SISTEMAS DE COORDENADAS RECTANGULARES

En general el problema que se plantea en Topografía consiste en representar en un plano una superficie del terreno de no gran extensión. Para efectuar esa representación gráfica es necesario realizar en el terreno una serie de operaciones tales como: reconocimiento, elección del sistema geométrico de apoyo, elección de los puntos topográficos, amojonamiento, abalizamiento, medición de distancias, ángulos, etc.

La estructura del sistema geométrico de apoyo que vamos a utilizar para obtener los elementos que nos permitirán representar gráficamente el terreno no es arbitraria si desordenada, sino que esta organizada lógicamente. Estos sistemas son para la Topografía I los métodos planimétricos de levantamiento que identificamos como: triangulación topográfica, poligonometría geométrica y el método planimétrico de radiación.

Estos sistemas geométricos nos permitirán obtener por medio de las mediciones, el razonamiento lógico y el cálculo numérico los elementos que harán posible la representación gráfica buscada. En general estos elementos se resumen en las coordenadas rectangulares de cada punto topográfico qque levantemos en el terreno.

Sistemas de coordenadas planas

Las coordenadas planas que sirven para determinar la posición de los puntos de un levantamiento topográfico pueden:

a) pertenecer a un sistema general de coordenadas que extiende sobre un basto territorio o

b) estar referidas a un sistema local.

Es fácil comprender que siempre que sea posible es ventajoso disponer de un sistema general de coordenadas, pues con ellos es posible armonizar todos los levantamientos que se efectúen y conocer su posición relativa.

Sistema general de coordenadas cartesianasDisposición de ejes y cuadrantes

Dos rectas que se cortan determinan un plano el que queda dividido en cuatro sectores o cuadrantes.

Supondremos siempre, según la disposición universalmente establecida, un sistema tal que la rama positiva del eje de las ordenadas y quede a 90 de la rama positiva del eje de las abscisas x contando esa magnitud angular en el sentido del movimiento de las agujas del reloj.

x

y O

El punto en que se cortan ambas rectas perpendiculares O se llama origen de coordenadas.

El la práctica topográfica y catastral es costumbre general hacer coincidir el eje de las x con el meridiano de origen del sistema de coordenadas, estando entonces, dirigido la rama positiva del eje de las x hacia el norte y por consiguiente la rama negativa hacia el sur.

La rama positiva del eje de las y estará dirigido hacia el este y la rama negativa hacia el oeste.

Mediante los dos ejes de coordenadas el plano se divide en cuatro partes llamados cuadrantes cuya numeración se asigna de acuerdo al sentido de la marcha de las agujas del reloj. x

+ x + x IV I - y + y y O - x - x III II - y + y

De esta manera queda establecido un sistema de coordenadas rectangulares que nos permitirá ubicar puntos en cualquier lugar del plano mediante sus coordenadas x e y x

D - y A + y - x + x y O - x - x B + y C - y

x: positiva x: negativaPunto A I cuadrante Punto B II cuadrante

y: positiva y: positiva

x: negativa x: negativaPunto C III cuadrante Punto B IV cuadrante

y: negativa y: negativa

Con frecuencia se emplean sistemas de coordenadas locales que pueden ser orientadas de un modo conveniente cualquiera, por ejemplo, el eje de las x coincidente con el primer lado de un polígono, con la dirección de una línea de ferrocarril, de un camino, canal, etc.

Rumbo

Llamase rumbo de una recta en un sistema de coordenadas planas al ángulo que dicha recta forma con el eje de las x o una paralela a ese eje.

+ x B (BA)

(AB)

A

+ y O

En otros términos más precisos siendo A y B dos puntos en el sistema de coordenadas planas, el rumbo = (AB) de la línea AB, es el ángulo por el cual la paralela a la rama positiva del eje de las x, trazada por el punto A debe ser girada en el sentido del movimiento de las agujas del reloj hasta llegar a coincidir con AB.

Este ángulo puede tomar valores cualesquiera entre 0 y 360.

A los dos sentidos que puede tener una dirección corresponden dos rumbos: el rumbo directo y el inverso o recíproco, los que se diferencian en 180.

Rumbo (AB) = Rumbo (BA) 180

Acimut

Llamase en topografía, acimut de una línea AB al ángulo horizontal que dicha línea forma con el meridiano que pasa por A.

Si el punto A de la recta AB se hallara situado sobre el eje x, y si este coincidiera con el meridiano de A, el rumbo sería al mismo tiempo acimut de la línea.

Formulas fundamentales del cálculo de coordenadas

+ x xB B yB – yA

xB - xA l

xA A

+ y O yA yB

Supongamos dado un punto A conocido por sus por sus coordenadas xA y xB y otro punto tal como el B cuyas coordenadas queremos conocer.

La distancia entre los dos puntos, que llamaremos AB, puede medirse por cualquier método. De la misma manera el ángulo que la línea AB forma con la

dirección positiva del eje de la x ha sido determinado de alguna forma, o bien se le ha asignado un valor arbitrariamente, es decir, es conocido, lo llamamos rumbo de la línea y lo designamos ó (AB).

De la figura se deduce que:

xB - xA = x = AB cos (AB) = l cos

yB – yA = y = AB sen (AB) = l sen

Esta son formulas fundamentales del calculo de coordenadas , como así también de la topografía práctica y de la geodesia inferior, en las que están basadas la mayor parte de las determinaciones de nuevos puntos en el sistema de coordenadas.

Para conocer las coordenadas del punto B, a partir de las coordenadas conocidas del punto A, tendremos:

XB = xA x

yB = yA y

Cálculo del rumbo de una recta determinada por puntos de coordenadas conocidas

Conocidas las coordenadas de los puntos trigonométricos A y B se puede determinar el rumbo de una línea. De la figura anterior se deduce que:

El procedimiento seguido para el cálculo del rumbo (AB) es el siguiente:

1. Se calculan los incrementos x y y:

x = XB - xA y = yB - yA

2. Se calcula el ángulo (rumbo) que la línea AB con el eje de las x:

Los signos de x y y indican en cual de los cuatro cuadrantes se encuentra el punto B respecto del A.

Reglas prácticas de aplicación de las formulas fundamentales

1. Cuando el cociente tiene los signos o sea el rumbo

corresponde a un ángulo del primer cuadrante.

2. Cuando el cociente tiene los signos o sea el rumbo

corresponde a un ángulo del tercer cuadrante.

3. Cuando el cociente tiene los signos o sea el rumbo

corresponde a un ángulo del segundo cuadrante.

4. Cuando el cociente tiene los signos o sea el rumbo

corresponde a un ángulo del cuarto cuadrante.

Debe tenerse en cuenta que:

1. El cuadrante al que pertenece el ángulo según el signo de los incrementos x y y.

2. El signo de las funciones trigonométricas según el cuadrante.3. El valor del ángulo con que corresponde hallar las funciones según el

cuadrante.4. El signo que toman los incrementos x y y según el cuadrante del rumbo.

Todo lo expresado puede resumirse en el siguiente cuadro:Angulo para el cálculo x y seno coseno

I cuadrante ( 0 ; 90)

II cuadrante (90 ; 180)

III cuadrante (180 ; 270)

IV cuadrante (270 - 360)

(AB) =

(AB) = 180 -

(AB) = 180 +

(AB) = 360 -

+

-

-

+

+

+

-

-

+

+

-

-

+

-

-

+

Por ejemplo supongamos un rumbo de 295, que corresponde al cuarto cuadrante, el ángulo reducido para el calculo será: (AB) = 360 - 295 = 65Resulta:

Sen 295 = - sen 65Cos 295 = cos 65

En consecuencia los incrementos son: + x y - y

Aplicación:

Cuando se conoce el rumbo (AB) de una dirección AB, puede determinarse facimente el rumbo de otra dirección tal como AC que forma con AB un ángulo . x B

C (AB) (AC)

A

El rumbo de un lado (AC) es igual al rumbo del lado anterior (AB) más el ángulo comprendido, en el caso de la figura.

Calculo de la distancia

El cálculo de la distancia entre dos puntos A y B se ejecuta al mismo tiempo que el cálculo del rumbo pues este constituye una verificación de aquel.

Al calcular o determinar las fórmulas fundamentales vimos:

x = AB cos (AB) y = AB sen (AB)

de las cuales podemos deducir:

también:

Determinación de puntos secundarios o puntos de detalle mediante poligonales rectas (alineaciones)

+ x yc - ya

Pc

ln Pn -1

xc - xa ln -1

L= PaPc P3

l3 y1 - ya P2

l2 x1 - xa P1

l1 Pa + y O

Queremos determinar en base a las coordenadas (xa, ya) y (xc, yc), del punto de arranque Pa y de cierre Pc, las coordenadas de los nuevos puntos P1, P2, P3, ... , Pn – 1, situados sobre la alineación PaPc, por medio de las distancias l1, l2, l3, ... , ln-1, directamente medidas.

La diferencia d = L – [ l ], no debe sobrepasar las tolerancias fijadas, en cuyo caso deben corregirse las cantidades l proporcionalmente a la magnitud de cada una de las mismas.

Llamaremos l’ a las cantidades l corregidas: