sis de numeracion

5/24/2018 Sis de Numeracion

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istemade numeracindecimall CONCEPTOS BSICOS

1 1 Nmero Es un ente abstracto, carente de definicin, slo se tiene una idea de l

1 2 Numeral Es la figura o smbolo que representa o da la idea del nmero, porejemplo, para el nmero cinco, podramos considerara todas estas figuras o smbolosque pueden representara cinco.

r ; V ; 3 + 2 ; 2 + 1 ; Cinco ; Five ; 51 3 Sistemas de numeracin Es un conjunto de smbolos y leyes que nos permite

representar y expresar correctamente los nmeros. Tenemos diversos Sistemas deNumeracin S.N.), entre los cuales destaca el Sistema de Numeracin Decimal oDecuplo.

2 SISTEMA DE NUMERACIN DECIMALEs el sistema cuyo principio fundamental es que la formacin de sus unidades va de diezen diez. Aspor ejemplo: 10 unidades forman otra unidad llamada decena, 10 decenasforman otra unidad llamada centena y as sucesivamente.

2 1 Caractersticas del Sistema de Numeracin Decimal

En el Sistema de Numeracin Decimal existen diez smbolos denominados cifrasque son: 1; 2; 3; 4; S; 6; 7; B; 9 y O

Con estas diez cifras se pueden formar todos los nmeros posibles mediantelas combinaciones entre ellas. Ejm: Con las cifras 1 y 2 se pueden formar: 2;21 ; 11 ; 22 ; 121, etc.

El mnimo valor que puede tener una cifra es cero cifra no signif icativa) y elmximo valor es 9 una unidad menos que la base diez).


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2 2 Orden y lugar:Orden: s la posicin que ocupa cada cifra empezada a contarde derecha a izquierda.As por ejemplo, para el nmero: 1234, tenemos:

2 3 4ler orden o unidades2do orden o decenas3er orden o centenas4to orden o unidades de millar

Lugar: s la ubicacin de la cifra segn como se le lee de izquierda a derecha. Asen el ejemplo anterior.

Cifra de ler lugar: 1Cifra de 2do lugar: 2Cifra de 3er lugar: 3Cifra de 4to lugar: 4

Ntese que: Lugar* Orden2 3 Valores de una cifra: Toda cifra que forma parte de un nmero, puede tener dos

valores.a. Valor relativo o posicional: s el valor que representa la cifra por la posicin

que ocupa dentro del nmero.

b. Valor absoluto o por su forma: s el valor que representa la cifra por la formaque tiene.

Ejemplo: Para el nmero: 1234, tenemos:V.R. 4) = 4 ocupa el 4 la posicin de las unidades: 4 x 1V.R. 3) = 30V.R. 2) = 200

ocupa el 3 la posicin de las decenas: 3 x 10)ocupa el 2 la posicin de las centenas: 2 x 100)

V.R. 1) = 1 000 ocupa el 1 la posicin de las u. millar: 1 x 1 000)V.A. 4) = 4V.A. 3) = 3 ~ a d a uno vale segn su forma o lo queV.A. 2) = 2 ti epresenta numricamenteV.A. 1) = 1


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2 4 escomposicin polinmica de un numeral del Sistema ecimalCualquier nmero se puede descomponer como la suma de los valores relativos de

sus cifras .

As por ejemplo:1234 = 1000 + 200 + 30 + 4

= 1 X 103 + 2 X 102 + 3 X 10 + 4Obs Ntese que cada cifra est multiplicada por 10 este tiene como exponentela cantidad de cifras que se encuentran a la derecha de l.32 509 = 3 X 104 + 2 X 103 + 5 X 102 + 0 X 10 + 9En general si representamos a un numeral cualesquiera, su descomposicinpolinmica sera:

Ejemplos:

a) Para un nmero de tres cifras: oc = {100; 101; 102; ... ; 999}oc = a x 10 + b x 10 + c

b Para un nmero de cuatro cifras iguales:mmmm = {1111; 2222; ... 9999}mmmm = m x 103 + m x 102 + m x 10 + m

= 1000m + 100m + 10m + m = 1111m

c Para un numeral C PIC de tres cifras:a a = {101; 111; 121; ... 999}

= a x 10 + b x 10 + a = 100 a + 10b + a = 101a + 10 b


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PROBLEM S

Bloque I

l . Escribe el valor relativo que tiene el dgito (cifra):a) 34 271 V.R.(2) =b) 67 192 V.R.(7) =c) 5 314 218 V.R.(3) =d) 235 V.R.(5) =e) 1 231 V.R.(2) =f) 567 421 V.R.(6) =

2. Indicar la suma de la cifra del primer orden ms la cifra del sexto orden en:42 399 981 301

3. Calcular el valor relativo de la cifra de tercer lugar en: 29 433 167

4. Calcular la suma del mayor y menor nmero que se puede formar con todos los elementnsde A : A = {l 2; 4; 7; 9}

5. Si al numeral 1432 se le quita la cifra del tercer orden y se le reemplaza por la cifra a ,el nmero resultante es mayor que el anterior en 200 unidades. Hallar el valor de a .

6. cul debe ser el valor de x en: x34+999+xxx =1244 ?

7. Si se cumple que: 2La es el triple de: Calcular el valor de a .

8. Hallar el valor de a y b tal que: L ] ) es el doble de ala

9. Hallar el valor de b , si se cumple que: 7mi es el resultado de invertir el orden de lascifras a DS7 y disminuirlo en 99 unidades.

10. Hallar un nmero de dos cifras ambas diferentes de cero, tal que al restarle el mismonmero pero con las cifras invertidas d como resultado 72. Dar como respuesta lasuma de sus cifras.


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loqueJ1 A un nmero de dos cifras se le agregan dos ceros a la derecha, aumentndose el

nmero en 4 752 unidades. Calcular el nmero original.2 A un nmero de tres cifras se le agregan tres ceros a la derecha aumentando el nmero

en 11 988 unidades. Calcular el nmero original y dar como respuesta la suma de lascifras del nmero original.

3 Hallar un nmero de dos cifras, cuya suma de cifras es 10 y tal que al inverti r el ordende sus cifras el nmero disminuye en 36 unidades. Dar como respuesta el producto delas cifras del nmero pedido.

4. Un nmero est compuesto por tres cifras, la cifra de las centenas es cuatro veces lacifra de las unidades y la cifra de las decenas es igual a la mitad de la suma de las otrascifras. Darcomo respuesta el producto de las cifras de dicho nmero.

5 LoquelefaltaaN1 = b(b+1)(a+1) parallegara1000esN2 = a56 .lCuleslasumade cifras de N1?T RE DOMICILI RI

1. Indicar segn corresponda:a) V A de la cifra de 4to orden en: 123 456b) V.A.(a) + V.R.(b) en: oc = 679c) V.R.(m) x V.A.(n) en: mnpq = 9 327d) V.A.(x) + V.A.(y) - V.A.(z) en: 1xyz = 1 823

2 culdebeserelvalorde a en: L Ia+l Oa=.370?

3 Hallar m+n+p ,en: lm3+n67+82p =14464. Hallar un nmero de dos cifras ambas diferentes de cero, tal que al restarle el mismo

nmero pero con las cifras invertidas d como resultado 72. Dar como respuesta lasuma de sus cifras.

5 Se tiene un nmero de tres cifras al cual se le agrega un 7 al final; luego al mismonmero original se le agrega un 7 al comienzo. Si se suman los dos nmeros de cuatrocifras se obtiene 9 768. Hallar la suma de las cifras del nmero original.


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istemasde numeracinno decimal

Para este segundo tema queridos alumnosestudiaremos otros sistemas de numeracin,

para lo cual, generalizaremos algunosconceptos dados en el tema anterior.

1 Base de un Sistema de Numeracins el nmero de unidades de un orden cualquiera que forma una unidad de un orden

inmediato superior. Tambin se define como aquella que nos indica el nmero de cifrasdisponibles de un sistema de numeracin para escribiro representar cualquier nmero.As, por ejemplo si deseo representar un grupo de unidades en base 7, necesito sieteunidades para poder ser agrupados y formar otro orden.

: : : ?: * : ] : *: : ~ * : ) :

Al agruparlo de 7 en 7, se han formado cuatro gruposy han quedado sin agrupar seis unidades, luego sepuede decir que dicha agrupacin tiene la formasiguiente: 46 ?)

Segundo ejemplo: Agrupar 26 unidades en base 3

a agrupacin es:2 grupos de 3 x 3 =2 x 322 grupos de 1 x 3 =2 x 312 unidades sueltas =2

o tambin: 222 3.

Como veras, despus de agrupar las unidades, la basese coloca en la parte interior del nmero sub ndice) y si

en caso no aparece se asumir que est en base 10Sistema de Numeracin Decimal)


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Condiciones de la base:

a) s un nmero natural, es decir, la base es positiva diferente de cero.b) La menor agrupacin que se puede hacer es dos unidades, por lo que la menor

base es 2 (Sistema Binario)2 Principios fundamentales de os Sistemasde Numeracin

2.1 Toda cifra de un numeral es necesariamente menor que su base adems essignificativa, es decir, es diferente de cero, pero para formar otros nmeros sepueden ayudar de la cifra no significativa o auxil iar que es el cero.

Ejemplo:

222222 3)

Todas las cifras son menores que la base 5, entonces, elnmero 10 est correctamente escrito.

Todas las cifras son menores que la base 3.Todas las cifras no son menores que la base 8, la cifraque ocupa el primer lugar (el 8) no es menor que 8,entonces el nmero no est correctamente representado.

Entonces de los ejemplos, afirmamos lo siguiente:

n la base b :

Se usan b cifras para formar un orden inmediatamente superior cualquiera.Las cifras pueden ser:Significativas = {1; 2; 3; 4; ... (b - 1))

l Cifra mximaNo significativa o auxiliar: O (cero)

Conclusin: Cifra < Base


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plicacionesa. Hallar el mayor numeral de tres cifras del Sistema Decimal base 10)b. Hallar el menor numeral de cuatro cifras diferentes del Sistema Decimal base 10)c. Hallar el mayor numeral de cinco cifras diferentes del Sistema Nonario base 9)d. Hallar el menor numeral de cuatro cifras significativas del Sistema Ternario base 3)e. Hallar el menor nmero de cuatro cifras diferentes que suman 10 en el Sistema

Quinario base 5)De lo anteriormente dicho podemos afirmar lo siguiente:

Base234567891

2

Sistemas de NumeracinBinario o dual

TemarioCuaJemario

QuinarioSenario

HeptanarioOctanarioNonario

Denario o decimalUndecimalDuodecimal

Cifras di ferentes que utilizaoO ; 2O ; 2; 3O ; 2; 3; 4O ; 2; 3; 4; 5O ; 2; 3; 4; 5; 6O ; 2; 3; 4; 5; 6; 7O ; 2; 3; 4; 5; 6; ; 8O; ; 2; 3; 4; 5; 6; ; 8; 9O ; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; aO ; 2; 3; 4; 5; 6; ; 8; 9; a; J

Para representar numerales con cifras mayores que 9, se toma en cuenta:a = 10; p = 11; y = 12; etc.Existen infinitos sistemas de numeracin, como consecuencia del cuadro anterior.

3 Descomposicin polinmica de un nmero en cualquier Sistema deNumeracinaDca n) =a x n3 + b x n2 + c x n + d

Ejemplos: 1234 5) = 1 X 53 + 2 X 52 + 3 X 5 + 4 = 125 + 50 + 15 + 4 = 194 aaac9l =a x 92 a x 9 a = Sla + 9a + a = 91a mnm 4 = m x 42 + n x 4 + m = 16m + 4n + m = 17m + 4n


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PROBLEM S

loque IEn cada caso, los numeralesestan correcta mente escritos, hallar:

1. (a+ b + c) en: r n a ) ; c21 b); 53a(6); y2y e)2. (a+ b + c) en: Ta (c) +d b) = 14caJ +6I s)3. (a + b -c + d) en: iin b) +6U c) +CO (d) = Cfil(s)4. (m + n - p) en: n23q(m); p21(n); n3m(6); 1211(p)

5. (a+ b) en: 61U 7); 224(a); 3aL(b)6. (m 2 + p2) en: m2p(8) ; 315(m); 2mm p)7. (m + n + p) en: m12(p); 213(m); 23n(7); p22(n)8. ( :) en: LOc(a) = 65 (c) +Ila 4)9. Si: a* b c), hallar (a+ b + c) en: aOc(4) +Dc 3) +C 2) = mp10. Si: a* b c), hallar (a+ b + c) en: aa 2) +65 3) +cC (4) = mp

loque1. Las siguientes expresiones son descomposiciones polinmicas, c ..a qu numerales

corresponden?

a. 2 X 73 + 3 X 72 + 5 X 7 + 2b. 4 X 52 + 3 X 53 + 1 + 2 X 5C. 6 X 134 + 8 X 133 + 2 X 132 + 7 X 13 + 5d. 3 X 94 + 2 X 93 + 2 X 92 + 17e. 5 X 63 + 2 X 6 + 4

2. Escribir:

a. El mayor nmero de tres cifras de la base siete.b. El mayor nmero de tres cifras diferentes de base cinco.


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c. El menor nmero de tres cifras de base nueve.d. El menor nmero de tres cifras diferentes del Sistema Quinario.

3. Descomponer polinmicamente cada uno de los siguientes numerales:a. 63 7)b. 423(8)c. 2146(9)d. ITlU(7)e. raaicsJ

4. Hallar: (a + b +e), si se cumple: (a +l)(a-l)ac3J oc

S. Hallar: (a + b + e), si se cumple: aaaacsJ = DcS

T RE DOMICILI RI

l Indicar verdadero (V) o falso (F) segn corresponda:

I. La menor base que existe es la base dos.II. Existen infinitos sistemas de numeracin.III. En la base cuatro, se puede usar la cifra cinco.IV. En la base siete, la mayor cifra es seis.V. El sistema de la base ocho, se llama octanario.

2. Si se cumple que: 36 (6) = 4a (b) l.cul es el valor de a+ b ?

3. Hallar n , si: 23 S) = 21 n)

4. Hallar: 3ab(6) +4'6L(a) +23(b)

S. Se sabe que los nmeros: Iaa'(4); LcC a); 6'6(c) estn bien escritos, adems: a, b ye soncifras diferentes entre s. Hallar a+ b +e .


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Transformacin deSistemas de umeracinConsiste en transformar un nmero de cierto sistema de numeracin a otro sistema denumeracin, pero sin dejar de poseer estos nmeros la misma cantidad de unidades. Tambinse le conoce a este tema como cambio de bases.aso I: De una base diferente de 1 a la base 1

Para estecaso se utiliza el procedimiento de descomposicin polinmica, efectuando paraello las operaciones indicadas

Descomposicin polinmica: aDc n) =a x n2 + b x n + c

Ejemplos:

1 2 3 4 ) = ~ + e . 1 + 3 = 2 76 8

s c J = ~ M 6 = 7 1 7648 63 aDa s) =ax 82 +b x B+a = 65a +Bb

...___64a 8b

Tambin se puede uti lizar el mtodode Ruffini , as:1 2 3

l + +4 4 24~ @ E n el sistema decimalX7 6+ +

9 72 7~ @------ En el sistema decimal


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asoI I De base 1 a una base diferente de 1Se utiliza el mtodo de divisiones sucesivas, que consiste en dividir el nmero dado delsistema decimal (base 10 entre la base n a la cual se desea convertir, si el cociente esmayor que n se dividir nuevamente y as en forma sucesiva hasta que se llegue a unadivisin donde el cociente sea menor que n . Luego, se toma el ltimo cociente y losresiduos de todas las divisiones, desde el ltimo residuo hacia el primero y este ser elnmero tomado en base n .Ejemplo: Convertir 25 a base 8:

Convertir 100 a base 3:

Convertir 216 a base 6:

25D 25 = 31,Bu100 lL_CD 33 @ ___ - 100 = 10201,3)

11 @____~ 3 lL_lCDu

216 L@ 36 L~ @ 6 L

Du- 216 = 1000 6)

aso III: De una base diferente de 1 a otra diferente de 1Se utilizan en este caso, los dos mtodos vistos anteriormente, es decir; primero llevamosal nmero de base diferente de 10 por descomposicin polinmica al sistema decimal yluego este nmero por divisiones sucesivas lo llevamos al otro sistema de base diferentea 10.


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Ejemplos:1. Convertir: 543 G) a base 4

a. 5 c i = ~ b . _ 3 = 2 0 7180 24

b.

Luego: 543 6) = 207 = 3033 4)2. Convertir: 2134 5) a base nueve

a. 2134csJ=2x53 1x52 3x5 4=294..________,____ - , - - - - - - - -v-250 25 15b.

Luego: 2134 s) = 294 = 356 9)PROPIEDAD Si un numeral que representa la misma cantidad de unidades simples endos sistemas de numeracin diferentes deber cumplirse que donde tenga mayorrepresentacin aparente le corresponde una menor base y viceversa, a menor representacinmayor base .

Ejemplo:

+N = R TNrx= P VOrvl+


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134 = 251 7) = 2012 4)Mayor base J L fv encr base

loque I

l Convertir:

a. 123 al sistema binarioc 3 476 al sistema quinarioe. 1 007 al sistema de base 5

2. Convertir al decimal:

PROBLEM S

b. 871 al sistema ternariod. 10 087 al sistema de base 7

a. 1101(2)d. 2211(3)

b. 32012(4)e. 11101(2

c. 5431(6)

3. Convertir:a. 1002(3)al cuaternarioc J356 r12i al quinarioe. 1364(7) a base 12

b. 432(7) al ternariod. 2134(S) al nonario

4 Del lugar en que se emplea el sistema binario nos remiten 1001 bultos postales. cmorepresentamos ese nmero en el sistema decimal?

5. Pedimos 18 automviles a una distribuidora que emplea el sistema debase 4 por la cantidad de ruedas de sus autos . cmo escribe la distribuidora elnmero de automviles que nos enviar?

6. Un comerciante que emplea el sistema quinario pide 4 230 sombreros a otro queemplea el sistema de base 13. cmo escribirc este comerciante el nmerode sombreros


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que enva el primero?

7 Desde TRILCELANDIA le enviamos a un comerciante que emplea el sistema duodecimal5 678 botellas de gaseosa. cmo representar dicho nmero el comerciante?

8. Hallar: a + b +e, en cada uno de los siguientes casos:

aDc = 246(8)aDc (7) = 1230(5)oc(8) = 1236(n)

9. Si el numeral: (a +l)(a-l)(a -2) est expresado en base 4, expresarlo en base seis.

O. Si s cumple 2 1 ecnJ . Hallar a + b + e + d + + n

T RE DOMICILI RI

1. Si el numeral (a +l)(a - l ) a - 2) est expresado en base 4, expresarlo en base seis.2. El menor nmero de tres cifras diferentesde la base nueve convertirlo al sistema senario.

3. Si: (n -1)(n3)(n + 3) = o (l) calcular: a + b + n4. Hallar a+ b + e + d + n , si se cumple: 102(3) = a5Ccl(n)5. De la igualdad: (a - 2) 6+l)(c - 8) =256 9). Hallar a , b y e , luego abe expresarloen base cuatro.


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Repaso deSistemas de umeracin1. Hallar el valor de A+ B + C , si se sabe que:A = es el mayor nmero de tres cifras.

B =es el mayor nmero impar de dos cifras diferentes.C =es el mayor nmero de tres cifras diferentes.2. cul es el menor nmero cuyas cifras suman 24? Dar como respuesta su cifra demayor orden.3. Hallar un nmero de tres cifras que cumpla las condiciones siguientes para sus cifras:

I. a primera es el doble de la tercera.II. a segunda es el tr iple de la primera.Dar como respuesta la suma de sus cifras.

4. Si el numeral: (a -l)b(b +l)(a + 5)(3-a) es capica, hallar la cifra del tercer orden.5. Si los numerales estn correctamente escritos, calcular a + b

I. (2a)(a - 2) J II. ~ ) c b + 5 )3 (9)

5. Exprese N en base 5 de la suma de sus cifras:N = 2 X 54 + 7 X 53 + 52 + 8 X 5 + 2

7 cuntos numerales de dos cifras cumplen que son iguales a cuatro veces la suma desus cifras?

8. un nmero de dos cifras es igual a la suma de siete veces la cifra de decenas msnueve veces la cifra de las unidades. cul es la suma de sus cifras?

9. Sea: a5+0a = 143 a - b = 5. Calcular: a510. Convertir 10al sistema binario.11. Convertir 20 al S.N.B. 12. Convertir 30 al S.N.B.13. Convertir 40 al S.N.B. 14. Convertir 50 al S.N.B.


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15. Convertir 100 al S.N.B.

16. Si se cumple que: L3C4'(6) +a344(6) = 4a4E'(6)hallar: a b + c + d

17. Si: oc +C'Da +Da'C = 1194; hallar: a b + c18. Calcular el valor de p + q + r + s , sabiendo que el C.A. de p7q(q + 2) es (s -1)qrs

19. Escribir una V si es verdadero o F si es falso, segn corresponda en:

a. 25 =7+ 3 .......................................................ob. 32 =9 + 5 .......................................................oc. 51 = 5 - 4 ........................................................ (

d. 90 =7 -1 ............ .. ... ............ .. ................. ........ (oe. 87 = 10 + 7 ..................................................... (

o20. Si el nmero La es 13 + 1, hallar ao21. Hallar el valor de x que hace que: 128 = 11 + x

o22. cules son los posibles valores de b que hacen que: 4b sea 8 + 1?23. cuntos nmeros de 2 cifras son l9 + 4?24. Halla el valor del dgito a en la siguiente ecuacin: 8a + 1 = 7

o25. Si a representa a una cifra, hallar su valor en: 7a + 5 = 9o o26. Hallar a+ b , si: 3a = 7 +1 y 65 = 9+1

o o27. Hallar: (m + n)mx en: m2 = 4+ 2 y 7n = 8 -1o28. Hallar el menor dgito p que cumpla: 3p + 19 = 4

29. Hallar el valor de a para que el numeral L 4a sea divisible por 11.o

30. Si: 7439a = 7 ,hallarelvalorde a .

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