Capítulo III. Sintonización de Controladores PID

 

III.1 Introducción.

En este capítulo usaremos la información que puede aportarnos un modelo de proceso para ajustar los parámetros de un PID estándar.

Sin duda la literatura sobre el tópico es abundante y crece enormemente con el uso, cada vez más común, de microprocesadores industriales que pueden incorporar cierta inteligencia en el control.

En este apartado presentaremos algunos métodos bien establecidos de entonación de controladores y de autosintonización. La lista de estrategias no es en modo alguno agotadora, tal tarea resultaría imposible. Adicional a las estrategias de entonamiento, presentaremos calificadores de la calidad de la entonación que permitirán comparar la bondad de un controlador con respecto a otro.

Como dijimos, para poder entonar un controlador necesitamos conocer algo del proceso que se desea controlar. Mientras mejor sea el conocimiento, mejor será la entonación.

Quizás la forma mas elemental de entonación parta de la variable de proceso (PV). Así, es común encontrar de algunos proveedores sugerencias para la entonación como (tomado de www.expertune.com/tutor.html):

Tipo de Lazo Kc Ti (min) TD (min)

Flujo 0.2 - 2 0.005 - 0.05 -

Presión (Líquido) 0.2 - 2 0.005 - 0.05 -

Presión (Gas) 2 - 100 1 - 50 0.02 - 0.1

Nivel (Líquido) 2 - 100 1 - 100 0.01 - 0.05

Temperatura 1 - 50 2 - 50 0.1 - 20

Cromatógrafo 0.05 - 1 10 - 120 0.1 - 20

suponiendo una forma ideal (ISA o Paralela [2]) del PID, esto es:

y que simplemente denominaremos PID paralelo para diferenciarlo del PID serie encontrado en la mayoría de los controladores industriales y que tiene la forma:

Sin lugar a dudas, las estrategias más conocidas para la sintonización de controladores PID son las de Ziegler y Nichols llamadas de "Quarter Decay Ratio (QDR)" o "Reducción en � la rata de Elongación" y que puede interpretarse como se indica en la figura 3.1, con d=�.

Fig. 3.1. Parámetros del QDR

Otras técnicas de entonación, utilizan el área del error como parámetro cualitativo, siendo esa área la que se indica en la figura 3.2.

Fig. 3.2. Área de error

Dentro de las estrategias más comunes que usan el error tenemos:

en los dos primeros criterios se penalizan grandes errores por los que probablemente se obtendrá un comportamiento lento del sistema para lazos que usan esos entonamientos. En los dos últimos se penaliza el tiempo invertido en llegar al valor final (asumiendo cero off set) y de allí que probablemente se obtendrán respuestas rápidas y con grandes oscilaciones.

En las tablas de entonación de controladores que siguen, supondremos que tenemos un modelo del sistema de la forma FOPDT, esto es:

(3.1)

o haremos la suposición de que tenemos identificados las ganancias y períodos asociados al último ciclo (Ku, Tu). Antes de presentar la tabla de entonación, permítasenos introducir 2 parámetros de uso común para la identificación de la dificultad de controlar un lazo. Ellos son:

Constante de tiempo normalizada = TN =

Que también recibe el nombre de parámetro de controlabilidad ([1], [2]).

Radio de ganancia = KR =

Procesos con TN y KR pequeños son fáciles de controlar.

A continuación presentamos las técnicas de uso más frecuente para entonación de controladores PID cuando el sistema es del tipo FOPDT (ecuación 3.1).

a. Para controladores PI:

Fórmula Kc Ti

Ziegler y Nichols 0.9/(KTN) 3.33Td

Ziegler y Nichols 0.45Ku Tu/1.2

Cohen - Coon (0.9/TN+0.082)/K [3.33TN+0.33(TN)2]/[(1+2.2TN)K]

IMC - PI T/[K(Tcl + Td)] T

ISE-Carga [1.305(TN)-0.959]/K [T(TN)0.739]/0.492

IAE - Carga [0.984(TN)-0.986]/K [T(TN)0.707]/0.608

IAE - Referencia [0.758(TN)-0.861]/K T/(1.02-0.323TN)

ITSE - Carga [1.279(TN)-0.945]/K [T(TN)-0.586]/0.535

ITSE - Referencia [0.712(TN)-0.921]/K T/(0.968-0.247TN)

ITAE - Carga [0.859(TN)-0.977]/K [T(TN)0.68]/0.674

ITAE - Referencia [0.586(TN)-0.916]/K T/(1.03-0.165TN)

b. Para controladores PID serie:

Fórmula Kc Ti TD

Z y N 1.2/KTN 2Td 0.5Td

Z y N 0.6Ku Tu/2 Tu/8

C - C - - -

IMC - PID T/[K(T+Td/2)] T T/2

ISE - C 1.1907(TN)-0.89711/K T(TN)0.9548/0.7987 0.54766T(TN)0.87798

ISE - R 0.71959(TN)-1.03092/K T/(1.12666-0.18145TN) 0.54568T(TN)0.86411

IAE - C 0.98089(TN)-0.76167/K T(TN)1.05211/0.91032 0.59974T(TN)0.89819

IAE - R 0.65(TN)-1.04432/K T/(0.9895+0.9539TN) 0.50814T(TN)1.08433

ITAE - C 0.77902(TN)-1.06401/K T(TN)0.70949/1.14311 0.57137T(TN)1.03826

ITAE - R 1.12762(TN)-0.80368/K T/(0.99783+0.286TN) 0.42844T(TN)1.0081

c. Para PID paralelo:

Fórmula Kc Ti TD

Z y N - - -

Z y N 0.75Ku Tu/1.6 Tu/10

C - C (16T+3Td)/(12KTd) [Td(32+6TN)]/(13+8TN) 4Td/(11+2TN)

IMC - PID - - -

ISE - C 1.495(TN)-0.945/K T(TN)0.771/1.101 0.56T(TN)1.006

ISE - R - - -

IAE - C 1.435(TN)-0.921/K T(TN)0.749/0.878 0.482T(TN)1.137

IAE - R 1.086(TN)-0.869/K T/(0.74+0.13TN) 0.348T(TN)0.914

ITAE - C 1.357(TN)-0.947/K T(TN)0.738/0.842 0.381T(TN)0.995

ITAE - R 0.965(TN)-0.855/K T/(0.8+0.147TN) 0.308T(TN)0.929

Note que en las tablas se diferencian los parámetros de entonación para diferentes objetivos de desempeño (a cambios en la referencia o a perturbaciones en la carga).

Las tablas fueron obtenidas de [2], [8] y [9], y Tcl para el IMC-PID es un parámetro de ajuste fino y que con frecuencia se escoge del orden del retardo.

Los parámetros de entonación que se muestran en las tablas fueron obtenidos a través de un número importante de simulaciones de casos en los que se buscaba alcanzar los objetivos. En los casos de Ziegler y Nichols el QDR (o 50% de sobrepico) y en los basados en alguna integral del error, el mínimo de la integral correspondiente. El criterio de Cohen-Coon está diseñado para un QDR minimizando la integral del error (máximo tiempo integral) para perturbaciones en la carga. El IMC-PID está basada en la teoría de control por modelo interno (IMC) y como dijimos usa un parámetro de ajuste fino (Tcl) que es el orden de la constante de tiempo del sistema a lazo cerrado que esperamos y se fija a priori.

 

Todos esos parámetros de entonación funcionan bien cuando la constante de tiempo normalizada (o parámetro de controlabilidad) es menor que 1 (TN < 1). Más aún, las de Ziegler y Nichols para valores menores de 0.3. Para valores mayores encontramos que las fórmulas de [10] dan mejores prestaciones que todas las anteriores.

Las relaciones para un controlador PI son (recordemos que con grandes retrasos no es recomendable incluir la parte D):

a. 0.01 TN < 0.2

b. 0.2 TN < 20

Las expresiones presentadas, también obtenidas luego de correr un buen número de simulaciones, nos permiten sintonizar un controlador PI aún en la presencia de un gran retardo, asegurando de acuerdo a [10], rápido tiempo de establecimiento, bajo sobrepico, buen rechazo a perturbaciones y baja sensibilidad a cambios en la dinámica del proceso.

III.2 Evaluación de robustez.

Hasta ahora hemos presentado una serie de estrategias de sintonización de controladores que se ocupan fundamentalmente, del desempeño temporal del lazo. Adicionalmente, estamos interesados en asegurar que ese desempeño se mantiene cuando se presentan cambios en la dinámica del sistema o cuando aparecen perturbaciones externas considerables, esto es, queremos asegurar "Robustez" en el lazo.

Clásicamente, la robustez de un lazo de control se ha evaluado a través de los indicadores Margen de Fase ( m) y Margen de Ganancia (Am). Más recientemente, otro parámetro comienza a ser usado con el mismo propósito, la sensibilidad (Ms). Este parámetro asegura la robustez ante un espectro más grande de cambios en la dinámica que aquellos asegurados por los márgenes de fase y ganancia.

En la figura 3.3 se describen gráficamente los 3 parámetros sobre un diagrama de Nyquist.

Fig. 3.3. Margen de fase, de ganancia y sensibilidad

Analíticamente, esos parámetros vienen dados por:

donde : S(s) es la función de sensibilidad

Gl(s) = Gc(s)G(s) = Función de transferencia del lazo

Gc(s) = Función de transferencia del controlador

G(s) = Función de transferencia del proceso

u = 2/Tu; Tu período crítico

g = frecuencia de cruce de la gananciay se cumple que

|Gl(jg)| = 1.

Se puede demostrar [1] que:

luego Ms arroja cotas inferiores para los otros dos parámetros. Igualmente, el einverso de Ms define la cercanía del lazo a convertirse en inestable (del punto (-1,0)).

Valores típicos de estos parámetros son: m [30�,60�], Am [2,5], Ms [1.3,2].

Una vez sintonizado un controlador, es fácil determinar el margen de fase, de ganancia y la sensibilidad del sistema.

Por ejemplo, para un sistema de 1er orden con retardo, controlado con un PI, los márgenes de fase y ganancia vienen dados por [9]:

La última ecuación no puede ser resuelta analíticamente, pero puede ser aproximada por:

<

en el caso de un PID para el mismo tipo de proceso, también pueden escribirse expresiones similares y aproximar la frecuencia última. Las expresiones, mucho más complicadas pueden encontrase en [8] y no serán repetidas acá.

Aunque menos evidente, el parámetro Ms también puede, en algunos caso calcularse análiticamente, este es el caso de un sistema de 1er orden sin retraso controlado por un integrador puro. En ese caso la función de transferencia del lazo cerrado es:

en ese caso la función de sensibilidad está dada por [1]:

con = 0.3, 0.5 y 0.7, Ms = 2, 1.5 y 1.3.

Recordemos que = 0.707, 0.63 y 0.5 implica sobrepicos de 4%, 8% y 16% y que en QDR tenemos un sobrepico de 50%. Siendo esto último inaceptable desde el punto de la sensibilidad del sistema.

Existen métodos que, a través de una aproximación lineal de la función arcotangente, permiten sintonizar un PI con márgenes de fase y ganancia especificados, atacando sólo de manera indirecta el desempeño temporal. En [11] proponen para un sistema tipo FOPDT las siguientes expresiones:

Para sistemas de segundo orden con retardo SOPDT, [12] bajo las mismas técnicas de aproximación de la arcotangente, establece las siguientes fórmulas de autosintonización basados en los márgenes de fase y ganancia:

III.3 Técnicas de autosintonización de lazo cerrado.

Tal como indicamos al principio de estas notas, para autosintonizar debemos desatar un proceso de identificación y luego usar alguna de las técnicas presentadas para entonar los controladores.

Cuando la autosintonía se hace a lazo abierto, entonces el proceso es mas o menos directo. Ello no sucede igual cuando hacemos autosintonía cambiando sólo la referencia del lazo (SP). Esta estrategia presenta sin duda, bondades, entre ellas mencionamos que la estrategia de autosintonización puede colocarse en algún tipo de sistema "experto" que reconozca el desempeño degradado aprovechando un cambio en la referencia o en la carga y reentone el lazo sin la intervención humana. Por otro lado estos métodos tienen el inconveniente que un número de simplificaciones y/o de ajustes forzados del controlador deben realizarse para poder terminar con alguno de los modelos presentados en el capítulo II. Muchas veces ese ajuste del modelo es muy pobre. En la mayoría de los casos con sistemas fáciles de controlar (de acuerdo a los parámetros de controlabilidad) los resultados son muy buenos. A continuación presentamos dos de estos enfoques.

En ambos identificamos, para el sistema a lazo cerrado, un modelo de 2do orden con retardo subamortiguado (SOPDT) con las mismas técnicas presentadas en el capitulo II, para luego ajustar en ambos, el proceso a un sistema de 1er orden con retardo (FOPDT). Las salidas identificadas en el lazo cerrado son las del lazo con un controlador estándar (PI o PID) cerrando el lazo. Lo que se hace en todos los casos es aplicar una serie de entradas escalón a intervalos de tiempo adecuados (grandes en relación a la constante de tiempo del sistema). Por estas razones todos estos métodos requieren de un pretunning a lazo abierto, que bien puede utilizar el método del relé, para entonar un controlador previo y para determinar el orden de las constantes de tiempo del sistema. Una vez cerrado el lazo y alcanzado un estado estacionario, se procede a reentonar con el lazo cerrado.

En resumen, primero observando la salida del lazo con el controlador en automático identificaremos un sistema del tipo:

para luego usar esa data para calcular un modelo del proceso de la forma:

III.3.1 Método de Dormido y Morilla.

En el método de Dormido y Morilla [6], supodremos que K = n2, esto es que estamos

usando un PID en la fase previa con parámetros conocidos Kc, Ti, TD.

Observe igualmente, que en los dos modelos el retardo Td es el mismo (proceso y salida).

Los parámetros identificados en [6] son:

el parámetro satisface TD = Ti.

Debemos señalar que el método [6] es más que un identificador un asignador del coeficiente de amortiguación . En la estrategia se identifica, se sintoniza, se vuelve a identificar y a entonar y así sucesivamente hasta alcanzar el valor deseado de coeficiente. No olvidemos que está muy relacionado con la sensibilidad del sistema Ms.

III.3.2. El metodo Astrom y Hagglund.

Este método [1] es conceptualmente más sencillo. Supongamos que tenemos una función de transferencia:

entonces ese sistema puede ser aproximado por:

con Tp=T1+T2+T3+T4-T5 > 0.

Finalmente recordando que:

es fácil procurarse de un modelo del tipo FOPDT.

<

Bibliografía

[1] Asrom K y Hagglund T., "PID Controllers: Theory, Design and Tuning", ISA Press, 1995.

[2] Corripio A., "Tuning of Industrial Control Systems", ILM, ISA Press, 1990.

[3] Astrom K y Wittenmark B., "Computer Controlled Systems", Prentice Hall, 1984.

[4] Kuo B., "Automatic Control", Prentice Hall, 1990.

[5] Phillips y Harbor, "Feedback Control Sysrems", Prentice Hall, 1990

[6] Dormido S y Morilla F., "Autosintonía y Métodos de Antiwindup en los Reguladores PID", Apuntes del XV Curso de Automática en la Industria, AEIA, 1995.

[7] Stephanopoulous G, "Chemical Process Control. An Introduction to Theory and Practice. Prentice Hall, 1994.

[8] Ho W., Gan O., Tay E Y Ang E., "Performance and Gain and Phase Margins of Well-Known PID Tuning Formulas", IEEE Control Syst. Tech. No. 4, 1996.

[9] Ho W., hang C., Zhou J., "Performance and Gain and Phase Margins of Well-Known PI Tuning Formulas", IEEE Control Syst. Tech., No. 2, 1995.

[10] Khan B. y Lehman B., "Setpoint PI Controllers for Systems with Large Normalized Dead Time", IEEE Control Syst. Tech., No. 4, 1996.

[11] Ho. W, Hang C y Cao L., "Tuning of PID Controllers Based on Gain and Phase Margin Specifications", Automatica, No. 3, 1995.

[12] Ho W., Hang C. y Zhou J., "Self-Tuning PID Control of a Plant with Under-Damped Response with Specifications on Gain and Phase Margins", IEEE Control Syst. Tech., No. 5, 1997.

[13] Astrom K., Hang C., Persson P. y Ho W., "Towards Intelligent PID Control", Automática, No. 1, 1992.

[14] Zhuang M. y Atherton D., " Automatic Tuning of Optimum PID Controllers", IEE Proceedings-D, No. 3, 1993.