INTRODUCCIONEn esta investigacin daremos una introduccin al mtodo Simplex desarrollado por George Bernard Dantzig en 1947. Este mtodo se basa en la conversin del problema con restricciones con desigualdades en un problema cuyas restricciones son ecuaciones lineales.Una propiedad general del mtodo smplex es que resuelve la programacin lineal en iteraciones. Cada iteracin desplaza la solucin a un nuevo punto esquina que tiene potencial de mejorar el valor de la funcin objetivo. El proceso termina cuando ya no se pueden obtener mejoras.Otro punto que encontrara en esta investigacin es la matriz de identidad con la cual se podrn resolver problemas relacionaos con el mtodo de gauss-jordan, el mtodo consiste en el resolver de una serie de algoritmos del algebra lineal para determinar los resultados de un sistema de ecuaciones lineales y as hallar matrices e inversas.Tambin para finalizar el tema se hablara del mtodo de la M el cual consiste en modificar el problema original para dar lugar a un nuevo problema agregando una variables llamadas artificial y que se penalizaran mediante un costo M de valores grandes y positivos, y esto permite que la funcin objetivo tome valores muy grandes.

OBJETIVOEn este trabajo de investigacin se presentara diversos temas para la resolucin de problemas del mtodo simplexTambin se utilizaran algunas herramientas que nos permitir tomar una decisin para resolver un problema como los modelos de I.O que en algunos casos se deseara optimizar o dependiendo lo que se desea.

JUSTIFICACIONEste trabajo est diseado ms que nada para que el estudiante adquiera algunos conocimientos para elegir los diferentes mtodos, procesos y sistemas de produccin de bienes y servicios con el fin de optimizar el uso de recursos de materiales

TEORIA DEL METODO SIMPLEXElMtodo Simplexes un mtodo analtico de solucin de problemas deprogramacin linealcapaz de resolver modelos ms complejos que los resueltos mediante el mtodo grficosin restriccin en el nmero de variables.ElMtodo Simplexes un mtodo iterativo que permite ir mejorando la solucin en cada paso. La razn matemtica de esta mejora radica en que el mtodo consiste en caminar del vrtice de un poliedro a un vrtice vecino de manera que aumente o disminuya (segn el contexto de la funcin objetivo, sea maximizar o minimizar), dado que el nmero de vrtices que presenta un poliedro solucin es finito siempre se hallar solucin.Este famossimo mtodo fue creado en el ao de 1947 por el estadounidense George Bernard Dantzig y el ruso Leonid Vitalievich Kantorovich, con el nimo de crear un algoritmo capaz de solucionar problemas demrestricciones ynvariablesPara poder aplicar el mtodo simplex a un modelo de programacin lineal es necesario que este se encuentre en su formaestndar.La forma estndar.Las caractersticas de la forma estndar son:1.-Todas las restricciones son ecuaciones excepto para las restricciones de no negatividad que permanecen como desigualdades.2.-Los elementos del lado derecho de cada ecuacin son no negativos.3.-Todas las variables son no negativas.4.-la funcin objetivo es del tipo de Maximizacin o minimizacin.Transformaciones elementales.1.-Las restricciones de desigualdad pueden cambiarse por ecuaciones introduciendo en el lado izquierdo de cada una de tales restricciones una variable no negativa.(estas nuevas variables se conocen como variables de holgura o superavit las cuales se sumaran si la desigualdad es(Holgura) y se restaran si la desigualdad es(Supervit o exceso).2.-El signo del lado derecho (-) puede eliminarse multiplicando la ecuacin por (-1) en caso de que sea necesario.3.-Una restriccin de desigualdad con su lado izquierdo en forma de valor absoluto puede cambiarse a dos desigualdades, la desigualdad contraria a la original se le antepone el signo negativo a su lado derecho.4.-Una variable que es irrestricta en signo ( esto es positiva, negativa o cero) es equivalente a la diferencia entre dos variables no negativas por consiguiente si X es irrestricta en signo puede remplazarse por (X+-X-) donde X+y X- son0.5.-Una desigualdad en una direccin (o ) puede cambiarse a una desigualdad opuesta (o) multiplicando ambos lados por (-1).6.-Una ecuacin puede ser remplazada por dos desigualdades en direcciones opuestas.7.-La minimizacin de una funcin f(x), es matemticamente equivalente a la maximizacin de la expresin negativa de esta funcin f(x), y viceversa.

MATRIZ DE IDENTIDADEnlgebra lineal, lamatriz identidades unamatrizque cumple la propiedad de ser elelemento neutrodelproducto de matrices. Esto quiere decir que el producto de cualquier matriz por la matriz identidad (donde dicho producto est definido) no tiene ningn efecto. La columnai-sima de una matriz identidad es elvector unitariode unabase vectorialinmersa en unespacio Eucldeodedimensinn. Todamatrizrepresenta unaaplicacin linealentre dos espacios vectoriales de dimensin finita. Lamatriz identidadse llama as porque representa a laaplicacin identidadque va de unespacio vectorialde dimensin finita a s mismo.Como el producto de matrices slo tiene sentido si sus dimensiones son compatibles, existen infinitas matrices identidad dependiendo de las dimensiones., la matriz identidad de tamao, se define como lamatriz diagonalque tiene valor 1 en cada una de las entradas de ladiagonal principal, y 0 en el resto. As,

MTODO DE GAUSS-JORDANEste mtodo debe su nombre a Carl Friedrich Gauss y a Wilhelm jordan. Se trata de una serie de algoritmos del algebra lineal para determinar los resultados de un sistema de ecuaciones lineales y as hallar matrices e inversas. El sistema de Gauss se utiliza para resolver un sistema de ecuaciones y obtener las soluciones por medio de la reduccin del sistema dado a otro que sea equivalente en el cual cada una de las ecuaciones tendr una incgnita menos que la anterior. La matriz que resulta de este proceso lleva el nombre que se conoce como forma escalonada.Este mtodo, permite resolver hasta 20 ecuaciones simultneas. Lo que lo diferencia del mtodo Gaussiano es que cuando es eliminada una incgnita, se eliminar de todas las ecuaciones restantes, o sea, las que anteceden a la ecuacin principal as como de las que la siguen a continuacin. De esta manera el paso de eliminacin forma una matriz identidad en vez de una matriz triangular. No es necesario entonces utilizar la sustitucin hacia atrs para conseguir la solucin.

Para resolver sistemas de ecuaciones lineales con el mtodo Gauss Jordan, debemos en primer lugar anotar los coeficientes de las variables del sistema de ecuaciones lineales con la notacin matricial, por ejemplo:

Tambin se le llama matriz aumentada.Luego de realizado lo anterior procederemos a transformar dicha matriz en una matriz identidad, o sea una matriz equivalente a la inicial, de la forma:

Logramos esto aplicando a las distintas columnas y filas de las matrices, restas, sumas, multiplicaciones y divisiones. Debemos tener en cuenta que las operaciones utilizadas se aplicarn en todos los elementos de la fila.En dicha matriz identidad no vemos los trminos independientes. Esto sucede ya que cuando la matriz original alcance la matriz identidad, los trminos sern la solucin del sistema y verificarn la igualdad para cada variable que se correspondern de la forma siguiente: d1 = x d2 = y d3 = zAhora teniendo clara esta base, analicemos detalladamente este mtodo con un ejemplo concreto.Sea el siguiente sistema de ecuaciones:

Aplicaremos luego el primer paso, o sea que lo anotaremos en forma matricial:

Realizado lo anterior, podemos operar con las distintas columnas y filas de la matriz para as convertirla en la matriz identidad, sin olvidar la forma del sistema:

Ahora debemos transformar el 2 de la primera fila de la matriz original en el 1 de la primera fila de matriz identidad. Para realizar este paso multiplicamos toda la fila 1 por el inverso de 2, o sea . Veamos cmo nos queda:

A continuacin debemos obtener los dos ceros de la primera columna de la matriz identidad. Para lograrlo buscaremos el opuesto de los nmeros que se encuentren por debajo del 1 de la primera columna. El opuesto de 3 ser -3 y el de 5 -5. Hecho esto multiplicaremos los opuestos de estos nmeros por cada uno de los elementos de la fila primera y estos se adicionarn a los nmeros de sus respectivas columnas Por ejemplo en el caso de la segunda fila, se multiplicar a -3 que es el opuesto de 3, por cada uno de los elementos de la primera fila y se aadir el resultado con el nmero correspondiente de la columna de la segunda fila.

Veamos el ejemplo:

A medida que realicemos este procedimiento operando con las distintas filas y columnas de la matriz, observaremos como esta se transforma en el modelo de la matriz identidad. Finalizado el proceso, encontraremos finalmente en la cuarta columna los valores de las variables. Veamos entonces como nos quedara:

x=1y=-1z= 2Resuelto el sistema de ecuaciones, podemos verificar como ltimo paso:

METODO DE LA MEn el contexto de la aplicacin delMtodo Simplexno siempre es inmediata la obtencin de unasolucin bsica factible inicial, en las variables originales del modelo. Para conseguir esto existen varios procedimientos como son elMtodo Simplex de 2 Fasesy elMtodo de la M Grande (o Gran M)el cual abordaremos en este artculo. Para ello consideremos el siguiente modelo de Programacin Lineal en 2 variables:

A continuacin agregamos las variables no negativas(holgura restriccin 1),(auxiliar restriccin 2),(exceso restriccin 3) y(auxiliar restriccin 3). El modelo ahora es:

Donde el parmetroMes una constante positiva suficientementegrandepara representar una penalizacin adecuada en la funcin objetivo. La tabla inicial del mtodo est dada por:

Antes de continuar con las iteraciones se debe procurar que el costo reducido de las variablesysean ceros. Para ello multiplicamos por-Mla fila 2 y la fila 3 y luego sumamos a la fila 4, obteniendo lo siguiente:

Ahora debemos seleccionar que variable no bsica ingresa a la base. El menor costo reducido corresponde a la variableen consecuencia dicha variable ingresa a la base. Luego calculamos el mnimo cuociente en dicha columna:, el cual se alcanza en la fila 1, por tanto la variabledeja la base. Se actualiza la tabla:

Siguiendo con las iteraciones ahora la variableentra a la base. El criterio de factibilidad indica que:la variableabandona la base (el pivote se encuentra en la fila 3). Actualizamos la tabla:

Una nueva iteracin indica queingresa a la base. El mnimo cuociente en la respectiva columna es:(recordar que se omiten denominadores menores a cero). Ahora el pivote se encuentra en la fila 2 y en consecuenciadeja la base. Se actualiza la tabla:

Se ha alcanzado la solucin ptima cony. Notar que las variables auxiliares (r1 y r2) son no bsicas en el ptimo. El valor ptimo es21/4(notar que el signo esta cambiado).

CONCLUSIONEl mtodo simplex es unos de los mtodos ms prcticos, sirve para solucionar problemas en donde debemos de optimizar nuestros recursos de la manera ms eficiente, pero para problemas de un gran nmero de variables y restricciones, fcilmente se vuelve tedioso por el nmero de iteraciones y por supuesto demorado para obtener la solucin ptima, es aqu donde el uso de otros mtodos se hace indispensable y til en trminos de eficiencia.Tambin en este tema se mencionaron los otros mtodos para la solucin de los problemas de la programacin lineal como le es el mtodo de la M o la aplicacin del mtodo de Gauss-Jordn con los cuales podremos dar resultado igualmente, pero ms sencillo.Ya para finalizar podemos decir, que los mtodos que anteriormente se mencionaron nos ayudaron para la solucin de problemas dependiendo como se hayan plateado, ya sea para la maximizacin o minimizacin de los recursos.

REFERENCIASIngeniera Industrial ITSU. (2013). Teora del mtodo simplex. Abril 25, 2015, de https://www.blogger.com/ Sitio web: http://itsuiiideo1.blogspot.mx/2012/02/21-teoria-del-metodo-simplex.htmlBryan Salazar Lpez. (2012). METODO SIMPLEX. Abril 27, 2015, de http://www.ingenieriaindustrialonline.com/ Sitio web: http://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingeniero-industrial/investigaci%C3%B3n-de-operaciones/m%C3%A9todo-simplex/Victoria Prez. (2010). Mtodo de Gauss-Jordan. Abril 27, 2015, de http://matematica.laguia2000.com/ Sitio web: http://matematica.laguia2000.com/general/metodo-de-gauss-jordanGEO TUTORIALES. (2015). Mtodo de la M Grande (o Gran M) en Programacin Lineal. Abril 27, 2015, de http://www.gestiondeoperaciones.net/ Sitio web: http://www.gestiondeoperaciones.net/programacion_lineal/metodo-de-la-m-grande-o-gran-m-en-programacion-lineal/Israel P. (2010). PROGRAMACION LINEAL: METODO SIMPLEX. Mayo 03, 2015, de https://www.blogger.com/ Sitio web: http://isra-io.blogspot.mx/

GLOSARIOCUOCIENTE: El resultado de una divisin corresponde a lo que denominamos cuociente.Iteracin:significa el acto de repetir un proceso con el objetivo de alcanzar una meta deseadaIterativo:Queserepiteoseharepetidomuchasveces

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