Simulación del movimientos de sistemas de pocos cuerpos

Métodos de Euler y Runge-Kutta

Clase 17

1. Simulación del movimiento de sistemas de pocos cuerpos

Aplicaremos las leyes de Newton para analizar el movimiento planetario y otros sistemas de unas pocas partículas para

analizar la eficiencia de los métodos de solución del problema de por métodos numéricos.

1.1 • Las ecuaciones de movimiento planetario

El movimiento planetario tiene un significado especial, ya que

tenía un papel importante en la historia del desarrollo conceptual y la

formación de la Mecánica Clásica. Hay solo unas pocas teorías que

han afectado a la civilización occidental tanto como las leyes de

Newton del movimiento y la ley de gravitación, que permitieron dar

una descripción del movimiento de los cuerpos celestes como el

movimiento de los cuerpos terrestres. Primeras propiedades del

movimiento planetario fueran inicialmente resumidas en tres siguientes

leyes de Kepler.

I-era Ley de Kepler. Cada planeta se mueve en una órbita

elíptica con el Sol situado en uno de los focos de la elipse. Notaciones

para una trayectoria elíptica, siendo r1 es la distancia más cercana al foco(cuando ϑ= π) y r2 es la distancia más alejada al foco (cuando ϑ=0).

Fig. 1.1 Parámetros de elipse: semiejes, mayor a

y menor b, la excentricidad e, semieje menor b.

Sol está ubicada en el foco F1

II-da Ley de Kepler. La velocidad de un planeta se aumenta a medida que su distancia al Sol disminuye

de tal manera que la línea entre el Sol y el planeta barre áreas iguales en tiempos iguales. Esta ley es

equivalente a la constancia del momento angular m const L r v

III-ra Ley de Kepler. Los cuadrados de los periodos T de revolución son proporcionales a los cubos

de los semiejes mayores a de la elipse., es decir la razón es la misma para todos los

planetas que giran alrededor del Sol.

2 3T a

Problema de dos cuerpos

El movimiento del Sol y de la Tierra es un ejemplo de un problema de dos cuerpos. Podemos

reducir este problema a un problema de un cuerpo, usando el concepto de masa reducida. Se puede

demostrar que el sistema de ecuaciones diferenciales que describe movimiento de dos objetos de

masas m y M, cuyos vectores de posición son r1 y r2, respectivamente, y cuya energía potencial total U

es una función de sólo separación relativa, , el problema de dos cuerpos se reduce a

un problema con un solo cuerpo, correspondiente al movimiento de una masa reducida m M m M

2

1 22, (1)

dU r

dt

rr r r

1 2r r r r

Consideremos el problema de una partícula de masa m que se mueve alrededor de un centro fijo de la fuerza, que se

toma como el origen del sistema de coordenadas. La ley universal de la gravitación de Newton establece que una

partícula de masa M atrae a otra partícula de masa m con una fuerza dada por

3

311

2 6.67  10;

mm MU G

kr G

sr g

F r

Debido a que la masa de la Tierra, m = 5,99 x 1024 kg, es mucho menor que la masa del Sol, M = 1,99 x 1030 kg, nos

encontramos con que prácticamente (¡con un error aproximadamente de orden de una millonésima!), la masa reducida

coincide con la masa de la Tierra, m. En las unidades adimensionales se puede poner m=1, GM=1. La ecuación de

movimiento en estas unidades (que en este caso describe solamente el movimiento relativo) es:

2

2 3;

d t t

dt r t

r r

00 0 , 0 , 0 ; 0 0 , 0 , 0

dx y z x y z

dt

rr v

En el campo gravitacional (como cualquier otro campo central) se cumplen tiene dos leyes importantes, La Ley de

Conservación del Momento Angular y la Ley de Conservación de la Energía :

y 0 00 y 0 0zz zx t t y t x t xL t L onsty cx r v

2 2 2 2

2 2 2 2

0 01 10

2 2 0 0

x t y t x yE t E const

x t y t x y

Como en el momento angular conserva no solamente su valor sino también su dirección, entonces el movimiento relativo

es planar y sucede en el plano inicial de dos vectores r(0) y v(0), es decir el movimiento es 2D que se describe mediante el

problema de Cauchy para un sistema de cuatro ecuaciones diferenciales de primera orden en las coordenadas cartesianas:

2 2

3 3

0 0 0 0

v ; v ;

vv; ; ; (1)

0 ; 0 ; v 0 =v ; v 0 =v

x y

yx

x x y y

dx t dy tt t

dt dt

d td t x t y tr x t y t

dt dtr r

x x y y

La Ley de conservación del momento angular en unidades adimensionales se puede escribir como

0 0 0 0v (v v )0 2vy x y xz zt x tL L cont t t x y sy t

y la Ley de conservación de la energía total E:

2 2 2 20 0

2 2 2 20 0

v v v v1 10 (3)

2 2

x y x yt tE t E const

x yx t y t

Representamos el problema (1) – (3) en forma canónica

0

0

30

30

2 2

31

42; 0 ; ; ;

v 3 1

v 4 2

1 2 (4)

x

y

ux u x t

uy u y td tt

u x t u rdt

u y t u r

r u u

Uf U U U f U f U

Problema de Cauchy para una planeta en forma canónica

Ley de conservación de momento angular en forma canónica para una planeta en unidades adimensionales

0 0 0 01 4 2 3 v v 0 (5)y xL t u u u u x y L

Ley de conservación de la energía en forma canónica para una planeta en unidades adimensionales

2 2 2 20 0

2 2 2 20 0

1 1 1 13 4 v v 0 (6)

2 21 2x yE t u u E

u u x y

Formulas (4) son la base para aplicar los métodos numéricos para resolver el problema de Cauchy y

fórmulas (5) y (6) pueden utilizarse para controlar la precisión de cálculo en el programa “One_Planet”

Pseudocódigo para el programa “One-Planet”

_ 0, 0, 0, 0, ,

0.0; 4; (1) 0, (2) 0; (3) 0, (4) 0; (*el punto inicial y el paso de la malla*)

E0 Energy(n,uprev(n)): L0 ngularM(n,uprev(n)) (

function One Planet x y Vx Vy h tfin

tprev n uprev x uprev y uprev Vx uprev Vy

A

*Energía y Momento angular al inicio*)

; (*un paso iterativo en bucle*)

E Energy(n,unext(n)): L ngularM(n,unext(n)) (*Energí

_1 , , , , ,Euler n tprev uprev h tnext unextwhile tprev tfin do Call

A

a y Momento angular al final del segmento*)

print ; 1, (print( ( )); (*Tabla de coordenadas y velocidades*)

print(E-E0: L-L0) (*Chequeo de leyes de conservación*)

; 1,

tnext for i n do unext i

tprev tnext for i n uprev

( ) ( ) (*preparación datos para siguiente pasoi unext i

Programa Principal. Analiza la dinámica de una plasneta en campo central en unidades adimensionales

Programa que describe las partes derecha de EDO para una planeta en campo central en unidades adimensionales

_ , , ,

* se definen las partes derechas de unsistema de ecuaciones , / , 1,2, ,

: ,

(

,

Function f right n t u n du n

du i du x i dx du i i n

Parametros de entrada n numerodeecuaciones t tiempo u n losvalores delas funcion

2 2 3 3

,

: *)

1 3 ; 2 4 ; 1 2 ; 3 1 , 4 2

es

Parametro de salida du n losvalores delas derivadas de las funciones

du u du u r u u du u r du u r

2 2 2 2

,

* : 4 ,

1,2 3,4

: *)

(

1 2 ; 3 4 2 1/

Function Energy n u n

Parametros de entrada n numerodeecuaciones u n losvalores

delascoordenadas n y velocidades n

Parametro de salida Energy

r u u Energy u u r

Programa que calcula la energía de una planeta en campo central en unidades adimensionales

_ ,

* : 4 ,

1,2 3,4

: *)

_ 1 (4) (2) (3)

(

Function Aglar M n u n

Parametros de entrada n numerodeecuaciones u n losvalores

delascoordenadas n y velocidades n

Parametro de salida Momento Angular

Angular M u u u u

Programa que calcula el momento angular de una planeta en campo central en unidades adimensionales

Orbitas elípticas, parabólicas e hiperbólicas

Tipos de órbitas que resultan a partir de solución del problema de Cauchy dependen esencialmente de

condiciones iniciales para las coordenadas y para las velocidades . Se puede demostrar

(ver “Mecánica”, L. D. Landau,) que en el campo central, el movimiento rotacional se puede excluir de

consideración usando la ley de conservación del momento angular y reducir a un problema del

movimiento unidimensional en la dirección radial considerando la separación r entre el planetas como

la única variable que caracteriza la posición instantánea en un campo con la energía potencial efectiva

definida en las unidades adimensionales como:

0 0 0 0, , v , vx yx y

2 20 2 1 (1)effV r L r r

Problemas de dos y tres cuerpos

Hasta ahora nuestro estudio de las órbitas planetarias se ha restringido al estudio de sistema de dos cuerpos

interactuantes mediante las fuerzas centrales. Sin embargo, el sistema solar no es un sistema de dos cuerpos porque

diferentes planetas ejercen fuerzas gravitacionales entre ellas. Aunque las fuerzas interplanetarias son de pequeña

magnitud en comparación con la fuerza gravitacional del Sol, estas pueden producir efectos medibles. Por ejemplo, la

existencia de Neptuno se conjeturó sobre la base de una discrepancia entre la órbita de Urano medido

experimentalmente y la órbita predicha calculada a partir de las fuerzas conocidas.

La presencia de otros planetas implica que la fuerza total en un determinado planeta no es una fuerza central.

Por otra parte, debido a que las órbitas de los planetas no están exactamente en el mismo plano, un análisis del sistema

solar debe extenderse a tres dimensiones si se requieren cálculos precisos. Sin embargo, para simplificar, vamos a

considerar un modelo de un sistema solar de dos dimensiones con dos planetas en órbita alrededor de un sol fija.