ENSEANZA DE LA MATEMTICA l

SISTEMA DE NUMERACION DECIMAL

El sistema de numeracin que todos conocemos y usamos en la vida diaria es un sistema decimal, pues cuenta las cantidades de diez en diez. Esto se debe primordialmente a que los dedos de ambas manos son diez. As, contar los objetos es relativamente fcil al asignar un dedo por objeto y llevar la cuenta de cuantas veces llenamos las manos (juntamos un diez o una decena). Al llenar diez veces ambas manos hemos contado una centena. Este fue el origen de nuestro sistema de numeracin decimal tan utilizado y conocido en todo el mundo y por todas las culturas. Este sistema lo dieron a conocer los rabes al ejercer el comercio en todo el mundo, pero se tienen registros de que se invent en la India. As pues, nuestro sistema de numeracin decimal y posicional recibe tambin el nombre de "Sistema de numeracin Indo-Arbigo".

Los Smbolos

El sistema est compuesto por diez signos que, combinndolos de determinada manera, pueden representar a cualquier nmero natural. Hay estabilidad entre signos y nmeros, es decir, a cada nmero le corresponde uno y solo un signo y cada signo representa un solo nmero. El sistema de numeracin que utilizamos actualmente usa 10 smbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9, que se llaman cifras. Estos nmeros formados por una sola cifra se llaman dgitos. Combinndolos de acuerdo con ciertas reglas se pueden representar todos los nmeros naturales. El conjunto de smbolos y reglas constituye el sistema de numeracin.Las Reglas

El sistema de numeracin decimal utiliza 10 smbolos y agrupa las unidades de 10 en 10. Por esta razn se denomina de base 10. 10 u = 1 decena 10 d =1 centena 10 c = 1 u de milSistema decimalSistema Egipcio

Cada smbolo tiene un valor relativo que depende del lugar que ocupa. En consecuencia el sistema decimal es un sistema posicional. En estos sistemas se utiliza el cero que se escribe en el lugar correspondiente cuando no figuran unidades de un determinado orden.Cada smbolo tiene un valor absoluto que no depende del lugar que ocupa. Este sistema no es posicional (y no utiliza el cero).

Es un sistema de base 10, es decir, cada unidad de un orden equivale a 10 del orden anterior. 10u = 1 d ; 10d = 1 c ; 10 c= 1 u mil Es posicional, es decir, segn el lugar que ocupe la cifra en el nmero, representa un valor distinto. Se escribe en orden decreciente de izquierda a derecha.

Descomposicin De Un Nmero

El valor relativo de cada unidad se obtiene multiplicando por 10 el valor de la unidad anterior. De esta manera puede descomponerse un nmero en las unidades de los distintos rdenes.7845

5 u=5 u

4 . 10 u=40 u

8 . 100 u=800 u

7 . 1000 u =7000 u

7845=7 . 1000 + 8 . 100 + 4 . 10 + 8

Descomposicin Polinmica

Teniendo en cuenta que: 101 = 10 10 2 = 100 10 3 = 1.000

Podemos expresar que: 7.845 = 7 . 10 3 + 8 . 10 2 + 4 . 10 1 + 5 Esta forma se llama descomposicin polinmica de un nmero.SISTEMA DE NUMERACIN BINARIA

El sistema de numeracin ms simple que usa la notacin posicional es el sistema de numeracin binario. Este sistema, como su nombre lo indica, usa solamente dos dgitos (0,1). Por su simplicidad y por poseer nicamente dos dgitos diferentes, el sistema de numeracin binario se usa en computacin para el manejo de datos e informacin. Normalmente al dgito cero se le asocia con cero voltios, apagado y el dgito 1 se asocia con encendido. Como el sistema binario usa la notacin posicional entonces el valor de cada dgito depende de la posicin que tiene en el nmero, as por ejemplo el nmero 110101b es: 1*(20) + 0*(21) + 1*(22) + 0*(23) + 1*(24) + 1*(25) = 1 + 4 + 16 + 32 = 53d Existen dos dgitos (0 o 1) en cada posicin del nmero. Numerando de derecha a izquierda los dgitos de un nmero, empezando por cero, el valor decimal de la posicin es 2n. Por ejemplo, 1101(2 (en base 2) quiere decir:1101

1 . 20=1

0 . 21=0

1 . 22=4

1 . 23=8

13

O bien: 1 . 23 + 1. 22 +0 . 21 +1 . 20 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13 (10Existe un procedimiento general para cambiar una base cualquiera a otra:Para pasar de una base cualquiera a base 10, hemos visto que basta con realizar la suma de los productos de cada dgito por su valor de posicin. Los valores de posicin se obtienen como potencias sucesivas de la base, de derecha a izquierda, empezando por el exponente cero. Cada resultado obtenido se suma, y el resultado global es el nmero en base 10.Para pasar de base 10 a otra base, en vez de multiplicar, dividimos el nmero a convertir entre la nueva base. El cociente se vuelve a dividir por la base, y as sucesivamente hasta que el cociente sea inferior a la base. El ltimo cociente y los restos (en orden inverso) indican los dgitos en la nueva base.

GUA DE ACTIVIDADES.1.- Para hacer dibujos geomtricos en una grilla de seis filas por seis columnas, una computadora cuenta con un programa que asigna a cada cuadrado de la grilla, segn est coloreado (1) o no (0). Para cada fila se forma un nmero binario, que puede tener hasta seis cifras. El usuario debe ingresar los nmeros en el sistema decimal. Es decir, por cada dibujo ingresa una serie de seis nmeros (uno por cada fila). Qu nmeros ingres el usuario para obtener los siguientes dibujos?

Dibujar el resultado de ingresar las siguientes series de nmeros: a) 42, 21, 12, 51, 21, 42 b) 32, 48, 56, 60, 62, 632.- Escribir los dos nmeros anteriores a los siguientes: 555 6); 100 7); 1000 5) 3.- a) Si tenemos 254 manzanas y queremos expresar esta cantidad en un sistema de numeracin de base 5; Cuntas unidades simples, cuntas de primer orden, de segundo, etc., tendr esta cantidad en dicha base 5? Cmo quedar escrita? b) Cuntas manzanas tenemos en una bolsa si al contarlas en un sistema de numeracin de base 9, resultan: 5 unidades de 1 orden y 2 unidades de 3 orden?4.- Escribir los nmeros 2032 4) y 3204 5) en forma polinomial.5.- Escribir los siguientes nmeros en base decimal: 432 5) ; 101101 2) ; 346 7) ; 551 6)6.- Convertir los siguientes nmeros de base diez a las bases indicadas:432 a base 5 ; 1963 a base 12 ; 404 a base 4.7.- De los siguientes nmeros 104 5), 131 4), 1010 3) y 11011 2) Cul es el mayor?8.- Un circuito elctrico cuenta con cinco interruptores. Cada uno de ellos puede estar en la posicin 0 (off) o en la posicin 1 (on). Luego la situacin del circuito ir desde 00000 (todos en off, apagados) hasta 11111 (todos en on, encendidos) (El 1er interruptor corresponde al nmero de la derecha). Averiguar cuntas posiciones puede tener el circuito Qu interruptores estn en on en la posicin 19?9.- Las tres cifras de un nmero suman 18; si se le resta el que resulta de invertir el orden de sus cifras, se obtiene 594. La cifra de las decenas es media aritmtica de las otras dos. Hallar dicho nmero.10.- a) Expresar el nmero 725 en base 7. Expresar el nmero 927 en base 3.b) Cuntas manzanas tenemos en un cesto, si al expresar la cantidad en base 4 se escribe con dos unidades de cuarto orden, una unidad de segundo orden y tres unidades simples?10.- Qu bases hacen estas igualdades ciertas?:32 = 44 x) ; 31 4) = 11 x) ; 15 x) = 30 y).11.- En qu sistema de numeracin se duplica 25 x) al invertir sus cifras?12.- En qu base de un sistema de numeracin, el triple de 54 x) es 250 x)?13.- En qu sistema de numeracin se cumple que 55 x) + 43 x) = 131 x)?14.- Si contamos 326 naranjas en una cesta, qu base tendr el sistema de numeracin en el que esta cantidad se escribe con 6 unidades simples y 5 de tercer orden?a. Escribir el nmero 54 en base 7.b. En qu base la expresin obtenida en el apartado anterior representa a 126 unidades del sistema decimal.15.- Cambiar 42 8) a base 2.16.- Cambiar 1011011 2) a base 5.Algoritmos de la suma y resta17.- En el sistema de numeracin de base 5 se adopta la siguiente clave a = 0, e = 1, m = 2, s = 3, y t = 4. La suma de "mates" + "mates" es18.- En el sistema de numeracin de base 4 se adopta la siguiente clave a = 0, e = 1, m = 2 y p = 3. La suma de "mama" + "papa" es19.- Encontrar los nmeros ocultos en las siguientes operaciones:2 _ _ 5) + 22 5) = _03 5) ;20010 3) - 2_2_ 3) = 1_2_1 3) .20.- Expresar en la base 8, los nmeros: 3512 7) y 10221 4). Efectuar su suma y su diferencia en esta base.21.- Expresar los nmeros 1A3 de la base 12 (siendo A = 10), y 1161 de la base 8; ambos en base 6. Efectuar la suma de estos nmeros trabajando en dicha base 6.22.- Sabiendo que los nmeros de la forma abba y baab estn escritos en base 8 y queabba(8

-

baab(8

a b = 2 hallar el resultado de la resta

Algoritmos de multiplicacin y divisin23.- Multiplicar 216 8) . 54 8) ; 1011 2) . 101 2)24.- Escribir la tabla de multiplicar en base 6 y efectuar en dicha base, la siguiente multiplicacin: 4523 6) . 54 6).25.- Hallar la base del sistema en el que el nmero 554 x) representa el cuadrado de 24 x)26.- Realizar los siguientes clculos en la base correspondiente:123(7 . 13(7 - 13(7 . 46(7