Sistema de coordenadas polares: gráficas y áreas

Dr. Ranferí Gutiérrez

Sistema de coordenadas polaresEl sistema de coordenadas polares se construye dibujando una serie de círcunferencias concéntricas de radio conocido,a intervalos regulares, así como rayos, también a intervalos regulares, tal como se muestra abajo en la Figura 1. Este proceso es similar al que se sigue en un sistema de coordenadas rectangulares, donde se dibujan rectas verticales y horizontales a intervalos regulares en cada caso.

Figura 1. En (a) se muestra el sistema de coordenadas polares, formado por una serie de circunferencias de radio uniformementes separadas, así como una

distintas circunferencias y rayos para un sistema de coordenadas polares arbitrario.

Convenio para la localización de puntos en coordenadas polares

El eje a partir del cual se mide los ángulos se denomina eje polar. Como se muestra en la Figura 2, un punto en coordenada polares se representa como un par de la forma si se mide en sentido contrario al del movimiento de las manecillas del reloj, y en caso contrario.

Figura 2. Localización de un punto con coordenadas polares .

Es posible considerar puntos en coordenadas polares de la forma , , midiendo unidades a lo largo del rayo . Esto es muy importante tomar en cuenta al momento de construir los gráficos de ecuaciones en coordenadas polares.

Así, por ejemplo, el punto se dibuja como un punto que está a

unidades sobre un rayo que se encuentra a un ángulo , tal como se

ilustra en la siguiente figura:

Figura 3. Localización del punto en un sistema de coordenadas polares.

Construcción de gráficas en coordenadas polaresEn su curso de Precálculo usted aprendió que un posible procedimiento para construir la gráfica de una función es utilizar una tabla, como se ilustra abajo en la Figura 4, para el caso de .

Figura 4. Construcción de la gráfica de a partir de una tabla. Por lo general, se acostumbran utilizar valores "fáciles" de para valuar en , talescomo los valores enteros mostrados en la Figura 2.

En el caso de coordenadas polares, la construcción de la gráfica de auxiliándose de una tabla, como en el caso de coordenadas cartesianas, no es el más

lugar a que se pierdan detalles de la gráfica de . Por ejemplo, construya una tabla similar a la tabla mostrada en la Figura 4, con valoresque usted considere adecuados, y construya en un sistema de coordenadas polares la gráfica de . Compare luego su gráfica con la solución que se indica a continuación:

Gráfica de

Una manera mas eficiente de construir la gráfica de es primero construir la gráfica en coordenas rectangulares y luego utilizar la información ahí mostrada para construir la gráfica en coordenadas polares. Como indica Stewart en su libro de Precálculo (página 549, 6a. Edición): "Podemos considerar esta gráfica -la gráfica de

en coordenadas polares- como una tabla de valores que hace posible que leamos de un vistazo los valores de que corresponden a valores crecientes de " Utilice la barra deslizante mostrada abajo entre las dos gráficas y observe cómo, a partir de la gráfica de la derecha -la gráfica de en un sistema de coordenadas rectangulares- se construye la gráfica de la izquierda de en un sistema de coordenadas polares. Recuerde la convención para localizar puntos en coordenadas polares, en especial, lo relacionado con los casos en que los puntos son de la forma

, .

El punto azul en la gráfica de la izquierda, abajo, indica la localización de los puntos si fuera siempre mayor que cero. Recuerde que cuando , el punto debe dibujarse

a un ángulo .

Abajo se muestra una figura, tomada del libro de Precálculo (6a. Edición) de Stewart, la cual puede ayudarle a complementar su comprensión acerca de la construcción de la gráfica de La curva roja en la figura de abajo, a la izquierda, sirve para construir la curva roja de abajo, a la derecha. Lo mismo es válido para la curva azul.

Figura 5. La figura de la izquierda muestra, en un sistema de coordenadas rectangular, la gráfica de . La figura de la derecha ha sido construida en un sistema de coordenadas polares.

Note que la curva roja en la figura de la derecha se ha construido con la información de la curva roja en la figura de la izquierda. De igual manera se ha construido la curva azul en la figura de la derecha,

con la información de la curva azul en la figura de la derecha.

Ejemplos de gráficas en coordenadas polares

Ecuación de recta tangente a una curva en coordenadas polaresLa pendiente de la recta tangente en un punto de la gráfica de se obtiene a partir de

donde e .

Problema Determine la ecuación rectangular de la recta tangente en los puntos indicados en lafigura. La gráfica corresponde a la ecuación .

Solución

Área en coordenadas polaresSuponga que es la región mostrada en la figura, definida como la región

, .

El área de la región está dada por

Problemas