simulaciÓn numÉrica de flujo bifÁsico … · combina esquemas aguas arriba y aguas abajo con el...
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LA UNIVERSIDAD DEL ZULIA
FACULTAD DE INGENIERIA
DIVISIÓN DE ESTUDIOS PARA GRADUADOS
SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FLUJO BIFÁSICO MEDIANTE
EL MÉTODO DEL VOLUMEN DE FLUIDO (VOF)
Trabajo de Grado presentado por:
Joaquín E. Morán G.
Para optar al título de Magíster Scientiarum
en Ingeniería Mecánica
Tutor Académico: Prof. José A. Rincón
Maracaibo, Octubre de 2002
ii
Este jurado aprueba el Trabajo de Grado “Simulación Numérica de Flujo Bifásico
mediante el Método del Volumen de Fluido (VOF)”, que Joaquín E. Morán G.
presenta en el Consejo Técnico de la División de Estudios para Graduados de la
Facultad de Ingeniería, en cumplimiento del artículo 51, aparte 51.6, página 12,
del Reglamento de Estudios para Graduados de la Facultad de Ingeniería de La
Universidad del Zulia, como requisito para optar al título de Magíster Scientiarum
en Ingeniería Mecánica.
Maracaibo, 11 de Octubre de 2002.
Prof. José A. Rincón
Asesor
Prof. Juan A. Damia
Jurado
Prof. Juan José González
Jurado
Prof. Carlos Rincón Joaquín E. Morán
Director de la División de Autor
Estudios para Graduados
iii
DEDICATORIA
Dedico este trabajo a la persona que
me ha enseñado que con honradez,
perseverancia y esfuerzo, todo es
posible. Gracias “Caco”.
iv
AGRADECIMIENTO
A Dios por darme la vida, y llevarme siempre por los mejores caminos.
A mi esposa Liezka, por ser un apoyo incondicional en todo lo que me
propongo, gracias por todo tu amor y tu paciencia.
A mis Padres María y Joaquín, por darme una sólida educación y
brindarme un hogar donde la confianza, el respeto y los buenos ejemplos nunca
faltaron. A mi Tía Ana, gracias por estar siempre pendiente de mí.
A mis hermanos Enrique y Eduardo, porque sé que siempre piensan en
mi y me desean lo mejor. Los quiero mucho.
A Cheo, por hacerme sentir siempre como hijo suyo, ayudándome
desinteresadamente y enseñándome que la humildad y el desprendimiento son
las cualidades de un verdadero maestro. Nunca cambie Profesor Rincón.
A los Profesores del Laboratorio de Simulación Computacional, a mis
amigos José Dopazo, Alberto de Barry, Gilberto, Alejandro, Mónica, Carlos y
José. Suerte cuando les toque a Uds. Agradezco también a mi compañero
Javier Goicochea por sus recomendaciones y sugerencias.
A los Profesores David Bukowitz y Rafael Bravo. Les doy las gracias por
la oportunidad mayúscula que me han brindado y los hago responsables de
todas las cosas buenas que están por venir.
A todos, muchas gracias
v
RESUMEN
Morán G., Joaquín E. Simulación Numérica de Flujo Bifásico mediante el método del Volumen de Fluido (VOF). Trabajo de Grado. Universidad del
Zulia, Facultad de Ingeniería. Maracaibo, 2002.
En este trabajo se presentó el desarrollo computacional de un programa para la
simulación de flujo bifásico, mediante el algoritmo del Volumen de Fluido (VOF).
El programa es capaz de “rastrear” el movimiento de una interfase definida entre
dos fluidos incompresibles e inmiscibles. Además del modelo VOF propuesto
por Hirt y Nichols en 1981, se implementó un algoritmo súper-compresivo que
combina esquemas aguas arriba y aguas abajo con el objetivo de minimizar la
falsa difusión, que puede conducir a resultados erróneos. Para la reconstrucción
de la interfase en cada paso de tiempo, se utilizó el modelo de Youngs, conocido
como PLIC (“Piecewise Linear Interface Calculation”). Los problemas
seleccionados para evaluar el desempeño del programa, muestran una
excelente capacidad de captura de interfase. En los casos que presentan
condiciones de tensión superficial dominante (término que no es considerado en
la formulación presentada en este trabajo) los resultados del programa son
cualitativamente aceptables. El algoritmo VOF fue implementado en forma
bidimensional, pero puede ser extendido a tres dimensiones y a situaciones
axisimétricas. Aunque se logró reducir el costo computacional del algoritmo para
el monitoreo de la interfase, sería recomendable la implementación de un
método numérico diferente al TDMA para la solución del sistema de ecuaciones.
Palabras Clave: Volumen de Fluido, VOF, Modelo de Young, superficie libre.
vi
ABSTRACT
Morán G., Joaquín E. Numerical Simulation of Two – Phase Flow using the Volume of Fluid (VOF) Method. Trabajo de Grado. Universidad del Zulia,
Facultad de Ingeniería. Maracaibo, 2002.
In this work, a numerical algorithm to solve two – phase flow problems was
presented. The volume of fluid (VOF) method showed its capability to track the
interface movement within the computational domain, if we consider
incompressible and immiscible flows. In addition to the original VOF formulation,
proposed by Hirt and Nichols in 1981, a super-compressive algorithm was
implemented, in order to maintain a sharp definition at the interface. The latter,
combines upwind and downwind schemes to minimize the numerical diffusion
created by the numerical solution method. For the reconstruction of the interface
profile in each time step, the Young’s method (PLIC) was also employed. The
problems selected to evaluate the behavior of the algorithm, showed excellent
volume tracking capabilities. In some cases, where the surface tension effects
(which were not considered here) are dominant, the results are qualitatively
acceptable. The VOF method was implemented in a two – dimension approach,
but can be extended to 3D and cylindrical situations. Although the computational
costs were reduced in comparison with previous works, we recommend a
different numerical method, more efficient than TDMA, for solving the
conservation equations.
Key Words: Volume of Fluid, VOF, Young’s method, free surface flows.
vii
INDICE GENERAL
DEDICATORIA iiiAGRADECIMIENTO iv RESUMEN v ABSTRACT vi
INDICE GENERAL vii LISTA DE FIGURAS xLISTA DE TABLAS xiii NOMENCLATURA xiv
CAPÍTULO I: Planteamiento y Antecedentes del Problema
1.1. Justificación del Estudio 2
1.2. Trabajos y Experiencias Previas 5
1.3. Hipótesis Fundamental de la Investigación 12
1.4. Objetivos Generales y Específicos 13
1.5. Estructura del Trabajo 14
CAPÍTULO II: El Modelo del Volumen de Fluido
2.1. Métodos para la Simulación de Flujo Bifásico 16
2.2. Aspectos Generales del Modelo de Volumen de Fluido 17
2.3. El Modelo Matemático 18
2.3.1. Ecuación General de Transporte 19
viii
2.3.2. Ecuaciones Gobernantes 20
2.4. Condiciones Iniciales y de Contorno 26
2.5. Modelos VOF – Implementación Numérica 28
2.5.1. FCT-VOF 29
2.5.2. FCT-VOF Unidimensional 32
2.5.3. FCT-VOF Multidimensional 33
2.6. Métodos para la Reconstrucción de la Interfase 36
2.6.1. SLIC 36
2.6.2. VOF de Hirt y Nichols 37
2.6.3. Modelo de Youngs (PLIC) 40
2.7. Algoritmos para Minimizar la Falsa Difusión 45
2.7.1. Diagrama de la Variable Normalizada (NVD) 51
2.7.2. Esquema Diferenciador Inter-Gamma 54
2.7.3. Limitaciones en el Número de Courant 56
CAPÍTULO III: Implementación Computacional
3.1. Programa de Propósitos Generales PRODIC 58
3.1.1. Alcances y Limitaciones 58
3.1.2. Estructura General de PRODIC 59
3.1.3. Criterio de Convergencia 63
3.1.4. Sistemas de Coordenadas 65
3.1.5. Especificación de las condiciones de contorno 66
3.2. Programa YOUNGS: Implementación del Modelo VOF 68
3.2.1. Incorporación de C en el algoritmo de solución 69
3.2.2. Introducción del Método Inter-Gamma 70
3.2.3. Implementación del Modelo de Youngs 71
3.3. Modificaciones a la subrutina ADAPT 72
CAPÍTULO IV: Casos de Estudio. Resultados
ix
4.1. Caso No. 1: Caída y Colapso de Gota 75
4.1.1. Descripción del Problema 75
4.1.2. Descripción de la subrutina ADAPT 77
4.1.3. Resultados Obtenidos 79
4.2. Caso No. 2: Colapso de una Columna de Líquido 81
4.2.1. Descripción del Problema 81
4.2.2. Descripción de la subrutina ADAPT 83
4.2.3. Resultados Obtenidos 84
4.3. Caso No. 3: Rotación de una Cavidad Cuadrada 87
4.3.1. Descripción del Problema 87
4.3.2. Descripción de la subrutina ADAPT 89
4.3.3. Resultados Obtenidos 90
4.4. Caso No. 4: Cavidad con dos fluidos 92
4.4.1. Descripción del Problema 92
4.4.2. Descripción de la subrutina ADAPT 94
4.4.3. Resultados Obtenidos 95
CAPÍTULO V: Conclusiones y Recomendaciones
REFERENCIAS
APENDICE: Subrutinas ADAPT para los cuatro casos estudiados
A.1. GOTA.FOR
A.2. COLUMNA.FOR
A.3 SQUARE.FOR
A.4. DENSINV.FOR
x
Lista de Figuras
Figura Pág.
1.1. Recipiente mostrando los tipos de flujo inmiscible 3
1.2.
Modelos para la simulación de flujo bifásico: Métodos de rastreo
de interfase: a) partículas en la interfase, b) mallas adaptadas.
Métodos de volumen: c) Función colorante 5
1.3. Partículas marcadoras propuestas por Daly 6
1.4.
Funciones de elevación para (a) interfases cerradas (b) interfases
abiertas 7
1.5.
Colapso de una columna de agua simulado mediante un
algoritmo de mallas adaptadas a la interfase 8
1.6. Partículas marcadoras en los volúmenes de control de la malla 9
1.7. Fracciones de volumen en una malla discreta 9
2.1.
Enfoques Físicos: Lagragiano. (a), donde se sigue la trayectoria
de cada una de las partículas, y Euleriano (b), en donde se
considera un solo fluido pseudo-homogéneo 16
2.2. Forma general de las leyes de conservación 19
2.3. Fuerzas sobre una interfase curva 22
2.4.
Continuidad en el campo de velocidades y discontinuidad en el
campo de cantidad de movimiento 24
2.5.
Advección unidimensional de una función escalón utilizando el
modelo FCT-VOF 33
2.6.
Advección de una función cuadrada utilizando FCT-VOF
multidimensional 34
2.7. Aproximación de la interfase para la celda central utilizando SLIC. 36
2.8.
Reconstrucción de interfases de la configuración original
mostrada en (a) mediante: (b,c) SLIC (en la dirección “x” y “y”
respectivamente); (d) VOF de Hirt y Nichols y (e) modelo de
Youngs 37
xi
Figura
2.9. Configuración real de la interfase 39
2.10. Fenómenos de Jetsam/Flotsam en diferentes modelos 39
2.11. Posibles configuraciones de la interfase para el modelo PLIC 42
2.12. Diagrama de flujo para determinar la configuración de la interfase. 42
2.13. Arreglo para simulación de superficie libre 45
2.14. Secuencia de imágenes mostrando el desarrollo de falsa difusión. 46
2.15.
Aproximación tipo donante-receptor. La celda de la izquierda
actúa como donante 48
2.16. Nomenclatura para un volumen de control unidimensional 48
2.17. Configuración de los fluidos en la celda donante 49
2.18.
Definición de Nodos aguas arriba (U), aguas abajo (D) y central
(C) dependiendo del signo de uf 51
2.19.
Diagrama de la Variable Normalizada mostrando φf como función
de φC para los esquemas: upwind de primer orden (1U),
downwind de primer orden (1U) y upwind de segundo orden (2U) 53
2.20. Criterio de acotamiento en el diagrama NVD 54
2.21. Esquema Inter – Gamma en diagrama NVD 55
3.1. Estructura lógica de PRODIC 60
3.2. Los tres sistemas de coordenadas 66
3.3. Diagrama de Flujo del programa YOUNGS 69
4.1. Condiciones iniciales y dimensiones para el problema de la gota 75
4.2.
División del dominio en volúmenes de control y malla resultante
para el problema de la gota 76
4.3.
Resultados del programa YOUNGS para la gota (varios pasos de
tiempo) 79
4.4.
(a) Simulación tridimensional de una gota pendiente, (b) foto
comparada con la simulación [2] 80
4.5.
Condiciones iniciales y dimensiones para el problema de la
columna de líquido. 81
4.6. División del dominio en volúmenes de control y malla resultante
xii
para el problema de la columna de líquido 82
4.7.
Resultados del programa YOUNGS para el problema de la
columna de líquido
85
4.8.
Variación en el tiempo VS Longitud en forma adimensional para el
problema de la columna de líquido 86
4.9. Condiciones iniciales y dimensiones para la cavidad en rotación… 87
4.10
División del dominio en volúmenes de control y malla resultante
para la cavidad en rotación 88
4.11.
Resultados del programa YOUNGS para la rotación de una
cavidad cuadrada 91
4.12.
Condiciones iniciales y dimensiones para el problema de
densidad invertida 92
4.13.
División del dominio en volúmenes de control y malla resultante
para el problema de densidad invertida 93
4.14.
Resultados del programa YOUNGS para el problema de densidad
invertida 95
xiii
Lista de Tablas
Tabla Pág.
2.1. Cálculo de Flujos según el modelo YOUNGS 44
3.1. Interpretación de algunas variables utilizadas en el programa
PRODIC 66
3.2. Especificación de las condiciones de borde 67
4.1. Variables de inicialización para el caso de la gota 77
4.2. Variables de inicialización para el caso de la columna de liquido 82
4.3. Variables de inicialización para la cavidad cuadrada 89
4.4. Variables de inicialización para el caso No. 4 93
xiv
Nomenclatura
Símbolo Significado
C Función colorante, nodo central.
Co Numero de Courant.
D Nodo aguas abajo.
F Flujo, variable de campo.
f Fuerza de tensión superficial.
g Aceleración de gravedad.
I Tensor unitario, índice.
K Error por difusión efectiva.
n Término geométrico.
P Presión.
Pe Numero de Peclet.
Q Término fuente.
S Término fuente, superficie o contorno.
T Tensor de esfuerzos.
t Tiempo.
U Velocidad en “x”, nodo aguas arriba.
u Velocidad en la dirección “x”.
v Velocidad en la dirección “y”.
V Volumen.
Símbolos Griegos
α Función colorante.
β Ángulo de la interfase con la horizontal.
Γ Coeficiente de difusión.
ρ Densidad.
xv
φ Variable de campo.
μ Viscosidad dinámica.
σ Tensión superficial.
θ Ángulo de YOUNGS.
Subíndices y Superíndices
∼ Variable normalizada.
* Valor corregido.
1,2 Fluidos involucrados.
A Antidifusivo.
C Valor de la propiedad en el nodo central.
D Valor de la propiedad en el nodo aguas abajo.
f, i+1/2 Valor de la propiedad en la cara.
H Alto orden.
i , j Índices.
L Bajo orden.
new Valor nuevo.
old Valor anterior (paso de tiempo anterior).
U Valor de la propiedad en el nodo aguas arriba.
2
1.1. Justificación del Estudio.
La simulación directa de flujo multifásico constituye uno de los principales
retos dentro de las áreas estudiadas mediante la dinámica de fluidos
computacional (CFD). La razón más importante, es la complejidad asociada a las
ecuaciones de conservación (continuidad, cantidad de movimiento, energía,
conservación de especies químicas) que deben escribirse para cada fase, además
de los fenómenos asociados a la transferencia de masa entre los componentes del
flujo.
Si se considera que los fluidos son inmiscibles, es decir, no existe
transferencia de masa entre ellos, el análisis es mucho más simplificado. La
inmiscibilidad es el resultado de las fuerzas de cohesión entre las moléculas, y
depende de la naturaleza de los fluidos. La facilidad con la cual dos fluidos se
mezclan se expresa mediante un coeficiente experimental denominado ”tensión
superficial”. A mayores valores de la tensión superficial, mayor será la resistencia
a ser mezclados, mientras que valores negativos indican que no ofrecen
resistencia a mezclarse.
El flujo de fluidos inmiscibles se encuentra comúnmente en una gran
variedad de situaciones y procesos en la industria y la naturaleza. En algunas
circunstancias, son debidos a reacciones químicas o cambios de fase como
consecuencia de altas temperaturas, pero que sin embargo modifican la
naturaleza y configuración del flujo. Algunos de los problemas de ingeniería que
involucran el acoplamiento de dos o más materiales cuyos bordes o fronteras se
mueven, deforman o evolucionan en el tiempo, son: la deformación de gotas,
burbujas, superficies libres de líquidos, interfaces de materiales en solidificación y
vaporización, interacciones flujo – estructura en problemas a escala macroscópica
(aeroeslasticidad) y microscópica (biomecánica), fenómenos atmosféricos
(tormentas, tsunamis), entre otros.
3
El flujo de fluidos inmiscibles puede ser clasificado en tres grandes grupos,
de acuerdo a las estructuras interfaciales y la distribución topográfica de las fases.
Estos grupos son:
Flujos segregados
Flujos de transición o mezclados
Flujos dispersos.
Puede explicarse la configuración física de cada una de éstas categorías
siguiendo el siguiente ejemplo: Considere un recipiente cerrado que contenga una
cierta cantidad de líquido y gas (ver Figura 1.1).
Figura 1.1. Recipiente mostrando los tipos de flujo inmiscible.
Si se mueve suavemente hacia los lados (con baja amplitud y baja
frecuencia) las dos fases permanecen separadas mediante una interfase
fácilmente identificable en todo momento, como en flujos segregados. Si se
aumentan la amplitud y la frecuencia, se alcanza un flujo de transición o mezclado
cuando se forman olas en la superficie del líquido que pueden volverse inestables
y romperse. Nótese que al suceder esto, algunas burbujas de gas quedan
atrapadas bajo al superficie del líquido. Finalmente, si se agita violentamente el
4
recipiente, el gas queda suspendido en el líquido en forma de pequeñas burbujas,
obteniéndose así un flujo disperso.
En este trabajo, se estudiará flujo bifásico segregado, y se propondrá el
modelo del Volumen de Fluido (VOF) para la identificación de las estructuras
asociadas al flujo. La interfase es crucial para la solución del problema de flujo
segregado, por lo cual debe ser parte del algoritmo de solución. Al igual que los
algoritmos utilizados para resolver problemas de flujo monofásico, debe ser
conservativo (respecto de la masa, cantidad de movimiento, energía, etc.), tener
buena precisión numérica, minimizar las necesidades computacionales y ser de
carácter general. Otras condiciones que debe cumplir el método propuesto para
atacar problemas de flujo multifásico son:
La representación de la interfase en una malla discreta
El movimiento de la interfase en el tiempo
El tratamiento de las celdas parcialmente llenas
El acople de las condiciones de la interfase a las ecuaciones de
movimiento.
No existe todavía un método o modelo que se utilice con preferencia para la
simulación de flujo bifásico. Algunos autores han intentado una combinación de
varias técnicas, obteniéndose resultados aproximados. Sin embargo, no existe
una comparación directa entre los beneficios que resultan de utilizar los modelos
combinados entre sí en función de los resultados obtenidos, así como de la
complicación de los algoritmos y de la dificultad de extenderlos para resolver
problemas tridimensionales. Asimismo, no hay evidencia de problemas tipo para
efectuar estas comparaciones entre los modelos numéricos.
Aunque existen paquetes computacionales para la resolución de este tipo
de problemas, no se ha masificado la utilización de los mismos debido a las
incertidumbres asociadas a los métodos.
5
1.2. Trabajos y Experiencias Previas.
Los algoritmos existentes para el cálculo de la localización de la superficie
libre han sido clasificados según Ferziger y Peric1 en dos categorías (ver Figura
1.2):
Métodos que trazan una superficie libre o interfase, cuyo movimiento es
continuamente monitoreado. Estos métodos reciben el nombre de
“métodos de rastreo de interfase” (interface tracking methods).
Métodos que no definen una superficie libre, sino que la malla se extiende
más allá de la interfase, y la forma de la superficie es determinada por las
celdas que se encuentran parcialmente llenas (presencia de ambas fases).
Estos métodos se denominan “métodos de captura de interfase” o “métodos
de volumen” (interface capturing methods).
Figura 1.2. Modelos para la simulación de flujo bifásico: Métodos de rastreo de interfase: a)
partículas en la interfase, b) mallas adaptadas. Métodos de volumen: c) Función colorante
Con respecto a los métodos de rastreo de interfase, existen a su vez
diferentes alternativas2. En la técnica de partículas en la interfase (Figura 1.3),
(a) (b) (c)
6
Figura 1.3. Partículas marcadoras propuestas por Daly.
propuesta por Daly (1969) se utiliza un conjunto de marcadores sin masa, que se
desplazan por efecto de las velocidades locales. Éste método tiene la desventaja
de que el espaciamiento entre las partículas afecta sensiblemente los resultados,
por lo tanto, existen restricciones para predecir interfases que se mezclen o
rompan (oleaje). Más aún, en tres dimensiones es casi imposible llevar cuenta de
la conectividad de las partículas.
Las funciones de elevación propuestas por Hirt y Nichols y ejemplificadas
mediante la Figura 1.4, extienden la idea de los marcadores de interfase
relacionando los puntos de referencia en la superficie con un plano fijo. La
localización de la interfase queda entonces descrita como la distancia al plano de
referencia. La limitante de éste método es que sólo puede representarse una
elevación por cada coordenada, por lo tanto no es posible la predicción de
interfase en problemas en donde hay rompimiento, cambio de dirección o
socavamientos bruscos de la superficie.
El método de ajuste de nivel (level-set)3 4, utiliza una función que se calcula
para todo el dominio computacional, y cuyo valor es igual a la distancia más corta
Fluido 2
Fluido 1
7
Figura 1.4. Funciones de elevación para (a) interfases cerradas y (b) interfases abiertas.
entre el punto y la interfase. La interfase es definida por las celdas en donde la
función, conocida como “función de nivel” tiene un valor igual a cero.
Los métodos de ajuste de malla5, adaptan el contorno de la misma a la
interfase en cada paso de tiempo. Como ventajas, ofrece la reducción de los
datos a ser almacenados (no hay necesidad de marcadores para la interfase),
aseguran una buena definición de la interfase y evita considerar celdas
parcialmente llenas. Sin embargo, estos métodos están limitados a superficies
que no sufran grandes deformaciones, pues ocasionan distorsiones sustanciales
de la malla (ver Figura 1.5). Otra desventaja es que para cada paso de tiempo es
necesario regenerar la malla, lo cual trae como consecuencia complicaciones de
tipo geométrico.
Múltiples valores de una
misma elevación
(a)
(b)
8
Figura 1.5. Colapso de una columna de agua simulado mediante un algoritmo de mallas
adaptadas a la interfase
Los métodos de captura de interfase o monitoreo de volumen6, comenzaron
a desarrollarse a partir del modelo MAC (Marker And Cell) propuesto por Harlow y
Welch. Este método propone esparcir partículas sin masa sobre todo el volumen
ocupado por el fluido con superficie libre. Como se observa en la Figura 1.6, una
celda sin marcador se considera vacía. Cada celda marcada adyacente a una
celda sin marcar, contiene una porción de la intefase, mientras que todas las otras
celdas marcadas se consideran completamente llenas de un solo fluido. Daly
(1967), extendió el método MAC a dos fluidos; en este caso, cada fluido tiene sus
propias partículas marcadoras. Las celdas que presenten partículas de ambos
fluidos contienen la interfase.
DeBar (1970) desarrolló un método en el cual se calculaba la fracción de
volumen de cada fase presente en cada una de las celdas de la malla. En el
método VOF (Volume of Fluid) propuesto por Hirt y Nichols (1981), la fracción de
volumen se representa mediante una función escalar con valores de 0 hasta 1
9
Figura 1.6. Partículas marcadoras en los volúmenes de control de la malla.
Figura 1.7. Fracciones de volumen en una malla discreta.
para distinguir entre las dos fases presentes (Figura 1.7). Un valor de 0 indica
que la celda se encuentra totalmente llena de una de las fases, mientras que si la
función escalar vale 1, la celda contiene el otro fluido. Un valor intermedio entre 0
y 1 indica la presencia de la interfase dentro del volumen de control de la malla.
1.00 1.00 1.00 1.00
0.98 0.96 0.64 0.72
0.09 0.22 0.00 0.00
10
El método VOF consta de tres componentes7 a saber: un esquema para
localizar la interfase o superficie, un algoritmo para monitorear su desplazamiento
a través de la malla y una forma de imponer las condiciones de contorno en la
interfase para cada paso de tiempo. Es importante que la programación del
método VOF contenga estos tres ingredientes, pues de lo contrario se cometerán
errores en la ubicación y reconstrucción de la interfase. La ventaja de utilizar las
fracciones de volumen sobre el método MAC es que sólo se necesita determinar
un valor para cada celda. Otro beneficio es que la fracción de volumen es una
ecuación convectiva escalar como las otras ecuaciones de transporte, que se
resuelve sobre toda la malla para propagar las fracciones de volumen.
Durante los últimos años, los investigadores han propuesto varias técnicas
para definir (entiéndase “dibujar” o “trazar”, diferente a “localizar”) la interfase
utilizando el marco de la fracción de volumen. La mayoría de estas propuestas
cae dentro de una de dos categorías: las técnicas de línea o la formulación
donante-receptor (donor-acceptor). Las técnicas de línea, como el método SLIC
(Simple Line Inteface Calculation) propuesto por Noh y Woodward en 1976, utiliza
las fracciones de volumen de celdas vecinas para trazar los perfiles de la interfase
en las celdas que la contienen, en forma de líneas paralelas a los ejes
coordenados de la malla. En el método de Youngs o también llamado PLIC
(Piecewise Linear Interface Calculation) se ajusta la interfase dentro de cada
volumen de control a una línea recta, que no tiene porqué estar alineada con los
ejes coordenados, lo cual permite una mejor resolución y aproximación al contorno
real de la superficie. Por otro lado, para corregir el valor de la fracción de
volumen, los métodos de alto orden para el tratamiento de la convección, como el
modelo propuesto por Jasak et al.8 en 1995, utiliza esquemas de séptimo a
noveno orden para localizar la interfase dentro del volumen de control, evitando la
difuminación de la superficie definida o “smearing” causada por la falsa difusión de
los métodos de bajo orden. Esto se logra mediante los diagramas de variables
normalizadas implementados por B.P. Leonard9 para resolver problemas de
transporte escalar altamente convectivo que involucran discontinuidades
11
pronunciadas y fuertes curvaturas de las líneas de corriente10. Es claro que debe
existir un compromiso entre la falsa difusión de los esquemas de bajo orden y las
oscilaciones producidas por esquemas de alto orden. Ubbink5, utiliza una
combinación de VOF, limitadores y PLIC para la reconstrucción de la interfase en
problemas en donde hay rompimientos y deformaciones pronunciadas.
Otros autores como J. Ghidaglia11 utilizan una técnica diferente, basada en
el cálculo de las fracciones de volumen de cada fase en la celda, e incluso en la
determinación de la transferencia de masa entre las fases. La formulación de esta
propuesta se basa en modelos Euler-Euler, a diferencia de los modelos Euler-
Lagrange utilizados para el estudio de flujo multifásico disperso. Los trabajos de
Ghidaglia se basan en la utilización de mallas no estructuradas, presentando
además las complicaciones adicionales que trae como consecuencia la
consideración de mezcla entre las fases. Sin embargo no hay un algoritmo para la
reconstrucción de la interfase en cada paso de tiempo, por lo cual, adicional a los
valores de las propiedades (velocidad, temperatura, presión, etc.) no es posible
rastrear el movimiento de la interfase.
Algoritmos del tipo Lattice – Boltzmann también se han implementado en la
simulación de flujos multifásicos. En este caso, se discretiza y resuelve la
ecuación de Boltzmann sobre arreglos reticulares, determinando la probabilidad de
que una partícula se encuentre en determinada posición en un instante de tiempo
dado.
Finalmente, los algoritmos de “corrientes de volumen”18 de fluido, utilizan
líneas de corriente que cruzan a través de las caras de las celdas de la malla, y es
sobre éstas líneas que se realizan las integraciones para el cálculo de los flujos
volumétricos que pasan a través de las caras de los volúmenes de control.
12
1.3. Hipótesis fundamental de la Investigación.
El desarrollo de un programa computacional para la simulación numérica de
flujo bifásico utilizando el método VOF para la determinación de la ubicación de la
interfase, permitirá al usuario:
Analizar el comportamiento de la interfase entre dos fluidos mediante un
algoritmo sencillo y que requiere poco esfuerzo computacional
Estudiar las interacciones entre las fases de un flujo compuesto
determinando los valores de las propiedades de dichas fases cerca de la
interfase
Modelar problemas en los cuales existen deformaciones y movimiento
relativo entre las fases del flujo
Predecir la localización de la interfase en cada paso de tiempo
Comparar los resultados obtenidos con los experimentos realizados por
otros autores, así como con otros métodos para el cálculo de la localización
de la interfase.
La función escalar para la determinación de las fracciones de volumen, será
incluida como una ecuación de transporte adicional. De igual forma, se utilizará el
algoritmo de Youngs (PLIC) para la reconstrucción de la interfase en cada paso de
tiempo. Se utilizará un limitador para corregir el efecto de la falsa difusión en la
determinación de la función escalar. Este limitador introduce en la solución del
problema los métodos de alto orden cuando considere que se acerca a la interfase
dentro de cada celda.
13
1.4. Objetivos Generales y Específicos
El objetivo general del trabajo es modelar numéricamente el
comportamiento de la interfase en flujo bifásico, utilizando el método del volumen
de fluido (VOF).
Los objetivos específicos son los siguientes:
Modificar el programa PRODIC, utilizado para resolver problemas de
transferencia de calor y flujo de fluidos en coordenadas cartesianas, polares
y axisimétricas, para que calcule el valor de la función escalar de fracción
de volumen.
Implementar el método de Youngs (PLIC) para la reconstrucción de la
interfase entre los dos fluidos en cada paso de tiempo.
Utilizar un limitador para cambiar el orden del algoritmo en los casos que
sea necesario, evitando así la difuminación de la interfase.
Comparar los resultados obtenidos con los de otros autores para problemas
con solución conocida.
14
1.5. Estructura del Trabajo
Este trabajo de investigación se ha dividido en cinco capítulos, cada uno de
los cuales contiene la siguiente información:
Capítulo I: Introduce al lector brevemente en el contexto de los modelos
para la simulación de flujo bifásico, toda vez que se enumeran algunas de
sus aplicaciones. Se hace referencia a trabajos anteriores y se explican los
objetivos y la hipótesis de la investigación llevada a cabo.
Capítulo II: Se enumeran los modelos físicos utilizados para la simulación
de flujos multifásicos y se describe matemáticamente el método del
Volumen de Fluido (VOF). Presenta las diferentes estrategias utilizadas
para la minimización de la difusión numérica.
Capítulo III: Se explica la implementación computacional del modelo VOF,
así como de los algoritmos “supercompresivos” y el método de Youngs
(PLIC). Presenta la estructura, funcionamiento y limitaciones del programa
YOUNGS, obtenido mediante la modificación del programa PRODIC, y su
adaptación a la resolución de problemas de flujo bifásico.
Capítulo IV: Se seleccionan cuatro ejemplos tipo para la evaluación del
programa YOUNGS, comparando los resultados obtenidos con la
bibliografía cuando sea disponible.
Capítulo V: Conclusiones y recomendaciones.
16
2.1. Métodos para la Simulación de Flujo Bifásico.
Los dos enfoques físicos más comúnmente utilizados en la clasificación
de los modelos para la simulación numérica de flujo multifásico, de acuerdo al
tratamiento a la fase dispersa, son los siguientes:
Modelos Euler – Lagrange
Modelos Euler – Euler.
En los modelos Euler – Lagrange, se determina el campo de flujo a partir
de las ecuaciones de conservación aplicadas a una mezcla pseudo-
homogénea gas-líquido, para luego calcular la concentración o presencia de
gas (holdup) monitoreando el movimiento de cada una de las burbujas (Figura
2.1a). Las ventajas que ofrece éste método son principalmente la fácil
inclusión de los efectos interfaciales gas-líquido y la ausencia de difusión
numérica (sólo en la solución para la fase dispersa). Sin embargo, a medida
que la concentración de la fase dispersa aumenta, es prácticamente imposible
rastrear el desplazamiento de cada burbuja individualmente.
Figura 2.1. Enfoques Físicos: Lagragiano (a), donde se sigue la trayectoria de cada una de
las partículas, y Euleriano (b), en donde se considera un sólo fluido pseudo-homogéneo.
(a) (b)
17
Los modelos Euler – Euler (Figura 2.1b), tratan los componentes del flujo
como fluidos interpenetrantes, y resuelven las ecuaciones de conservación de
masa y cantidad de movimiento para este “flujo homogéneo” resultante. Como
consecuencia, existe la presencia de fuerte difusión numérica en el campo de
soluciones del problema, lo cual puede ser perjudicial en situaciones de flujo
multifásico en donde debe determinarse con precisión la ubicación de la
interfase.
En el caso particular de la simulación de flujo bifásico segregado se han
desarrollado numerosas técnicas y métodos numéricos con la finalidad de
determinar la localización de la interfase entre los dos fluidos, considerándolos
inmiscibles (es decir, no hay transferencia de masa entre las fases). El
modelo del Volumen de Fluido (VOF) tiene un enfoque Euler-Euler, como se
verá más adelante.
2.2. Aspectos generales del modelo del Volumen de Fluido.
Para el modelado de flujos interfaciales, se requiere de algoritmos que
ofrezcan alta fidelidad en el cálculo de la cinemática y dinámica de la interfase
entre los fluidos. Los algoritmos utilizados para la cinemática deben llevar a
cabo la representación discreta de la interfase y su advección o transporte a
través del dominio computacional, mientras que los algoritmos para la dinámica
tienen como objetivo el modelado de la física específica a la interfase y
localizada en la interfase. Ejemplos representativos de este último tipo de
algoritmos pueden ser el cambio de fase y la tensión superficial
Las técnicas numéricas seleccionadas para modelar la cinemática y
dinámica de la interfase son especialmente importantes en métodos Euler-
Euler de diferencias finitas, diseñados para simular flujos con interfases de
topologías complejas que pueden deformarse arbitrariamente. En estos
esquemas, la malla computacional se mantiene estacionaria (sin movimiento),
así que debe existir una forma de minimizar el efecto de la difusión numérica,
18
con el objetivo de mantener la definición de la interfase sin sacrificar la robustez
necesaria para satisfacer las demandas de la topología.
El modelo del volumen de fluido (VOF) es un algoritmo de monitoreo o
seguimiento de interfase que ha probado ser una herramienta robusta y útil
desde su desarrollo hace más de dos décadas. Se ha convertido en la opción
preferida en modelos Eulerianos de flujos interfaciales, especialmente aquellos
en donde la interfase es sometida a cambios bruscos en su topología (como
por ejemplo rompimientos o coalescencia). Sin embargo, el método VOF ha
sido revisado y mejorado por varios autores hasta la fecha, haciéndose
necesario realizar una breve descripción de éstas mejoras.
2.3. El Modelo Matemático
Como se mencionó en el primer capítulo, la intención de esta
investigación es la implementación de una metodología CFD con la capacidad
de predecir las condiciones de flujo de dos fluidos inmiscibles, separados por
una interfase bien definida. El modelo matemático que describe el flujo de los
fluidos mencionados y el movimiento del contorno móvil o interfase que los
separa, será desarrollado en esta sección.
El modelo más comúnmente utilizado, en donde se utiliza el enfoque de
la mecánica del continuo, será tomado como la base de este trabajo. Los
fluidos son modelados como un continuo con un “salto” en sus propiedades
localizado en la interfase, siendo identificados mediante una función colorante
“α”. La interfase queda implícitamente definida en la región en donde ésta
función colorante experimenta un cambio pronunciado. Este enfoque, puede
aplicarse tanto a flujos laminares como turbulentos, donde, en el caso del
último, la turbulencia debe ser modelada de alguna manera, como ha sido
llevado a cabo por Hagiwara y Madarame (1992) además de los trabajos de
Lemos (1992). Como el propósito de ésta investigación es implementar un
método para la captura de la interfase, y debido a que en los casos a ser
19
considerados los efectos de inercia y fuerzas de presión son dominantes, la
turbulencia no será tratada de forma alguna.
2.3.1. Ecuación General de Transporte.
El flujo de fluidos se describe matemáticamente mediante tres leyes de
conservación: la conservación de masa, de cantidad de movimiento y de
energía. Estas leyes determinan completamente el comportamiento físico del
flujo y son independientes de la naturaleza del fluido, la cual es definida por
propiedades como la viscosidad, conductividad térmica, tensión superficial y
compresibilidad. La forma general de la ecuación de conservación para una
cantidad ϕ, con referencia al volumen de control mostrado en la Figura 2.2 es
de la forma:
Figura 2.2. Forma general de las leyes de conservación.
(2.1)
en donde t es el tiempo, FC = ϕu, es decir, el flujo a través del contorno debido
a convección (o movimiento del fluido), u es la velocidad del fluido, FD es el
flujo difusivo a través del contorno, QV es la fuente interna, QS es la fuente en el
∫∫∫ ∫ ∫∂∂ ∂
⋅+=⋅−⋅+∂∂
V
S
V
V
V V V
DC dSQdVQdSFdSFdVt
ϕ
20
contorno del volumen considerado, V es volumen, ∂V es su contorno y dS es el
vector que representa la superficie del contorno y apunta hacia fuera del
volumen de control.
El teorema de Gauss puede ser aplicado a la ecuación anterior, y
tomando como suposiciones que los flujos son continuos y existen fuentes
sobre la superficie, se obtiene la expresión:
(2.2)
Ésta última ecuación puede aplicarse a un volumen finito arbitrario. Si el
volumen se contrae hasta tener el tamaño de un elemento diferencial, la
ecuación (2.2) se reduce a la forma general conservativa:
(2.3)
Esta ecuación general de transporte, que puede representar un campo
escalar, vectorial o tensorial, será utilizada en la próxima sección para derivar
el conjunto completo de ecuaciones para un sistema de dos fluidos. De la
ecuación (2.1), se tiene que la conservación de una cantidad del flujo (llamada
propiedad) depende en algunos casos de las condiciones de borde del dominio
de cálculo. Estas condiciones de borde se explicarán más adelante.
2.3.2. Ecuaciones Gobernantes
La ecuación de transporte para la conservación de la masa se deriva de
sustituir ϕ = ρ (la masa por unidad de volumen) en la ecuación (2.3). Si se
supone que no hay otras fuentes de masa como reacciones químicas y
cambios de fase, la ecuación se reduce a:
∫∫∫ ∫ ∫ ⋅∇+=⋅∇−⋅∇+∂∂
V
S
V
V
V V V
DC dSQdVQdSFdSFdVt
ϕ
SVDC QQFFt
⋅∇+=⋅∇−⋅∇+∂∂ϕ
21
(2.4)
Esta relación, también conocida como la condición de continuidad,
establece que la masa de un fluido dentro de un dominio cerrado puede solo
cambiar a consecuencia de flujo a través de los límites o contornos (para el
caso incompresible).
La ecuación para la conservación de la cantidad de movimiento se
obtiene mediante la sustitución de ϕ por ρu (cantidad de movimiento por unidad
de volumen) en la ecuación (2.3). Se considerará en adelante que no hay
difusión de cantidad de movimiento cuando el fluido se encuentre en reposo,
por lo cual FD = 0. Las fuentes se definen mediante la adición de todas las
fuerzas externas (por unidad de volumen) a la suma de todas las fuerzas
internas. La única fuerza externa que se considerará actuando sobre el fluido
es ρg, la fuerza debida a la gravedad, donde g es la aceleración gravitacional.
Las fuerzas internas se cancelan por pares en cada punto dentro del volumen
del fluido, y se manifiestan como esfuerzos en los contornos, en donde no
existen fuerzas que se les opongan.
El tensor de esfuerzos T para un fluido newtoniano en equilibrio
termodinámico local, que no se considera expuesto a grandes rangos de
temperatura y presión, se define como:
(2.5)
donde P es la presión, μ es la viscosidad dinámica e I es el tensor unitario.
Una carga interna que todavía no ha sido tomada en consideración es
ƒo, la fuerza debida a la tensión superficial. La tensión superficial es una fuerza
0=⋅∇+∂∂ u
tρρ
( )( )( )TuuuIPT ×∇+×∇+⋅∇+−= μμ32
22
de tensión tangencial a la interfase que separa los dos fluidos, y trata de
mantener las moléculas que se encuentran en la superficie libre en contacto
con cada uno de ellos. Como se dijo en el capítulo anterior, el valor de la
tensión superficial depende en principio de la naturaleza de ambos fluidos.
Para una interfase curva, la tensión superficial también tiene una componente
que es normal a la interfase (ver Figura 2.3).
Figura 2.3. Fuerzas sobre una interfase curva.
Si los fluidos se encuentran en equilibrio, esta componente normal ƒo
está mecánicamente balanceada con el salto de presión a través de la
interfase, pues de otra forma, la interfase tendría un valor de aceleración
distinto de cero. Es claro que este salto de presión depende del coeficiente de
tensión superficial σ y de la curvatura de la interfase. Tomando estas últimas
suposiciones y sustituyendo en la ecuación (2.3), nos queda que:
(2.6)
Las ecuaciones de movimiento se cierran mediante las relaciones
constitutivas para la densidad y la viscosidad dinámica:
(2.7)
( ) OfgTuutu
+=−×⋅∇+∂∂ ρρρ
( )
( ) 21
21
1
1
μααμμ
ρααρρ
−+=
−+=
23
en donde los subíndices 1 y 2 denotan los diferentes fluidos. La función
indicadora o colorante α es definida de la siguiente forma:
(2.8)
Por supuesto, α(x,0) corresponde a la distribución inicial de los fluidos.
La definición anterior de α implica que sea una función escalón, y como
consecuencia, la densidad en la ecuación (2.7) es continua, pero por tramos o
trozos (piecewise). Con el objetivo de modelar los dos fluidos como un
continuo, utilizando las ecuaciones (2.4) y (2.6), la densidad ρ debe ser
continua y diferenciable sobre todo el dominio. Para el cálculo de la curvatura
de la interfase, el requerimiento de que α sea una función suavizada es mucho
más exigente, dado que debe ser diferenciada dos veces. La forma de resolver
estos inconvenientes, es permitir que la función α tenga valores intermedios
sobre la interfase entre los dos fluidos, y esta zona de transición debe ser de
espesor diferencial δ. Por tanto, se tiene que:
(2.9)
De nuevo, se observa que cada valor de α (0 y 1) se encuentra asociado
a un fluido dado. Adicionalmente, los valores de α se propagan a través del
dominio computacional según la ecuación:
(2.10)
( )⎩⎨⎧
=2 fluido del dentro t)(x, puntos los Para :01 fluido del dentro t)(x, puntos los Para :1
, txα
( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
<<=
n transicióde área del dentro t)(x, Para :102 fluido del dentro t)(x, puntos los Para :01 fluido del dentro t)(x, puntos los Para :1
,
δαα tx
0=∇⋅+∂∂
= ααα utDt
D
24
Las ecuaciones generales anteriormente mencionadas, describen el
movimiento de los dos fluidos y de la interfase que los separa. Existen
soluciones analíticas que satisfacen este conjunto de ecuaciones (en cuanto a
condiciones de borde y valores iniciales), pero sólo para un número limitado de
casos sencillos, así que debe recurrirse a resolverlas numéricamente. Sin
embargo, tal y como se encuentran escritas no es posible realizar esta
operación debido a la discontinuidad del producto ρu. Por lo tanto, las
ecuaciones deben ser reformuladas.
La ecuación de continuidad (2.4) puede ser escrita de la siguiente forma
(según Spalding, 1974):
(2.11)
La ecuación (2.11) es llamada la forma “no conservativa” de la ecuación
de conservación de la masa. Para sistemas de dos fluidos con relaciones de
densidad altas, es mucho más sencillo resolver esta ecuación, pues u es
continua en la interfase por definición (Richardson, 1989). La Figura 2.4
muestra un dominio cerrado que contiene dos fluidos inmiscibles con diferentes
densidades.
Figura 2.4. Continuidad en el campo de velocidades y discontinuidad en el campo de cantidad
de movimiento.
( )Dt
DDtDu
tu
uut
ρρρ
ρρρ
ρρρ
ln11
0
−=−
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ∇⋅+∂∂−
=⋅∇⇒
=∇⋅+∇⋅+∂∂
uin uout
ρ1uin ρ2uout
Fluido 2
Fluido 1
25
El fluido 1, con una densidad mayor, entra desde la izquierda y desplaza
la misma cantidad del fluido 2 en la derecha. La velocidad u del fluido entrando
y saliendo del dominio es la misma, pero la cantidad de movimiento ρu del
fluido entrando al dominio difiere del valor saliente.
En este trabajo, se supone que ambos fluidos son incompresibles, por lo
tanto el lado derecho de la ecuación (2.11) es igual a cero. Esto puede
ilustrarse sustituyendo la ecuación (2.7) en la (2.11), y luego se le aplica la
ecuación (2.10) al resultado. Entonces,
(2.12)
La condición de incompresibilidad (2.12) puede ser utilizada para
rescribir la ecuación para α (2.10) en forma conservativa, haciéndola adaptable
a la discretización de volúmenes finitos, pues se sabe que
ααα ∇⋅+⋅∇=⋅∇ uuu . El resultado obtenido es:
(2.13)
También es posible utilizar la condición de incompresibilidad para reducir
los términos del tensor de esfuerzos, calculado a partir de la ecuación (2.5).
Esto simplifica la ecuación de cantidad de movimiento a la forma siguiente:
(2.14)
En conclusión, las formas definitivas de las ecuaciones de transporte
que deben resolverse simultáneamente son: la ecuación de continuidad para
flujo incompresible (2.12), la ecuación de cantidad de movimiento (2.14) y la
( )( ) ( )01 21
221 =−−
=+−−
=⋅∇DtD
DtDu α
ρρρ
ρρραρ
0=⋅∇+∂∂ u
tαα
( ) ( ) ( ) ( )μρμρρ∇⋅×∇+++−∇=×∇⋅∇−×⋅∇+
∂∂ ufgPuuu
tu
O
26
ecuación de transporte de α (2.13), junto a las relaciones de cierre para la
densidad y la viscosidad dinámica dadas por la ecuación (2.7). El término que
representa la tensión superficial no será tomado en consideración en esta
investigación (ƒo= 0).
2.4. Condiciones Iniciales y de Contorno.
Con el objetivo de completar el modelo matemático, es necesario definir
los valores iniciales y las condiciones en las fronteras o contornos del dominio
de cálculo. Matemáticamente, existen dos tipos de condiciones de borde: la
condición de Dirichlet (valor conocido) o la condición de Von Neuman
(gradiente fijo → flujo conocido). Sin embargo, en problemas que presentan
una mezcla compleja de comportamientos elípticos, parabólicos e hiperbólicos
(como la simulación de flujos multifásicos), la sobre-simplificación introducida
por estas condiciones de contorno no es muy útil. Es más apropiado definir las
condiciones para diferentes tipos de contorno basándose en argumentos
físicos24. Las más importantes se enumeran a continuación.
Entrada: Un borde de entrada es aquel que presenta una distribución de
velocidades conocida. La presión en las entradas es desconocida, y su
valor se obtiene mediante interpolación desde el interior del dominio de
cálculo. Sin embargo, si el gradiente de presión es lo suficientemente
pequeño a la entrada, puede aplicarse una condición de gradiente cero.
Los valores de la función indicadora α deben ser conocidos en los
bordes o contornos de entrada.
Salida o contorno abierto: Comúnmente, los bordes de salida se
colocan en donde las variaciones en el flujo son pequeñas. La condición
de borde debe ser especificada de forma tal que el balance de masa del
dominio completo se satisfaga. Los dos enfoques utilizados en
volúmenes finitos para lograr este efecto son:
27
a. Extrapolación de todas las cantidades o condiciones de flujo:
La distribución de velocidades de la primera fila adyacente al
borde, se utiliza para construir una distribución de velocidades
específica, tal que las velocidades en el borde sean
transformadas mediante factores de escala para conseguir que
se cumpla la continuidad.
b. Presión fija como condición de borde: Se fija la presión en el
borde y se aplica la condición de gradiente cero para las
velocidades. Esta definición también permite al fluido entrar
en el dominio de cálculo, lo cual es útil en problemas donde se
consideran contenedores o recipientes abiertos.
La posición de la interfase en una salida, es normalmente conocida.
Sabiendo esto, debido a que las salidas se colocan en zonas en donde
las variaciones en el flujo son pequeñas puede utilizarse una condición
de gradiente cero para la función indicadora.
Contornos rígidos (paredes): Las velocidades del fluido en la pared
son iguales a la velocidad de la pared (condición de no deslizamiento).
Los valores de otras propiedades del flujo, como la función indicadora y
la presión, son desconocidas.
Planos de simetría: Los gradientes de las propiedades son cero en la
dirección normal o perpendicular al eje.
Condiciones iniciales: Para resolver problemas transitorios, no debe
haber discordancia entre los valores de las propiedades para cada paso
de tiempo. Normalmente, el campo de velocidades y el valor de la
función indicadora son conocidos en el inicio del problema.
Otros tipos de condiciones, como adhesión a las paredes y condiciones
cíclicas, no han sido incluidos en esta investigación.
28
2.5. Modelos VOF – Implementación Numérica
En mallas de volúmenes finitos (o diferencias finitas) se utilizan técnicas
de advección para transportar sobre la malla cantidades tales como la densidad
o una función indicadora del material presente en la celda. Sin embargo, éstos
métodos son normalmente difusivos (aguas arriba de primer orden) o
inestables (esquemas de alto orden, en donde aparecen oscilaciones en la
vecindad de la interfase). Numerosas técnicas numéricas han sido
investigadas para delimitar la difusividad de los esquemas de bajo orden y
minimizar la inestabilidad de los esquemas de alto orden26 pero ninguna
garantiza la forma definida y no oscilatoria de la interfase en simulaciones de
múltiples fluidos y problemas de superficie libre en mallas fijas.
Una técnica más reciente diseñada específicamente para la simulación
de flujos complejos con superficies libres es el conocido método de marcador y
celda (MAC, marker and cell). En el modelo MAC se utilizan partículas
Lagrangianas que son transportadas a través de las velocidades locales y cuya
distribución determina la configuración instantánea de los fluidos. Aunque este
tipo de solución permite la simulación de flujos con superficie libre, pueden
presentarse algunos problemas en cuanto a la representación del fluido
mediante las partículas. Como el número de partículas utilizado debe ser finito
(y típicamente un valor bajo) pueden crearse regiones de vacío ficticias en
fluidos con altas tasas de deformación, además de aumentar la dificultad de
calcular los volúmenes presentes en cada celda y la aplicación de las
condiciones de borde (especialmente la presión). Para minimizar estos
problemas, debe utilizarse un mayor número de partículas, lo cual incrementa
rápidamente el costo computacional del algoritmo. Adicional a estas
dificultades, es complicado extender el método MAC a tres dimensiones,
especialmente en los casos en los cuales existen situaciones de rompimiento y
coalescencia.
Se han desarrollado varias técnicas para el transporte de volumen en
mallas de diferencias y volúmenes finitos, con el objetivo de mantener definidas
29
las interfases entre los fluidos. Los más conocidos son: el cálculo simplificado
de las líneas de interfase de Noh y Woodward (SLIC – Single Line Interface
Calculation), el método del volumen de fluido propuesto por Hirt y Nichols (VOF
– Volume of Fluid) y el modelo de Youngs para la reconstrucción de la interfase
en cada paso de tiempo. Algunas de las variantes más importantes del modelo
VOF son las siguientes
2.5.1. FCT-VOF (Flux Corrected Transport)
En los métodos de monitoreo de volumen, se define una función de
fracción de volumen C (equivalente a α de la sección anterior), que “colorea”
las celdas de la malla, indicando la parte de la celda que está siendo ocupada
por uno de los fluidos. Los problemas en donde se consideran M fluidos
requieren M-1 funciones de fracción de volumen. Los algoritmos para el
monitoreo de volumen han sido diseñados para resolver la ecuación:
(2.15)
de forma tal que mantienen la interfase definida. Las técnicas convencionales
de advección (incluso aquellas que utilizan flujo corregido) rápidamente
difunden la interfase hasta en las tres o cuatro celdas adyacentes.
En el esquema de donador – receptor de Hirt y Nichols25, una
combinación de esquemas de primer orden aguas arriba y aguas abajo, es
utilizada para transportar la función C. De acuerdo con Hirt, el esquema aguas
arriba de primer orden unidimensional en una malla desplazada tiene un
término de error por difusión efectiva κup definido como,
(2.16)
( ) 0=⋅∇+∂∂ UC
tC
( )250.0 tUUxup δδκ −=
30
Para este valor de κup, es evidente que el máximo número de Courant
(Co) debe ser igual a la unidad, en función de mantener la estabilidad del
método. El número de Courant es una cantidad adimensional que representa
la relación entre el paso de tiempo tomado para resolver el problema transitorio
y el tamaño del volumen de control. Puede expresarse mediante la relación:
(2.17)
En donde u es la velocidad del flujo, Δt es el paso de tiempo
seleccionado y Δx es la longitud característica del volumen finito.
En contraste con los esquemas upwind, los esquemas de primer orden
aguas abajo son inestables, teniendo un coeficiente de error por difusión κdn
definido como
(2.18)
Aunque no es estable, el esquema aguas abajo de primer orden
mantiene definidas las interfases, lo cual es requerimiento para garantizar una
buena representación del fenómeno. Por lo tanto, si es posible formular un
modelo que combine la estabilidad de un esquema de primer orden aguas
arriba con la definición de un esquema aguas abajo, puede pensarse en un
algoritmo de monitoreo de volumen. Uno de estos modelos que combina
ambos esquemas es el método de flujo corregido propuesto por Zalezak26
La idea de ajustar los flujos calculados con un esquema de alto orden
(no monótono) para mejorar la monotonicidad de los resultados finales fue
utilizada por primera vez por Boris y Book26, y fue generalizada y extendida a
múltiples dimensiones por Zalezak. La idea básica tiene que ver con varias
( ) updn tUUx κδδκ −=−−= 250.0
xtuCo Δ
Δ=
31
etapas de cálculo. Primeramente, se determina un valor intermedio de C (C*)
utilizando un esquema de transporte monótono (que, por lo tanto, es difusivo).
El esquema para resolver la versión unidimensional de la ecuación (2.15) para
el elemento i de la malla, se escribe de la forma
(2.19)
en donde FL representa el flujo de bajo orden. Se define luego un flujo anti -
difusivo, con el objeto de corregir la difusión numérica resultante del esquema
de bajo orden. Una estimación inicial de los flujos anti – difusivos ( A21iF + ) viene
dado por la diferencia entre las aproximaciones de bajo y alto orden del flujo:
(2.20)
La aplicación de este componente anti – difusivo resultará en la
utilización de flujos inestables (de alto orden). Por lo tanto, debe introducirse
un coeficiente de corrección q para asegurarse de que no se encontrarán
extremos en la solución del problema después de la aplicación del flujo anti –
difusivo. Los valores mínimo y máximo en una celda i dependerán de los
términos Cn y C* en la misma celda, así como en sus vecinas i-1 e i+1. Los
detalles del procedimiento utilizado para limitar los flujos se describen en los
trabajos de Zalezak y no serán discutidos aquí. El paso final del modelo FCT
de Zalesak es aplicar los flujos anti – difusivos corregidos y obtener los valores
de C en un paso de tiempo próximo:
(2.21)
( )Li
Li
nii FF
xCC 2121
* 1−+ −−=
δ
Li
Hi
Ai FFF 212121 +++ −=
( )x
FqFqCC
Aii
Aii
ini δ
21212121*1 −−+++ −−=
32
2.5.2. FCT-VOF Unidimensional
En el modelo FCT – VOF, los términos FL son calculados utilizando un
esquema aguas arriba de primer orden. Para un flujo en la cara (i+1/2),
(2.22)
En vez de utilizar un esquema de alto orden para calcular FH, el valor del
flujo puede ser determinado mediante un modelo aguas abajo de bajo orden
(según Hirt y Nichols) en el esquema donador – receptor y en los análisis de
estabilidad. Se tiene,
(2.23)
La suposición inicial para el flujo anti - difusivo viene dada por: FA = FH –
FL. El término FA está delimitado y descrito en la referencia 26 y es aplicado
luego a valores intermedios de C. El esquema aguas arriba (con coeficiente de
difusión efectiva κup) producirá suficiente difusión numérica como para
contrarrestar los efectos de la oscilación e inestabilidad de los flujos aguas
abajo (con coeficiente de difusión efectiva -κup). El transporte de una función
escalón unidimensional por parte de un campo de velocidades y mediante el
método FCT-VOF, se muestra en la Figura 2.5. Claramente, se mantiene
inalterada la forma de la función. Adicionalmente, la velocidad de la interfase
es exacta. Para este sencillo problema de prueba (monitoreo de volumen
unidimensional), FCT-VOF da como resultado una solución exacta sin importar
la resolución de la malla.
⎪⎩
⎪⎨⎧
<
≥=
+++
+++ 0 si
0 si
21121
212121
iii
iiiLi UtCU
UtCUF
δ
δ
⎪⎩
⎪⎨⎧
<
≥=
++
++++ 0 si
0 si
2121
2112121
iii
iiiHi UtCU
UtCUF
δ
δ
33
Figura 2.5. Advección unidimensional de una función escalón, utilizando el modelo FCT-VOF.
De izquierda a derecha: condiciones iniciales y soluciones a 250 y 500 pasos de tiempo.
2.5.3. FCT-VOF Multidimensional
Existen dos maneras de extender este esquema a varias dimensiones.
La primera, es el uso del algoritmo FCT multidimensional de Zalesak. La
segunda es la implementación de la separación direccional.
En el modelo multidimensional de Zalesak, el valor de C estimado de
forma “difusa y altamente convectiva” (C*) es calculado mediante flujos
multidimensionales usando esquemas de bajo orden. Los flujos anti – difusivos
se estiman de la forma usual, y son luego limitados por C y C*. Éste esquema
fue implementado en los trabajos de Rudman26 para obtener un FCT-VOF
bidimensional, sin embargo, los resultados no fueron satisfactorios. Un ejemplo
es la advección de una función escalón bidimensional en un campo de
velocidades uniforme, como se muestra en la Figura 2.6. Aunque la interfase
permanece relativamente definida, la forma de la misma no se mantiene
constante. La fuente primaria de error en el esquema multidimensional es la
delimitación del flujo, en la cual la dirección de la mayor componente del error
difusivo no puede ser determinada. Actualmente, se
34
Figura 2.6. Advección de una función cuadrada utilizando FCT-VOF multidimensional.
investigan nuevas formas de mejorar los resultados obtenidos con este
esquema.
En la práctica, la separación direccional en FCT-VOF ofrece mejores
resultados. Para dos dimensiones, se resuelve toda la malla en la dirección x
utilizando un algoritmo unidimensional, se actualizan los valores de C y luego
se hace un barrido en la dirección y. El orden de los barridos en las
direcciones x y y se cambia en cada paso de tiempo, con el objeto de evitar la
introducción de un error sistemático. Sin embargo, la separación direccional
implica enfrentar un problema que es inexistente en el esquema
multidimensional, y es que luego del primer barrido pueden obtenerse valores
de C mayores que la unidad. Por supuesto, esto trae como consecuencia que
en la segunda mitad del barrido, los valores erróneos de C se utilicen para
determinar nuevos flujos. Incluso, en el seno del fluido, los valores de C
pueden ser menores que uno, lo cual es claramente incorrecto.
Sin embargo, existen varias formas de evitar este problema. En el
planteamiento utilizado aquí, se permite cierta tolerancia en el cambio de
35
volumen de cada celda durante los barridos unidimensionales. Definiendo δVi,j
como el volumen de la celda (i,j) al comienzo de cada paso de tiempo, y dado
que δVi,j = δxδy, se tiene que para un barrido en x sobre la malla:
(2.24)
Se realiza una serie de pasos similares durante el barrido en la dirección
y. Luego de los barridos en ambas direcciones, δVi,j debe volver a ser igual a
δxδy y cualquier discrepancia es igual al error en satisfacer la condición de
divergencia ∇⋅U = 0. Para utilizar éste procedimiento como un esquema de
segundo orden en el tiempo, se resuelve la ecuación,
(2.25)
en la dirección x, con un tratamiento similar en la dirección y.
También es extremadamente importante tomar en consideración el
cambio de volumen de la celda en cada barrido unidimensional al calcular la
solución de bajo orden (C*). Si esto no se hace, la integridad del método
puede ser severamente dañada. Hay una corrección final que se lleva a cabo
en el método FCT – VOF. Se observa que los pequeños errores de redondeo
del modelo pueden afectar la precisión de la solución luego de algunos pasos
de tiempo. Si después de varios pasos de tiempo se obtienen valores de C
negativos, deben llevarse a 0, así como cualquier valor por encima de la unidad
deberá fijarse en 1. En caso de no utilizar este procedimiento, deberán
limitarse entre 0 y 1 los valores de C utilizados para calcular los flujos aguas
arriba y aguas abajo.
( )xji
xji
nji
njiji FFVCC ,21,21,,,
~−+ −−= δ
( )jijinji
nji UUytVV ,21,21,
21, −++ −−= δδδδ
21,
,21,
~
++ = n
ji
jinji V
CC
δ
xUC
xUC
tC
∂∂
=∂∂
+∂∂
36
2.6. Métodos para la Reconstrucción de la Interfase. Luego de que los valores de la función indicadora C se han determinado
para todos los volúmenes de control que conforman el dominio de cálculo, debe
procederse a la reconstrucción de la interfase, esto es, conocido el valor de C
para una celda, debe trazarse un perfil lineal de la interfase dentro de la misma,
procedimiento que sólo se lleva a cabo en los puntos con valores de C mayores
que 0 y menores que 1. Las técnicas aquí descritas se basan en el enfoque de
monitoreo de volumen (volume tracking) o captura de interfase.
2.6.1. SLIC
En el método SLIC de Noh y Woodward, la interfase en cada celda se
reconstruye utilizando una recta paralela a una de las direcciones coordenadas
(ver Figura 2.7). Es un algoritmo del tipo de separación direccional, y durante
cada uno de los barridos unidimensionales se utilizan sólo los vecinos a la
celda en la dirección del barrido para la reconstrucción de la interfase. Para el
caso de dos fluidos existen nueve posibles configuraciones dentro de la celda,
sin embargo, pueden reducirse a tres casos en lo que concierne a la
determinación de los flujos.
Figura 2.7. Aproximación de la interfase para la celda central utilizando SLIC
Como la reconstrucción de la interfase tiene que ver sólo con las celdas
vecinas en la dirección del flujo, una celda de interfase puede tener (y
frecuentemente lo hace) diferente representación para cada dirección de
Aproximación de la interfase
37
barrido. Esto se ilustra en las figuras 2.8b y 2.8c, las cuales muestran la
reconstrucción utilizada para barridos en “x” y “y” sobre la configuración
mostrada en la figura 2.8a. Una vez que se ha realizado la reconstrucción de la
interfase, los flujos volumétricos de cada material se determinan
geométricamente.
2.6.2. VOF de Hirt y Nichols
El método VOF original fue descrito por Hirt y Nichols (1981). Utiliza una
reconstrucción de la interfase aproximada, similar a la del modelo SLIC, es
decir, paralela a uno de los ejes coordenados. A diferencia del SLIC, se utilizan
cuatro vecinos para determinar la superficie, y la interfase se especifica como
horizontal o vertical dependiendo de las magnitudes relativas de las
componentes obtenidas. La figura 2.8d muestra la reconstrucción de la
interfase del ejemplo anterior utilizando el modelo VOF.
Figura 2.8. Reconstrucción de interfases de la configuración original mostrada en (a) mediante:
(b,c) SLIC (en dirección “x” y “y” respectivamente); (d) VOF de Hirt y Nichols y (e) modelo de
Youngs
38
Para los flujos en dirección paralela a la reconstrucción aproximada de la
interfase, se utiliza un esquema aguas arriba. Para el caso en el que sean
perpendiculares, se usa un esquema donador – receptor. Como ejemplo del
esquema donador – receptor, considere la configuración del fluido mostrada en
la figura 2.9, con una velocidad en x positiva en i + ½ . La reconstrucción de la
interfase en la celda (i,j) es vertical; la celda (i,j) se encuentra parcialmente
llena, tal como la celda aguas abajo (i+1,j) (y Ci,j > Ci+1,j). El esquema donador
– receptor calcula el flujo volumétrico a través de (i+½, jk) como,
(2.26)
Los cuatro componentes del lado derecho de la ecuación son:
(a) Ci,jδx, la cantidad máxima de fluido disponible para fluir fuera de la celda (i,j)
(b) Ui+1/2,,jCi,jδt, el estimado aguas abajo del flujo de C
(c) Ui+1/2,,j(1.0 - Ci,j)δt, el estimado aguas abajo del flujo de la fracción de vacío
(d) (1.0 - Ci,j)δx, la cantidad máxima de vacío que puede salir de la celda (i,j)
La función MIN asegura que no saldrá más fluido de la celda (i,j) a través
del lado (i+½ ,j) del que pueda existir dentro de la misma. Cuando el fluido sale
de la celda, implícitamente también sale vacío, y la función MAX controla que
no salga una cantidad de vacío mayor que la existía inicialmente dentro.
Este esquema combina los flujos aguas arriba y aguas abajo, de forma
tal que se asegure la estabilidad y al mismo tiempo se minimice la difusión
numérica. Como tal, el modelo puede ser tomado como un algoritmo de
corrección de flujos. En términos del FCT de Zalezak, el flujo de fluido aguas
( ) ( )( )[ ]{ }xCtCUMAXtCUxCMINyF jijijijijijiji δδδδδ ,1,1,21,121,,21 0.10.1,0.0, ++++++ −−−+=
39
abajo es el flujo no – monótono que debe limitarse para asegurarse de que no
se produzcan indeterminaciones en la celda. Las funciones MIN y MAX toman
el rol de limitadores en este caso.
En el documento original de VOF, no aparece ninguna discusión acerca
de la separación direccional presente en el método. Sin embargo, el algoritmo
multidimensional trae como consecuencia errores en el cálculo de volúmenes y
la aparición de burbujas aisladas llamadas “flotsam” (floating wreakage) o
“jetsam” (jettisoned goods) por diferentes autores (ver Figura 2.10).
Figura 2.9. Configuración real de la interfase (a) y reconstrucción mediante el VOF de Hirt y
Nichols (b)
Figura 2.10. Fenómenos de Jetsam/Flotsam en diferentes modelos: (a) SLIC, (b) VOF de Hirt y
Nichols, (c) FCT-VOF Multidimensional, (d) Modelo de Youngs y (e) Condiciones iniciales de la
interfase.
40
2.6.3. Modelo de Youngs (PLIC)
Los métodos de tipo VOF registraron un avance importante hace más de
una década como consecuencia del trabajo de Youngs24. Más que hacer
coincidir la interfase con la dirección de los ejes coordenados, utilizó una
aproximación lineal por trozos (piecewise). Cada línea de la interfase, definida
mediante un punto de intersección y una pendiente, es trazada dentro de las
celdas según el valor de la función indicadora C. La pendiente de la línea se
determina a partir de la normal a la interfase (el gradiente de fracciones de
volumen), y la intercepción se calcula en base a la conservación de volumen.
La normal a la interfase, a su vez, es el resultado de un algoritmo
multidimensional que no depende de la dirección de los barridos.
Este versátil método, formulado por Youngs para dos y tres dimensiones
en mallas ortogonales, fue adoptado rápidamente en la resolución de modelos
hidrodinámicos de flujo que presentaban interfases entre materiales
(predominantemente flujos a altas velocidades). Actualmente, se ha extendido
a mallas no estructuradas (2D y 3D) en los trabajos de Ubbink5, Rider16 y
Kothe24. En este trabajo, nos referiremos al método de Youngs como PLIC
(Piecewise Linear Interface Calculation) a partir de este punto.
Los detalles y capacidades del modelo PLIC permanecen obscuros aún
hoy, pues no existen suficientes publicaciones en donde se expliquen estos
puntos (sólo aparecen en forma de notas personales o reportes internos). Sin
embargo, la metodología del método se explica a continuación.
Una vez conocido el campo de la función colorante C, se procede a
delimitar la interfase entre los fluidos en cada paso de tiempo. Para tal fin, se
calculan los flujos de C a través de las caras de cada celda utilizando un
esquema aguas arriba de primer orden. Cada celda es re-visitada, y si
contiene parte de la interfase (0 < Ci,j < 1), se determinan los flujos salientes de
Youngs. Primeramente, se calculan los valores de β, el ángulo que forma la
interfase en cada celda con el eje x (recuérdese que dentro de cada volumen,
la interfase se representa mediante una recta). Existen varias formas de
41
obtener los valores de β, pero en este trabajo se utilizará el gradiente de C para
determinar una superficie normal de la cual β puede ser calculado
directamente.
La metodología utilizada para estimar la superficie normal, tiene una
gran influencia en la precisión del esquema convectivo. Se utilizará la
propuesta de Kothe24, por ofrecer los mejores resultados. Para una malla
uniforme, se tiene que:
(2.27)
Estas ecuaciones representan de alguna forma las derivadas de la
función colorante C en las direcciones x y y respectivamente (∂C/∂x, ∂C/∂y). A
partir de estos resultados, se determina el valor de β mediante la relación:
(2.28)
Si se define el ángulo θ como,
(2.29)
Entonces la interfase en la celda puede ser rotada de tal forma que θ se
encuentre en el rango 0° ≤ θ ≤ 90°. Una vez que se ha llevado a cabo esta
rotación, existen cuatro configuraciones posibles para la interfase, como se
muestra en la Figura 2.11.
( )
( )1,11,1,11,11,1,1,
1,1,11,11,1,11,1,
221
221
−−−−++−+++
−−−+−−++++
−−−++=
−−−++=
jijijijijijiy
ji
jijijijijijix
ji
CCCCCCy
n
CCCCCCx
n
δ
δ
( )πβπβ ≤<→⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −= - arctan y
x
nn
( )20 tanarctan πθβδδθ ≤≤→⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
yx
42
Figura 2.11. Posibles configuraciones de la interfase para el modelo PLIC.
Con el objeto de identificar cual de estas configuraciones (numeradas
del I al IV) es la que realmente se presenta dentro de cada volumen, se aplica
la metodología que aparece en la Figura 2.12.
Figura 2.12. Diagrama de flujo para determinar la configuración de la interfase.
Calcular
nx y ny
Calcular
β y θ
Si
θ < π/4
Si
C ≤ ½tanθ
Si
C ≤ 1 -½tanθ
Si
C ≤ 1 -½ctgθ
Si
C ≤ ½ctgθ
CASO I
CASO I
CASO II
CASO III
CASO IV
CASO IV
SI
SI SI
SI SI
NO NO NO
NO NO
I II III IV
43
Una vez que ha sido determinado el caso, deben calcularse las cuatro
fracciones laterales (en el caso bidimensional). Las fracciones laterales se
definen como las longitudes normalizadas superior, derecha, izquierda e
inferior de la celda que están en contacto directo con el fluido, y se representan
como St, Sr, Sl y Sb respectivamente. Una vez conocidos estos valores, se
procede a determinar los flujos volumétricos del fluido a través de cada una de
las caras (Ft, Fr, Fl y Fb) lo cual puede hacerse geométricamente. Más que
describir en detalle todas las posibilidades, la Tabla 2.1 (ver página siguiente)
muestra un resumen de los cálculos a ser realizados. Es importante hacer
notar que las velocidades se toman como positivas para el modelo PLIC si
salen del volumen de control; en caso contrario, se consideran negativas, y los
flujos a través de las caras no son calculados en este último caso.
Una vez determinados los flujos, debe procederse a corregir el valor de
C que se calculó utilizando la ecuación de transporte convectivo (ecuación
2.15). Esto se lleva a cabo sumando algebraicamente los flujos que salen a
través de todas las caras (con lo cual obtenemos un flujo neto Fneto en el
volumen) y recalculando la función colorante de la forma siguiente:
(2.30)
En la ecuación anterior, Cnew representa el valor de C corregido, Cold es
el valor calculado previamente, Fneto es el flujo neto saliendo a través de todas
las caras y V es el volumen de la celda. Una vez obtenido el campo de valores
de C corregidos, el contorno 0.5 de esta variable nos mostrará la localización
de la interfase25. Sin embargo, la falsa difusión originada durante del transporte
convectivo del escalar, puede traer como consecuencia que la interfase quede
“difuminada” en tres o más celdas. Por lo tanto, adicional al modelo PLIC es
necesario contar con un algoritmo que minimice el efecto de la falsa difusión en
la localización y monitoreo del movimiento de la interfase.
VFCC neto
oldnew −=
45
2.7. Algoritmos para Minimizar la Falsa Difusión.
Aunque la ecuación diferencial de transporte de C es convectiva, no
podemos evitar el problema de la falsa difusión introducida por el método
numérico. Como consecuencia, la difusión “difumina” la interfase, es decir, no
permite trazar un perfil definido entre los dos fluidos. Este fenómeno se conoce
como “smearing”, y produce resultados erróneos en problemas donde se
estudian superficies libres móviles.
Uno de los enfoques que actualmente es utilizado para minimizar el
efecto de la difusión numérica es la implementación de esquemas de alto
orden10. Sin embargo, aunque se ha evaluado el desempeño de modelos de
tercer, quinto, séptimo y hasta noveno orden, las oscilaciones obtenidas en los
campos de C tampoco permiten una eficaz localización de la interfase. Si se
utilizan esquemas de bajo orden (upwind de primer orden), que son robustos y
no presentan oscilaciones, se pierde por completo la posibilidad de llegar a una
solución real, debido al efecto difusivo.
Como un ejemplo de las consecuencias de la difusión numérica en la
simulación de interfases móviles, considere la situación de las Figuras 2.13 y
2.14.
Figura 2.13. Arreglo para simulación de superficie libre.
Fluido Pared
46
Figura 2.14. Secuencia de imágenes mostrando el desarrollo de falsa difusión. La simulación
se realizó en 35 pasos de tiempo (se colocó una figura por cada 5 pasos). La zona coloreada
corresponde a las celdas en donde 0 > C > 1.
47
En la Figura 2.13 se muestran las condiciones iniciales de un problema
común de superficies libres: Un recipiente contiene una cierta cantidad de
líquido soportado por una pared, que luego es retirada. Como consecuencia,
el fluido comienza a moverse hacia abajo y a la izquierda. Sin embargo, en la
Figura 2.14 se observa la falsa difusión generada a medida que se avanza en
el tiempo en la solución del problema. Puede verse que en la última figura, la
difusión numérica casi ha llenado el dominio de cálculo.
Aunque el concepto de la aproximación de flujo tipo donante – receptor
fue introducido en apartes anteriores, será explicado en forma más detallada a
lo largo de esta sección. La razón es que esta aproximación constituye una de
las bases fundamentales de los algoritmos limitadores y diferenciadores,
encargados de mantener la buena definición de la interfase.
La clave para obtener un esquema diferenciador altamente compresivo
es la inclusión en su formulación de la información aguas debajo de la celda.
Sin embargo, esta aproximación no cumple necesariamente con el criterio de
acotamiento de la función C5, y puede, por lo tanto, conducir a valores de la
función colorante mayores que 1 y menores que 0, los cuales son físicamente
improbables. El utilizar una aproximación aguas abajo controlada, basados en
la disponibilidad de fluido de la celda “donante” puede evitar estos valores
erróneos en la función escalar (Ramshaw & Trapp, 1976).
La aproximación aguas abajo controlada puede ser explicada
considerando dos celdas vecinas, una celda “donante” y una celda “receptora”,
como se muestra en la Figura 2.15. Digamos, por ejemplo, que la celda
donante contiene parte de la interfase, y la celda receptora se encuentra
completamente llena de uno de los fluidos (Figura 2.15a). El hecho de tomar el
valor aguas abajo (downwinding) implica que la celda donador debe “donar” la
misma cantidad de fluido contenida en la celda receptora, por lo tanto, ignora la
presencia del otro fluido en la celda donadora. Sin embargo, la celda
donadora, contiene dos fluidos, y no puede ceder una cantidad mayor de la que
hay disponible dentro de ella. La aproximación aguas abajo controlada
significa que la celda donante “donará” primero todo el fluido disponible
48
requerido por la receptora, y luego comenzará a donar el otro fluido. Se tienen
argumentos similares si ambas celdas contienen parte de la interfase (Figura
2.15b). El downwinding implica en este caso que la celda receptora
demandará la misma proporción entre los fluidos que la que actualmente se
encuentra dentro de ella. En conclusión, la aproximación aguas abajo
controlada sugiere que la celda donadora cumpla primero con la demanda,
pero si se le agota el fluido requerido por la celda receptora, entonces
comenzará a donar una mayor proporción del otro fluido.
Figura 2.15. Aproximación tipo donante – receptor. La celda de la izquierda actúa como
donante.
A continuación, se explicarán los criterios utilizados para el acotamiento
de la función escalar y para calcular la disponibilidad de fluido en la celda
donante. La Figura 2.16 ilustra la nomenclatura implementada para tal fin.
Figura 2.16. Nomenclatura para un volumen de control unidimensional
Dirección del flujo Dirección del flujo Dirección del flujo
Dirección del flujo Dirección del flujo Dirección del flujo
Distribución original
Distribución original
Aproximación aguas abajo
Aproximación aguas abajo
Downwinding controlado
Downwinding controlado
(a)
(b)
C DU
f-f
Dirección del flujo
49
Con respecto al criterio de acotamiento, en el marco general de la
dinámica de fluidos computacional (CFD) se requiere que ante la ausencia de
fuentes o sumideros, cualquier propiedad del flujo dentro del dominio no puede
tomar valores mayores o menores que los establecidos en la condiciones de
contorno (Versteeg y Malalasekera, 1995). Para el propósito de resolver el
campo de la función escalar C, ésta no puede tomar valores fuera de las cotas
físicas de cero y uno.
Respecto al criterio de disponibilidad de fluido en la celda donante,
puede verse un ejemplo en la Figura 2.17. Si VC es el volumen de la celda
donante, entonces CCVC es la cantidad de fluido 1 dentro de la misma, por
tanto (1-CC)VC corresponde a la cantidad de fluido 2. Si hacemos
xtuC ffO δδ /, = , en donde CO,f representa el número de Courant en la cara f, y
consideramos Cf como la fracción de volumen que fluirá a través de la cara f
durante un paso de tiempo δt, entonces CfCO,fVC es la cantidad de fluido que
pasará a través de f en cada paso de tiempo. Como consecuencia, (1-
Cf)CO,fVC es lo que corresponde al fluido 2.
Figura 2.17. Configuración de los fluidos en la celda donante.
El criterio de disponibilidad para el fluido 1 establece que la cantidad que
sale a través de la cara f durante un paso de tiempo δt debe ser siempre menor
o igual a la cantidad disponible en la celda donante:
δx
δy
Fluido 1
Fluido 2 (1-CC)VC
CCVC
(1-Cf) CO,f VC
CfCO,fVC
u
⏐ufδt⏐=CO,fδx
50
(2.31)
De forma similar, la cantidad de fluido 2 que pasa a través de la cara
durante un paso de tiempo debe ser igual o menor a la cantidad que se
encuentra dentro de la celda donante:
(2.32)
La combinación de estas dos restricciones da como resultado:
(2.33)
En el caso de la aproximación aguas abajo controlada, se tiene que
debido al requerimiento de un esquema completamente aguas abajo, esto es,
Cf = CD, limitado a la cantidad de fluido disponible en la celda donante (ver la
ecuación 2.33), resulta en:
(2.34)
La ecuación 2.34 representa el valor de la aproximación donante –
receptor en la cara, y garantiza el acotamiento de C si es aplicada a flujo
unidimensional. También ha sido utilizada como base para la derivación del
método de la interfase propuesto por Ramshaw y Trapp (1976), el modelo VOF
de Hirt y Nichols (1981), SURFER (Lafaurie et al., 1994), entre otros.
fO
CfCCCfOf C
CCVCVCC,
, ≤→≤
( ) ( )fO
fO
fO
CfCCCfOf C
CCCCVCVCC
,
,
,,
111
−−≥→−≤−
fO
Cf
fO
fO
fO
C
CCC
CC
CC
,,
,
,
1≤≤
−−
( )⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧ −
−−+=
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧ −
−=
fO
C
fO
CDD
fO
CD
fO
fO
fO
Cf
CC
CC
CC
CC
CC
CCC
C
,,
,,
,
,
,0,1
1maxmin
,,1
maxmin
51
Ashgriz y Poo (1991), así como Lafaurie et al. (1994), presentaron
resultados numéricos para flujos de densidad uniforme, que indican que todos
los métodos anteriormente mencionados producen deformaciones irreales en la
interfase. Como consecuencia de los trabajos de Ubbink (1997), se llegó a la
conclusión de que estas deformaciones pueden reducirse sustancialmente si se
incluye el término CU (upwind) en la formulación donante – receptor. Luego de
varios intentos de tomar en consideración diferentes gradientes y valores de
celdas aguas arriba, se utiliza finalmente un criterio de acotamiento local para
C, es decir, el valor de C en la celda donante se acotará basándose en el valor
de la celda aguas arriba, lo cual también nos orienta acerca de cómo introducir
en el esquema el valor aguas arriba de la cantidad transportada.
El método utilizado en este trabajo, es el esquema Inter-Gamma,
propuesto por Jasak8. La base para el desarrollo y entendimiento de esta
técnica es el Diagrama de la Variable Normalizada (NVD).
2.7.1. Diagrama de la Variable Normalizada (NVD). La Figura 2.18 muestra un volumen de control unidimensional. Si
fijamos nuestra atención sobre su cara izquierda, podemos llegar fácilmente a
la conclusión de que para determinar el valor sobre esa cara (φf) los nodos más
influyentes son los dos adyacentes a la misma. También debe considerarse el
nodo aguas arriba del volumen, éste último dependiendo de la dirección del
flujo sobre la cara en cuestión, es decir, el signo de uf.
Figura 2.18. Definición de Nodos aguas arriba (U), aguas abajo (D) y central (C) dependiendo
del signo de uf.
uf ufVC VC
φf φD
φC φU
φfφD
φC φU
52
Estos tres valores pueden ser asignados a las variables φD (Aguas
abajo), φC (central del volumen de control) y φU (aguas arriba). Note que
dependiendo del signo de uf, estos nodos tienen distintas posiciones. En
términos de las variables originales, existe un gran número de combinaciones
posibles a ser consideradas: uf positiva o negativa, φ positivo o negativo y
valores de gradiente y curvatura que también pueden ser mayores o menores
que cero. Las variaciones en signo, dirección del flujo y la escala, pueden ser
normalizadas mediante la definición de la “variable normalizada” (en cualquier
punto) como sigue,
(2.35)
Ahora, en el caso en que φf sea una función de φD, φC, φU y el número
de Courant, el valor normalizado en la cara sólo depende del valor normalizado
del nodo adyacente aguas arriba y Co.
(2.36)
Como los valores normalizados de los otros nodos son constantes, se
tiene que:
(2.37)
La ecuación 2.36 incluye los métodos de primer orden, diferencias
centrales de segundo orden y métodos aguas arriba de segundo y tercer orden.
Los modelos de alto orden (4°-9° orden), utilizan una mayor cantidad de nodos,
pero sin embargo fφ~ sigue dependiendo con preferencia de Cφ
~ . En la Figura
2.19 se muestra la relación entre fφ~ y Cφ
~ de acuerdo al esquema utilizado.
UD
U
φφφφφ−−
=~
( )oCf Cf ,~~ φφ =
1~ 0~
=
=
D
U
φφ
53
Figura 2.19. Diagrama de la Variable Normalizada mostrando fφ~ como función de Cφ
~ para
los esquemas: upwind de primer orden (1U), downwind de primer orden (1D) y upwind de
segundo orden (2U).
Gaskell y Lau (1988) presentaron un criterio de convección acotado
(convection boundedness criteria, CBC) para el cálculo implícito de flujo
unidimensional. El CBC utiliza las variables normalizadas, y limita los valores
de fφ~ para los cuales un esquema diferenciador implícito siempre preserva el
acotamiento a nivel local, según las siguientes expresiones:
(2.38)
En la próxima sección, se utilizará el NVD para explicar el esquema
Inter-Gamma, utilizado en este trabajo.
1U
1D
2U
1
1
fφ~
Cφ~
1~0 para 1~~1~ o 0~ para ~~
≤≤≤≤
><=
CfC
CCCf
φφφ
φφφφ
54
2.7.2. Esquema Diferenciador Inter – Gamma. Como se describe en el punto anterior, Gaskell y Lau acotan el valor de
fφ~ basándose en el NVD, y llegan a las conclusiones mostradas en la ecuación
2.38. En la Figura 2.20, pueden observarse gráficamente estas restricciones.
Figura 2.20. Criterio de acotamiento en el diagrama NVD.
Puede verse que la escogencia de los métodos diferenciadores es más o
menos libre para 0 < Cφ~ < 1. Es en este rango donde se determina realmente
la conducta del método. El esquema propuesto tiene las siguientes premisas:
Para Cφ~ < 0, Cφ
~ > 1 ⇒ Cφ~ = fφ
~ , siguiendo el criterio NVD.
Para ½ < Cφ~ < 1 ⇒ fφ
~ = 1, asegurando la conducta compresiva del
esquema.
Para 0 < Cφ~ < ½ ⇒ CCf φφφ ~3~2~ 2 +−=
Se espera que este esquema preserve el acotamiento de C y dé una
resolución razonable del perfil de la interfase. El comportamiento esperado del
esquema puede observarse en la figura 2.21, y se explica en dos partes:
55
Figura 2.21. Esquema Inter – Gamma en diagrama NVD.
Con el objetivo de preservar el acotamiento, se introduce una cierta
cantidad de difusión numérica. La experiencia con otros esquemas
diferenciadores muestra que es inevitable. Naturalmente, esto difumina
la resolución de la interfase.
Se utiliza un esquema aguas abajo (downwind) para obtener una
reconstrucción definida de la interfase.
Para explicar de qué forma el esquema aguas abajo mejora la resolución
del perfil de la interfase, veamos lo siguiente: el uso de esquemas aguas arriba
(upwind) en el término convectivo de la ecuación 2.13, introduce el término
α∇Γ⋅∇ , que es obviamente difusivo. Este término (puramente numérico)
difuminará la solución como si existiese una cantidad de difusión “real”
correspondiente a la difusión numérica Γ. Por otro lado, un esquema aguas
abajo adicionaría un término similar, pero en este caso, la difusión será
negativa. Esto quiere decir que el problema que se está resolviendo incluye
efectivamente un término “antidifusivo”, que define o afila los perfiles de todos
los gradientes que componen la solución.
Debe recordarse que la difusión numérica negativa introducida por los
esquemas aguas abajo no se “cancelará” con la difusión positiva producida por
56
el esquema aguas arriba. Los resultados obtenidos por Jasak et al.8 muestran
que aplicar los dos esquemas puede conducir a resultados satisfactorios.
2.7.3. Limitaciones en el número de Courant.
Cuando se utilizan métodos upwind o downwind simples para la
discretización del término convectivo de la ecuación 2.13, los flujos calculados
en las caras del volumen de control garantizan que el coeficiente central será
diferente de cero. En el caso de diferencias centrales en una malla uniforme, el
coeficiente central es exactamente cero. La limitación en el número de Courant
viene como consecuencia de la condición de igualdad diagonal de la matriz de
coeficientes.
En el caso del esquema Inter – Gamma, la situación es un poco más
complicada: la selección entre upwind y downwind no se hace sólo basándose
en la dirección del flujo, sino en la combinación de la dirección y el perfil local
de la solución. Esto significa que el criterio de continuidad no garantiza la
existencia de un coeficiente central. Si, por ejemplo, en una de las caras de un
volumen de control unidimensional se utiliza upwind, y en la otra cara se usa
downwind, el resultado es que el coeficiente central proveniente de la
discretización del término convectivo es cero, y la suma de los valores vecinos
es más de dos veces la obtenida en el caso de diferencias centrales.
Es fácil mostrar que esto limita el valor del número de Courant a Co < ½,
en comparación con Co < 1 para diferencias centrales. En múltiples
dimensiones, el problema es incluso peor, y debe limitarse el número de
Courant a Co < 1/3. Al mismo tiempo, debe recordarse que un valor de Co bajo
conduce a un mejor condicionamiento de la matriz, menos difuminación de la
interfase y mejor precisión temporal.
58
3.1. Programa de propósitos generales PRODIC
PRODIC es un programa computacional bidimensional de propósitos
generales para la resolución de problemas difusivos-convectivos (i.e. Mecánica
de los fluidos y/o Transferencia de calor) usando mallas desplazadas. Además
es un programa abierto y adaptado recientemente a FORTRAN 90, de fácil
acceso, formato de usuario breve y una forma de escritura didáctica. El
programa PRODIC es un paquete híbrido que surgió de la combinación de las
bondades y alcances de los programas SIMPLE (Patankar 1982) y CONDUCT
(Patankar 1991) que fueron tomados como modelo operacional y modelo
estructural respectivamente.
Los detalles del modelo matemático y las ecuaciones utilizadas en PRODIC,
fueron descritos por González27. Sin embargo, se implementaron los mismos
principios de conservación de masa, cantidad de movimiento, energía, etc.
utilizados en este trabajo. Por lo tanto, a fin de describir la implementación
computacional del modelo de Youngs, nos basaremos en la información que
aparece en dicho trabajo.
3.1.1 Alcances y Limitaciones. El PRODIC o "nuevo SIMPLE" posee casi todas las características y
alcances del programa SIMPLE original, con el ingrediente adicional de poseer una
estructura más accesible al usuario, y que abarca situaciones no lineales bajo
régimen no estacionario. Además, dispone de una facilidad que le permite diseñar
mallas no uniformes, permitiendo simular con precisión el comportamiento de
cualquier variable en zonas donde las variaciones sean marcadamente bruscas
(flujo incompresible a alta velocidad, a través de una contracción brusca en una
tubería; por ejemplo). El flujo de fluidos es tratado a través del algoritmo SIMPLE
59
con la ecuación de continuidad en su forma incompresible, lo cual significa que el
programa no se adecua a situaciones de flujo altamente compresible o
supersónico. Por otro lado, se considera que la densidad no cambia con el tiempo
en la ecuación de continuidad, así como tampoco es posible manipular las
condiciones de contorno de presión conocida. Las condiciones periódicas de
contorno y todo lo relacionado al TDMA circular (Patankar 1991), no son
implementadas en PRODIC.
3.1.2 Estructura General de PRODIC. La estructura del programa está conformada por dos secciones: en primer
lugar, una parte invariable, que posee los esquemas de cálculo que involucran a
aquellas variables que pueden utilizarse en cualquier situación particular.
Generalmente, la parte invariable se considera como “intocable” debido a que no
se requiere efectuar ninguna modificación en este sitio al resolver situaciones
dentro de las limitaciones de PRODIC.
La otra parte, denominada ADAPT provee todas las especificaciones del
problema. Es precisamente aquí donde se introducen los detalles relativos a
geometría, propiedades del material, término fuente, condiciones de contorno, etc.
En resumen, los detalles preestablecidos en ADAPT son ensamblados a la
parte invariable para ser procesados y obtener una salida de resultados que
representen la solución al problema planteado.
La Figura 3.1 muestra el diagrama de flujo del programa computacional
PRODIC, donde puede detallarse la secuencia de operaciones y orden de
llamados al grupo de subrutinas principales que lo conforman. Una flecha indica
una sola llamada, la doble flecha, múltiples llamadas.
60
Figura 3.1. Estructura lógica de PRODIC.
Este diagrama de flujo, nos permite visualizar como sería la resolución de
un problema cualquiera que se adapte a las capacidades y limitaciones de dicho
programa. Como se puede observar, en la parte adaptable es donde el usuario
debe introducir toda la información específica del problema a resolver. Esta
información es suministrada en forma secuencial a través de la seis subrutinas que
conforman el ADAPT, y ellas son: GRID, BEGIN, DENSE, BOUND, OUTPUT, y
PHI. Primero deben ser suministrados por el usuario algunos datos de entrada
61
necesarios para el diseño de la malla (esto se hace a través del bloque GRID),
para luego ser procesados en cualquiera de los bloques de TOOLS, dependiendo
de la complejidad geométrica del dominio, naturaleza del flujo, o en fin, del tipo de
malla a diseñar.
Luego deben ser introducidos por parte del usuario algunos valores de
propiedades conocidas, condiciones de contornos fijas, y los campos iniciales
supuestos de las variables a determinar a través de la solución de la ecuación
diferencial general correspondiente (esta acción es llevada a cabo en BEGIN).
Cuando el problema a resolver no es de densidad constante, se deben realizar
ciertas modificaciones, y el lugar propicio es el bloque DENSE. El bloque
BOUND debe ser utilizado en el caso en el que se requiera corregir los perfiles
de velocidad cuando exista una condición de contorno de flujo saliente. Para
poder monitorear los resultados de algunas variables, es necesario especificar
el formato con el cual desea el usuario que se haga la impresión de salida (lo
cual se realiza en OUTPUT). Finalmente, el usuario debe introducir la
información más importante y mayormente requerida por el problema a resolver:
coeficientes de difusión, términos fuentes e indicadores de condiciones de
contorno de cada variable a resolver (esto es efectuado en PHI). Una vez
finalizada la labor del usuario en la parte adaptable, se procede a una unión o
eslabonamiento entre la parte adaptable y la parte invariable del programa. El
programa principal MAIN dispone de una fase inicial que consiste en una serie
de llamados a las subrutinas DEFLT, GRID, READY, BEGIN.
En todo problema a ser resuelto, la naturaleza estructural del programa
demanda que sean revisados los valores por omisión de las variables mayormente
utilizadas, para lo cual es necesario extraer dichas cantidades del bloque DEFLT.
El siguiente paso está relacionado con el cálculo de los valores de algunas
variables geométricas de ámbito general, para el sistema de coordenadas que esté
implementándose, este conjunto de operaciones es ejecutado en READY.
62
A partir de este momento, es activada la marcha en el tiempo mediante la
ejecución de un lazo externo DO NPTI = 0, IPTM; donde NPTI significa el número
de pasos en el tiempo e IPTM representa el último valor de éstos. De entrada al
lazo externo, la primera operación efectuada, consiste en el almacenamiento de las
variables F(I,J,NF) obtenidas en el paso de tiempo anterior, en un nuevo arreglo
definido, denominado FOLD(I,J,NF). Nótese que para el tiempo t=0, se
almacenarán los campos iniciales supuestos en BEGIN.
Desde aquí, se apertura el lazo de iteraciones para cada paso en el tiempo,
desde ITER igual a cero, hasta un valor menor o igual a LAST. La posibilidad de
que el lazo intermedio de iteraciones se cierre antes de llegar al valor máximo
prescrito, depende de la satisfacción de algunos criterios de convergencia.
El lazo intermedio inicia su tarea, con los llamados a los bloques de
adaptación DENSE, BOUND y OUTPUT. Si el número de iteraciones no es
suficiente, el programa realiza una serie de llamadas a HEART1, COPRES,
HEART2, PRINT y PLOT, los tres primeros a su vez llaman a PHI, DIFLOW y
SOLVE una vez por cada iteración tantas veces como variables a resolver existan,
la subrutina DIFLOW es la encargada de preparar la forma final de los coeficientes
atendiendo a un principio que depende del número de Peclet denominado “Ley de
Potencia” (Patankar 1981). A través de este tratamiento, DIFLOW añade a cada
coeficiente los efectos convectivos (|Pe| > 10) y difusivo-convectivos (-10 < Pe <
10). El número de Peclet es definido por la siguiente expresión:
e
eee
xuPΓ
=)()( δρ (3.1)
donde ρ, u, Γ y δx representan a la densidad, la velocidad en la dirección x, el
coeficiente de difusión y la distancia entre nodos en la dirección x,
respectivamente. El subíndice “e” identifica a la cara (este) del volumen de control,
63
el número de Peclet puede ser aplicado a las cuatro caras de la celda haciendo los
cambios correspondientes.
La tarea de la subrutina SOLVE es llevar a cabo los métodos de solución de
las ecuaciones discretizadas para φ. Aquí está incluida una variable denominada
NTIMES(NF) que se refiere al número de repeticiones de las cuatro barridas del
TDMA y las dos secuencias de corrección en bloque. El término "cuatro barridas"
se refiere a que por la naturaleza del método, la secuencia línea por línea termina
en el mismo lugar donde comienza, dicho de otro modo, se refiere a una travesía
de ida y vuelta; luego si se toman en cuenta ambas direcciones resultan cuatro
recorridos del TDMA.
3.1.3. Criterio de Convergencia.
Finalizadas las operaciones en OUTPUT, el programa principal provee una
línea adicional en la que se crea un criterio de finalización de cada paso de tiempo.
Aquí se verifican las siguientes condiciones:
Si SMAX, el cual representa el residuo local máximo de masa al resolver la
ecuación de P', es menor o igual a una tolerancia preestablecida por el
usuario (variable real TOL), el lazo de iteraciones finaliza
independientemente del valor que tenga ITER en ese instante, dentro de un
rango mayor que 3. Esta última restricción se debe a que en las primeras
iteraciones, generalmente el valor de SMAX es muy pequeño, incluso a
veces cero.
El lazo iterativo está construido mediante un ciclo DO, pero su culminación,
a menos que LAST sea igual a cero, nunca va a conseguirse a través del
END DO. El criterio de convergencia rompe el lazo por medio de una
instrucción GO TO.
64
Para problemas netamente difusivos, en donde la ecuación de P' no se
resuelve, está abierta la posibilidad al usuario de crear su propio criterio de
convergencia; para tal fin se dispone, dentro del programa de la variable
KSTOP.
En resumen, el ciclo intermedio podría finalizar, por la satisfacción de la
ecuación de P' a través del valor de SMAX, por medio de iteraciones, o
simplemente mediante la activación de la variable entera KSTOP.
Si ninguno de los criterios se cumple, se ejecuta un llamado a las subrutinas
HEART1, COPRES y HEART2. El primer bloque es citado con el fin de discretizar
y calcular los coeficientes de las ecuaciones de cantidad de movimiento; el
segundo resuelve la ecuación de corrección de presión y efectúa los balances de
fuentes de masa, al tiempo que HEART2, discretiza la ecuación general de φ para
el resto de las variables a obtener en el ciclo.
En los bloques HEART (1 y 2), es necesario de la misma manera, un
llamado a la subrutina de preparación de coeficientes DIFLOW. Este grupo de
instrucciones (HEART1, COPRES y HEART2 en conjunto) representan el corazón
del programa computacional PRODIC.
Si la convergencia es alcanzada en el intervalo de tiempo actual, el MAIN
hace un llamado a las subrutinas PRINT y PLOT. En otras palabras, el programa
está estructurado para mostrar por omisión la impresión de salida y crear el archivo
de datos para su dibujo (utilizando TECPLOT) en cada paso de tiempo. Nótese
que, para problemas en régimen permanente, el número establecido de pasos en
el tiempo IPTM es igual a cero (valor por omisión), por lo tanto la presentación de
resultados es efectuada aquí también.
Debido al hecho de que en cada paso de tiempo se realiza un llamado a
PRINT, se provee al usuario una opción que permite desactivar la impresión
65
bidimensional de salida de resultados, a través de la incorporación de la variable
entera KEPR (K para Evadir el PRintout). Si KEPR es igual a la unidad, la
impresión de salida es evadida. Por razones de extensión se recomienda al
usuario, mostrar los campos bidimensionales solo en el último paso de tiempo,
para ello debe especificar en OUTPUT, el valor de KEPR igual a 1, para todos los
pasos de tiempo menores que IPTM.
Si el período de tiempo no ha sido cubierto, el mismo procedimiento se
repite hasta arribar al último paso IPTM, donde culmina la ejecución del programa
y la solución definitiva es obtenida.
3.1.4. Sistemas de Coordenadas.
El programa, considera las cantidades físicas como variables dimensionales
expresadas en cualquier grupo de unidades consistentes, pero también pueden
interpretarse como cantidades adimensionales, siempre y cuando se implemente
una adecuada formulación adimensional a la ecuación diferencial que rige la
situación que esté considerándose.
Pueden resolverse problemas cuyas configuraciones del dominio se
adapten a los sistemas de coordenadas cartesiano, axisimétrico o polar. La Figura
3.2 proporciona una descripción más clara acerca de los sistemas antes
mencionados. La variable entera MODE indica el sistema de coordenadas que
será utilizado por el programa: Para MODE=3, la variable SX(J) (que representa
un factor de escala), tiene un significado muy particular. Este comentario es lógico
debido a que, el valor de X(I) en coordenadas polares representa el ángulo θ y por
lo tanto, la longitud entre dos nodos (I,J) y (I+1,J) en la dirección-x es obviamente
SX(J)*( X(I+1) - X(I) ). Por tal razón, resulta evidente que tanto para MODE=1
como para MODE=2 el valor de SX(J) sea hecho igual a la unidad.
66
Tabla 3.1 Interpretación de algunas variables utilizadas en el programa PRODIC
Variable MODE =1 MODE =2 MODE =3
X(I) X X θ
Y(J) Y Y Y
R(J) 1.0 r R
SX(J) 1.0 1.0 R
Profundidad 1.0 1.0 radian 1.0
Figura 3.2 Los tres sistemas de coordenadas
3.1.5. Especificación de las condiciones de contorno.
En el programa PRODIC, el coeficiente difusivo Γ está definido en todos
los nodos del dominio, tal como lo considera el modelo operacional SIMPLE. El
valor por omisión del indicador de tratamiento de condiciones de contorno KORD,
es la unidad, es decir esquema de bajo orden. El esquema de bajo orden es el
tratamiento que supone un perfil constante del flujo difusivo entre dos nodos. Esta
práctica podría ofrecer algunas veces resultados inexactos, por tal razón, puede
ser adoptada una formula más precisa, denominada tratamiento de alto orden. La
formula de alto orden puede ser obtenida si el flujo difusivo es considerado como
lineal entre las dos caras opuestas del volumen de control. Para problemas
67
difusivos y variables escalares, el programa puede manejar el esquema de alto
orden (práctica “CONDUCT”), pero cuando existan influencias convectivas y se
calcula el campo de flujo, solo está al alcance del programa la implementación del
esquema de bajo orden (práctica “SIMPLE” ) para las componentes de velocidad.
La Tabla 3.2 muestra un resumen de las condiciones de contorno y como
deben ser introducidas en el programa computacional.
Tabla 3.2. Especificación de las condiciones de borde
En bordes a través de los cuales fluya cierta cantidad de masa,
abandonando el dominio de cálculo, normalmente se desconoce el valor de
cierta variable φ y el flujo asociado a ésta. Aunque pudiera pensarse en la
imposibilidad de resolver un problema como tal debido a la ausencia de una
condición de contorno, lo cierto es que en estos casos no se requiere ninguna
información de frontera. Existen dos enfoques válidos (y en cierta forma
equivalentes) que pueden ser empleados para especificar la condición de borde
de flujo saliente, los cuales son:
Especificar en PHI, Γ=0 en el borde de salida para todas las variables, y
posteriormente efectuar en BOUND la corrección de los perfiles de la
velocidad que cruza el borde, tal como se explica mas adelante,
dependiendo del grado de distorsión y complejidad del flujo (práctica
"SIMPLE" ).
Condición de contorno Introducir en el programa
φborde φborde (KBC = 1 por omisión)
Jborde = 0 KBC = 2 (FLXC = 0 por omisión)
Jborde KBC = 2 FLXC = Jborde
Jborde = fc + fp φborde KBC = 2 FLXC = fC ; FLXP = fP
68
Especificar en PHI, Γ=0 solamente para la velocidad que atraviesa el borde,
y declarar KBC=2 para el resto de las variables. La componente de
velocidad que atraviesa el contorno, es corregida en BOUND de la misma
forma como se lleva a cabo en el aparte anterior .
En ciertas ocasiones, pueden presentarse en cada iteración ciertas
distorsiones del perfil de flujo, en contra de las cuales se emplea una práctica
adicional dentro del programa, usualmente elaborada en la subrutina BOUND.
Esta práctica consiste en una corrección del perfil a través de un balance de masa
realizado en el dominio, mediante la aplicación de la ecuación de continuidad. Esta
acción no solamente corrige los perfiles de velocidad, si no también obliga el
cumplimiento de la conservación de la masa, apuntando a una solución más
refinada de los resultados finales y a la concordancia de los campos de velocidad
obtenidos, con la ecuación de corrección de presión P' .
3.2. Programa YOUNGS: Implementación del Modelo VOF. Una vez revisada la información acerca de las bases teóricas y la
estructura del programa computacional PRODIC, se procederá a describir el
conjunto de modificaciones que se realizaron para incorporarle el modelo VOF
(ver Figura 3.3). Estas modificaciones pueden dividirse en tres etapas, a saber:
La incorporación de la ecuación de C en el algoritmo de solución, como
una ecuación de conservación adicional.
Introducir el método Inter.-Gamma para minimizar la falsa difusión
asociada al transporte convectivo de C.
Implementar el método de Youngs (PLIC) para reconstruir la interfase,
luego de conocer el campo solución de C.
69
Figura 3.3. Diagrama de Flujo del programa YOUNGS.
3.2.1. Incorporación de C en el algoritmo de solución.
Para incorporar la ecuación de transporte de la función indicadora, se
adicionó una subrutina similar a HEART2, pero que resuelve exclusivamente la
ecuación de transporte para C. Esta nueva subrutina se identificó como VOF, y
es llamada desde MAIN cuando se especifican en ADAPT los valores iniciales
MAINFase Inicial
Almacena Valores Viejos
Comienza Lazo de
Iteraciones
Converge?
NO
NO
SI
SI
SETUP DEFLT
READY
HEART1 COPRES
HEART2 PRINT
PLOT
VOF
DIFLOW SUPERCX
SUPERCY
SOLVE
YOUNGS
VALUES
¿Último paso en el Tiempo?
TOOLS
EZGRID ZGRID
ADAPTGRID
BEGIN DENSE BOUND OUTPUT
PHI
Parte Invariable
FIN
70
de C. Adicionalmente, el archivo COMMON1.FOR se cambió a
COMMONV.FOR, con la diferencia de que NP se hace igual a 12, para que la
función C sea representada con NF = 11. Básicamente, las modificaciones que
se realizaron a HEART2 y se implementaron en VOF fueron las siguientes:
Se fija el valor de NF =11 para toda la subrutina. Con el valor de 11 se
identificó a la función colorante en el programa COMMONV, cambiando a
NF = 12 el identificador que corresponde a la presión.
Se eliminaron las llamadas a la subrutina DIFLOW, sustituyéndolas por
invocaciones a SUPERCX y SUPERCY, subrutinas que contienen el
algoritmo Inter – Gamma (supercompresivo), y limitan y corrigen los
valores de C durante los barridos en “x” y “y” respectivamente.
Se eliminan los términos difusivos de la ecuación de conservación (pues
el transporte de C es puramente convectivo).
Se invoca la subrutina YOUNGS, para que utilice los valores de C y
determine los flujos a través de las caras, luego de lo cual se corrigen los
valores anteriores.
3.2.2. Introducción del método Inter – Gamma. Para la corrección de los flujos convectivos en las caras, se utiliza el
esquema limitador Inter – Gamma. Su implementación computacional se
realiza mediante dos subrutinas: SUPERCX (Súper – Compresivo en
dirección “x”), y SUPERCY (Súper – Compresivo en dirección “y”), una para
cada dirección del barrido. El esquema de cada subrutina se describe a
continuación:
71
a. Se determina el signo de la velocidad en la cara del volumen de
control (para saber cuáles serán los nodos aguas arriba y aguas
abajo)
b. Se calculan los valores de C en los nodos mediante el traslado de
los valores de la velocidad, que originalmente fueron determinados
en las caras (mallas desplazadas).
c. Se utilizan las condiciones especificadas en la sección 2.7.2 del
capítulo anterior, para decidir si se utilizará un esquema upwind o
downwind.
3.2.3. Implementación del Modelo de Youngs.
La subrutina YOUNGS contiene las instrucciones para la determinación
de los flujos en las caras del volumen de control, siguiendo las ecuaciones de la
Tabla 2.1, previa utilización de la Figura 2.12 para saber en cuál de los cuatro
casos se encuentra la celda. Las variables utilizadas en esta rutina son las
siguientes:
XST(I,J) : Valor de la “derivada” en la dirección “x” en cada volumen de
control (equivale a xjin , ).
YST(I,J) : Valor de la “derivada” en la dirección “y” en cada volumen de
control (equivale a yjin , ).
XBETA(I,J) : Ángulo β en la celda I,J.
XALPHA(I,J) : Ángulo α en la celda I,J.
72
ST(I,J) : Fracción lateral superior de la celda I,J.
SR(I,J) : Fracción lateral derecha de la celda I,J.
SB(I,J) : Fracción lateral inferior de la celda I,J.
SL(I,J) : Fracción lateral izquierda de la celda I,J.
FT(I,J) : Flujo de Youngs a través de la cara superior de la celda I,J.
FRI,J) : Flujo de Youngs a través de la cara derecha de la celda I,J.
FBI,J) : Flujo de Youngs a través de la cara inferior de la celda I,J.
FLI,J) : Flujo de Youngs a través de la cara izquierda de la celda I,J.
Al finalizar la subrutina YOUNGS, llamada desde VOF, se corrigen los valores
de la función colorante mediante la relación expresada en la ecuación 2.30.
3.3. Modificaciones a la subrutina ADAPT
Luego de los cambios introducidos en la parte invariable del programa
PRODIC con el objetivo de implementar el modelo de Youngs, deben realizarse
algunas modificaciones a la parte adaptable o ADAPT, sobre todo para la
introducción de los valores iniciales y las condiciones de contorno. Aunque para
cada uno de los casos a estudiar en el siguiente capítulo se hace una revisión de
las modificaciones en ADAPT, existen algunos puntos en común:
73
Se agrega el arreglo FVOF para representar el valor de la función
colorante, correspondiente a NF = 11.
Se introducen los valores iniciales del campo de FVOF. Se tomaron estos
valores como 0 por defecto para todos los casos estudiados.
Se especifican las regiones del dominio donde la función FVOF es igual a
1, es decir, la localización de las celdas llenas del fluido de interés. A su
vez, si se conocen estas celdas se define automáticamente la initerfase
inicial del problema.
Se especifican las regiones del dominio donde la densidad es igual a la
del fluido de interés. En el programa YOUNGS se identificó esta variable
como RHO2, asignándose RHO1 al otro fluido.
Se introducen las relaciones de cierre (ecuaciones 2.7) en las subrutinas
DENSE y PHI, con el objetivo de corregir los valores obtenidos por el
programa y actualizar densidades y viscosidades, ya que cada celda
puede contener más de un fluido.
Se fijan las condiciones de contorno KBC = 2 (flujo conocido = 0) para
todos los bordes. Esto es consecuencia de que las situaciones
estudiadas son recipientes cerrados, y no existen entradas de fluido al
dominio.
Los valores de otras propiedades y condiciones del problema
(conductividades térmicas, calores específicos, viscosidades, número de
iteraciones, paso de tiempo, etc.) se definen en la subrutina BEGIN, al igual que
se hacía en el programa PRODIC.
75
4.1. Caso No. 1: Caída y Colapso de Gota.
4.1.1. Descripción del Problema
Esta primera adaptación describe la caída de una gota y el colapso contra
la superficie de una capa somera de líquido. En general, los problemas de gotas
se estudian con la finalidad de establecer la influencia de la tensión superficial
sobre otras propiedades. Aunque en este trabajo no se consideró la tensión
superficial, éste ejemplo fue incluido con el objetivo de analizar el impacto
ocasionado por la omisión del anteriormente mencionado efecto. La Figura 4.1
muestra las condiciones iniciales y dimensiones del problema.
Figura 4.1. Condiciones iniciales y dimensiones para el problema de la gota.
Todos los contornos son cerrados, es decir, no se permite salida de masa a
través de ningún borde. Las magnitudes mostradas en la figura anterior se
suponen compatibles (pertenecen al mismo sistema de unidades). Los fluidos
0.3
0.1
1.0
0.3
1.0
ρ1
ρ2
76
contenidos en el dominio de cálculo tienen la misma viscosidad, pero la
densidad del fluido de la gota y el fondo es cinco veces mayor a la del fluido que
ocupa el espacio restante. Recuérdese que se trata de una situación de flujo
incompresible. La malla se ha tomado de 40 x 40 celdas igualmente
espaciadas, debido a que las pruebas con mallas más refinadas no mejoran de
forma apreciable los resultados, además de que si se reducen excesivamente
las dimensiones de los volúmenes de control, también deberán ajustarse los
valores del paso en el tiempo (Δt), lo cual puede incrementar de manera
importante el costo computacional del algoritmo. En este ejemplo, se tomó un
paso de tiempo de 0.05 basándose en el criterio de que el número de Courant
no debe ser mayor a 0.3. En la Figura 4.2 se observa la malla computacional
para el problema de la gota. Otros datos y condiciones adicionales se muestran
en la Tabla 4.1.
Figura 4.2. División del dominio en volúmenes de control y malla resultante.
77
Tabla 4.1. Variables de inicialización para el caso de la gota.
Longitud “x” XL 1.0 No. de Volúmenes en “x” NCVLX 40
Longitud “y” YL 1.0 No. de Volúmenes en “y” NCVLY 40
Conductividad COND 1.0 Paso de tiempo DT 0.05
Calor específico CP 1.0 No. De iteraciones LAST 30
Densidad 1 RHO1 1.0 No. De pasos de tiempo IPTM 600
Densidad 2 RHO2 5.0 Viscosidad del fluido 1 AMU1 1.0
Viscosidad del fluido 2 AMU2 1.0
4.1.2. Descripción de la Subrutina ADAPT
General. Para este problema, sólo se añade el arreglo FVOF(I,J)
para representar a F(I,J,11) en la cabecera del programa.
GRID. Se construye una malla uniforme. Se eligen 40 volúmenes de
control para la dirección “x” y 40 volúmenes de control para la
dirección “y”, para este problema MODE es igual 1 por omisión. La
malla uniforme es obtenida a través del llamado a EZGRID.
BEGIN. Se especifican los valores de las propiedades de los fluidos:
densidad, viscosidad, conductividad térmica, calor específico, etc.
Se fija el número de iteraciones externas en 30 y el paso de tiempo
en 0.05. También se fija en 600 el número de pasos de tiempo. Se
inicializan los campos de FVOF, indicándole al programa donde se
encuentra el fluido 2, correspondiente a la gota.
DENSE. En esta subrutina se introduce la ecuación de cierre
correspondiente a la densidad (ecuación 2.7).
78
BOUND. No existen condiciones de contorno de flujo saliente, por lo
tanto no se requiere hacer ningún tipo de modificación en BOUND.
OUTPUT. Para cada iteración, se imprimen los valores de las
velocidades en localizaciones representativas, además de los
valores de los residuos SMAX y SSUM. Esta salida debe ayudar a
verificar la convergencia de la solución. En la última iteración, se
consigue la impresión del campo de FVOF, a través del llamado a
PRINT que es hecho una vez alcanzada la convergencia.
PHI. Se especifican las condiciones de contorno para las
velocidades y para la función FVOF. En el caso de esta última, se
toma la condición de flujo conocido e igual a cero.
4.1.3. Resultados Obtenidos.
En la Figura 4.3 se observan los resultados arrojados por el programa
para varios pasos de tiempo. Nótese que la forma de la gota coincide casi
perfectamente con la simulación tridimensional mostrada en la Figura 4.4a. El
efecto de la tensión superficial faltante, impide que una vez desprendida la gota
ésta adquiera la forma achatada característica y luego pase a ser totalmente
esférica. Sin embargo, durante su desprendimiento de la parte superior del
dominio es evidente la similitud incluso con la fotografía mostrada en la Figura
4.4b. Las corridas se llevaron a cabo para varias relaciones de viscosidad
diferentes, y se llegó a la conclusión de que al aumentar la diferencia de
viscosidad entre los fluidos, se hace más notorio el efecto de la falta del término
de tensión superficial. Bajo estas condiciones, la gota ni siquiera presenta la
forma redondeada característica, sino más bien una figura oblonga y alargada.
La diferencia de densidades es otra de las limitantes en este experimento, ya
79
Figura 4.3. Resultados del programa YOUNGS para la gota (varios pasos de tiempo)
t = 0 t = 30 t = 50
t = 70 t = 100 t = 115
t = 150 t = 200 t = 350
80
Figura 4.4. (a) Simulación tridimensional de una gota pendiente, (b) foto comparada con la
simulación [2]
que la mayoría de los trabajos en donde se presentan resultados para gotas con
coalescencia y rompimiento, se utiliza el método MAC o el modelo VOF sólo
para el cálculo de la fase líquida, y no se resuelven las ecuaciones para el fluido
en torno a la gota. Por supuesto, si se consideran aire y agua como las dos
sustancias a estudiar, la diferencia en las densidades puede llegar a ser de 1000
veces. En los trabajos de Ubbink, todos los casos presentados consideran
diferencias de densidad de ésta magnitud entre los fluidos. Sin embargo, en
este trabajo se resuelven las ecuaciones de conservación para ambas fases, y
por lo tanto no pueden llegar a ser valores extremos, ya que esto afectaría la
“discontinuidad de cantidad de movimiento” explicada en el capítulo 2 y traería
como consecuencia velocidades locales extremadamente grandes.
(a) (b)
81
4.2. Caso No. 2: Colapso de una Columna de Líquido.
4.2.1. Descripción del Problema
En este segundo ejemplo, se estudiará la caída de una columna de líquido
similar a la descrita en el capítulo 2, en donde súbitamente se retira una pared
sólida y se permite que el líquido más denso caiga hacia el fondo de un
recipiente cerrado. La Figura 4.5 muestra las condiciones iniciales y
dimensiones del problema.
Figura 4.5. Condiciones iniciales y dimensiones para el problema de la columna de líquido.
Nuevamente, las magnitudes mostradas en la figura anterior se suponen
compatibles (pertenecen al mismo sistema de unidades). Los fluidos contenidos
en el dominio de cálculo tienen una relación de viscosidades de 10:1, siendo la
columna de líquido más viscosa que el fluido en el resto del dominio
computacional. Asimismo, existe una relación de densidades de 50:1, de nuevo
1.5
0.5
1.0
ρ1 ρ2
0.5
1.5
1.0
82
a favor de la columna de líquido. La malla se ha tomado de 30 x 20 celdas
igualmente espaciadas En la Figura 4.6 se observa la malla computacional para
el problema de la columna de líquido. Otros datos y condiciones adicionales se
muestran en la Tabla 4.2.
Figura 4.6. División del dominio en volúmenes de control y malla resultante.
Tabla 4.2. Variables de inicialización para el caso de la columna de líquido.
Longitud “x” XL 1.5 No. de Volúmenes en “x” NCVLX 30
Longitud “y” YL 1.0 No. de Volúmenes en “y” NCVLY 20
Conductividad COND 1.0 Paso de tiempo DT 0.01
Calor específico CP 1.0 No. De iteraciones LAST 30
Densidad 1 RHO1 1.0 No. De pasos de tiempo IPTM 800
Densidad 2 RHO2 50.0 Viscosidad del fluido 1 AMU1 10.0
Viscosidad del fluido 2 AMU2 1.0
83
4.2.2. Descripción de la Subrutina ADAPT
General. Se añade el arreglo FVOF(I,J) para representar a F(I,J,11)
en la cabecera del programa.
GRID. Se construye una malla uniforme de 30 volúmenes de control
para la dirección “x” y 20 volúmenes de control para la dirección “y”,
para este problema MODE es igual 1 por omisión. La malla uniforme
es obtenida a través del llamado a EZGRID.
BEGIN. Se especifican los valores de las propiedades de los fluidos:
densidad, viscosidad, conductividad térmica, calor específico, etc.
Se fija el número de iteraciones externas en 30 y el paso de tiempo
en 0.01. También se fija en 800 el número de pasos de tiempo. Se
inicializan los campos de FVOF, indicándole al programa donde se
encuentra el fluido 2, correspondiente a la columna de líquido.
DENSE. En esta subrutina se introduce la ecuación de cierre
correspondiente a la densidad (ecuación 2.7).
BOUND. No existen condiciones de contorno de flujo saliente, por lo
tanto no se requiere hacer ningún tipo de modificación en BOUND.
OUTPUT. Para cada iteración, se imprimen los valores de las
velocidades en localizaciones representativas, además de los
valores de los residuos SMAX y SSUM. Esta salida debe ayudar a
verificar la convergencia de la solución. En la última iteración, se
consigue la impresión del campo de FVOF, a través del llamado a
PRINT que es hecho una vez alcanzada la convergencia.
84
PHI. Se especifican las condiciones de contorno para las
velocidades y para la función FVOF. En el caso de esta última, se
toma la condición de flujo conocido e igual a cero.
4.2.3. Resultados Obtenidos.
En la Figura 4.7 se observan los resultados arrojados por el programa
YOUNGS para varios pasos de tiempo. Como consecuencia de la diferencia de
densidades (y por consiguiente, los efectos gravitacionales), la fase más pesada
se mueve hacia el fondo del dominio. La falsa difusión produce una
difuminación leve en el contorno del fluido, pero sin embargo, los algoritmos
súper compresivos mantienen una interfase bien definida. La forma
redondeada del frente azul que se desplaza hacia la derecha, obedece a que la
diferencia de densidades, aunque es 50:1, sigue estando muy por debajo de la
relación que podría existir entre agua y aire. Sin embargo, el modelo VOF logra
capturar el movimiento del frente incluso en situaciones en donde la función
colorante no tiene una dirección preferencial de desplazamiento, sino dos
direcciones (ambas coordenadas). Este experimento fue llevado a cabo por Hirt
y Nichols25, obteniéndose resultados semejantes a los arrojados por el programa
YOUNGS desde un punto de vista cualitativo, ya que ellos tomaban sólo la parte
líquida como el dominio de cálculo, y por tanto podían tratarse de forma sencilla
las grandes diferencias de densidad entre los dos fluidos.
Con el objetivo de identificar el comportamiento de forma cualitativa, en la
Figura 4.8 se muestra una gráfica que relaciona el tiempo adimensional (tad) con
la elongación de la columna en la dirección horizontal (xad), también expresada
de forma adimensional. Se muestran varias curvas para otros valores de
viscosidad y densidad.
85
Figura 4.7. Resultados del programa YOUNGS para el problema de la columna de líquido.
Como puede verse en la Figura 4.8, para una relación de densidades fija
(50:1), a medida que se aumenta la relación de viscosidades, se obtiene un
desplazamiento mucho menor del frente de la columna. En el caso 1, la relación
de viscosidades es de 10:1, mientras que para los casos 2 y 3, la relación es de
20:1 y 30:1 respectivamente. Sin embargo, si se mantiene el valor del paso de
tiempo mientras se aumenta la relación de viscosidades, se observa que el valor
de los residuos SSUM y SMAX aumenta considerablemente. Esto indica que los
valores de número de Courant pueden estarse incrementando sin ningún control
y debe ajustarse el parámetro de paso de tiempo.
t = 001 t = 030 t = 050
t = 100 t = 220 t = 350
t = 450 t = 800
86
Figura 4.8. Variación del tiempo vs. Longitud en forma adimensional para el problema de la
columna de líquido.
Si se hace variar la relación de densidades y se mantiene en 10:1 la
relación de viscosidades, el programa necesita que obligatoriamente se ajuste el
paso de tiempo, pues los residuos se hacen extremadamente grandes y traen
como consecuencia que algunos valores del campo resultante de FVOF no sean
números reales.
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
Tiempo Adimensional tad
Long
itud
Adi
men
sion
al x
ad
Caso 1
Caso 2
Caso 3
a
z
agttad
2=
azxad =
87
4.3. Caso No. 3: Rotación de una Cavidad Cuadrada.
4.3.1. Descripción del Problema
Para este caso, se considerará una cavidad cuadrada cerrada que gira
alrededor de un eje ubicado en su centro geométrico. El fluido más denso se
encuentra en el fondo de la cavidad, mientras el otro fluido llena el espacio
restante. La Figura 2.9 muestra las características geométricas y condiciones
iniciales para este problema.
Figura 4.9. Condiciones iniciales y dimensiones para la cavidad en rotación.
En este caso, la forma de introducir la rotación en el problema consiste en
que los términos de gravedad afecten el término fuente de las velocidades en las
dos direcciones, según las siguientes relaciones:
1.0
1.0
0.5
ρ1
ρ2
88
(4.1)
En las ecuaciones (4.1), t representa el tiempo transcurrido, calculado
como el producto del valor del paso de tiempo por el No. de pasos transcurridos.
Por otro lado, w es una constante que controla la velocidad de rotación de la
cavidad, y debe ser ajustada a un valor bajo para observar el comportamiento de
los fluidos de la mejor forma posible. La discretización del dominio
computacional se realizó mediante la colocación de 40 volúmenes de control en
cada dirección coordenada. La malla resultante se muestra en la Figura 4.10, y
las condiciones iniciales y de contorno son descritas en la Tabla 4.3.
Figura 4.10. División del dominio en volúmenes de control y malla resultante.
( )( )wtgSwtgS
V
U
cossin
ρρ
−=−=
89
Tabla 4.3. Variables de inicialización para la cavidad cuadrada.
Longitud “x” XL 1.0 No. de Volúmenes en “x” NCVLX 40
Longitud “y” YL 1.0 No. de Volúmenes en “y” NCVLY 40
Conductividad COND 1.0 Paso de tiempo DT 0.01
Calor específico CP 1.0 No. De iteraciones LAST 30
Densidad 1 RHO1 1.0 No. De pasos de tiempo IPTM 700
Densidad 2 RHO2 50.0 Viscosidad del fluido 1 AMU1 1.0
Constante W 0.5 Viscosidad del fluido 2 AMU2 1.0
4.3.2. Descripción de la Subrutina ADAPT
General. Se añade el arreglo FVOF(I,J) para representar a F(I,J,11)
en la cabecera del programa.
GRID. Se construye una malla uniforme. Se eligen 40 volúmenes de
control para la dirección “x” y 40 volúmenes de control para la
dirección “y”. Para este problema, MODE es igual 1 por omisión.
BEGIN. Se especifican los valores de las propiedades de los fluidos:
densidad, viscosidad, conductividad térmica, calor específico, etc.
Se fija el número de iteraciones externas en 30 y el paso de tiempo
en 0.01. Se fija en 700 el número de pasos de tiempo. Se inicializan
los campos de FVOF, indicándole al programa donde se encuentra
el fluido más denso.
DENSE. En esta subrutina se introduce la ecuación de cierre
correspondiente a la densidad (ecuación 2.7).
BOUND. No existen condiciones de contorno de flujo saliente, por lo
tanto no se requiere hacer ningún tipo de modificación en BOUND.
90
OUTPUT. Para cada iteración, se imprimen los valores de las
velocidades en localizaciones representativas, además de los
valores de los residuos SMAX y SSUM. Esta salida debe ayudar a
verificar la convergencia de la solución. En la última iteración, se
consigue la impresión del campo de FVOF, a través del llamado a
PRINT que es hecho una vez alcanzada la convergencia.
PHI. Se especifican las condiciones de contorno para las
velocidades y para la función FVOF. Se escriben los valores del
término fuente que, para cada velocidad, cambian la dirección de la
fuerza de cuerpo (peso) y por tanto, producen el efecto de rotación.
4.3.3. Resultados Obtenidos.
En la Figura 4.11 se observan los resultados del programa YOUNGS para
el problema de la rotación de una cavidad cuadrada. El algoritmo VOF logra
llevar a cabo exitosamente el seguimiento del frente de fluido, pero sin embargo
se puede ver una pequeña cantidad del líquido más denso que queda adherida a
la pared del recipiente que está “abandonando” por efecto de la rotación. Este
efecto es análogo al fenómeno de “flotsam” o “jetsam” que fue introducido en el
capítulo 2. A diferencia de las comunes burbujas o partículas que
aparentemente quedan aisladas o abandonadas por el fluido, en este caso
tenemos un filamento que queda adherido a la pared, para luego desaparecer a
medida que la cavidad sigue dando vueltas. Al moverse hacia la tercera pared
(270°), se presenta el mismo fenómeno. Estos efectos no deseados pueden
reducirse si se incrementa el número de volúmenes de control, lo cual implica
directamente una reducción del paso de tiempo, para evitar un valor alto del
número de Courant.
91
Figura 4.11. Resultados del programa YOUNGS para la rotación de una cavidad cuadrada.
Existen casos23 en donde el costo computacional que se requiere para
resolver un problema de esta naturaleza es demasiado alto (aproximadamente
unas 5 o 6 horas para mallas de 60x60), sin tomar en consideración que será
necesario también incrementar el número de pasos de tiempo. Este
experimento tomó una hora y 22 minutos para 700 pasos de tiempo.
t = 001 t = 100 t = 200
t = 300 t = 350 t = 400
t = 500 t = 600 t = 650
92
4.4. Caso No. 4: Cavidad con dos Fluidos.
4.4.1. Descripción del Problema
Este último ejemplo es sumamente sencillo. Se considerará una cavidad
cuadrada que contiene dos fluidos, pero a diferencia del problema de la gota
(primer caso), el fluido que se encuentra en la parte inferior tiene un valor de
densidad por debajo del fluido en la parte superior, y por lo tanto se espera un
“ascenso” del primero. La Figura 4.12 muestra las condiciones iniciales y
dimensiones para este problema.
Figura 4.12. Condiciones iniciales y dimensiones para el problema de densidad invertida.
La discretización del dominio computacional se realizó mediante la
colocación de 40 volúmenes de control en cada dirección coordenada. La malla
resultante se muestra en la Figura 4.13, y las condiciones iniciales y de contorno
son descritas en la Tabla 4.4.
1.0
1.0
0.2 ρ1
ρ2
93
Figura 4.13. División del dominio en volúmenes de control y malla resultante.
Tabla 4.4. Variables de inicialización para el caso No. 4.
Longitud “x” XL 1.0 No. de Volúmenes en “x” NCVLX 40
Longitud “y” YL 1.0 No. de Volúmenes en “y” NCVLY 40
Conductividad COND 1.0 Paso de tiempo DT 0.1
Calor específico CP 1.0 No. De iteraciones LAST 30
Densidad 1 RHO1 5.0 No. De pasos de tiempo IPTM 300
Densidad 2 RHO2 1.0 Viscosidad del fluido 1 AMU1 1.0
Viscosidad del fluido 2 AMU2 1.0
94
4.4.2. Descripción de la Subrutina ADAPT
General. Se añade el arreglo FVOF(I,J) para representar a F(I,J,11)
en la cabecera del programa.
GRID. Se construye una malla uniforme. Se eligen 40 volúmenes de
control para la dirección “x” y 40 volúmenes de control para la
dirección “y”. Para este problema, MODE es igual 1 por omisión.
BEGIN. Se especifican los valores de las propiedades de los fluidos:
densidad, viscosidad, conductividad térmica, calor específico, etc.
Se fija el número de iteraciones externas en 30 y el paso de tiempo
en 0.1. Se fija en 300 el número de pasos de tiempo. Se inicializan
los campos de FVOF, indicándole al programa donde se encuentra
el fluido más denso.
DENSE. En esta subrutina se introduce la ecuación de cierre
correspondiente a la densidad (ecuación 2.7).
BOUND. No existen condiciones de contorno de flujo saliente, por lo
tanto no se requiere hacer ningún tipo de modificación en BOUND.
OUTPUT. Para cada iteración, se imprimen los valores de las
velocidades en localizaciones representativas, además de los
valores de los residuos SMAX y SSUM. Esta salida debe ayudar a
verificar la convergencia de la solución. En la última iteración, se
consigue la impresión del campo de FVOF, a través del llamado a
PRINT que es hecho una vez alcanzada la convergencia.
PHI. Se especifican las condiciones de contorno para las
velocidades y para la función FVOF. Se escriben los valores del
95
término fuente que, para cada velocidad, cambian la dirección de la
fuerza de cuerpo (peso) y por tanto, producen el efecto de rotación.
4.4.3. Resultados Obtenidos.
Los resultados pueden verse en la Figura 4.14. Se observa el ascenso el
fluido menos pesado (ubicado inicialmente en la parte inferior de la cavidad) por
el centro y hacia ambos lados, de forma simétrica. La zona de ascenso
preferencial es el centro, por encontrarse a mayor distancia de los contornos en
donde existe fricción (velocidades iguales a cero)
Figura 4.14. Resultados del programa YOUNGS para el problema de densidad invertida
t = 001 t = 100 t = 140
t = 160 t = 180 t = 200
t = 240 t = 260
97
Conclusiones
Luego de haber analizado el comportamiento del modelo VOF, así como
los resultados obtenidos en los ejemplos, pudimos llegar a las siguientes
conclusiones:
1. El modelo VOF combinado con el método de Youngs, permite predecir el
comportamiento de la interfase en problemas de dos fluidos, mejorando la
definición de la misma respecto al modelo VOF original propuesto por
Hirt y Nichols, y con un costo computacional mucho menor.
2. En problemas dominados por el efecto de tensión superficial, el modelo
muestra un comportamiento cualitativamente aceptable, pero deben
mantenerse relaciones de viscosidad por debajo de 5 para que los
resultados no difieran mucho de los valores reales, por la condición de
contorno faltante. Recuérdese que la tensión superficial es una condición
de contorno que se especifica sobre la interfase.
3. Los resultados obtenidos para la columna de líquido tienen tendencias
similares a los experimentos de otros autores, incluso considerando que
las condiciones (relaciones de densidad y viscosidad) son muy diferentes.
4. Se reduce el efecto de flotsam o jetsam debido a la incorporación del
método de Youngs. En su lugar, en problemas donde el transporte de la
función colorante cambia de dirección a lo largo del tiempo, se observa
una “adhesión” temporal del fluido a las paredes (o condición de contorno
con velocidad cero).
98
5. Los algoritmos súper-compresivos cumplen con su rol de limitadores de la
función colorante, y evitan que la falsa difusión avance rápidamente y
conduzca a resultados erróneos.
6. De la forma como está planteado en este trabajo, el modelo VOF requiere
de reducir significativamente el paso de tiempo y aumentar la densidad de
la malla para trabajar con relaciones de densidad mayores a 100 y
relaciones de viscosidad mayores a 50, lo cual incrementa
tremendamente el costo computacional del algoritmo.
7. El TDMA debe ser sustituido por otro método numérico que reduzca más
aún los requerimientos computacionales del modelo.
8. No parece existir un único método que permita resolver todos los
problemas de flujo bifásico. Lo más probable, es que la elección del
modelo dependa de la naturaleza del problema.
99
Recomendaciones
1. Revisar la formulación numérica del modelo VOF para poder resolver
problemas con relaciones de viscosidad y densidad más grandes (de
1000, por ejemplo).
2. Incluir el efecto de la tensión superficial como condición de contorno en la
interfase, así como extender el programa YOUNGS a tres dimensiones y
a situaciones axisimétricas.
3. Incluir la posibilidad de colocar la periodicidad y la adhesión a paredes
como condiciones de contorno.
4. Seleccionar problemas tipo (por ejemplo, la columna de líquido) y realizar
experimentos para validar los resultados del programa.
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Tabla 2.1. Cálculo de Flujos según el modelo de Youngs.
Caso I Caso II Caso III Caso IV tS
rS
bS
lS
0 θtan2C
θcot2C 0
0 θtan2
1+C
1 θtan2
1−C
θcot21−C
1 θcot2
1+C
0
1- θcot2C 1 1 1- θtan2C
Si Ut > 0 Si ( ) yStU rt δδ −≤ 1 0=tF Si no ( )[ ] βδδ cot1 2
21 yStUF rtt −−=
Si ( ) yStU rt δδ −≤ 1 0=tF Si no, si ( ) yStU lt δδ −≤ 1
( )[ ] βδδ cot1 221 yStUF rtt −−=
Si no ( ) yxCxtUF tt δδδδ −−= 1
( )βδδδ cot21 tUxStUF tttt +=
Si ( ) yStU lt δδ −≥ 1 ( ) yxCxtUF tt δδδδ −−= 1 Si no ( )βδδδ cot2
1 tUxStUF tttt +=
Si Ur > 0 Si xStU br δδ ≥ yxCFr δδ= Si no ( ) ySxStUtUF rbrrr δδδδ −= 22
1
( )βδδδ tan21 tUyStUF rrrr −=
Si xStU tr δδ ≤ ytUF rr δδ= Si no, si xStU br δδ ≤
( ) βδδδδ tan221 xStUytUF trrr −−=
Si no yxCFr δδ=
Si xStU tr δδ ≤ ytUF rr δδ= Si no
( ) βδδδδ tan221 xStUytUF trrr −−=
Si Ub > 0 Si xStU rb δδ ≥ yxCFb δδ= Si no ( ) xSyStUtUF brbbb δδδδ −= 22
1
Si yStU lb δδ ≤ xtUF bb δδ= Si no, si yStU rb δδ ≤
( ) βδδδδ cot221 yStUxtUF lbbb −−=
Si no yxCFb δδ=
( )βδδδ cot21 tUxStUF bbbb −=
Si yStU lb δδ ≤ xtUF bb δδ= Si no
( ) βδδδδ cot221 yStUxtUF lbbb −−=
Si Ul > 0 Si ( ) xStU bl δδ −≤ 1 0=lF Si no ( )[ ] βδδ tan1 2
21 xStUF bll −−=
( )βδδδ tan21 tUyStUF llll +=
Si xStU bl δδ ≤ 0=lF Si no, si xStU tl δδ ≤
( )( ) βδδ tan1 221 xStUF bll −−=
Si no ( ) yxCytUF ll δδδδ −−= 1
Si ( ) xStU tl δδ −≥ 1 ( ) yxCytUF ll δδδδ −−= 1 Si no ( )βδδδ tan2
1 tUyStUF llll +=
SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FLUJO BIFÁSICO MEDIANTE EL MÉTODO DEL VOLUMEN DE FLUIDO (VOF).
Joaquín E. Morán G. La Universidad del Zulia
Escuela de Ingeniería Mecánica [email protected]
1. RESUMEN En este trabajo se presenta el desarrollo computacional de un programa para la simulación de flujo bifásico, mediante el algoritmo del Volumen de Fluido (VOF). El programa es capaz de “rastrear” el movimiento de una interfase definida entre dos fluidos incompresibles e inmiscibles. Además del modelo VOF propuesto por Hirt y Nichols en 1981, se utiliza un algoritmo súper-compresivo que combina esquemas aguas arriba y aguas abajo con el objetivo de minimizar la falsa difusión, que puede conducir a resultados erróneos. Para la reconstrucción de la interfase en cada paso de tiempo, se implementa el modelo de Youngs, conocido como PLIC (“Piecewise Linear Interface Calculation”). Los problemas seleccionados para evaluar el desempeño del programa, muestran una excelente capacidad de captura de interfase. En los casos que presentan condiciones de tensión superficial dominante (término que no es considerado en la formulación presentada en este trabajo) los resultados del programa son cualitativamente aceptables. Aunque se logró reducir el costo computacional del algoritmo para el monitoreo de la interfase, sería recomendable la implementación de un método numérico diferente al TDMA para la solución del sistema de ecuaciones. 2. INTRODUCCIÓN Los algoritmos existentes para el cálculo de la localización de la superficie libre han sido clasificados según Ferziger y Peric1 en dos categorías: métodos que trazan una superficie libre o interfase (métodos de rastreo de interfase) y métodos que no definen una superficie libre, sino que la malla se extiende más allá de la interfase y la forma de la superficie es determinada por las celdas que se encuentran parcialmente llenas (métodos de captura de interfase). Con respecto a los métodos de rastreo de interfase, existen a su vez diferentes alternativas2. En la técnica de partículas en la interfase, propuesta por Daly (1969) se utiliza un conjunto de marcadores sin masa, que se desplazan por efecto de las velocidades locales. Éste método tiene la desventaja de que el espaciamiento entre las partículas afecta sensiblemente los resultados, por lo tanto, existen restricciones para predecir interfases que se mezclen o rompan (oleaje). Más aún, en tres dimensiones es casi imposible llevar cuenta de la conectividad de las partículas.
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Las funciones de elevación propuestas por Hirt y Nichols, extienden la idea de los marcadores de interfase relacionando los puntos de referencia en la superficie con un plano fijo. La localización de la interfase queda entonces descrita como la distancia al plano de referencia. El método de ajuste de nivel (level-set)3 4, utiliza una función que se calcula para todo el dominio computacional, y cuyo valor es igual a la distancia más corta entre el punto y la interfase. La interfase es definida por las celdas en donde la función, conocida como “función de nivel” tiene un valor igual a cero. Los métodos de ajuste de malla5, adaptan el contorno de la misma a la interfase en cada paso de tiempo. Como ventajas, ofrece la reducción de los datos a ser almacenados (no hay necesidad de marcadores para la interfase), aseguran una buena definición de la interfase y evita considerar celdas parcialmente llenas. Sin embargo, estos métodos están limitados a superficies que no sufran grandes deformaciones, pues ocasionan distorsiones sustanciales de la malla. Otra desventaja es que para cada paso de tiempo es necesario regenerar la malla, lo cual trae como consecuencia complicaciones de tipo geométrico. Los métodos de captura de interfase o monitoreo de volumen6, comenzaron a desarrollarse a partir del modelo MAC (Marker And Cell) propuesto por Harlow y Welch. Este método propone esparcir partículas sin masa sobre todo el volumen ocupado por el fluido con superficie libre. Una celda sin marcador se considera vacía. Cada celda marcada adyacente a una celda sin marcar, contiene una porción de la intefase, mientras que todas las otras celdas marcadas se consideran completamente llenas de un solo fluido. Daly (1967), extendió el método MAC a dos fluidos; en este caso, cada fluido tiene sus propias partículas marcadoras. Las celdas que presenten partículas de ambos fluidos contienen la interfase. DeBar (1970) desarrolló un método en el cual se calculaba la fracción de volumen de cada fase presente en cada una de las celdas de la malla. En el método VOF (Volume of Fluid) propuesto por Hirt y Nichols (1981), la fracción de volumen se representa mediante una función escalar con valores de 0 hasta 1 para distinguir entre las dos fases presentes. Un valor de 0 indica que la celda se encuentra totalmente llena de una de las fases, mientras que si la función escalar vale 1, la celda contiene el otro fluido. Un valor intermedio entre 0 y 1 indica la presencia de la interfase dentro del volumen de control de la malla. El método VOF consta de tres componentes7 a saber: un esquema para localizar la interfase o superficie, un algoritmo para monitorear su desplazamiento a través de la malla y una forma de imponer las condiciones de contorno en la interfase para cada paso de tiempo. Es importante que la programación del método VOF contenga estos tres ingredientes, pues de lo contrario se cometerán errores en la ubicación y reconstrucción de la interfase. La ventaja de utilizar las fracciones de volumen sobre el método MAC es que sólo se necesita determinar un valor para cada celda. Otro beneficio es que la fracción de volumen es una ecuación convectiva escalar como las otras ecuaciones de transporte, que se resuelve sobre toda la malla para propagar las fracciones de volumen. Durante los últimos años, los investigadores han propuesto varias técnicas para definir (entiéndase “dibujar” o “trazar”, diferente a “localizar”) la interfase utilizando el marco de la fracción de volumen. La mayoría de estas propuestas cae dentro de una de dos categorías: las técnicas de línea o la formulación donante-receptor (donor-acceptor). Las técnicas de línea, como el método SLIC (Simple Line Inteface Calculation) propuesto por Noh y Woodward en 1976, utilizan las fracciones de volumen de celdas vecinas para
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trazar los perfiles de la interfase en las celdas que la contienen, en forma de líneas paralelas a los ejes coordenados de la malla. En el método de Youngs o también llamado PLIC (Piecewise Linear Interface Calculation) se ajusta la interfase dentro de cada volumen de control a una línea recta, que no tiene porqué estar alineada con los ejes coordenados, lo cual permite una mejor resolución y aproximación al contorno real de la superficie. Por otro lado, para corregir el valor de la fracción de volumen, los métodos de alto orden para el tratamiento de la convección, como el modelo propuesto por Jasak et al.8 en 1995, utiliza esquemas de séptimo a noveno orden para localizar la interfase dentro del volumen de control, evitando la difuminación de la superficie definida o “smearing” causada por la falsa difusión de los métodos de bajo orden. Esto se logra mediante los diagramas de variables normalizadas implementados por B.P. Leonard9 para resolver problemas de transporte escalar altamente convectivo que involucran discontinuidades pronunciadas y fuertes curvaturas de las líneas de corriente10. Es claro que debe existir un compromiso entre la falsa difusión de los esquemas de bajo orden y las oscilaciones producidas por esquemas de alto orden. Ubbink5, utiliza una combinación de VOF, limitadores y PLIC para la reconstrucción de la interfase en problemas en donde hay rompimientos y deformaciones pronunciadas. Otros autores como J. Ghidaglia11 utilizan una técnica diferente, basada en el cálculo de las fracciones de volumen de cada fase en la celda, e incluso en la determinación de la transferencia de masa entre las fases. La formulación de esta propuesta se basa en modelos Euler-Euler, a diferencia de los modelos Euler-Lagrange utilizados para el estudio de flujo multifásico disperso. Los trabajos de Ghidaglia se basan en la utilización de mallas no estructuradas, presentando además las complicaciones adicionales que trae como consecuencia la consideración de mezcla entre las fases. Sin embargo no hay un algoritmo para la reconstrucción de la interfase en cada paso de tiempo, por lo cual, adicional a los valores de las propiedades (velocidad, temperatura, presión, etc.) no es posible rastrear el movimiento de la interfase. Algoritmos del tipo Lattice – Boltzmann también se han implementado en la simulación de flujos multifásicos. En este caso, se discretiza y resuelve la ecuación de Boltzmann sobre arreglos reticulares, determinando la probabilidad de que una partícula se encuentre en determinada posición en un instante de tiempo dado. Finalmente, los algoritmos de “corrientes de volumen”18 de fluido, utilizan líneas de corriente que cruzan a través de las caras de las celdas de la malla, y es sobre éstas líneas que se realizan las integraciones para el cálculo de los flujos volumétricos que pasan a través de las caras de los volúmenes de control. 3. FORMULACIÓN DEL MODELO VOF Si el volumen se contrae hasta tener el tamaño de un elemento diferencial, la ecuación diferencial general que describe el flujo de fluidos se reduce a la forma conservativa:
(3.1)
SVDC QQFFt
⋅∇+=⋅∇−⋅∇+∂∂ϕ
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Esta ecuación general de transporte, que puede representar un campo escalar, vectorial o tensorial, será utilizada para derivar el conjunto completo de ecuaciones para un sistema de dos fluidos.
3.1. Ecuaciones Gobernantes La ecuación de transporte para la conservación de la masa se deriva de sustituir ϕ = ρ (la masa por unidad de volumen) en la ecuación (3.1). Si se supone que no hay otras fuentes de masa como reacciones químicas y cambios de fase, la ecuación se reduce a:
(3.2) Esta relación, también conocida como la condición de continuidad, establece que la masa de un fluido dentro de un dominio cerrado puede solo cambiar a consecuencia de flujo a través de los límites o contornos (para el caso incompresible). La ecuación para la conservación de la cantidad de movimiento se obtiene mediante la sustitución de ϕ por ρu (cantidad de movimiento por unidad de volumen) en la ecuación (3.1). Se considerará en adelante que no hay difusión de cantidad de movimiento cuando el fluido se encuentre en reposo, por lo cual FD = 0. Las fuentes se definen mediante la adición de todas las fuerzas externas (por unidad de volumen) a la suma de todas las fuerzas internas. La única fuerza externa que se considerará actuando sobre el fluido es ρg, la fuerza debida a la gravedad, donde g es la aceleración gravitacional. Las fuerzas internas se cancelan por pares en cada punto dentro del volumen del fluido, y se manifiestan como esfuerzos en los contornos, en donde no existen fuerzas que se les opongan. El tensor de esfuerzos T para un fluido newtoniano en equilibrio termodinámico local, que no se considera expuesto a grandes rangos de temperatura y presión, se define como:
(3.3) donde P es la presión, μ es la viscosidad dinámica e I es el tensor unitario. Una carga interna que todavía no ha sido tomada en consideración es ƒo, la fuerza debida a la tensión superficial. La tensión superficial es una fuerza de tensión tangencial a la interfase que separa los dos fluidos, y trata de mantener las moléculas que se encuentran en la superficie libre en contacto con cada uno de ellos. Si los fluidos se encuentran en equilibrio, esta componente normal ƒo está mecánicamente balanceada con el salto de presión a través de la interfase, pues de otra forma, la interfase tendría un valor de aceleración distinto de cero. Es claro que este salto de presión depende del coeficiente de tensión superficial σ y de la curvatura de la interfase. Tomando estas últimas suposiciones y sustituyendo en la ecuación (3.1), nos queda que:
0=⋅∇+∂∂ u
tρρ
( )( )( )TuuuIPT ×∇+×∇+⋅∇+−= μμ32
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(3.4) Las ecuaciones de movimiento se cierran mediante las relaciones constitutivas para la densidad y la viscosidad dinámica:
(3.5) en donde los subíndices 1 y 2 denotan los diferentes fluidos. La función indicadora o colorante α es definida de la siguiente forma:
(3.6) Por supuesto, α(x,0) corresponde a la distribución inicial de los fluidos. La definición anterior de α implica que sea una función escalón, y como consecuencia, la densidad en la ecuación (3.5) es continua, pero por tramos o trozos (piecewise). Con el objetivo de modelar los dos fluidos como un continuo, utilizando las ecuaciones (3.2) y (3.4), la densidad ρ debe ser continua y diferenciable sobre todo el dominio. Para el cálculo de la curvatura de la interfase, el requerimiento de que α sea una función suavizada es mucho más exigente, dado que debe ser diferenciada dos veces. La forma de resolver estos inconvenientes, es permitir que la función α tenga valores intermedios sobre la interfase entre los dos fluidos, y esta zona de transición debe ser de espesor diferencial δ. Por tanto, se tiene que:
(3.7) De nuevo, se observa que cada valor de α (0 y 1) se encuentra asociado a un fluido dado. Adicionalmente, los valores de α se propagan a través del dominio computacional según la ecuación:
(3.8) Las ecuaciones generales anteriormente mencionadas, describen el movimiento de los dos fluidos y de la interfase que los separa. Existen soluciones analíticas que satisfacen este conjunto de ecuaciones (en cuanto a condiciones de borde y valores iniciales), pero sólo para un número limitado de casos sencillos, así que debe recurrirse a resolverlas numéricamente. Sin embargo, tal y como se encuentran escritas no es posible realizar
( ) OfgTuutu
+=−×⋅∇+∂
∂ ρρρ
( )( ) 21
21
11
μααμμρααρρ
−+=−+=
( )⎩⎨⎧
=2 fluido del dentro t)(x, puntos los Para :01 fluido del dentro t)(x, puntos los Para :1
, txα
( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
<<=
n transicióde área del dentro t)(x, Para :102 fluido del dentro t)(x, puntos los Para :01 fluido del dentro t)(x, puntos los Para :1
,
δαα tx
0=∇⋅+∂∂
= ααα utDt
D
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esta operación debido a la discontinuidad del producto ρu. Por lo tanto, las ecuaciones deben ser reformuladas. La ecuación de continuidad (3.2) puede ser escrita de la siguiente forma (según Spalding, 1974):
(3.9) La ecuación (3.9) es llamada la forma “no conservativa” de la ecuación de conservación de la masa. Para sistemas de dos fluidos con relaciones de densidad altas, es mucho más sencillo resolver esta ecuación, pues u es continua en la interfase por definición (Richardson, 1989). En este trabajo, se supone que ambos fluidos son incompresibles, por lo tanto el lado derecho de la ecuación (3.9) es igual a cero. Esto puede ilustrarse sustituyendo la ecuación (3.5) en la (3.9), y luego se le aplica la ecuación (3.8) al resultado. Entonces,
(3.10) La condición de incompresibilidad (3.10) puede ser utilizada para rescribir la ecuación para α en forma conservativa, haciéndola adaptable a la discretización de volúmenes finitos, pues se sabe que ααα ∇⋅+⋅∇=⋅∇ uuu . El resultado obtenido es:
(3.11) También es posible utilizar la condición de incompresibilidad para reducir los términos del tensor de esfuerzos, calculado a partir de la ecuación (3.3). Esto simplifica la ecuación de cantidad de movimiento a la forma siguiente:
(3.12) En conclusión, las formas definitivas de las ecuaciones de transporte que deben resolverse simultáneamente son: la ecuación de continuidad para flujo incompresible (3.9), la ecuación de cantidad de movimiento (3.12) y la ecuación de transporte de α (3.8), junto a las relaciones de cierre para la densidad y la viscosidad dinámica dadas por la ecuación (3.5). El término que representa la tensión superficial no será tomado en consideración en este trabajo (ƒo= 0).
( )Dt
DDtDu
tu ρρ
ρρρ
ρln11
−=−
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ∇⋅+
∂∂−
=⋅∇⇒
( )( ) ( ) 01 21221 =
−−=+−
−=⋅∇
DtD
DtDu α
ρρρ
ρρραρ
0=⋅∇+∂∂ u
tαα
( ) ( ) ( ) ( )μρμρρ∇⋅×∇+++−∇=×∇⋅∇−×⋅∇+
∂∂ ufgPuuu
tu
O
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4. MÉTODO DE YOUNGS Los métodos de tipo VOF registraron un avance importante hace más de una década como consecuencia del trabajo de Youngs24. Más que hacer coincidir la interfase con la dirección de los ejes coordenados, utilizó una aproximación lineal por trozos (piecewise). Cada línea de la interfase, definida mediante un punto de intersección y una pendiente, es trazada dentro de las celdas según el valor de la función indicadora C. La pendiente de la línea se determina a partir de la normal a la interfase (el gradiente de fracciones de volumen), y la intersección se calcula en base a la conservación de volumen. La normal a la interfase, a su vez, es el resultado de un algoritmo multidimensional que no depende de la dirección de los barridos. Este versátil método, formulado por Youngs para dos y tres dimensiones en mallas ortogonales, fue adoptado rápidamente en la resolución de modelos hidrodinámicos de flujo que presentaban interfases entre materiales (predominantemente flujos a altas velocidades). Actualmente, se ha extendido a mallas no estructuradas (2D y 3D) en los trabajos de Ubbink5, Rider16 y Kothe24. En este trabajo, nos referiremos al método de Youngs como PLIC (Piecewise Linear Interface Calculation) a partir de este punto. Una vez conocido el campo de la función colorante (a partir de ahora, simbolizada por C), se procede a delimitar la interfase entre los fluidos en cada paso de tiempo. Para tal fin, se calculan los flujos de C a través de las caras de cada celda utilizando un esquema aguas arriba de primer orden. Cada celda es re-visitada, y si contiene parte de la interfase (0 < Ci,j < 1), se determinan los flujos salientes de Youngs. Primeramente, se calculan los valores de β, el ángulo que forma la interfase en cada celda con el eje x (recuérdese que dentro de cada volumen, la interfase se representa mediante una recta). Existen varias formas de obtener los valores de β, pero en este trabajo se utilizará el gradiente de C para determinar una superficie normal de la cual β puede ser calculado directamente. La metodología utilizada para estimar la superficie normal, tiene una gran influencia en la precisión del esquema convectivo. Se utilizará la propuesta de Kothe24, por ofrecer los mejores resultados. Para una malla uniforme, se tiene que:
(4.1) Estas ecuaciones representan de alguna forma las derivadas de la función colorante C en las direcciones x y y respectivamente (∂C/∂x, ∂C/∂y). A partir de estos resultados, se determina el valor de β mediante la relación:
(4.2)
Si se define el ángulo θ como,
(4.3)
( )
( )1,11,1,11,11,1,1,
1,1,11,11,1,11,1,
221
221
−−−−++−+++
−−−+−−++++
−−−++=
−−−++=
jijijijijijiy
ji
jijijijijijix
ji
CCCCCCy
n
CCCCCCx
n
δ
δ
( )πβπβ ≤<→⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −= - arctan y
x
nn
( )20 tanarctan πθβδδθ ≤≤→⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
yx
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Entonces la interfase en la celda puede ser rotada de tal forma que θ se encuentre en el rango 0° ≤ θ ≤ 90°. Una vez que se ha llevado a cabo esta rotación, existen cuatro configuraciones posibles para la interfase, como se muestra en la Figura 1. Con el objeto de identificar cual de estas configuraciones (numeradas del I al IV) es la que realmente se presenta dentro de cada volumen, se aplica la metodología que aparece en la Figura 2. Una vez que ha sido determinado el caso, deben calcularse las cuatro fracciones laterales (en el caso bidimensional). Las fracciones laterales se definen como las longitudes normalizadas superior, derecha, izquierda e inferior de la celda que están en contacto directo con el fluido, y se representan como St, Sr, Sl y Sb respectivamente. Una vez conocidos estos valores, se procede a determinar los flujos volumétricos del fluido a través de cada una de las caras (Ft, Fr, Fl y Fb) lo cual puede hacerse geométricamente. Más que describir en detalle todas las posibilidades, la Tabla 1 muestra un resumen de los cálculos a ser realizados. Es importante hacer notar que las velocidades se toman como positivas para el modelo PLIC si salen del volumen de control; en caso contrario, se consideran negativas, y los flujos a través de las caras no son calculados en este último caso. Una vez determinados los flujos, debe procederse a corregir el valor de C que se calculó utilizando la ecuación de transporte convectivo. Esto se lleva a cabo sumando algebraicamente los flujos que salen a través de todas las caras (con lo cual obtenemos un flujo neto Fneto en el volumen) y recalculando la función colorante de la forma siguiente:
(4.4) En la ecuación anterior, Cnew representa el valor de C corregido, Cold es el valor calculado previamente, Fneto es el flujo neto saliendo a través de todas las caras y V es el volumen de la celda. Una vez obtenido el campo de valores de C corregidos, el contorno 0.5 de esta variable nos mostrará la localización de la interfase25. Sin embargo, la falsa difusión originada durante del transporte convectivo del escalar, puede traer como consecuencia que la interfase quede “difuminada” en tres o más celdas. Por lo tanto, adicional al modelo PLIC es necesario contar con un algoritmo que minimice el efecto de la falsa difusión en la localización y monitoreo del movimiento de la interfase. 5. ESQUEMA INTER-GAMMA Gaskell y Lau acotan el valor de la variable normalizada fφ~ basándose en el Diagrama de Variable Normalizada (NVD) propuesto por Leonard8, y llegan a las restricciones mostradas en la Figura 3. Puede verse que la escogencia de los métodos diferenciadores es más o menos libre para 0 < Cφ~ < 1. Es en este rango donde se determina realmente la conducta del método. El esquema propuesto tiene las siguientes premisas:
a. Para Cφ~ < 0, Cφ~ > 1 ⇒ Cφ~ = fφ~ , siguiendo el criterio NVD original. b. Para ½ < Cφ~ < 1 ⇒ fφ~ = 1, asegurando la conducta compresiva del esquema.
VFCC neto
oldnew −=
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c. Para 0 < Cφ~ < ½ ⇒ CCf φφφ ~3~2~ 2 +−= Se espera que este esquema preserve el acotamiento de C y dé una resolución razonable del perfil de la interfase. El comportamiento esperado del esquema puede observarse en la Figura 4, y se explica en dos partes:
1. Con el objetivo de preservar el acotamiento, se introduce una cierta cantidad de difusión numérica. La experiencia con otros esquemas diferenciadores muestra que es inevitable. Naturalmente, esto difumina la resolución de la interfase.
2. Se utiliza un esquema aguas abajo (downwind) para obtener una reconstrucción
definida de la interfase. Para explicar de qué forma el esquema aguas abajo mejora la resolución del perfil de la interfase, veamos lo siguiente: el uso de esquemas aguas arriba (upwind) en el término convectivo de la ecuación (3.11), introduce el término α∇Γ⋅∇ , que es obviamente difusivo. Este término (puramente numérico) difuminará la solución como si existiese una cantidad de difusión “real” correspondiente a la difusión numérica Γ. Por otro lado, un esquema aguas abajo adicionaría un término similar, pero en este caso, la difusión será negativa. Esto quiere decir que el problema que se está resolviendo incluye efectivamente un término “antidifusivo”, que define o afila los perfiles de todos los gradientes que componen la solución. Debe recordarse que la difusión numérica negativa introducida por los esquemas aguas abajo no se “cancelará” con la difusión positiva producida por el esquema aguas arriba. Los resultados obtenidos por Jasak et al.8 muestran que aplicar los dos esquemas puede conducir a resultados satisfactorios. 6. RESULTADOS OBTENIDOS. 6.1. Caída y Colapso de Gota. Esta primera adaptación describe la caída de una gota y el colapso contra la superficie de una capa somera de líquido. En general, los problemas de gotas se estudian con la finalidad de establecer la influencia de la tensión superficial sobre otras propiedades. Aunque en este trabajo no se consideró la tensión superficial, éste ejemplo fue incluido con el objetivo de analizar el impacto ocasionado por la omisión del anteriormente mencionado efecto. La Figura 5 muestra las condiciones iniciales y dimensiones del problema. Todos los contornos son cerrados, es decir, no se permite salida de masa a través de ningún borde. Las magnitudes mostradas en la figura anterior se suponen compatibles (pertenecen al mismo sistema de unidades). Los fluidos contenidos en el dominio de cálculo tienen la misma viscosidad, pero la densidad del fluido de la gota y el fondo es cinco veces mayor a la del fluido que ocupa el espacio restante. Recuérdese que se trata de una situación de flujo incompresible. La malla se ha tomado de 40 x 40 celdas igualmente espaciadas, debido a que las pruebas con mallas más refinadas no mejoran de forma apreciable los resultados, además de que si se reducen excesivamente las dimensiones de los volúmenes de control, también deberán ajustarse los valores del paso
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en el tiempo (Δt), lo cual puede incrementar de manera importante el costo computacional del algoritmo. En este ejemplo, se tomó un paso de tiempo de 0.05 basándose en el criterio de que el número de Courant no debe ser mayor a 0.3. En la Figura 6 se observa la malla computacional para el problema de la gota.
En la Figura 7 se observan los resultados arrojados por el programa para varios pasos de tiempo. El efecto de la tensión superficial faltante, impide que una vez desprendida la gota ésta adquiera la forma achatada característica y luego pase a ser totalmente esférica. Las corridas se llevaron a cabo para varias relaciones de viscosidad diferentes, y se llegó a la conclusión de que al aumentar la diferencia de viscosidad entre los fluidos, se hace más notorio el efecto de la falta del término de tensión superficial. Bajo estas condiciones, la gota ni siquiera presenta la forma redondeada característica, sino más bien una figura oblonga y alargada. La diferencia de densidades es otra de las limitantes en este experimento, ya que la mayoría de los trabajos en donde se presentan resultados para gotas con coalescencia y rompimiento, se utiliza el método MAC o el modelo VOF sólo para el cálculo de la fase líquida, y no se resuelven las ecuaciones para el fluido en torno a la gota. Por supuesto, si se consideran aire y agua como las dos sustancias a estudiar, la diferencia en las densidades puede llegar a ser de 1000 veces. En los trabajos de Ubbink, todos los casos presentados consideran diferencias de densidad de ésta magnitud entre los fluidos. Sin embargo, en este trabajo se resuelven las ecuaciones de conservación para ambas fases, y por lo tanto no pueden llegar a ser valores extremos, ya que esto afectaría la “discontinuidad de cantidad de movimiento” y traería como consecuencia velocidades locales extremadamente grandes. 6.2. Rotación de una Cavidad Cuadrada. Para este caso, se considerará una cavidad cuadrada cerrada que gira alrededor de un eje ubicado en su centro geométrico. El fluido más denso se encuentra en el fondo de la cavidad, mientras el otro fluido llena el espacio restante. La Figura 8 muestra las características geométricas y condiciones iniciales para este problema. En este caso, la forma de introducir la rotación consiste en que los términos de gravedad afecten el término fuente de las velocidades en las dos direcciones, según las siguientes relaciones:
(6.1) En las ecuaciones (6.1), t representa el tiempo transcurrido, calculado como el producto del valor del paso de tiempo por el No. de pasos transcurridos. Por otro lado, w es una constante que controla la velocidad de rotación de la cavidad, y debe ser ajustada a un valor bajo para observar el comportamiento de los fluidos de la mejor forma posible. La discretización del dominio computacional se realizó mediante la colocación de 40 volúmenes de control en cada dirección coordenada. La malla resultante se muestra en la Figura 9. En la Figura 10 se observan los resultados para el problema de la rotación de una cavidad cuadrada. El algoritmo VOF logra llevar a cabo exitosamente el seguimiento del frente de fluido, pero sin embargo se puede ver una pequeña cantidad del líquido más
( )( )wtgSwtgS
V
U
cossin
ρρ
−=−=
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denso que queda adherida a la pared del recipiente que está “abandonando” por efecto de la rotación. Este efecto es análogo al fenómeno de “flotsam” o “jetsam”. A diferencia de las comunes burbujas o partículas que aparentemente quedan aisladas o abandonadas por el fluido, en este caso tenemos un filamento que queda adherido a la pared, para luego desaparecer a medida que la cavidad sigue dando vueltas. Al moverse hacia la tercera pared (270°), se presenta el mismo fenómeno. Estos efectos no deseados pueden reducirse si se incrementa el número de volúmenes de control, lo cual implica directamente una reducción del paso de tiempo, para evitar un valor alto del número de Courant. Existen casos23 en donde el costo computacional que se requiere para resolver un problema de esta naturaleza es demasiado alto (aproximadamente unas 5 o 6 horas para mallas de 60x60), sin tomar en consideración que será necesario también incrementar el número de pasos de tiempo. Este experimento tomó una hora y 22 minutos para 700 pasos de tiempo. 7. CONCLUSIONES
1. El modelo VOF combinado con el método de Youngs, permite predecir el comportamiento de la interfase en problemas de dos fluidos, mejorando la definición de la misma respecto al modelo VOF original propuesto por Hirt y Nichols, y con un costo computacional mucho menor.
2. En problemas dominados por el efecto de tensión superficial, el modelo muestra
un comportamiento cualitativamente aceptable, pero deben mantenerse relaciones de viscosidad por debajo de 5 para que los resultados no difieran mucho de los valores reales, por la condición de contorno faltante. Recuérdese que la tensión superficial es una condición de contorno que se especifica sobre la interfase.
3. Se reduce el efecto de flotsam o jetsam debido a la incorporación del método de
Youngs. En su lugar, en problemas donde el transporte de la función colorante cambia de dirección a lo largo del tiempo, se observa una “adhesión” temporal del fluido a las paredes (o condición de contorno con velocidad cero).
4. Los algoritmos súper-compresivos cumplen con su rol de limitadores de la
función colorante, y evitan que la falsa difusión avance rápidamente y conduzca a resultados erróneos.
5. De la forma como está planteado en este trabajo, el modelo VOF requiere de
reducir significativamente el paso de tiempo y aumentar la densidad de la malla para trabajar con relaciones de densidad mayores a 100 y relaciones de viscosidad mayores a 50, lo cual incrementa tremendamente el costo computacional del algoritmo.
6. El TDMA debe ser sustituido por otro método numérico que reduzca más aún los
requerimientos computacionales del modelo.
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7. No parece existir un único método que permita resolver todos los problemas de
flujo bifásico. Lo más probable, es que la elección del modelo dependa de la naturaleza del problema.
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Figura 1. Posibles configuraciones de la interfase para el modelo PLIC.
Figura 2. Diagrama de flujo para determinar la configuración de la interfase.
Calcular nx y ny
Calcular β y θ
Si θ < π/4
Si C ≤ ½tanθ
Si C ≤ 1 -½tanθ
Si C ≤ 1 -½ctgθ
Si C ≤ ½ctgθ
CASO I
CASO I
CASO II
CASO III
CASO IV
CASO IV
SI
SI SI
SI SI
NO NO NO
NO NO
I II III IV
Figura 3. Criterio de acotamiento en el diagrama NVD.
Figura 4. Esquema Inter – Gamma en diagrama NVD.
Figura 5. Condiciones iniciales y dimensiones para el problema de la gota.
Figura 6. División del dominio en volúmenes de control y malla resultante.
0.3
0.1
1.0
0.3
1.0
ρ1
ρ2
Figura 7. Resultados del programa YOUNGS para la gota (varios pasos de tiempo)
t = 0 t = 30 t = 50
t = 70 t = 100 t = 115
t = 150 t = 200 t = 350
Figura 8. Condiciones iniciales y dimensiones para la cavidad en rotación.
Figura 9. División del dominio en volúmenes de control y malla resultante.
1.0
1.0
0.5
ρ1
ρ2