asumió bilineal con la relación de post-fluencia a la rigidez inicial del 3.0%.

En este estudio se modelaron 8 edificios, tomando en cuenta las incertidumbres en las propiedades mecánicas

de los materiales ( f´c y fy ) y en las cargas vivas máximas actuantes (Wvmáx),ver Tabla 1 en donde también se

muestran los valores nominales (MN) y medios (MM). En esta tabla se utiliza la nomenclatura (M1-M8) para

denotar los modelos con valores inciertos en propiedades mecánicas de los materiales y cargas vivas

actuantes, (M9) para el modelo con valores medios y (M10) para el modelo con valores nominales. Los

Marco Interior

3 @ 10m

Marco Exterior

3 @ 10m


4

valores inciertos de cada parámetro (fć, fy y Wvmáx) son obtenidos a partir de una simulacion Monte Carlo,

Rangel et al, (2005).

Tabla 1 Valores de fć , fy y Wvmáx utilizados en el análisis de los marcos

Marco fć

(kg/cm2)

fy (kg/cm

2)

Wvmáx (kg/m

2)

M1 376 5090 78

M2 296 4445 134

M3 354 3970 40

M4 257 4816 89

M5 401 4055 57

M6 335 5553 99

M7 276 5974 104

M8 308 4407 67

M9=MM 321 4680 75

M10=MN 300 4200 180

MOVIMIENTOS SÍSMICOS USADOS PARA LOS ANÁLISIS

El análisis de la confiabilidad sísmica requiere el uso de registros que puedan reflejar adecuadamente las

características dinámicas y el contenido de energía de los movimientos sísmicos que se espera ocurran en el

sitio de la construcción. Para esto, fueron seleccionados 40 sismos de banda angosta registrados en la Zona de

Lago de la Ciudad de México. Todos los movimientos sísmicos fueron registrados durante eventos de

subducción con los epicentros localizados en las Costas del Pacífico de México (ver Figura 3a), los cuales

presentan magnitudes (Mw) desde 6.0 hasta 8.1 grados. Los correspondientes espectros elásticos de pseudo-

aceleración se muestran en la Figura 3b, para un porcentaje de amortiguamiento crítico (ξ ) del 5%. Se puede

ver que los espectros de los movimientos sísmicos presentan periodos dominantes entre 1.7 y 2.2s.

a) b)

a) b)

Figure 3. a) Epicentros de los sismos de subducción usados para los análisis y b) los

correspondientes espectros elásticos de pseudo-aceleración para 5% de amortiguamiento.

DETERMINACIÓN DE LA RIGIDEZ ELÁSTICA (K0) Y LA RIGIDEZ SECÁNTE (KS) La determinación de la rigidez que se utiliza para obtener D(y) en la ec. 1, se hace por medio de análisis en la

Historia del tiempo realizados para diferentes factores de escala del sismo. De cada análisis se obtiene el

historial de desplazamiento de un punto de referencia en la azotea (D) y la historia del cortante en la base (V)

que se presentaron durante todo el sismo (ver Figura 4); a partir de estos datos se puede obtener el

Desplazamiento de azotea máximo (Dmax) y su Cortante en la base asociado (Vb). Haciendo uso de esta

información podemos definir la rigidez de la estructura (K) como la relación entre el desplazamiento de

azotea y su cortante asociado en la base, ec. 6.

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0

Sa/g

To (s)

S1 S2

S3 S4

S9 S38

S34 S5

S7 S8

S36 S6

S13 S14

S12 S15

S17 S16

S18 S25

S22 S20

S19 S26

S24 S21

S23 S29

S29 S27

S30 S11

S32 S31

S33 R21

S10 S37

S39 S40


5

b

azot

VK

D (6)

A esta relación también se le puede considerar como la pendiente de la recta de la Figura 4. Como se puede

apreciar en la Figura 4a, para factores de escala muy pequeños el comportamiento de la estructura se

mantiene en el rango lineal por lo que K es la rigidez elástica Ko. Es de destacar que debido al tipo de análisis

los resultados (Dmax y Vb) pueden presentarse en valores positivos como negativos por lo que para fines

prácticos se utilizó el valor máximo absoluto.

Conforme el factor de escala aumenta (y en consecuencia la intensidad sísmica) el comportamiento de la

estructura entra en el rango no lineal, debido al deterioro de la estructura, y como resultado la pendiente

disminuye, Figura 4b. Conforme la intensidad sigue aumentando y esta lleva a la estructura a grados de

deterioro cercanos al colapso, Figura 4 c y d , la pendiente tiende a la horizontalidad, es decir K tiende a cero

lo que implica D(y) tienda a uno (K=0 D(y)=1).

Para observar el comportamiento de las variables (Dmax y Vb) conforme aumenta la intensidad se realizaron

ADI´s, estos se graficaron para cada uno de los factores de escala Fe calculados en un gráfico que relaciona el

Vb asociado al Dmax, los cuales denominamos CoBA-DMA, Figura 5.

-2000

-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

2000

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8Co

rta

nte

en

la

Ba

se (

To

n)

Desplazamiento lateral de Azotea (m)

M1-S1, Fe=0.34

-2000

-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

2000

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8Co

rta

nte

en

la

Ba

se (

To

n)


M1-S1, Fe=0.50

a) Estructura prácticamente elástica, D(y)=0.05 b) Estructura un poco deteriorada, D(y)=0.50

-2000

-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

2000

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8Cort

an

te e

n l

a B

ase

(T

on

)


M1-S1, Fe=0.76

-2000

-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

2000

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8Cort

an

te e

n l

a B

ase

(T

on

)


M1-S1, Fe=1.21

c) Estructura más deteriorada, D(y)=0.8 d) Estructura prácticamente deteriorada, D(y)=0.95

Figura 4 Ciclos de histéresis de la respuesta global para diferentes niveles de la intensidad sísmica Fe (en azul). En rojo se muestra la pendiente Ks para el desplazamiento máximo y su cortante en la base

asociado.

Con el gráfico CoBA-DMA(Figura 5a) podemos apreciar claramente la pendiente de la zona recta para cada

uno de los marcos, la pendiente de cada una de estas rectas se denominó rigideces elásticas (K0) y se

determinó de manera independiente para cada uno de los marcos, Figura 5 b.

Ko

Ka

Kb Kn-1


6

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Vb

Co

rta

nte

en

la

Ba

se A

soci

ado

(To

n)

Desplazamiento Máximo de Azotea (m)

Vb vs Dmax

M1-S1

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Vb

Co

rta

nte

en

la

Ba

se A

soci

ado

(To

n)


Vb vs Dmax

M1-S1

a) b)

Figura 5. a) Diagrama CoBA-DMA b) obtención de la rigidez elástica (K0)

Obtenido el valor de la rigidez elástica (K0) podemos definir a la rigidez secante (Ks) como todos aquellos

valores de K menores que K0, Figura 6.

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Vb

Co

rta

nte

en

la

Ba

se A

soci

ado

(To

n)


Vb vs Dmax

M1-S1

Figura 6. Obtención de la rigidez secante (KS) a partir de un diagrama CoBA-DMA

La forma de la Figura 5a que corresponde al gráfico CoBA-DMA es muy similar a la desarrollada mediante

un “Pushover”, sin embargo, la diferencia principal radica en el hecho de que en un “Pushover” el cortante

máximo siempre corresponde con el desplazamiento máximo de azotea, y para el caso de un CoBA-DMA el

cortante en la base es aquel que se presenta en el instante del desplazamiento máximo de azotea, y este no

necesariamente es el cortante máximo que se presenta en la estructura. Es por esto que las formas de los

gráficos CoBA-DMA desarrollados a partir de un análisis en la Historia del tiempo presentan una gran

variabilidad durante el rango inelástico de la estructura. El gráfico CoBA-DMA surge como una herramienta

para visualizar la evolución de la degradación de la rigidez secante (Ks) de cada modelo ante un sismo.

ANÁLISIS DINÁMICO POR INCREMENTOS DEL ÍNDICE DE LA DEGRADACIÓN DE LA RIGIDEZ SECANTE (ADI-IDRS)

Para obtener la intensidad de colapso (Yc) se hizo uso de los análisis dinámicos por incrementos (ADI), pero

asociados al índice de degradación de la rigidez secante (IDRS); a partir de aquí se formó el gráfico ADI-

IIDRS, Figura 7.

Vb

Dmax

K0

K0 = Vb/Dmax Zona elástica

KSn

KSm

KSo


7

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Sa

/g, E

sca

lad

a

D(y)

M2-S8

Figura 7 Análisis Dinámicos por Incrementos del Índice de Degradación de la Rigidez Secante (ADI-

IDRS)

Para la elaboración de estas curvas se desarrolló un programa de cómputo en Fortran que automatiza el

escalamiento del sismo y la recopilación de los resultados. Uno de los objetivos de este trabajo era el elaborar

gráficas detalladas de los análisis ADI-IDRS, esto con el propósito de observar el comportamiento de la

estructura y ver la influencia que tiene la flexibilidad de la estructura en el método, esto es importante ya que

estamos suponiendo que la aceleración corresponde al primer modo de vibrar de la estructura y conforme esta

es más flexible entran en juego los modos de vibrar de orden superior. Con el fin anteriormente mencionado,

cada curva ADI-IDRS fue elaborada con un mínimo de 300 puntos y un máximo de 1300 puntos, la cantidad

de puntos necesarios depende del número de niveles de cada edificio y la intensidad del sismo utilizado, a

menor intensidad mayor número de puntos necesarios para elaborar el gráfico y viceversa.

RESULTADOS

Para evaluar la confiabilidad estructural es necesario obtener las estimaciones probabilísticas de los valores de

las intensidades sísmicas que conducen al colapso del sistema, para este fin se realizaron Análisis Dinámicos

por Incrementos del Índice de la Degradación de la Rigidez Secante (ADI-IDRS). Estos análisis se muestran

en la Figura 8 asociados a los 40 sismos y ocho marcos para el edificio de 15 niveles analizado, tomando en

cuenta las incertidumbres asociadas a los sismos y las propiedades mecánicas de los materiales. En esta figura

se grafica en el eje de las ordenadas el nivel de intensidad sísmica medido por medio de la pseudoaceleración

espectral asociada al periodo fundamental de cada una de las estructuras para un amortiguamiento (ξ) del 5%

del crítico (Sa/g) dividido entre la gravedad (g), el cual a su vez ha sido afectado por un factor de

escalamiento adecuado para llevar a la estructura a la condición de colapso (YC).

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

7.0

8.0

9.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Sa

/g (

T1

, 5

%)

Índice de Daño, D(y)

M1-S01 M1-S02 M1-S03

M1-S04 M1-S05 M2-S06

M2-S07 M2-S08 M2-S09

M2-S10 M3-S11 M3-S12

M3-S13 M3-S14 M3-S15

M4-S16 M4-S17 M4-S18

M4-S19 M4-S20 M5-S21

M5-S22 M5-S23 M5-S24

M5-S25 M6-S26 M6-S27

M6-S28 M6-S29 M6-S30

M7-S31 M7-S32 M7-S33

M7-S34 M7-S35 M8-S36

M8-S37 M8-S38 M8-S39

M8-S40 Yc Ycc

Figura 8 Análisis Dinámicos por Incrementos del Índice de Degradación de la Rigidez Secante (ADI-IDRS) para los 8 marcos (M1-M8) y los 40 sismos. Círculos amarillos indican la intensidad cercana al

colapso (YCc) y círculos rojos la intensidad de colapso (YC).


8

En el eje de las abscisas se grafica el desempeño de la estructura medido por el Índice de Degradación de la

Rigidez Secante D(y), el cual es un índice propuesto como un indicador del daño que sufre una estructura a

causa de un sismo conforme se incrementa la intensidad, (cuyos efectos merman las propiedades mecánicas

del edificio y disminuyen la capacidad de la estructura para soportar cargas futuras dejando al sistema en

condiciones de mayor vulnerabilidad hasta llegar al colapso).

La condición de colapso se muestra en la figura mediante los círculos rojos (YC), lo cual sucede cuando el

valor de la rigidez secante degradada adoptado por el sistema (en el instante cuando el desplazamiento lateral

en la azotea alcanza su valor máximo) es cero, es decir : K=0, o lo que es lo mismo, cuando el Índice de

Degradación de la Rigidez Secante es igual a la unidad (D(Yc)=1), el cual corresponde a un cortante en la

base en términos de capacidad muy bajo o cero. Un instante antes de que se presente la condición de colapso

(YC) se obtienen las intensidades sísmicas cercanas al colapso (YCc) mostradas en la figura con círculos

amarillos, cuyos valores asociados al índice de daño varían entre 0.8 ≤ D(y)<1.0.

El uso de D(y) como indicador de daño nos permite establecer puntos de interés para el análisis del

comportamiento estructural. Por ejemplo la evaluación de la configuración deformada o la evolución de las

distorsiones máximas de entrepiso conforme la estructura se va deteriorando para un grado específico de daño

(ver Figura 9). El uso de D(y) nos permite tener un índice cuantitativo de daño absoluto y evitar el uso de los

desplazamiento como indicadores de daño ya que son muy ambiguos.

0.00 0.01 0.01 0.02

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Distorsión máxima de entrepiso, q

Niv

el

D(y)=0.05 D(y)=0.50 D(y)=0.80 D(y)=0.95

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

Niv

el

Desplazamiento máximo absoluto (m)

D(y)=0.05 D(y)=0.50 D(y)=0.80 D(y)=0.95

a) b)

Figura 9 a) Configuración deformada del edificio de 15 niveles para diferentes niveles de daño.

b) Distorsión máx. de entrepiso.

El uso de D(y) como indicador de colapso es muy útil ya que elimina la dificultad en definir la condición de

colapso al momento del máximo desplazamiento de azotea.

Con este índice se puede obtener información muy valiosa relacionada con el comportamiento del sistema

estructural entre los rangos de 0.8≤ D(y)<1.0, los cuales están asociados a las cercanías del estado límite de

colapso a través de los análisis ADI-IDRS.

Los valores estadísticos de los parámetros correspondientes al promedio y a la desviación estándar del estado

límite de colapso (YC) y del cercano al colapso (YCc) para la intensidad (y) y el índice de daño D(y) se

muestran en las Tabla 2 .


9

Tabla 2 Parámetros estadísticos del estado límite cercano al colapso (YCc) y colapso (YC)

Se puede observar que las desviaciones estándar para Ycc y Yc son muy altas debido a la gran dispersión de

los datos que existe en estos valores, como se puede ver en la Figura 8.

OBTENCIÓN DE LA RELACIÓN DEL ÍNDICE DE CONFIABILIDAD Y DEL MARGEN DE SEGURIDAD DE LOS EDIFICIOS: β(y) VS Z(y) Con las intensidades de colapso (YC) obtenidas de los ADI´s (ver Tabla 2) se calcula la confiabilidad sísmica

de los edificios en función del margen de seguridad Z(y), ec.4. Estos resultados se muestran en la Figura 10.

Las rectas son obtenidas mediante el índice de Cornell β(y) (en el eje vertical) correspondientes a los ocho

marcos para el edificios de 15 niveles y sus correspondientes 40 sismos usados para los análisis y la relación

que guardan con el margen de seguridad correspondiente Z(y) (eje horizontal), desde la condición de colapso

del sistema cuando Z(y=YC)=0, hasta valores de Z(y)=1.

Como se puede observar la relación que guardan el margen de seguridad Z(y) y el índice de confiabilidad β(y)

es lineal, por lo que podemos interpretar que a mayor margen de seguridad Z(y) en el sistema mayor índice de

confiabilidad β(y) en la estructura.

Es importante destacar que a menor resistencia en el marco y a mayor intensidad del sismo se obtiene una

recta con menor índice de confiabilidad. Dicho de otra manera, para un mismo Z(y), se obtienen diferentes

niveles de confiabilidad dependiendo del nivel de incertidumbres en el marco y del sismo en cuestión.

-3.0

-2.0

-1.0

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

(y

)

Z(y)

M1-M8, S1-S40 M1-S1 M1-S2 M1-S3

M1-S4 M2-S6 M2-S7

M2-S8 M2-S9 M2-S10

M3-S11 M3-S12 M3-S13

M3-S14 M3-S15 M4-S16

M4-S17 M4-S18 M4-S19

M4-S20 M5-S21 M5-S22

M5-S23 M5-S24 M5-S25

M6-S26 M6-S27 M6-S28

M6-S29 M6-S30 M7-S31

M7-S32 M7-S33 M7-S34

M7-S35 M8-S36 M8-S37

M8-S38 M8-S39 M8-S40

Figura 10 Índice de Confiabilidad β(y) de Cornell para diferentes valores del Margen de Seguridad Z(y) para los 8 marcos (M1-M8) y los 40 sismos.

Para fines de diseño o evaluación, un índice de confiabilidad β(y) adecuado deberá ser positivo. Para este fin,

un índice de confiabilidad negativo es un índice no deseable, el cual indicará una alta probabilidad de que la

estructura se colapse y esto sucede cuando el valor esperado del logaritmo natural de la intensidad de colapso

es alcanzado y/o rebasado por la intensidad del sismo, es decir: yi ≥ E(lnYC). De esta manera, un margen de

YCc

Sa/g

YC

Sa/g D(YCc) D(YC)

Promedio

Desv. Estándar

2.676

1.1570

3.0667

1.3754

0.9466

0.0330

1.00

0.00


10

seguridad Z(y) será recomendable hasta que sea lo suficientemente alto para obtener un índice de

confiabilidad positivo.

Al observar la Figura 10 se puede apreciar que las cuarenta rectas son paralelas entre sí, razón por la cual

comparten la misma pendiente m. Debido a la relación lineal que guardan entre si las rectas para cada

combinación de marco y sismo, se pude determinar una expresión matemática que se puede definir como

sigue:

β(y)=βZ=0 (YC)+m• Z(y) (7)

Donde: βZ=0 (YC), es la ordenada en el origen. Es decir, el valor de β(y) cuando se presenta el colapso: Z(y)=0

y m la pendiente.

Usando como base la expresión anterior podemos elaborar una ecuación particular que nos permita relacionar

el índice de confiabilidad β(y) con el margen de seguridad Z(y) que queramos asignar a la estructura en

cuestión considerando que βZ=0(YC) es conocida o fácil de obtener a partir de los resultados ya obtenidos. Es

decir:

β(y)=βZ=0(YC)+2.176 Z(y) (8)

En donde βZ=0(YC) indica el nivel de incertidumbres asociadas al sismo, a las propiedades mecánicas de los

materiales y a las cargas vivas del edificio, consideradas en este estudio. Si se considera βZ=0(YC)=0,la ec. 8

quedaría como:

β(y)=2.176 Z(y) (9)

Es decir: β(y) es dos veces el margen de seguridad del edificio en promedio.

ÍNDICE DE CONFIABILIDAD β(y) DE CORNELL EN FUNCIÓN DEL ÍNDICE DE DEGRADACIÓN DE LA RIGIDEZ SECANTE D(y)

Otra manera de relacionar el índice de confiabilidad β(y) de Cornell, es en función del índice de daño D(y), tal

como se muestra en la Figura 10. Como se puede observar, el nivel de confiabilidad disminuye conforme el

índice de daño se acerca al colapso para D(y)=1.

-4.0

0.0

4.0

8.0

12.0

16.0

20.0

24.0

28.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

(y

)

D(y)

M1-S1 M1-S2 M1-S3

M1-S4 M1-S5 M2-S6

M2-S7 M2-S8 M2-S9

M2-S10 M3-S11 M3-S12

M3-S13 M3-S14 M3-S15

M4-S16 M4-S17 M4-S18

M4-S19 M4-S20 M5-S21

M5-S22 M5-S23 M5-S24

M5-S25 M6-S26 M6-S27

M6-S28 M6-S29 M6-S30

M7-S31 M7-S32 M7-S33

M7-S34 M7-S35 M8-S36

M8-S37 M8-S38 M8-S39

M8-S40 Figura 11. Índice de Confiabilidad β(y) de Cornell en función del índice de daño D(y) para los ocho

marcos (M1-M8) y 40 sismos.

De igual forma que en la Figura 11, cuando β(y) es negativo indicará que la intensidad de colapso en

promedio ha sido rebasada por la intensidad del sismo. En el caso de que la intensidad de colapso coincidiera

con la del promedio de todos los marcos y sismos analizados entonces el índice de confiabilidad sería cero:

β(y)=0, para el margen de seguridad: Z(y)=0, cuando D(y)=1. Pero por definición β(y) toma en cuenta el

promedio de todas las intensidades de colapso (ver Ecuación 5) y no la intensidad de colapso de cada sismo

como Z(y) (ver Ecuación 4).


11

Esta relación nos lleva a observar que para un β(y)=0 o negativo, no se ha presentado el colapso de la

estructura en algunos casos y que en otros para un β(y) positivo ya se presentó el colapso real de la estructura.

Un dato importante a destacar que nos muestra en la Figura 11 es el hecho de que para valores del índice de

daño D(y) muy cercanos a 0, los valores de β(y) se disparan hacia valores muy superiores a 4. Esto se debe a

que en esta zona la estructura se comporta prácticamente elástica ya que la intensidad del sismo genera

valores muy pequeños de D(y), valores que por lo general son menores a 0.02, intensidad que es muy inferior

a la intensidad de colapso.

También se puede relacionar el margen de seguridad Z(y) con el Índice de daño D(y), Figura 12. En este

gráfico se ve de manera clara la tendencia que podría esperarse, a menor daño mayor factor margen de

seguridad y viceversa. Cuando el daño es total D(y)=1 el margen de seguridad es cero, Z(y)=0.

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

7.0

8.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Z(y

)

D(y)

M1-S1 M1-S2M1-S3 M1-S4M1-S5 M2-S6M2-S7 M2-S8M2-S9 M2-S10M3-S11 M3-S12M3-S13 M3-S14M3-S15 M4-S16M4-S17 M4-S18M4-S19 M4-S20M5-S21 M5-S22M5-S23 M5-S24M5-S25 M6-S26M6-S27 M6-S28M6-S29 M6-S30M7-S31 M7-S32M7-S33 M7-S34M7-S35 M8-S36M8-S37 M8-S38M8-S39 M8-S40

Figura 12 Índice de Degradación D(y) para diferentes valores del Margen de Seguridad Z(y) correspondientes los ocho edificios simulados y sus 40 sismos usados en los análisis.

COMENTARIOS FINALES Y CONCLUCIONES

Durante este trabajo de investigación se llevó a cabo la evaluación de la confiabilidad sísmica estructural de

sistemas de múltiples grados de libertad. Para ello se realizaron análisis no lineales paso a paso de varias

estructuras. Esto es, para tomar en cuentas diferentes incertidumbres asociadas con las propiedades mecánicas

de los materiales (f´c y fy) y las cargas vivas actuantes Wvmáx, se generaron ocho edificios de 15 niveles con

diferentes valores de estas propiedades como se puede ver en la tabla 1. Para su análisis no lineal estos

edificios fueron modelados en el programa de cómputo DRAIN 2D, cuyo programa toma en cuenta la

degradación de rigidez y resistencia que sufre la estructura con forme la intensidad del sismo se va

incrementando.

Para tomar en cuenta las incertidumbres en la respuesta sísmica de los diferentes marcos, se utilizaron 40

acelerogramas registrados en la zona donde se supone fue ubicada la estructura (Zona IIIb, correspondente a

la zona de lago del D.F.). Por lo que los ocho marcos se distribuyeron de la siguiente manera para hacer

corridas con los 40 acelerogramas: al marco M1 le correspondió los primero 5 acelerogramas (S1-S5), al M2

los siguientes 5 acelerogramas y así sucesivamente hasta que al M8 le correspondió los últimos 5

acelerogramas (S36-S40), por lo tanto se obtuvieron 40 curvas de resultados asociados a los 40 sismos. De

esta manera se tomaron en cuenta las incertidumbres asociadas a los sismos, a las propiedades mecánicas de

los materiales y a las cargas vivas actuantes.

Con estos marcos y sismos el primer paso fue realizar Análisis Dinámicos Incrementales (ADI´s), los cuales

consisten en tomar un edificio y un sismo e irlo escalando hasta realizar tantos análisis no lineales como sea

necesario para lograr obtener el colapso de la estructura. El principal problema de estos análisis es el tiempo

de cómputo que se consume para obtener el colapso y el tiempo en recabar de manera manual los datos que se


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necesitan para cada corrida. Una persona inicialmente se puede llevar meses en realizar todas las corridas

necesarias para este tipo de análisis. Una curva por ejemplo de la Figura 8 puede tener desde 40 hasta 1000

puntos dependiendo de la calidad de los resultados que se quieran. Estas curvas se realizaron mediante un

programa en FORTRAN que incrementa la intensidad del sismo automáticamente y recoge toda la

información necesaria para obtener las curvas, pero aún así se llevó algunas semanas para obtener todas

curvas para todos los sismos y marcos utilizados.

Cabe aclarar que en un principio no sabíamos cómo obtener la capacidad de colapso de la estructura, existe

muchos procedimientos no muy claros en la literatura. Este tipo de análisis nos permitió, una vez entendido,

obtener esta capacidad de manera efectiva, clave en la evaluación de la confiabilidad de acuerdo con el

método utilizado. Una contribución adicional fue que es la primera vez que se hicieron este tipo de análisis en

función del índice de daño de la rigidez secante (ver ecuación 1), es decir saber de qué manera se va

degradando la rigidez de la estructura hasta llegar al colapso. Esto último también fue importante ya que

existen diferentes formas no muy claras de saber en qué momento se presenta el colapso.

Obteniendo estos análisis a partir de los ADI´s fue relativamente sencillo aplicar las ecuaciones 4 y 5 para

obtener las funciones de confiabilidad obtenidas en las Figuras 10, 11 y 12. Una de las contribuciones de

estas figuras fue conocer del orden de cuanto son los valores del índice de confiabilidad de Cornell y del

margen de seguridad Z para un edificio de 15 niveles de concreto reforzado ubicado en la zona IIIb del

RCDF-04. Esto también se está haciendo para edificios con diferentes niveles para obtener valores para una

familia de edificios de concreto reforzado para conocer un rango más amplio de estos parámetros para su

posible propuesta para futuros criterios de diseño y/o evaluación en función de la confiabilidad.

A partir de las Figura 10 se pueden establecer límites adecuados para fines de criterio de diseño futuros y/o

evaluación de β(y) de 0.0-6 y Z(y) de 0.5-1.2, para un edificio de 15 niveles y dependiendo del estado límite

que se quiera evaluar.

Además, se obtuvieron tres expresiones (Ecuaciones 7, 8 y 9) que en lo general y de manera particular nos

permite evaluar directamente la confiabilidad de un edificio de 15 niveles a partir de un determinado margen

de seguridad que podremos predefinir, las cuales pueden ser aplicadas a la evaluación o en su caso al diseño

estructural de edificios de varios pisos para un estado límite determinado.

Cabe aclarar que no se presentaron muchos de los resultados intermedios o de cálculos realizados por razones

de tiempo, concentrándonos en los resultados de mayor relevancia, los cuales resumen todo el procedimiento

descrito. Parte de las corridas que aquí se realizaron (alrededor de 40 mil) se obtuvieron con el apoyo de los

alumnos de la materia de dinámica estructural de la UAQ.

AGRADECIMIENTOS

Se agradece especialmente al Dr. Luis Esteva y al Dr. Orlando Díaz por el apoyo recibido y por las

contribuciones realizadas en el tema que sirvieron como base para este artículo. También expresamos nuestro

agradecimiento a la SEP-CONACyT por el soporte a este proyecto a través de la convocatoria de

Investigación Científica Básica 2007 y a la UAQ por la beca al segundo autor: Roberto Cíntora, a través del

proyecto SEP-CONACyT. El edificio analizado en este estudio fue diseñado por el despacho estructural de

Alonso y Asociados para la Dra. Sonia Ruiz.


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REFERENCIAS

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sistema nacional de protecciÓn civil - smie.org.mx · en determinar cuando la estructura ha...

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