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INFORME DE TERMINACION DE SEMINARIO DE PROYECTOS

SIMULACION DINAMICA EN 1D Y 2D DE LOS PERFILES DE TEMPERATURA

EN UNA BARRA DE COMBUSTIBLE NUCLEAR

; !í ’ I

INGENIERIA EN ENERGIA

1 DMSION DE CIENCIAS BASICAS E INGENIERIA

,-ALUMNO: ARMANDO NAVA DOMINGUEZ

ASESOR D R GILBERT0 ESPINOSA PAREDES.

MEXICO, D.F., 1998.

Am ~=*~~~~~P~UNIVERSIDAD AUTONOMA METROPOLITANA

UNIDAD IZTAPALAPA

AGRADECIMIENTO.

Dedicado a todas aquellas personas que me

ayudaron a realizar este trabajo, a mi mamá y papá

por ser pacientes y darme h e m para poder seguir

adelante, a mis hermanas que siempre estuvieron a

mi lado dándome aliento para continuarcon este

gran esfuerzo, y en especial a DIOS porque él

siempre estuvo conmigo y me dió esperanzas para

realizar todo aquello que me propuse.

Gracias.

INDICE Nomenclatura .................................................................................. i

.. ........................................................................ 1 .O Introduction.. 1

1.1 Objetivo ............................................................................... 3

1.2

2.0

Problema a resolver ................................................................... 3

Descripción del sistema físico ...................................................... 3

3.0 Modelo conceptual .................................................................. 5

4.0 Interacciones fisicas ................................................................. 7

Formulación matemática, suposiciones e hipótesis .............................. 8

Condiciones iniciales y de fiontera ........................................ 9

6.0 Solucion Numérica ......................................................... 9

Conducción en la interfaz., .............................................. 14

Solución de las ecuaciones algebraicas ................................. 15

Condición a la frontera .................................................... 17

5.0

5.1 ..

6.1

6.2

6.3

7.0 Algoritmo ............................................................................ 18

8.0 Formulación matemática para el caso de dos dimensiones por

El método de diferencias finitas ................................................... 19

8.1 Modelo matemático ....................................................... 19

8.2 Solucion numema ......................................................... 22

8.3 Secuencia de ejecucion .................................................... 26

9.0 Pruebas ............................................................................... 26

10.0 Simulaciones de estado estacionario ............................................. 27

10.1 Simulaciones transitorias .................................................. 27

Conclusiones ......................................................................... 31 Referencias .................................................................................... 32

Apéndice A .................................................................................... 33

Apéndice B .................................................................................... 36

Apéndice C .................................................................................... 42

Apéndice D .................................................................................... 46

. . . . . .

1 1 .O

Nomenclatura

Latin os.

9

r

t

T

Griegos

A

6

&

e

coeficientes.

capacidad calorífica.

factor de peso.

coeficiente de transferencia de calor convectiva.

dirección radial.

dirección axial.

coeficiente conductivo de calor.

longitud.

flux de calor.

radio.

tiempo.

temperatura.

incremento.

diferencial.

error de convergencia.

dirección radial.

densidad.

sumatoria.

Subíndices y superíndices.

e dirección este.

f combustible.

h holgura.

1 radial.

j axial.

m fluido, ambiente.

O inicio.

P punto p.

Abreviaturas.

EDP Ecuacion diferencial parcial.

BWR Boiling Water Reactor

Tf Temperatura combustible.

Tll Temp. holgura.

Tm Temp. del medio.

sm TDMA Tridiagonal Matrix.

Calor por unidad de volumen

SEMINARIO DE PROYECTO ARMANDO NAVA DOMINGUEZ

1.0 INTRODUCCION

La predicción de la distribución de temperaturas en el combustible es esencial para simular

las variaciones transitorias de potencia a través de la retroalimentación por efecto Doppler (efecto

debido a la temperatura combustible) de la cinética neutrónica y la generación de vapor con la

hidráulica del núcleo. La razón de generación de vapor impacta directamente en la simulación de la

variación transitoria de la presión en el reactor.

Un modelo de conducción de calor en el combustible nuclear basado en dos balances de

energía para predecir la temperatura promedio en el combustible y en el encamisado y considerando

constante la conductividad térmica en cada paso de integración, resultó inestable en condiciones

simuladas de arranque del reactor (Pérez y Espinosa 1992). El modelo de conducción transitoria de

Lewis (1971) es un planteamiento de parámetros concentrados con dos regiones para la predicción

de la temperatura promedio del combustible y encamisado. Este modelo de conducción se basa en

la presión del reactor. Para evitar la sobrepredicción de la velocidad de la liberación de energía

almacenada en el combustible Pérez y Espinosa (1992) proponen un modelo de conducción

multinodal. Estos autores usan un modelo multinodal en la dirección radial basado en la

formulación del volumen de control que considera ocho nodos radiales. Dos de ellos corresponden

al encamisado del combustible y la holgura, dos de ellos son utilizados para incluir condiciones a la

fiontera y los cuatro restantes definen la distribución de temperaturas en el combustible.

El método de volumen de control es un método numérico que consiste en obtener valores de

interés en varios puntos dentro de la región de estudio. Al aplicar el método de volumen de control

las (Ecuaciones Diferenciales Parciales) EDP son sustituidas por un conjunto de ecuaciones

algebraicas, que se obtienen mediante el uso de valores discretos. Los valores de las derivadas

parciales se obtienen alrededor de cada punto en donde se desea la solución y a esta operación se le

llama discretización.

1

SEMINARIO DE PROYECTO ARMANDO NAVA DOMíNGUEZ

En este trabajo se determinan los perfiles de temperatura en una barra de combustible en 1D

y 2D. Para el caso de 1D se resuelve por el método de volumen de control dividiéndose en 8 nodos

radiales y 4 axiales como se muestra en la figura 5.

Para el problema de 2D se utilizará el método de diferencias finitas. dividiendo la dirección

radial en 13 nodos y la dirección axial en 12. En este caso el encamisado y la holgura se resuelven

solo en una dirección (radial) tomando 5 nodos para el encamisado y 4 para la holgura. El

combustible se resuelve tomando 4 nodos radiales y 12 axiales.

2


1.1 Objetivo

Desarrollar un modelo numérico para predecir la distribución de temperaturas en 1D y 2D,

en las barras de combustible de un reactor de agua hirviente (BWR).

1.2 Problema a resolver

Determinar los perfiles de temperatura en condiciones de estado estacionario y transitorio, en

una y dos dimensiones sometido a las condiciones del refrigerante moderador y un perfil de potencia

axial predeterminado.

Se solucionarán numéricamente las ecuaciones diferenciales parciales de conducción de

calor sujetas a las condiciones iniciales y de frontera, mediante el método de volumen de control

para el caso de una dimensión y diferencias finitas para el caso de dos dimensiones.

2.0 DESCRIPCIÓN DEL SISTEMA FÍSICO

El núcleo del reactor es un arreglo de 444 ensambles de combustibles con 64 barras cada

uno de las cuales en promedio, 2 son de agua y 62 son de UO2. Los elementos combustibles

contienen el uranio enriquecido que al fisionarse, genera la energía necesaria para producir vapor

dentro del núcleo.

El combustible esta acomodado en el núcleo formando arreglos de cuatro ensambles y una

barra de control; A cada una de estos arreglos se le llama celda de combustible.

En al Figura 1 se muestra el núcleo de un reactor BWR y en la Figura 2 se presenta una

celda de combustible.

El combustible está constituido por pequeñas pastillas cilíndricas de U02 , de un centímetro

de diámetro por uno de altura, que se encuentran encapsuladas herméticamente en tubos de zircaloy

de aproximadamente 4 metros de longitud.

Existen tres tipos de barras de combustible en un ensamble: barras estándar, barras de

sujeción y barras de agua.

3

SEMINARIO DE PROYECTO ARMANDO NAVA DOMiNGUEZ

B

Figura 1. Núcleo del reactor.

P ,arras de agua.

O

O

Barra de

combustib le.

Barra de control.

Figura 2. Celda de combustible.

4

SEMZNAMO DE PROYECTO ARMANDO NAVA DOM~NGUEZ

Las barras de sujección mantiene unido el conjunto de barras de combustible y soportan el

peso del conjunto durante operaciones de manejo de combustible en las que el ensamble cuelga

sostenido de su asa. Las barras estándar tienen una longitud total de 4 metros y una longitud activa

de 3.75 metros. Los primeros 15 centímetros en la parte superior e inferior de la longitud activa

son de uranio natural; el resto de las pastillas son de uranio enriquecido, y algunas de estas

contienen óxido de gadolinio (material absorbedor de neutrones que ayuda a mejorar el perfil de

temperatura) además del uranio.

En la parte superior del interior de la barra existe un espacio llamado plenum, de

aproximadamente 2.5 cm y un pequeño recipiente que contiene zirconio en polvo que elimina al

hidrógeno que pudiera generarse en el interior de la barra.

En cada ensamble de combustible se instalan dos barras por las cuales fluye agua en lugar

de pastillas de uranio. Una de estas dos barras sirve para dar soporte axial a siete espaciadores de

barras de combustibles.

Un canal de combustible provee una separación física entre dos trayectorias paralelas de

flujo. Aproximadamente el 90 % del refrigerante-moderador fluye dentro del canal de combustible

para extraer calor de las barras, y el 10 % restante suministra flujo de enfriamiento para la región

existente entre ensambles y la instrumentación nuclear.

3.0 MODELO CONCEPTUAL.

La fuente de energía de un reactor de potencia es originada por los procesos de fisión debido

a los elementos combustibles. La energía depositada en el combustible es transferida al refrigerante

por conducción convección y radiación.

El núcleo de un reactor de agua en ebullición (BWR) es la fuente de calor y también el

generador de vapor, esto sucede gracias a que el refrigerante moderador, que también actúa como

fluido de trabajo fluye dentro de los canales de los ensambles de combustible, removiendo el calor

generado en el núcleo. Durante este proceso se presenta un cambio de fase de líquido a vapor.

5

SEMINARIO DE PROYECTO ARMANDO NAVA DOM~NGUEZ

Para que este calor pueda llegar hasta el refrigerante moderador tiene que pasar a través de

una serie de resistencias térmicas (Figura 3), la primera es el mismo combustible (a temperatura

promedio Tf), después sigue una holgura en donde se contiene helio gaseoso para evitar la

acumulación de hidrógeno (se encuentra a una temperatura promedio Th), posteriormente de esta

resistencia se encuentra el encamisado (a temperatura promedio T,) cuya finalidad es la de

contener el combustible.

Encamisado

Figura 3.0 Esquema del elemento combustible y distribución de la

temperatura aproximada.

6

SEMINARIO DE PROYECTO ARMANDO NA VA DOMINGUEZ

C O N D U C C I ~ N

Estas resistencias están diseñadas para la protección, integridad del equipo y evitar la

liberación de productos de fisión. Por eso es necesario conocer las temperaturas a diferentes puntos.

1 I

T m h

4.0 INTERACCIONES FÍSICAS.

Como se puede observar en la figura 4 el modelo de distribución de temperaturas

interacciona con la cinética neutrónica a través de la temperatura promedio del combustible ( Tf ) y

la generación de la potencia volumétrica (q"' ). También interacciona con el modelo de la

hidrodinámica del fluido, a través de la temperatura del fluido T, y el coeficiente de transferencia

de calor ( h ). En la Figura 4 se muestra la causalidad.

Tf I CINÉTICA

N E U T R ~ N I C A + q"'

Figura 4. Causalidad del modelo. Es importante apuntar que las variables de interacción entre la cinética neutrónica y la

hidrodinámica con el modelo de conducción, son condiciones de frontera necesarias para poder

resolver las EDP

El sistema a modelar consiste en una barra cilíndrica promedio de combustible nuclear,

holgura y encamisado. La barra cilíndrica será un representativo de las 27528 barras contenidas en

los 444 elementos de combustibles, que sujeta a la generación de calor, cede su energía al fluido que

viaja a través del canal.

7


8 7 6 5 4 3 2

La Figura 5 se muestra las medidas de la barra y la división radial en los nodos adoptada

para el modelado, El combustible cuyo radio es de 5.207~10" m es dividido en cuatro nodos del

mismo tamaño. El espesor de la holgura es 0.1 1 4 ~ 1 0 - ~ m y el espesor del encamisado de 0.813~10"

11 AZ

m.

4 L A L A v w b

combustible ho 1 gura enc ami sad0

Figura 5. Esquema conceptual en la dirección radial.

SISTEMA A MODELAR EN 1D

5.0 FORMULACIÓN MATEMÁTICA, SUPOSICIONES E HIPÓTESIS

Las suposiciones para el planteamiento matemático son las siguientes:

H.l. La capacidad calorífica volumétrica de la holgura es cero, el almacenamiento de energía en

esta región es nulo.

H.2. El reactor es homogéneo y sin reflector, es decir una sola barra promedio representa a todo el

conjunto de barras.

H.3. La generación de calor en el combustible es uniforme.

H.4. No se genera calor en la holgura y encamisado por ser materiales no fisionables.

8

SEMINARIO DE PROYECTO ARMANDO NAVA DOMINGVEZ

H.5. No existe convección en la holgura.

H.6. Se desprecia la transferencia de calor axial es decir dT/dZ= O.

H.7 Es axialsimétrico es decir dT/%=O.

Al aplicar las suposiciones anteriores, la ecuación de conducción de calor toma la forma siguiente:

I d dT r dr --( rk g) + q”’ = p c dt

Donde r es la dirección radial, k la conductividad térmica, q”’ el flujo de calor

volumétrico, p y C es la densidad y la capacidad calorífica respectivamente.

La ecuación anterior describe la distribución de la temperatura en las direcciones radial y

además en régimen transitorio, es decir:

T =f (r,t)

5.1 CONDICIONES INICIALES Y DE FRONTERA.

C.I. T(r,O)=T(r)

6.0 SOLUCI~N NUMÉRICA.

en t = O para toda r.

en r= r6 para todo t.

en r = ro para toda t.

La ec. (1) se resuelve numéricamente en forma numérica con el método de volumen de

control.

9


La integración de está ecuación se llevará a cabo en el volumen de control mostrado en la

Figura 6 donde el punto de interés es P que tiene como vecinos a los puntos O y E. Las letras e y o

denotan las fronteras entre el punto central y los adyacentes y el volumen del volumen de control es

el siguiente (Ax)(l)(l).

O P E

4 F

Ar

Figura 6. Volumen de control

Integrando l a Ec( 1) entre los límites mostrados en la fig. 6 y con respecto al tiempo entre t y t+At,

entonces: t+At e t + A t e

I I[ d( rk$)dt + q’? drdt = 1 f p CdT rdr t w 1 t W

Resolviendo la integral espacial considerando p C = cte. en cada paso de tiempo.

Como T,, TE y T, varían de t a t+At y q”‘ permanece invariable de t a t+At, entonces se

define:

10


t+At

ITx dt = [ft+AtTx +( l - f ) 'T , ]At (4) t

donde x = E,P,W

Para valores específicos del valor de peso la ecuación discreta nos lleva a uno de los

esquemas bien conocidos para una ecuación diferencial parabólica. En particular, .f-O nos lleva al

esquema explícito, fs0.5 al Crank-Nicolson, y fsl al esquema implícito.

Los diferentes valores de f pueden ser interpretados en términos de las variaciones de

cambiar de T, a t a t+At como se muestra en la Figura 7. El esquema explícito esencialmente asume

que el valor de T,' prevalece a través del paso de tiempo, excepto al tiempo t + At.

IMPLICITO.

b

t+At t

Figura 7. Esquemas de solución

El esquema implícito postula que al tiempo t, T, cae de T: a Tpl y se mantiene todo el paso

de tiempo, por lo tanto la temperatura durante el paso de tiempo se caracteriza por T,', un nuevo

valor. El esquema Crank-Nicolson asume una variación lineal de T,.

11


Al aplicar la ec. (4) en la ec. (3) se obtiene se obtiene el esquema general.

*+At - (1- or,}

+-{r2w -r2,]At =-{r2e PC -r2w}Tt+Atp -T'P 0 3 L L

Para el esquema explícito P O ) , la ecuación es :

a,T, = aET 'E + awTow + (a', - a~ - aw)T'p

esto significa que T, no esta relacionado a otras variables desconocidas como es TE o T, pero es

explícitamente obtenible en términos de temperaturas T:, T;,Two. Por eso es llamado esquema

explícito. Cualquier esquema conf+O es implícito.

Esto es, T, debe de estar relacionado con las variables desconocidas Te y T,, y la solución es

un conjunto de ecuaciones simultáneas.

Las limitantes para el esquema explícito es que puede arrojar valores físicamente irrealistas,

ya que el coeficiente de Tpt puede ser negativo (Patankar,1979). El limite de estabilidad numérica

para el esquema explícito, esta dado por:

Si esta condición no se cumple se tendrán resultados irreales, además este esquema forza a

usar At pequeños.

12


Para el esquema Crank-Nicolson, es inestable, ya que se pueden tener soluciones con

oscilaciones.

Para el esquema implícito, el coeficiente Tpf nunca es negativo y su comportamiento físico es

físicamente satisfactorio.

Con lo expuesto queda claro que con un esquema implícito se pueden usar pasos

relativamente grandes ya que para At+m se obtienen condiciones de estado estable. Por lo tanto la

ecuación ya integrada para este caso es:

Todos los valores de temperatura son en el tiempo actual (t+At) excepto en el punto P, en el

que se requiere el valor anterior (t). Reescribiendo la ecuación anterior en términos de coeficientes.

apTp= aETE +awTw + b q"' + apoTpo

donde:

re 'e

6 re a E =-

b=- re -rw 2

P C a p = b- At

(9)

ap = ap +aE +aw

13


La ecuación (9) representa la forma estándar en la cual se debería de escribir nuestras

ecuaciones discretas. La temperatura T, en el punto central del punto de red aparece en el lado

izquierdo de la ecuación, mientras que la temperatura de los puntos vecinos y la constante b forman

los términos del lado derecho.

En general es conveniente expresar la ecuación (9) de la siguiente forma:

6.1 Conducción en la interfaz

En las ecuaciones anteriores k, se usa para denotar el coeficiente conductivo de calor en el

punto e del volumen de control, k, se refiere a la interfase W. Cuando k es función de x, se debe

de conocer los valores solo en los puntos O,P,E ,por lo tanto se requiere de una expresión que solo

dependa de estos valores. Para lograrlo, la conductividad térmica se calcula por medio de la media

armónica. Esta se obtiene con la ayuda de la Figura 8. donde se muestra el nodo P y su vecino E.

P E

Figura 8. Conducción en la interfaz.

Como se ve las longitudes de estos nodos son diferentes puesto que la interface entre ellos

no esta localizada en el centro. Utilizando la relación de distancia entre el nodo y la interface y entre

nodo y nodo.

14

SEMINARIO DE PROYECTO ARMANDO NAVA DOMZNGUEZ

(6x )e+ Fe =

( 6~ )e-

la media armónica esta dada por:

(1-Fe) Fe ke = ~ +- k p ke

Con esta última ecuación, el cálculo del flujo de calor es consistente y se obtiene de

(17)

6.2 Solución de las ecuaciones algebraicas.

La solución de las ecuaciones para el caso unidimensional puede ser, por diversos métodos

como el método de eliminación de Gauss.

Para este caso debido a la eficiencia y rapidez es conveniente usar el algoritmo de Thomas o

TDMA (Tridiagonal Matrix Algorithm).

Por conveniencia para presentar el algoritmo es necesario usar una nomenclatura diferente.

Hay que suponer que los nodos están numerados 1,2,3,. . . ,N, donde 1 y N denotan los

nodos frontera.

La ecuación (9) puede ser escrita como:

Para i=1,2,3.. .,N. Por lo tanto l a temperatura T, esta relacionado con las temperaturas vecinas T,+i

y Ti-1. Para escribir la ecuación en la forma especial de los nodos frontera se asignará:

15


Cuando se tienen las temperaturas de la frontera y las ecuaciones de estos nodos toman la

forma trivial . por ejemplo, si TI esta dada se tiene al = 1, b1= O, c1= O y dl = TI.

Estas condiciones implican que Ti es conocida en términos de T2. La ecuación para i = 2 es

la relación entre Ti, T2, y T3, pero, desde TI puede ser expresado en términos de T2, esta relación

lleva a la relación entre T2 y T3. En otras palabras, T2 puede ser expresada en términos de T3.

Este proceso de sustitución puede ser sustituido hasta TN. La cual es formalmente

expresada en TN+~. Pero TN+I ya es conocida. Se han obtenido los valores numéricos de TN, se

obtienen de TN,TN-~ de TN-~, . . . , T2 de T3 , y Ti de T2. Esta es la esencia del TDMA.

Al suponer la sustitución hacia atrás se obtiene la siguiente relación:

Ti = PiTi i i + Qi

después obtendremos

Ti-I = Pi- I Ti + Qi-I

Sustituyendo la Ec. (25) en (24) se obtiene:

Las cuales pueden ser arregladas algebraicamente para tener una forma como la ecuación

(22) , en otras palabras, los coeficientes Pi y Q, entonces se llega a:

16


Estas son las ecuaciones recurrentes, estas dan Pi y Qi en términos de Pi-1 y Qi-1. Para

empezar el proceso se nota que la ec.(22) para i = 1 tiene la forma , por lo tanto los valores de P1

y Q1 están dadas por:

bi p = - 1

ai

Para el final de Pi ,Qi se nota que bN = O, esto lleva a PN = O por lo tanto se obtiene :

TN = QN.

Ahora se puede empezar la sustitución hacia atrás.

(28)

6.3 Condición a la frontera.

El flux de calor se especificado en términos del coeficientes de transferencia de calor h y la

temperatura del fluido circundante Tf tal que:

qB = h(Tf - TB)

por lo tanto la ecuación llega a:

~ T B = aiTi + b

17


donde:

k, a1 = ___

( a x ) i

De esta manera se pueden obtener el número de ecuaciones como para las temperaturas

desconocidas.

7.0 ALGORITMO

1 . Calcular Pi y Qi

2. Usando las ecuaciones de recurrencia para obtener Pi y Qi para i = 1,2,3,. . .n

3. Después se asigna TnK+' = Qn.

4. Usando la Ec.(26) para i = n-14-2 ,..., 3,2,1. Se obtienen: Tn-l k + l k+l k+l ,T2k+ 1 ,Ti k+l ,Tn-2 ,..., T3

5. si iTiyL:k 1 5 E converge; sino regresamos al punto i con Tik+'

En el apéndice A se presenta el cálculo de parámetros del modelo, incluyendo las

correlaciones utilizadas para la conductividad térmica (k) y la capacidad calorífica volumétrica del

combustible y del encamisado (p C).

18


8.0 FORMULACIÓN MATEMATICA PARA EL CASO DE DOS DIMENSIONES

POR EL METODO DE DIFERENCIAS FINITAS

El planteamiento matemático consiste fundamentalmente en una ecuación de transferencia

de calor en dos dimensiones en coordenadas cilíndricas y régimen transitorio, este tipo de ecuación

es diferencial parcial de segundo orden y con fuente de calor. Desde el punto de vista matemático el

planteamiento es un problema de valores a la frontera con condiciones iniciales, cuya solución es la

distribución de temperaturas como función de la posición axial y radial, y del tiempo T(z,r,t).

Para resolver la ecuación diferencial parcial es necesario considerar los efectos convectivos

de transferencia de calor el cual depende de las condiciones del fluido.

8.1 Modelo matemático.

Las suposiciones fundamentales del modelo, que nos permiten realizar simplificaciones para

resolver el problema son:

H.l

temperaturas es axialsimetrica, de tal forma que el siguiente término es nulo:

Se considera la transferencia de calor en la dirección axial y radial y la distribución de

H.2 Los materiales son isotrópicos.

H.3 Las propiedades físicas son constantes en cada paso de integración.

H.4 No existen convección en la holgura.

19


H.5 No se genera calor en la holgura y encamisado por ser materiales no fisionables.

La ecuación de energía en coordenadas cilíndricas, con las suposiciones anteriores se reduce

a la siguiente ecuación de conducción de calor:

Donde r y z son las coordenadas cilíndricas en la dirección radial y axial, T es la temperatura

, q"' es la fuente de calor de tipo neutrónico, p es la densidad y C es la capacidad calorífica. Las

componentes de la densidad de flujo de energía están dadas por:

d T 4, =-k-

d r (33)

Donde k es la conductividad térmica, sustituyendo las ecuaciones se obtiene una ecuación en

función de la temperatura:

d 2 T d 2 T (3 5)

Para resolver un problema en particular es necesario especificar las condiciones iniciales

de frontera.

C.1 T(r,z,t) = f(r,z)

C:F.1 (E) =O r r=ro

en t=O

en r = ro para toda t y z

Y

20


C.F.4(%) = h(T, - Tsat) z=z,

en r = r l para toda t y z

en z =ZO para toda t y r

en z =ZI para toda t y r

La Figura 9 muestra esquemáticamente una región axial de longitud AZ y la localización de

la nodalización radial, los radios que aparecen en esta Figura corresponden a cada una de las

regiones físicas en las que se divide la barra y están limitadas de acuerdo como se indica a

continuación.

encamisado holgura combustible

t

i’ t- 1-4 - 5-8 9-13 b

Figura 9. Nodalización radial y axial.

r1 I r l r , Comprende la región del encamisado.

r , I r I r 8 Comprende el espesor de la holgura.

r ,I r I r13 Comprende la región del combustible.

Los simuladores dinámicos (dependientes en el tiempo) en general, resuelven las ecuaciones

físicas en forma numérica, debido a su eficiencia y flexibilidad computacional.

21


8.2 Solución numérica

El código TRCA2D resuelve la ecuación diferencial parcial (EDP) obtenida anteriormente

con el método de diferencias finitas. Al intercambiar los operadores diferenciales por la

aproximación de diferencias finitas, se obtiene un conjunto de ecuaciones algebraicas no lineales,

que debe de resolverse por un sistema iterativo para encontrar su solución.

Considerando un esquema de diferencias finitas hacia adelante en forma implícita se define

como:

Y

Donde T es la variable dependiente t+At indica que la variable corresponde al tiempo actual,

m indica el número de celda y A\cp es el incremento en la coordenada espacial. La convención al

aplicar la ecuación anterior es la siguiente:

dirección radial:

m = i y c p = r

dirección axial:

m = j y c p = z

Las cuales corresponden al utilizado en la programación.

22

SEMINARIO DE PROYECTO ARMANDO NAVA DOMINGVEZ

Al aplicar sistemáticamente las ecuaciones de diferencias finitas, a los operadores

diferenciales del modelo matemático de las diferentes regiones se obtiene la ecuación recurrente.

Para la holgura y encamisado

Donde A,B ,C y, D es un vector de coeficientes y la dirección radial esta dada por el

subíndice i. La forma matemática de la ecuación anterior, es una matriz tri-diagonal y se usa el

algoritmo de Thomas para resolverla, este algoritmo es el mas eficiente desde el punto de vista

computacional.

Para el combustible

El combustible se resuelve en dos dimensiones primero la dirección radial en forma

implícita manteniendo la dirección axial en forma explícita, esto se realiza con un avance en el

tiempo de At. Posteriormente para el mismo incremento del paso de integración, la dirección que se

había resuelto en forma implícita, se cambia a forma explícita y la otra dirección se cambia de

explícita a implícita, es decir ahora la dirección axial es implícita y la dirección radial es explícita , a

(este método se le conoce como direcciones alternates) en forma matemática las ecuaciones que se

resuelven son:

Implícito en r(i) y explícito en z(j):

Implícito en z('j) y explícito en r(i):


Donde los subíndices z y r se usan para indicar que los vectores de coeficientes no son los

mismos. En las ecuaciones anteriores, los coeficientes están definidos por:

Para el encamisado:

kAt A , = -

p Ar2

kAt kAt rpAr pAr

B , = --- 2 - 7 1

kAt kAt

rpAr pAr c, = - +z

O Di = -T

Para la holgura:

1 Ar

A. -

1 2 A r A r

Bi = ------

1 1 I Ar r

c. =

Di = O

Para el caso del combustible:

(43)

(44)

(45)

Implícito en z(j) y explícito en r(i):

24

SEMINARIO DE PROYECTO ARMANDO NAVA DOMÍNGUEZ

k At pCpAz2

A . = -

+ 1 kAt

p CpAz2 Bj = 2

k At c = - J p CpAz2

Implícito en r(i) y explícito en zc):

k At A . = - I p CpAr

kAt kAt p CpAr2 -k rpCpAr

Bi = 2 + 1

kAt - kAt c. = I pCpAr2 rpCpAr

At (T. . - 2Ti,j - + + q'" -

kAt D. = &PAZ2 i ,J+l P CP

(49)

(53)

(54)

(55)

Donde T,jo es la variable sobre la cual se aplica el proceso iterativo. Estas ecuaciones se

aplican para j=l,2,3.. .N siendo n el número total de nodos en la dirección axial y para

i=2,3,4,. . . ,M- 1 siendo m el número total de nodos en la dirección radial. Para aplicar el algoritmo

de Thomas se necesita definir:

25


8.3 Secuencia de ejecución.

El modelo de conducción de calor, se aplica para calcular la distribución de temperatura en

la barra de combustible, y para ello se aplica el siguiente algoritmo:

1) Lee los datos de entrada que son las temperaturas iniciales, la potencia del reactor, temperatura

del refrigerante, flujo de calor por unidad de área y las propiedades térmicas de la holgura,

encamisado y combustible.

2) Resuelve el encamisado, la holgura y las fronteras axiales en la dirección radial

3) Resuelve el combustible por el método de direcciones alternantes, primero resolviendo la

dirección radial y después la axial en el mismo paso de tiempo, resolviendo la matriz tridiagonal

en cada dirección dando como resultado el vector de solución con las temperaturas finales.

9.0 PRUEBAS

Las pruebas de verificación del modelo de conducción de calor en el combustible se

realizaron con un solo nodo axial. Las variables de entrada son: flujo de calor volumétrico,

temperatura del refi-igerante-moderador.

Se verificó el comportamiento del perfil radial de temperaturas en estado estacionario

mostrando las tendencias esperadas (Figura 1 O).

Las pruebas de simulación transitoria consistió en una disminución de la temperatura del

refrigerante moderador en un 25% menos de la considerada en estado estacionario y disminución

del flux de calor en un 25% del valor nominal.

26


Para el caso de 2D en la zona de combustible, las pruebas en estado estacionario muestran

un aumento de temperatura comparada con el modelo de 1D esto es debido a que se consideran

flujos de calor en la dirección axial.

10.0 SIMULACIONES EN ESTADO ESTACIONARIO.

En la Figura 11 se muestra los resultados de la prueba en estado estacionario para un solo

nodo axial, para 50 segundos de tiempo real y un paso de integración de 0.01.

En el caso de 2D se hace la prueba en estado estacionario (Figura 14), mostrando grandes

diferencias comparada con el modelo anterior, el cual no se pudo validar ya que no se cuenta con la

información para poder realizar la comparación.

10.1 SIMULACIONES TRANSITORIAS.

Para verificar el comportamiento en estado transitorio se seleccionaron dos pruebas para el

caso de 1D y una prueba para el caso de 2D, para el primero se realizo disminución de la

temperatura del refrigerante-moderador en un 25% menos de la temperatura en estado estacionario

(Figura 12) y la segunda prueba consistió en una disminución en el flux de calor en un 25% (Figura

13) , para el modelo de 2D se probó con una disminución a un 65% de la potencia (Figura 15).

27

SEMINARIO DE PROYECTO ARMANDO NA VA DOMiNGUEZ

1800 1600

p 1400 Y

$ 1200 2 1000

2 800

& 600

400 200

W

PERFIL DE TEMPERATURA EN LA BARRA DISTRIBUCI~N RADIAL POR NODO AXIAL.

i I

+NODO AXiAL 1

NODO AXiAL 2

NODO AXiAL 3 NODO AXiAL 4

0-1 O 1 2 3 4 5 6 7

RADIO DE LA BARRA [mm]

Figura 10. Perfil de temperaturas para el primer nodo axial

NODO AXIAL 1 ESTADO ESTACIONARIO

NODO RADIAL 1

*NODO RADIAL 2

j h NODORADlAL3 X NODORADlAL4

-X- NODO RADIAL 51

NODO RADIAL 6

NODO RADIAL 7

1- -NODO RADIAL 8

-

Lpp- L

O 10 20 30 40 50 60

TIEMPO [SI

Figura 11. Estado estacionario.

28


NODO AXIAL 1 TRANSITORIO CON DlSMlNUClON DEL 25% DE TEMPERATURA DEL

REFRIGERANTE

NODO RADRL 1

~ NODO RADlAL 2

NODO RADlAL 3

NODO RADi4L 4

NODO RADIAL 5

NODO RADRL 6

NODORADIAL 7

_I I " - x_ - _ _ -. I " -I-

TleYlPO [SI

Figura 12. Disminución de refrigerante-moderador.

TRANSITORIO CON DISMINUCIÓN DEL FLUX EN UN 25% NODO AXIAL 1

584 582

2 580 2 578 2 576 w 574 a 572

570 568 566 -7 j

~

O 10 20 30 40 50 60

TIEMPO

Figura 13. Disminución de flux de calor.

29


_ _ _ _ _ _ _ ~ ~ ~ ~

1 ~

I ESTADO ESTACIoNAFilO

c

I-

NODOS AX

-~ ~ - _ _ _ ____ _ _ _ ~ ~ _ _ _ _ _ _ _ ~ ___

Figura 14. Estado estacionario en 2D.

ESTADO ESTABLE CON POTENCIA DEL REACTOR AL 65%

RADIALE

Figura 15.

30


11.0 CONCLUSIONES

El modelo de 1D resuelto por el método de volumen de control, para este caso es mas

versátil , ya que se integra nodo por nodo para resolver la ecuación diferencial parcial obteniéndose

buenos resultados, además de que es muy eficiente en el sentido computacional.

Para el caso de 2D se presentaron diversos problemas, ya que predice un aumento de

temperatura en las diversas zonas, este error pudo haber sido a causa de una mala nodalización , ya

que la diferencia de medidas en la dirección radial y axial es muy grande provoca inestabilidad en

el modelo; seria necesario dividir el eje axial en mas nodos de tal manera que sus magnitudes en la

dirección radial como axial sean similares o no tan distantes.

Por esta situación fue necesario considerar el encamisado y la holgura en una sola

dimensión, ya que estas fueron las que ocasionaron mayor problema, que al resolver en una

dimensión se estabilizo el código.

Es importante conocer los perfiles de temperatura en el núcleo del reactor ya que los

reactores térmicos, el cambio de absorción resonante o efecto Doppler es debido a cambios de

temperatura del combustible. Al incrementarse la temperatura del combustible se incrementa la

absorción resonante.

3 1


REFERENCIAS

Carnahan, B., 1969 Applied Numerical Methods,452,453, John Wiley & Sons

Espinosa,P.G. 1992 Modelo de la cinética y la termohidráulica del núcleo en un reactor tipo BWR

para simulación de transitorios en tiempo real., Tesis de maestría, CENIDET.

Patankar, V.S,1979 , Numerical Heat Transfear and fluid flow, 52-54, Hemisphere Pub.

Corporation

Pérez, J.A. y Espinosa, G. 1992, Aplicaciones del método de volumen de control a problemas de

conducción en calderas y recipientes a presión, XXII- 1 a XXII-7.

XV Congreso internacional de calderas y recipientes a presión. Guadalajara

Nava, A. y Espinosa, G. 1998 Simulación dinámica de los perfiles de temperatura en una barra de

combustible nuclear, XIX congreso del AMIDIQ , Ixtapa, Gro.

32


APÉNDICE A

Cálculo de parámetros del modelo de conducción.

Para poder calcular los coeficientes de las ecuaciones discretas es necesario conocer las propiedades

del combustible y encamisado.

Las relaciones de la pastilla de combustible y el encamisado son correlaciones que dependen de la

temperatura.

Conductividad técnica del combustible.

a T + b

K,(T) = - + c T [W m-l OK ]

En donde:

a=3.825020 X lo3 [ W m-' ]

b=1.294111 X lo2 [ O K ]

c=6.080109 X lo-'' [ W m-' OK-' ]

Esta correlación es válida para U02 con 95% de densidad teórica en un rango de temperatura

entre 500 y 2500 O K . Los errores promedio son de -1% a 500°K, -2% a 1000°K y 8% a 2500 O K .

Capacidad calorífica volumétrica del combustible.

[ J m-3 K-' 3 exp(0 / T) exp(-M, / T) + M,T + M, (@)= M1 [T(exp(B/T) -l)] T

En donde:

MI = 8.510322 X 10" [ J kg-' OK]

MZ = 2.41484 X lo2 [J Kg O K 2 ]

M3 = 1.660985 X 10l6 [J Kg-' O K ]

33


M4= 1.897061 X lo4 [OK]

e = 5.352850 x io2 K

La correlación es válida en un rango de temperatura de 300 a 4000 OK con un error promedio

3

Kc = x a , T' ¡=O

donde

a0=7.5 1

a1=2.09X 1 O-2

a2=-1.45XlO-'

a3=7.67X 1

de f 1 % .

Conductividad térmica del encamisado.

[W m-l IC1 ]

[W m-l OK-' ]

[W m-' O K 2 ]

[W m-' O K 3 ]

[W m-' O K 4 ]

La correlación es valida en un rango LG temperatura ambiente hasta

desviación estándar de 1 W m-l IC'.

Capacidad calorífica volumétrica del encamisado

En donde

T-300K '= 200K

Y

bo=l .82O453X1O6

8 . con una

34


b1=3.03862Xl O5 [J m-3 K-' 3

b*=-l .O6374 1x1 O5 [J m-3 K-' 1

b3=2. 8 1 0287X 1 O4 [J m-3 K-' 3

b4=-2.7236 18x1 O3 [J m-3 K-' 1

El polinomio es valido en un rango de temperaturas de 300 K a 1090 K, temperatura a la

cual el zircaloy cambia de fase. El ajuste pasa exactamente por los datos reportados.

Conducción en la holgura.

La conducción del gas en la holgura es un paramento que se considera constante, El valor usado

para realizar las simulaciones en el diseño es:

En donde 6 es el espesor de la holgura en metros.

35

SEMINARIO DE PROYECTO ARMANDO NA VA DOMÍNGUEZ

APENDICE B

CALCULO DE LOS COEFICIENTES DE LA MATRIZ.

A continuación se presenta el calculo de los coeficientes al,bi,cI,dl requeridas por el modelo

de conducción. El calculo se realiza por nodo radial de acuerdo a la figura 5 aplicando las

suposiciones descritas.

b, = - = 2460.02 (E)

6r - (6.134X10-3 -5.321X10-3 2 2 - -

La conductividad térmica del encamisado, Kc, se obtienen con la Ec. (A.3) y por la

suposición se utiliza el valor de temperatura de pared (T2) del tiempo anterior para calcularla.

El resto de los coeficientes son:

5.32X10” k, - 5.32 1X 1 O-’) (5.32 1X 1 O-’ - 5.207X 1 2 2

b, =a, = = 1 1.48 k, (b.7) (6.134X 1 +

36

SEMINARIO DE PROYECTO ARMANDO NA VA DOMíNGUEZ

6.134X10" K, (6.134X1 O-, - 5.32 1x1 O-,)

c2 = aE = = 15.0898 Kc ,

2

El calculo correcto del flujo de calor en la interfase entre nodos 2 y 3 depende de la

conductividad apropiada

-1 1-F F

donde

distancia a interface del nodo distancia entre nodos

F =

(b.9)

(b. 1 O)

(6.134X10-3 - 5.321X10")/2 F = = 0.877023 (b. 1 1) (6.134XlO', -5.321X10-3)/2+(5.321X10-3 -5.207X10-3)/2

La conductividad del nodo 2 esta dada por la Ec. (A.3) y para el nodo 3 (holgura), la

conductancia del gas es de 2936.8 [ W/m "Wm]

k, = (5.321X10" -5.207X10") 2936.8 = 0.334795

Utilizando (b.9),(b. 1 O) y (b. 1 1).

I 0.877023

k, (b. 12)

37


Dada la suposición el valor de a2 esta dado por:

(P C (”) = 4.6564X10-6 ~

(6.134X10”)2 -(5.321X10”)2 c- (p c ) - 4.6564x10-6 a2 =

2 At At At

(b. 13)

En donde (pC), es la capacidad volumétrica del encamisado, dad por la E.c. (A.4) y el

coeficiente a2 esta dado por

A2=b2+~2+a2’ (b. 14)

Para el espacio entre el encamisado y combustible, se supuso que no hay acumulación de

energía; i.e., pC=O y no se genera calor por lo tanto:

D3=O (b. 15)

5.32 1x1 O” k,, - C) = - 11.48KW

6 r (b. 16)

Obsérvese que por consistencia, K3 esta dado por la ecuación (A2.12) y que 6r3, es para este

nodo 6rZ

Con el objeto de optimizar los cálculos la ecuación fue evaluada a la temperatura promedio y

utilizada como constante en el paso de tiempo para todos los nodos de combustible. El promedio

utilizado es volumétrico, suponiendo (p C)=cte a la misma temperatura.

V,T, + V5T5 + V,T6 + V7T7 Tf = v, + v , +V6 + v ,

Dado que para la geometría del sistema se obtiene:

V = E(5.2072 -3.905252)L 4

(b. 17)

(b. 18)

V = .(3.9052S2 - 2.603S2)L 4

38


n V ~ - ( 2 . 6 0 3 5 ~ -1.301752)L (b. 19)

4

V = -(1.301752 -5.20722)L 4

Entonces la temperatura promedio esta dada por

Entonces la temperatura promedio esta dada por:

= 7.35582kw, 5.207k

/5.321+5.207 5.207-3.90525) b, =

La conductividad equivalente se calcula con la ecuación (b. 1 1)

5.321 - 5.207

= 0.0805227 L = [ 5.321 ; 5.207 5.207 + 3.90525 -

2

r -.-1

con f=0.0805227 kw, = i"'ko"77

(b.20)

(b.2 1)

(b.22)

(b.23)

(b.24)

El coeficiente de temperatura del nodo 3 esta dado por:

A3=b3+~3 (b.25)

Nodos 4,5,6 y 7

Para calcular la capacidad volumetrica y conductividad térmica en el combustible (nodos del

4 al 7), se utilizo solo un valor correspondiente a la temperatura promedio.

39

SEMINARIO D E PROYECTO ARMANDO NA VA DOMÍNGUEZ

Para el nodo 4 se tiene:

3.90525 1.30175

b, = aE = k, = 3k,

(b.26)

(b.27)

Se utilizo el hecho de por haber espacimiento entre los nodos constantes,

6rw=6re=l .30 175x1 y k,=L=kf para los nodos de combustible.

La constante d4 requiere de a,' que para este nodo es:

(5.207XlO") - (3.90525X10-3) -- (K), - 5.93094XlO- (Pc), a,' = 2 At At

2 2

d, = a,T, + re -rw 9"' = a,'T,' + 5.93094X10-6q"' 2

(b.28)

(b.29)

Se hace notar que el coeficiente de transferencia de calor. H y la temperatura del refrigerante,

T, el calor generado q"'es un dato de entrada del modelo. El valor de a4 esta dado por la E.c (1 3)

A4=b4+~4+~' (b.30)

En los nodos 5,6 y 7 no se requiere de cálculos adicionales, y de aplicación directa de las

E.c. (9) a la (13) se obtiene:

Para el nodo 5

k, = 2k, 2.6035 4 v 1.30175

b=-- rw kw -

(3.9O525X1O3) - (2.6035X103)2 (&>, - 4.23638x10-6 (&), a, O = -

2 At At

(b.3 1)

(b.32)

(b.33)

(b.34) d, = a,'T5 + 4.23638X10-6 q"'

40

SEMINARIO D E PROYECTO ARMANDO NAVA DOMÍNGUEZ

as=bs+cs+a5' (b.35)

Para el nodo 6 se obtiene

Cs'b5 (b.36)

(b.37) B=k

a = (2.6035X10-3)2 - (1 .30175X10-3)2 (&>, - - 2.54183X10-6- (&If 2 AT AT

c- c p c c ) - 8.47277X10-7 ~

(1 .30175X10-3)2 (pC ) a = 2 AT AT

D~=a7'T7+8.47277X 1 O-7q"'

A7=b7+~7+a7'

Por último, para el nodo 8 se obtiene

Cs=l .o

B8zO.O

DszO.0

As=l .O

(b.38)

(b.39)

(b.40)

(b.41)

(b.42)

(b.43)

(b.44)

(b.45)

(b.46)

(b.47)

(b.48)

(b.49)

41


NODOS AXIALES

1

2

3

4

APENDICE C

1 2 3 4 5 6 7 8

572.16 583.31 683.82 871.21 1017.93 1115.75 1164.66 1164.66

576.86 593.72 746.77 1066.14 1340.40 1523.24 1614.66 1614.66

571.59 583.73 693.21 901.23 1066.90 1177.35 1232.58 1232.58

567.08 574.54 641.43 757.06 841.16 897.22 925.26 925.26

C.1.0 CONDICIONES INICIALES

Para calcular las condiciones iniciales del modelo se necesita el calor generado por unidad de

volumen (9”‘) en el combustible. Los nodos radiales 4,5,6 y 7 corresponden al combustible, el nodo

3 a la holgura y el nodo 2 al encamisado y los nodos 8 y 1 se usan para establecer las condiciones a

42

10

11

12

Tabla 2. Los nodos radiales del 9 al 13 pertenecen al combustible, del 5 al 8 a la zona de la holgura y del I al 4 comprende el encamisado.

567.19 607.18 646.87 686.56 726.25 765.93 805.62 845.30 884.98 1040.64 1144.45 1196.39 1196.41

556.71 585.81 614.90 643.78 672.65 701.52 730.39 759.26 788.13 888.35 955.05 988.41 988.41

554.42 565.09 575.76 586.42 597.09 607.68 618.26 628.85 639.43 668.82 688.43 698.28 698.85

43


1

2

3

4

La potencia volumétrica está dada por la variable Q”’ y su nombre en fortran es QTPPPP, para 4 y

12 nodos respectivamente

2.0210138

3.0801 159

2.20 10682

1.3438121

NODOAXIAL I Q I w im3x108 1 I

Tabla 3 y 4 I I I

44

SEMINARIO DE PROYECTO ARMANDO NAVA DOMiNGVEZ

2

La temperatura de pared se muestra en las tablas 5 y 6 para 4 y 12 nodos axiales

560.3

respectivamente

NODO AXIAL

1

2

3

4

5

6

7

a

9

10

11

12

557.69

Tm (TMCOLL)

553.72

556.53

558.48

560.3

560.3

560.3

560.3

560.3

560.3

560.3

560.3

560.3

560.3

560.3

Tabla 5 y 6

45


APENDICE D

D.1.O CODIGOS COMPUTACIONALES.

CODIGO EN 1D TRCAARFOR

PROGRAM TRCAAR REAL*4 TMCOND(4,8) REAL*4 Q22(4) REAL"4 QTPPPP (4) REAL*4 TMCOOLL (4) REAL*4 TMSIM REAL*4 RES REAL*4 TPREI REAL*4 PERT REAL"4 DELTAT REAL*4 RES2 REAL*4 PERT2 REAL"4 RES3 REAL*4 PERT3

TMCOND(1,1)=572.16 TMCOND(l,2)=583.31 TMCOND(1,3)=683.82 TMCOND(1,4)=871.21 TMCOND(1,5)=1017.93 TMCOND(1,6)=1115.75 TMCOND(1,7)=1164.66 TMCOND(1,8)=1164.66 TMCOND(2,1)=576.86 TMCOND(2,2)=593.72 TMCOND(2,3)=746.77 TMCOND(2,4)=1066.14 TMCOND(2,5)=1340.4 TMCOND(2,6)=1523.24 TMCOND(2,7)=1614.66 TMCOND(2,8)=16 14.66 TMCOND(3,1)=571.59 TMCOND(3,2)=583.73 TMCOND(3,3)=693.21 TMCOND(3,4)=901.23 TMCOND(3,5)=1066.90 TMCOND(3,6)=1177.35 TMCOND(3,7)=1232.58 TMCOND(3,8)=1232.58 TMCOND(4,1)=567.08

46


TMCOND(4,2)=574.54 TMCOND(4,3)=641.43 TMCOND(4,4)=757.06 TMCOND(4,5)=841.16 TMCOND(4,6)=897.23 TMCOND(4,7)=925.26 TMCOND(4,8)=925.26

TMCOOLL( 1)=5 57.69 TMCOOLL(2)=560.3 TMCOOLL(3)=560.3 TMCOOLL(4)=560.3

QTPPPP( 1)=2.021 O 1 38E8 QTPPPP(2)=3.0801159ES QTPPPP(3)=2.20 10682E8 QTPPPP(4)=1.3438121E8

Q22( 1 )=446652 .O Q22(2)=680753.9 Q22(3)=4865 18.2 Q22(4)=297005.3

DO H=l ,SO WRITE(*,*) ' I

ENDDO PRINT* ,'DAME EL TIEMPO DE SIMULACION EN SEGUNDOS ' READ*, TMSIM PRINT* ,'DAME EL PASO DE TIEMPO ' READ*, DELTAT PRINT*, 'INTERVALO DE IMPRESION ' READ", TPREI

PRINT*, 'DESEAS DISMINUIR EL FLUX DE CALOR (l=SI 2=NO ) ' READ", RES IF (RES.EQ. 1 .O) THEN PRINT*, 'QUE PORCENTAJE QUIERES CAMBIAR ' READ*, PERT ENDIF

PRINT*, 'DESEAS DISMINUIR LA TEMPERATURA DEL REFRIGERANTE (1 =SI &2=NO ) ' READ*, RES2 IF (RES2.EQ. 1) THEN PRINT*, 'QUE PORCENTAJE DESEAS CAMBIAR ' READ*, PERT2

47


ENDIF

PRINT*, 'DESEAS DISMINUIR LA POTENCIA TERMICA (l=SI 2=NO) ' READ*, RES3 IF (RES3.EQ. 1) THEN PRINT*, 'QUE PORENTAJE DESEAS CAMBIAR ' READ*, PERT3 ENDIF

CALL COND2D(TMCOND,QTPPPP,TMCOOLL,Q22,DELTAT,TMSIM,TPREI,RES,

END & PERT,RES2,PERT2,RES3,PERT3 )

SUBROUTINE COND2D(TMCOND,QTPPPPyTMCO0LL,Q22,DELTAT,TMSIM,

REAL * 4 KPO( 8),KB( 8),KC( 2),KD( 8) REAL*4 XCL,XFU REAL*4 TMFUEL REAL*4 ROCPFU REAL*4 ROCPCL REAL*4 KTFUEL REAL*4 KTCLAD REAL*4 FOTKOF REAL*4 FOTKOC REAL*4 FORCPF REAL*4 FORCPC REAL"4 TMNUCL(8) REAL*4 TMP(8) REAL*4 APO(8),A(8),B(S),C(8),D(8),KTW(8) REAL*4 Q(8),P(8) REAL*4 QTPPP REAL"4 TMCOOL REAL*4 HHTRCA REAL*4 TMSIM REAL*4 TIMPRE REAL*4 TPREI REAL*4 ICUENTA REAL*4 T REAL*4 RES REAL*4 TMCOOLL(4) REAL*4 QTPPPP(4) REAL*4 Q22(4) REAL*4 TMCOND(4,S)

& TPREI,RES,PERT,RES2,PERT2,RES3,PERT3 )

48


REAL* 4 TMCONDP(4,S) REAL"4 PERT REAL*4 DELTAT REAL*4 TA REAL"4 CONT REAL*4 PORCIENTO REAL*4 RES2 REAL"4 PERT2 REAL*4 RES3 REAL*4 PERT3

INTEGER":! N INTEGER"2 1,M DATAN 1 8 1 DATA KPO / 0.,4.65646E-06,0.,5.930925E-06,4.236375E-06,

& 2.541 825E-06,8.472775E-07,0. / DATA KB / 2460.02,11.48,7.35582,3.,2.,1.,0.,0. / DATA KC / 0.,15.0898 / DATA KD /O. ,O. ,O. ,5.93 094E-06,4.23 63 8E-06,2.54 1 83E-6,

& 8.47277E-07,O. / OPEN(UNIT= 1 2,FILE='TRCAAR.DAT', STATUS='UNKNO WN' ) OPEN(UNIT= 1 3 ,FILE='PTRCAAR.DAT',STATUS='UNKNOWN' )

20 FORMAT (9(1XYF7.2)) 30 FORMAT (5( lX,Fl5.3))

WRITE(12,*)' TIEMPO NODO1 NOD02 NOD03 NOD04 NOD05 NO &DO6 NOD07 NOD08' WRITE( 13,") ' TIEMPO HHTRCA FLUX DE CALOR POTENCIA TMCOOL &' WRITE( 12,") ' PERT1 PERT2 PERT3 ',PERT,PERT2,PERT3 CONT=O .O

10 DO J=1,4 WRITE(l2,*) 'NODO AXIAL ',J WRITE( 13,*) ' ' DO I=1,8 TMNUCL(I)=TMCOND(J,I) ENDDO

QTPPP=QTPPPP(J) TMCOOL=TMCOOLL(J) Q2=Q22(J) ICUENTA= 1 .O TIMPRE=TPREI T=O.O

49


TA=TMSIM/DELTAT

HHTRCA=Q2/(TMNUCL( 1 )-TMCOOL)

DO K=l ,TA

DO I=1,8 TMP(I)=TMNUCL(I) ENDDO

IF ((t .LE.0.0000 1 ).OR.( (t+0.0000 I ) . GE.TIMPRE)) THEN ICUENTA=ICUENTA+ 1 .O TIMPRE=TPREI*ICUENTA

WRITE( 12,20) t,(TMP(I),I=l ,8) WRITE( 13,30) T,HHTRCA,Q2,QTPPP7TMCOOL

ENDIF

TMFUEL=0.4375*TMP(4) + 0.3 125*TMP(5) + 0.1875*TMP(6) &+ 0.0625*TMP(7)

KTFUEL=FOTKOF(TMFUEL) KTCLAD=FOTKOC( TMP(2)) KTW( l)=KTCLAD KTW(2)= 1 40.36732 1 +O. 877023/KTCLAD) KTW(3)=1 J(0.2405 13+0.919477/KTFUEL) ROCPFU=FORCPF(TMFUEL) ROCPCL=FORCPC(TMP(2))

XCL=ROCPCL/DELTAT XFU=ROCPFU/DELTAT

DO M=l,N

IF (M.EQ.2) THEN APO(M)=KPO(M)*XCL ELSE APO(M)=KPO(M)*XFU ENDIF

IF (M.LE.3) THEN B(M)=KB(M)*KTW(M) ELSE

50

SEMINARIO D E PROYECTO ARMANDO NA VA DOMINGUEZ

B(M)=KB(M)*KTFUEL ENDIF

IF (M.LE.2) THEN C(M)=KC(M)*KTCLAD ELSE

IF (M.EQ.8) THEN C(M)=l. ENDIF ENDIF

C(M)=B(M- 1)

IF (M.EQ. 1) THEN A(M)=APO(M)+B(M)+HHTRCA D(M)=HHTRCA*TMCOOL ELSE A( M)=APO(M)+B( M)+C (M) D(M)=APO(M)*TMNUCL(M)+KD(M)*QTPPP ENDIF

ENDDO

* METODO DE SOLUCION

DO M=2,N

P(M)=B (M)/DEN

ENDDO

DEN=A(M)-C(M)*P(M- 1)

Q(M)=(D( M)+C( M) * Q( M- 1 ))/DEN

DO M=l ,N-1 TMP(N-M)=P(N-M)*TMP(N-M+ 1 )+Q(N-M) ENDDO

DO I=1,8 TMNUCL(I)=TMP(I) ENDDO

T=T+DELTAT ENDDO

51


DO I=1,8 TMCONDP(J,I)=TMNUCL(I) ENDDO ENDDO

IF (CONT.EQ. 1 .O) THEN STOP ENDIF

IF (RES.EQ. 1) THEN DO J=1,4 PORCIENTO=(PERT/l 00.0)*422(5) Q22( J)=Q22( J)+PORCIENTO DO I=1,8 TMCOND(I,J)=TMCONDP(I,J) ENDDO ENDDO ENDIF

IF (RES2.EQ. 1) THEN DO J=1,4 PORCIENTO=(PERT2/ 1 OO.O)* QTPPPP( J) QTPPPP(J)=QTPPPP( J)+PORCIENTO DO I=1,8 TMCOND(I,J)=TMCONDP(I,J) ENDDO ENDDO ENDIF

IF (RES3.EQ. 1) THEN DO J=1,4 PORCIENTO=(PERT3/ 1 OO. O) * TMCOOLL( J) TMCOOLL( J)=TMCOOLL( J)+PORCIENTO DO I=1,8 TMCOND(I,J)=TMCONDP(I,J) ENDDO ENDDO ENDIF CONT=CONT+l GOT0 10

52


RETURN

END

CODIGO EN 2D TRCA2DC.FOR

PROGRAM TRCA2DC

ZONA DE DECLARACION DE VARIABLES

INTEGER I,J,N,TA,ICUENTA REAL*4 AUXl ,AUX2,AUX3,AUXS,PT REAL*4 A(12),B(12),C(12),D(12) REAL*4 T( 13,12) REAL*4 DR,DZ,R( 13) REAL*4 K,DELTAT REAL*4 TIMPRE,TPREI,TIEMPO REAL*4 TEMPE( 12),TMCOOLL( 12),QTPPPP( 12),Q22( 12),HHTRCA( 12)

DATOS DE ENTRADA, CONDICIONES INICIALES, ETC

DZ=0.3 175 N=12

OPEN( 1 1 ,FILE='TRCA2DC.DAT',STATUS='UNKN0WNi)

T( 1,1)=552.43 T( 1,2)=5 73.53 9 T( 1,3)=593.208 T( 1,4)=6 18.38 1 T( 1,5)=615.448 T( 1,6)=599.626 T( 1,7)=580.184 T( 1,8)=57 1.53 7 T( 1,9)=569.057 T( 1,10)=567.189 T( 1,11)=556.709 T( 1,12)=554.422 T(2,1)=575.3 15 T(2,2)=6 16.977 T(2,3)=646.447 T(2,4)=68 1.61 7 T(2,5)=677.63 1 T(2,6)=655.616

53


T(2,7)=627.656 T(2,8)=6 13.868 T(2,9)=609.902 T(2,10)=607.184 T(2,11)=585.806 T(2,12)=565.090 T(3,1)=598.2 T(3,2)=660.083 T(3,3)=699.686 T(3,4)=744.4 19 T(3,5)=739.389 T(3,6)=711.606 T(3,7)=674.765 T(3,8)=655.875 T(3,9)=650.434 T(3,10)=646.874 T(3,11)=614.903 T(3,12)=575.757 T(4,1)=62 1 .O86 T(4,2)=703.189 T(4,3)=752.56 1 T(4,4)=807.222 T(4,5)=801.148 T(4,6)=767.2 12 T(4,7)=72 1.874 T(4,8)=697.883 T(4,9)=690.967 T(4,10)=686.563 T(4,11)=643.778 T(4,12)=586.425 T(5,1)=643.796 T(5,2)=746.00 T( 5,3)=805.43 6 T(5,4)=869.63 8 T(5,5)=862.525 T(5,6)=822.476 T(5,7)=768.66 1 T(5,8)=73 9.603 T(5,9)= 73 1.22 T(5,10)=726.253 T(5,11)=672.653 T(5,12)=597.093 T(6,1)=666.502 T(6,2)=789.098 T(6,3)=858.664 T(6,4)=93 2.8 6 1 T(6,5)=924.696

54


T(6,6)=878.455 T(6,7)=8 15.760 T(6,8)=78 1.602 T(6,9)=771.746 T(6,10)=765.935 T(6,11)=701.523 T(6,12)=607.677 T(7,1)=689.208 T(7,2)=832.195 T(7,3)=911.893 T(7,4)=996.084 T(7,5)=986.868 T(7,6)=934.433 T(7,7)=862.86 T(7,8)=823.601 T(7,9)=8 12.27 1 T(7,10)=805.617 T(7,11)=730.392 T(7,12)=618.262 T(8,1)=711.914 T(8,2)=875.293 T(8,3)=965.121 T(8,4)=1059.3 1 T(8,5)= 1049.04 T(8,6)=990.4 12 T(8,7)=909.960 T( 8,8)=8 6 5.60 1 T(8,9)=852.795 T(8,10)=845.298 T(8,11)=759.261 T(8,12)=628.846 T(9,1)=734.62 T(9,2)=9 1 8.3 9 T(9,3)= 1 O 1 8.3 5 T(9,4)=1122.53 T(9,5)=1111.21 T(9,6)=1046.39 T(9,7)=957.06 T(9,8)=907.60 T( 9,9)=8 93.32 T(9,10)=884.98 T(9,11)=788.13 T(9,12)=639.43 T( 10,1)=807.71 T( 1 0,2)= 1 023.98 T(10,3)=1259.15 T( 10,4)=1436.03

55


T( 10,5)= 14 16.77 T(10,6)=1306.76 T( 10,7)=1157.45 T( 10,8)=1076.75 T( 10,9)=1053.93 T( 1 O, 1 0)=1040.64 T(10,11)=888.35 T( 1 O, 12)=668.82 T( 1 1,1)=856.4 1 T(11,2)=1211.13 T(11,3)=1419.65 T( 1 1,4)=1644.80 T(11,5)=1620.37 T(11,6)=1480.42 T(11,7)=1291.04 T(l 1,8)=1189.50 T(11,9)=1160.88 T(l 1,10)=1144.45 T(11,11)=955.05 T(l1,12)=688.43 T( 12,1)=880.73 T( 12,2)=1269.72 T( 12,3)= 1499.87 T( 12,4)= 1749.36 T( 12,5)=1722.32 T(12,6)=1567.06 T( 12,7)=1357.87 T( 12,8)=1245.93 T( 12,9)=12 14.3 8 T( 12,10)=1196.39 T(12,11)=988.41 T( 12,12)=698.28 T( 1 3,l )=S 80.73 T( 13,2)=1269.72 T( 1 3,3)=1499.8 7 T( 1 3,4)= 1 749.36 T( 13,5)=1722.32 T(13,6)=1567.06 T( 1 3,7)= 1 3 5 7.87 T( 13,8)= 1245.93 T( 1 3,9)= 1 2 1 4.3 8 T( 13,l 0)=1196.4 1 T(13,11)=988.41 T( 13,12)=698.846 T( 1 3,12)=698.846

56


Q22( 1)=26673 1.72 Q22( 2)=5 06274.03 Q22( 3)=6252 8 6.75 Q22(4)=742692.69 Q22( 5)=73033 7.3 8 Q22(6)=65 7590.44 Q22(7)=55329 1 .O6 Q22( 8)=493 3 74.22 Q22(9)=476049.50 Q22( 10)=466148.03 Q22(11)=339131.75 Q22( 12)=124334.48

TMCOOLL( 1)=553.72 TMCOOLL(2)=5 5 6.5 3 TMCOOLL(3)=5 5 8.48 TMCOOLL(4)=5 60.3 TMCOOLL(5)=560.3 TMCOOLL(6)=5 60.3 TMCOOLL(7)=560.3 TMCOOLL(8)=5 60.3 TMCOOLL(9)=5 60.3 TMCOOLL( 10)=560.3 TMCOOLL(11)=560.3 TMCOOLL( 12)=560.3 PRINT", 'POTENCIA I

READ(*,*) PT QTPPPP( 1)=1.2072839ES*PT QTPPPP(2>=2.2904535ES*PT QTPPPP(3)=2.8320394ES*PT QTPPPP(4)=3.362342lES*PT QTPPPP(5)=3.305927E8*PT QTPPPP(6)=2.9787 182E8*PT QTPPPP( 7)=2.5 04832ES"PT QTPPPP( 8)=2.23403 SE8 *PT QTPPPP(9)=2.155058E8*PT QTPPPP(lO)=2.1099261ES*PT QTPPPP(1 1)=1.5344916ES*PT QTPPPP( 12)=0.564115 137E8*PT

DO J=1,12

ENDDO HHTRCA( J)=Q22( J)/(T( 1, J)-TMCOOLL( J))

57

SEMINARIO DE PROYECTO ARMANDO NA VA DOMNGUEZ

PRINT* ,'DAME EL TIEMPO DE SIMULACION EN SEGUNDOS ' READ*, TMSIM PRINT* ,'DAME EL PASO DE TIEMPO ' READ*, DELTAT PRINT*, 'INTERVALO DE IMPRESION ' READ*, TPREI

ICUENTA=l TIMPRE=TPREI TIEMPO=O.O TA=TMSIM/DELTAT

DO BT=1 ,TA

IF ((TIEMPO .LE.0.0000 1 ).OR.( (TIEMPO+O. O000 1 ). GE.TIMPRE) & .OR.(TIEMPO .EQ .TPREI)) THEN ICUENTA=ICUENTA+ 1 TIMPRE=TPREI*ICUENTA DO J=1,12 WRITE( 1 1,1 O) TIEMPO,(T(I,J),I=l ,13) ENDDO ENDIF

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . * CONDICIONES A LA FRONTERA * RADIALES * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

DO J=1,12 T( 1 ,J)=Q22(J)/HHTRCA(J) + TMCOOLL(J)

END DO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . * AXIALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

R( 1)=6.13E-3 R( 2)=5.93 07E-3 R(3)=5.7275E-3 R(4)=5.5 2425E-3 R( 5)=5.32 1 E-3 R(6)=5.29E-3 R(7)=5.264E-3 R(8)=5.2355E-3 R(9)=5.207E-3 R( 10)=3.90525E-3 R(11)=2.6035E-3 R( 1 2)= 1 .3 O 1 7E-3

58


DO I=2,12

IF(I> 1 .AND.I < 5 ) THEN

ENDIF DR=0.20325E-3

IF(1 >= 5.AND.I < 9 ) THEN

ENDIF DR=O. 02 8 5 E- 3

IF(I>= 9.AND.143) THEN

ENDIF DRz1.30175E-3

AUX 1 = 1 /R(I) AUX2= 1 /DR

T(I,l)=((-AUXl-AUX2)*T(I+l,l) - AUX2*T(I-1,1) )/ & (-AUX 1 -2*AUX2)

T(I,12)=((-AUXl-AUX2)*T(I+1,12) - AUX2*T(I-l,12) )/ & (-AUX1-2*AUX2)

ENDDO

* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . * E N C A M I S A D O *

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . * SE EVALUA RADIALMENTE * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

DO J= 2 , l l DOI=2,4

K1 =FOTKOC(T(I,J)) K=l/(0.367321+(0.877023/Kl)) ROCP=FORCPC(T(I,J)) R(2)=5.93075E-3 R(3)=5.7275E-3 R(4)=5 S2425E-3 DR=0.20325E-3

59


AUX 1 =K* DELTAT/(R(I) * DR* ROCP) AUX2=K*DELTAT/(ROCP *DR* * 2)

A(I)=AUX2

C(I)=AUXl+AUX2 B(I)=-AUX1-2*AUX2-1

D(I)=-T(1,J)

T(1, J)=( D(1)-A(1) * T(1- 1, J)-C(I)* T(I+ 1 , J) )/B(I)

ENDDO

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . * H O L G U R A * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . * R A D I A L * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

DO I=5,8 K=2936.8*0.114E-3 R(5)=5.32 1 E-3 R(6)=5.2925E-3 R(7)=5.264E-3 R( 8)=5.23 55E-3 DRz0.0285E-3

AUX 1 =K/(R(I)* DR) AUX2=K/(DR* *2)

T(I,J)=((-AUX1 -AUX2)*T(I+l ,J) - AUX2*T(I-1 ,J) )/ & (AUX 1 -2*AUX2)

ENDDO ENDDO

60


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . * COMBUSTIBLE * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . * SE EVALUA EN LA DIRECCION RADIAL * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

DO J=2,11 DO I=9,12

K=FOTKOF(T(I,J)) ROCP=FORCPF(T(I,J)) R(9)=5.207E-3 R( 10)=3.90525E-3 R(11)=2.6035E-3 R( 12)=1.30 175E-3 DRz1.30 175E-3

AUX5=QTPPPP(J)*DELTAT/ROCP AUX 1 =K* DELTAT/(R(I)*DR*ROCP AUX2=K * DELTAT/(RO C P * DR * * 2) AUX3 =K* DELTAT/(ROCP * DZ* * 2)

A(I)=AUX2

C(I)=AUX 1 +AUX2 B(I)=-AUX1-2*AUX2- 1

D(I)=-AUX3 * (T(1, J+ 1 )-2*T(I, J)+T(I, J-

ENDDO

D( 9)=D( 9)-A( 9) *T( 8, J) D( 12)=D( 12)-C( 12)*T( 12,J) CALL TRIDAG(N,9,12,A,B,C,D,TEMPE)

DO I=9,12 T(I,J)=TEMPE(I) ENDDO

ENDDO

JJ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SE EVALUA EN LA DIRECCION AXIAL

61


DO I = 9,12 DO J=2,11 IF ( I > 7 .AND. I < 13 ) THEN

K=FOTKOF(T(I,J)) ROCP=FORCPF(T(I,J)) R(9)=5.207E-3 R( 10)=3.90525E-3 R(11)=2.6035E-3 R( 12)=1.30 175E-3 DR=1.30175E-3

AUXS=QTPPPP(J)*DELTAT/ROCP AUX 1 =K* DELTAT/(ROCP*R(I)*DR) AUX2=K* DELTAT/(ROCP*DR* *2) AUX3 =K* DELTAT/(ROCP* DZ* * 2)

A(J)=AUX3

C( J)=AUX3 B(J)=-2 "AUX3 - 1

D(J)=-AUX 1 * (T(I+ 1, J)-T(1, J))-AUX2* (T(I+ 1, J)-2*T(I, J) & +T(I- 1 ,J))-T(1,J)-AUXS

ENDIF

ENDDO D(2)=D(2)-A(2)*T(I, 1) D(l l)=D(ll)-C(1 l)*T(I,12) CALL TRIDAG(N,2,11 ,A,B,C,D,TEMPE)

DO J=2,11 T(I,J)=TEMPE(J) ENDDO

ENDDO

TIEMPO=TIEMPO+DELTAT ENDDO

&,1X,F7.2,1X,F7.2,1X,F7.2,1X,F7.2,lX,F7.2,1X,F7.2,1X,F7.2,1X &,F7.2,1X,F7.2,1X,F7.2)

10 FORMAT(lX,F9.3,1X,F7.2,1X,F7.2,lX,F7.2,1X,F7.2,1X,F7.2,1X,F7.2

END

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . * SUBRUTINA TRIDAG ( RESUELVE UN SISTEMA DE ECUACIONES *

62


* SIMULTANEAS ) *

* *

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

SUBROUTINE TRIDAG(N,IF,L,A,B,C,D,V)

REAL* 4 A,B, C,D,BETA,GAMMA,V DIMENSION A(N),B(N),C(N),D(N),BETA( 12) DIMENSION GAMMA( 12),V(N) BETA(IF)=B(IF) GAMMA(IF)=D(IF)/BETA(IF) IFP 1 =IF+ 1

IMPLICIT REAL"4 (A-H,O-Z)

DO I=IFPl ,L BETA(I)=B(I)-A(I)*C(I-l)/BETA(I-1) GAMMA(I)=(D(I)-A(I)*GAMMA(I-l))/BETA(I) ENDDO

V(L)=GAMMA(L)

DO K=l ,LAST LAST=L-IF

I=L-K V(I)=GAMMA(I)-C(I)*V(I+l)/BETA(I) ENDDO RETURN END

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simulacion dinamica en 1d y 2d de los perfiles de ...148.206.53.84/tesiuami/uam5005.pdf ·...

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