Matemática I Escuela Profesional de Ingeniería Industrial

Escuela Profesional de Ingeniería de Sistemas

Docente: Javier Vicente Escobar Villafuerte UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO

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UNIDAD I

SESIÓN 01 SISTEMA DE NÚMEROS REALES

1. Introducción

En la era primitiva, a causa de la necesidad de representar cantidades y así resolver los

problemas que se representan en nuestro alrededor, diversas culturas representan la noción

de cantidad según su desarrollo lo permitía. Fruto de esta diversidad nacen las notaciones

de cantidad como la romana, babilónica, griega, etc. Se sabe que los babilonios utilizaron

simples enteros positivos para tratar de contar unas pocas ovejas, mientras que hoy en día

los enteros positivos no satisfacen el complejo mundo de las matemáticas.

El significado que cada grupo social asigna a un determinado conocimiento o idea, implica

mucho en su visión de vida, por ejemplo los pitagóricos tenían una explicación de la realidad

basada en los números. Filolao, filósofo pitagórico, resume perfectamente el papel tan

importante que se le otorgaba: “El número reside en todo lo que es conocido. Sin él es

imposible pensar nada ni conocer nada.”

La facultad de contar está implícita en la aparición del número. Se sabe que el hombre

hacía marcas para representar ciertas cantidades, pues esta actividad perdura desde

tiempos inmemoriales y se formalizó en cada cultura con el número.

El hombre advirtió que todos los conjuntos de objetos o de seres tienen una cualidad en

común, con independencia de la naturaleza de los objetos o de los seres que lo componen.

La cualidad se denomina número. Un ejemplo práctico reside en que el hombre al realizar

tantas marcas, juntar tantas piedras, hacer tantos nudos deduce racionalmente, según la

contabilidad de cada objeto, que dichas contabilidades conllevan a “representaciones”,

que no depende de qué estuviese contando, sino más bien del número de marcas, de

piedras, de nudos, etc. Entonces se estableció un símbolo para cada contabilidad

respectiva.

De ahí que la notación que utilizamos hoy en día, que en general, fueron traídos de la India

a Europa, por los árabes en el siglo X. Los números han pasado por un largo proceso de

evolución, por ejemplo el grupo griego liderado por Pitágoras se dieron cuenta de la

necesidad de los números irracionales, mucho tiempo después los números negativos fueron

inventados por matemáticos indios cerca del año 600.

Con todo esto el estudio de los números para su construcción y sistematización en el siglo XIX

fue logrado con la teoría de conjuntos de Georg Cantor (encajamientos sucesivos) y el

análisis matemático de Richard Dedekind, todo esto es el resultado de las aportaciones de

grandes matemáticos como Descartes, Newton, entre otros.

El sistema de números reales que ahora conocemos, se sustentan en un conjunto de axiomas

que los describen completamente, y tomando en cuenta estos axiomas se pueden deducir

todas las propiedades que se cumplen en este conjunto numérico.

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2. Definición

Los números reales constituyen un conjunto no vacío ℝ, provisto de dos operaciones

internas, llamadas adición y multiplicación, denotadas por:

𝜓(𝑎, 𝑏) = 𝑎 + 𝑏

𝜙(𝑎, 𝑏) = 𝑎 . 𝑏

y una relación de orden, denotada por “<” que se lee “menor que”, que satisface las

siguientes relaciones o leyes:

1.1. De la adición

A1. ∀ 𝑎, 𝑏 𝜖 ℝ ∶ 𝑎 + 𝑏 𝜖 ℝ (Clausura)

A2. ∀ 𝑎, 𝑏 𝜖 ℝ ∶ 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 (Ley conmutativa)

A3. ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝜖 ℝ ∶ ( 𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + ( 𝑏 + 𝑐) (Ley asociativa)

A4. Existe un único elemento denotado por “0”, tal que;

𝑎 + 0 = 0 + 𝑎 = 𝑎; ∀ ∈ ℝ (Existencia y unicidad del elemento neutro aditivo)

A5. Existe un único elemento denotado por “−𝑎”, tal que:

𝑎 + (−𝑎) = (−𝑎) + 𝑎 = 0; ∀𝑎 ∈ ℝ (Existencia y unicidad del elemento inverso

aditivo)

1.2. De la multiplicación

M1. ∀ 𝑎, 𝑏 𝜖 ℝ ∶ 𝑎 . 𝑏 𝜖 ℝ (Clausura)

M2. ∀ 𝑎, 𝑏 𝜖 ℝ ∶ 𝑎𝑏 = 𝑏𝑎 (Ley conmutativa)

M3. ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝜖 ℝ ∶ ( 𝑎𝑏)𝑐 = 𝑎( 𝑏𝑐) (Ley asociativa)

M4. Existe un único elemento denotado por “1” diferente de “0”, tal que:

𝑎. 1 = 1. 𝑎 = 𝑎; ∀𝑎 ∈ ℝ (Existencia y unicidad del elemento neutro multiplicativo)

M5. Existe un único elemento denotado por “𝑎−1”, tal que;

∀𝑎 ∈ ℝ; 𝑎 ≠ 0; 𝑎. 𝑎−1 = 𝑎−1 . 𝑎 = 1; ∀ ∈ ℝ (Existencia y unicidad del elemento

inverso multiplicativo)

D. ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝜖 ℝ ∶ 𝑎( 𝑏 + 𝑐) = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 (Ley distributiva)

1.3. Definición de la Sustracción

∀ 𝑎, 𝑏 𝜖 ℝ ∶ 𝑎 − 𝑏 = 𝑎 + (−𝑏)

1.4. Definición de la División

∀ 𝑎, 𝑏 𝜖 ℝ , donde 𝑏 ≠ 0 ∶ 𝑎

𝑏= 𝑎 ∙ 𝑏−1

1.5. Axiomas

En ℝ, está definida la relación menor “<”, entre dos números reales y cumple los

siguientes axiomas:

O1. 𝑆𝑖 𝑎 < 𝑏 𝑦 𝑏 < 𝑐 → 𝑎 < 𝑐 ; ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝜖 ℝ (Ley transitiva)

O2. 𝑆𝑖 𝑎 < 𝑏 → 𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑐 ; ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝜖 ℝ (Ley de monotonía)

O3. Dadas 𝑎, 𝑏 𝜖 ℝ, una y solo una de las siguientes relaciones se verifica:

𝑎 < 𝑏; 𝑎 = 𝑏; 𝑏 < 𝑎 𝜖 ℝ (Ley de tricotomía)

O4. 𝑆𝑖 𝑎 < 𝑏 𝑦 0 < 𝑐 → 𝑎𝑐 < 𝑏𝑐 (Ley de monotonía de la multiplicación en relación

menor).

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3. Operaciones con Números Reales

La siguiente lista establece las propiedades más importantes de los números reales, las

propiedades que contienen denominadores, debemos considerar que estos son diferentes

de cero.

3.1 Propiedades Generales

Propiedad Ejemplo

1. 𝑎 − 𝑏 = 𝑎 + (−𝑏)

2. 𝑎 − (−𝑏) = 𝑎 + 𝑏

3. −𝑎 = (−1)(𝑎)

4. 𝑎(𝑏 + 𝑐) = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐

5. 𝑎(𝑏 − 𝑐) = 𝑎𝑏 − 𝑎𝑐

6. −(𝑎 + 𝑏) = 𝑎 − 𝑏

7. −(𝑎 − 𝑏) = −𝑎 + 𝑏

8. −(−𝑎) = 𝑎

9. 𝑎(0) = 0

10. (−𝑎)(𝑏) = −(𝑎𝑏) = 𝑎(−𝑏)

11. (−𝑎)(−𝑏) = 𝑎𝑏

12. 𝑎

1= 𝑎

13. 𝑎

𝑏= 𝑎 (

1

𝑏)

14. 𝑎

−𝑏= −

𝑎

𝑏=

−𝑎

𝑏

15. −𝑎

−𝑏=

𝑎

𝑏

16. 0

𝑎= 0 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 ≠ 0

17. 𝑎

𝑎= 1 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 ≠ 0

18. 𝑎 (𝑏

𝑎) = 𝑏

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19. 𝑎 (1

𝑎) = 1 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 ≠ 0

20. 𝑎

𝑏∙

𝑐

𝑑=

𝑎𝑐

𝑏𝑑

21. 𝑎𝑏

𝑐= (

𝑎

𝑐) 𝑏 = 𝑎 (

𝑏

𝑐)

22. 𝑎

𝑏𝑐= (

𝑎

𝑏) (

1

𝑐) = (

1

𝑏) (

𝑎

𝑐)

23. 𝑎

𝑏= (

𝑎

𝑏) (

𝑐

𝑐) =

𝑎𝑐

𝑎𝑐 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑐 ≠ 0

24. 𝑎

𝑏(−𝑐)=

𝑎

(−𝑏)𝑐=

−𝑎

𝑏𝑐=

−𝑎

(−𝑏)(−𝑐)= −

𝑎

𝑏𝑐

25. 𝑎(−𝑏)

𝑐=

(−𝑎)𝑏

𝑐=

𝑎𝑏

−𝑐=

(−𝑎)(−𝑏)

−𝑐= −

𝑎

𝑏𝑐

26. 𝑎

𝑐+

𝑏

𝑐=

𝑎 + 𝑏

𝑐

27. 𝑎

𝑐−

𝑏

𝑐=

𝑎 − 𝑏

𝑐

28. 𝑎

𝑐+

𝑏

𝑑=

𝑎𝑑 + 𝑏𝑐

𝑐𝑑

29. 𝑎

𝑐−

𝑏

𝑑=

𝑎𝑑 − 𝑏𝑐

𝑐𝑑

30.

𝑎𝑏𝑐𝑑

=𝑎

𝑏÷

𝑐

𝑑=

𝑎

𝑏∙

𝑑

𝑐=

𝑎𝑑

𝑏𝑐

31.

𝑎

𝑏𝑐

= 𝑎 ÷𝑏

𝑐= 𝑎 ∙

𝑐

𝑏=

𝑎𝑐

𝑏

30.

𝑎𝑏𝑐

=𝑎

𝑏÷ 𝑐 =

𝑎

𝑏∙

1

𝑐=

𝑎

𝑏𝑐

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3.2 Leyes de Exponentes y Radicales

Ley Ejemplo

1. 𝑥𝑚 ∙ 𝑥𝑛 = 𝑥𝑚+𝑛

2. 𝑥0 = 1 𝑠𝑖 𝑥 ≠ 0

3. 𝑥−𝑛 =1

𝑥𝑛

4. 1

𝑥−𝑛= 𝑥𝑛

5. 𝑥𝑚

𝑥𝑛= 𝑥𝑚−𝑛 =

1

𝑥𝑛−𝑚

6. 𝑥𝑚

𝑥𝑚= 1

7. (𝑥𝑚)𝑛 = 𝑥𝑚∙𝑛

8. (𝑥𝑦)𝑛 = 𝑥𝑛𝑦𝑛

9. (𝑥

𝑦)

𝑛

=𝑥𝑛

𝑦𝑛

10. (𝑥

𝑦)

−𝑛

= (𝑦

𝑥)

𝑛

=𝑦𝑛

𝑥𝑛

11. 𝑥1𝑛 = √𝑥𝑛

12. 𝑥−1𝑛 =

1

𝑥1𝑛

=1

√𝑥𝑛

13. √𝑥𝑛 ∙ √𝑦𝑛 = √𝑥𝑦𝑛

14. √𝑥𝑛

√𝑦𝑛= √

𝑥

𝑦

𝑛

15. √ √𝑥𝑛𝑚

= √𝑥𝑚𝑛

16. 𝑥𝑚𝑛 = √𝑥𝑚𝑛

= ( √𝑥𝑛 )𝑚

17. ( √𝑥𝑚 )𝑚

= 𝑥

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4. Operaciones con Expresiones Algebraicas

Cuando se combinan números, representados por símbolos, mediante operaciones de

suma, resta, multiplicación, división o extracción de raíces, entonces la expresión resultante

se denomina expresión algebraica.

a. √3𝑥4+6𝑥−8

10−𝑥

3 es una expresión algebraica en la variable x.

b. 10 − 4√𝑦 +5

7+𝑦2 es una expresión algebraica en la variable y.

c. (𝑥+𝑦)3−𝑥𝑦

𝑦 es una expresión algebraica en las variables x e y.

Resuelve:

a) (3𝑥2𝑦 − 2𝑥 + 1) + (4𝑥2𝑦 + 6𝑥 − 3) b) (3𝑥2𝑦 − 2𝑥 + 1) − (4𝑥2𝑦 + 6𝑥 − 3)

c) 3{2𝑥[2𝑥 + 3] + 5[4𝑥2 − (3 − 4𝑥)]} d) −{−2[2𝑎 + 3𝑏 − 1] + 4[𝑎 − 2𝑏] − 𝑎[2(𝑏 − 3)]}

4.1 Productos Especiales

Producto Ejemplo

1. (𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏) = 𝑥2 + (𝑎 + 𝑏)𝑥 + 𝑎𝑏

2. (𝑥 + 𝑎)2 = 𝑥2 + 2𝑎𝑥 + 𝑎2

3. (𝑥 − 𝑎)2 = 𝑥2 − 2𝑎𝑥 + 𝑎2

4. (𝑥 + 𝑎)(𝑥 − 𝑎) = 𝑥2 − 𝑎2

5. (𝑥 + 𝑎)3 = 𝑥3 + 3𝑎𝑥2 + 3𝑎2𝑥 + 𝑎3

6. (𝑥 − 𝑎)3 = 𝑥3 − 3𝑎𝑥2 + 3𝑎2𝑥 − 𝑎3

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4.2 Reglas de Factorización

Regla Ejemplo

1. 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 = 𝑥(𝑦 + 𝑧)

2. 𝑥2 + (𝑎 + 𝑏)𝑥 + 𝑎𝑏 = (𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏)

2. 𝑥2 + 2𝑎𝑥 + 𝑎2 = (𝑥 + 𝑎)2

3. 𝑥2 − 2𝑎𝑥 + 𝑎2 = (𝑥 − 𝑎)2

4. 𝑥2 − 𝑎2 = (𝑥 + 𝑎)(𝑥 − 𝑎)

5. 𝑥3 + 𝑎3 = (𝑥 + 𝑎)(𝑥2 − 𝑎𝑥 + 𝑎2)

6. 𝑥3 − 𝑎3 = (𝑥 − 𝑎)(𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑎2)