Sistema Axiomático de la Geometría Euclidiana

Principios lógicos fundamentales, conceptos primitivos, axiomas (de

asociación, de paralelismo,) y teoremas.

¿Qué es axiomático?¿Que es axioma?

axiomático, -ca adj. • 1 Relativo al axioma. • 2 Que es evidente e incuestionable como un axioma.• Un axioma, en epistemología, es una “verdad evidente"

que no requiere demostración, pues se justifica a sí misma, y sobre la cual se construye el resto de conocimientos por medio de la deducción; aunque, no todos los epistemólogos están de acuerdo con esta definición "clásica". El axioma gira siempre sobre sí mismo, mientras los postulados y conclusiones posteriores se deducen de éste.

• En matemática, un axioma no es necesariamente una verdad evidente, sino una expresión lógica utilizada en una deducción para llegar a una conclusión.

Diccionario Manual de la Lengua Española Vox. © 2007 Larousse Editorial, S.L.

Principios Lógicos Fundamentales

• Principio de identidad:

“Todo concepto es igual a si mismo”• Principio de contradicción:

“Es imposible que algo sea y no sea verdadero al mismo tiempo, bajo una misma condición”

• Principio de medios excluidos:

“Una proposición o es verdadera o es falsa”

• Principio de razón suficiente

“Toda sentencia debe tener una razón suficiente”

Conceptos primitivos de la geometría Euclidiana

• Definir un concepto, representado por una palabra o símbolo, es expresar su significado por medio de otras palabras o símbolos conocidos.

• Los conceptos de punto, recta y plano son intuitivos, son conceptos fundamentales (indefinibles) de la geometría.

Punto

• Un punto podría ilustrarse como la huella que deja un lápiz bien afilado sobre una hoja de papel. Un punto carece de dimensiones, es sólo una posición en el espacio. Se acostumbra denotar los puntos por letras mayúsculas, por ejemplo . A: punto A

• Postulado1: "Hay infinitos puntos".

• Una idea vaga de recta se tiene por la observación del borde de una regla, un hilo, etc. La recta sólo tiene una dimensión, longitud. La recta, o mejor, un segmento de recta es la menor distancia entre dos puntos. La recta geométrica se extiende sin límite en dos sentidos opuestos. Se denotan las rectas por dos de sus puntos mediante el símbolo:

• Postulado2: "Por dos puntos diferentes pasa una y solo una recta".

• Postulado3: "Dos rectas distintas solo pueden tener un punto en común".

Recta

Semirecta y Segmento de Recta

• Si señalamos un punto A en una recta, dicho punto junto con los puntos que le siguen o le preceden en el mismo sentido se denomina semirecta; A se conoce como el origen de la semirecta . Para denotar una semirecta se señala otro punto además del origen, y se utiliza el siguiente símbolo:

• Si señalamos sobre una recta los puntos A y B, se denomina segmento el conjunto de puntos comprendidos entre A y B, incluyendo a los puntos A y B que se denominan extremos del segmento. El segmento de recta se denota por el siguiente símbolo:

Postulado4: "La distancia más corta entre dos puntos es el segmento que los une".

Plano

• na idea de plano nos la sugiere la superficie de un tablero, el piso, etc. Un plano tiene dos dimensiones, largo y ancho. Un plano tiene una extensión ilimitada. Un plano se considera constituido por un conjunto infinito de puntos. Se denota el plano por cuatro de sus puntos y mediante el siguiente símbolo:

Postulado5: "Si una recta tiene dos puntos comunes con un plano, toda la recta está contenida en el plano". Dos planos se cortan en una línea recta, recta de intersección.

Semi plano

• Semiplano: toda recta MN de un plano lo divide en dos regiones llamadas semiplanos. Cada punto del plano pertenece a uno de los semiplanos, excepto los puntos de la recta MN que pertenecen a los dos.

Postulado6: "Dos puntos de un mismo semiplano determinan un segmento que no corta a la recta que da origen a los dos semiplanos; y dos puntos de distinto semiplano determinan un segmento que corta a dicha recta".Postulado7: "Si dos planos tienen un punto común tienen una recta común".

Teorema

• Un teorema es una proposición que es demostrable o refutable aplicando la lógica formal a partir de axiomas o postulados se denomina teorema. Un teorema también se puede demostrar apoyándose en teoremas previos. En todo teorema se distinguen tres partes:

Hipótesis: supuestos o datos conocidos

Tésis: lo que se quiere demostrar

Demostración: procedimiento lógico en el que se utilizan los conocimientos previos para mostrar la verdad de un teorema.

• Corolario: es un teorema que surge como consecuencia de otro.

Teorema recíproco: todo teorema tiene su recíproco. La hipótesis y la tésis del recíproco son, respectivamente, la tésis y la hipótesis del otro teorema (teorema directo). No siempre los teoremas recíprocos son verdaderos.

• Lema: es una proposición o teorema preliminar que sirve de base a la demostración de un teorema.

• Escolio: observación que se hace sobre un teorema previamente demostrado.