TEMA: EL LENGUAJE FORMALIZADO O SIMBOLIZACIÓN DE PROPOSICIONES

PROF. HÉCTOR VILLAJUAN MORY

LOGICA PROPOSICIONAL (LP)

DEFINICIÓN

La simbolización es un procedimiento que consiste en aplicar el método del análisis lógico a una determinada proposición.

Analizarla lógicamente significa mostrar de una manera totalmente explícita y exhaustiva sus relaciones sintácticas subyacentes y permitir, determinar, de esa manera, todas sus interpretaciones posibles.

LENGUAJE FORMALIZADOLa lógica se ocupa de los razonamientos en lenguaje formalizado. Esto obedece

a varias razones. La primera razón es que la lógica se interesa por los esquemas de argumento cuyos componentes están tomados en un lenguaje formal. Lo que se necesita es maximizar el carácter operacional de la lógica considerada como un cálculo, es decir, como un sistema de relaciones establecidas en el uso mismo de símbolos de acuerdo con reglas explícitas cuidadosamente formuladas. Recordemos la distinción lenguaje-metalenguaje.

La segunda razón es que los lenguajes naturales contienen ambigüedades. Sucede que los lenguajes naturales (en los cuales priman los factores afectivos) han sido elaborados con el fin de comunicar ideas (ya sea para vender o persuadir). Mientras los lenguaje formales (en los que priman el carácter de objetividad) han sido creados sólo para informar, es decir, para transmitir conocimiento. La lógica al ser un lenguaje científico aspirará a los ideales de economía, precisión, claridad, univocidad, rigor e impersonalidad propios de la ciencia.

Una tercera razón para emplear lenguajes formales en las investigaciones sobre la validez de los argumentos es que en dichas investigaciones se deben expresar afirmaciones generales acerca de todas las oraciones o al menos acerca de todas las oraciones que tengan una forma particular. En este sentido se afirma que la lógica es universal porque cuando ella habla de proposiciones o de relaciones, se refiere a todas las proposiciones o relaciones pues la lógica no se interesa tanto por el contenido (semántica) como sí por la forma (sintaxis).

VARIABLES Y CONSTANTES

El lenguaje lógico se denomina formalizado porque su propiedad más importante es la de revelar la forma o estructura de las proposiciones e inferencias. El lenguaje formalizado de la lógica de proposiciones consta de dos clases de signos: variables proposicionales y constantes u operadores (o conectores) lógicos.

VARIABLES PROPOSICIONALES Y METAVARIABLES

Las variables proposicionales representan cualquier proposición atómica. Son letras minúsculas del alfabeto castellano ‘p’, ‘q’, ‘r’, ‘s’, etc. Las metavariables representan cualquier fórmula o proposición compuesta. Son las letras mayúsculas del alfabeto castellano ‘A’, ‘B’, ‘C’, ‘D’, etc. Por ejemplo:A=(pq) ↮ (r↔s)

CONSTANTES MONÁDICAS Y DIÁDICASTambién llamados operadores lógicos. Ellos, además de enlazar o conectar proposiciones, establecen determinadas operaciones entre ellas. Son de dos clases: diádicos y monádicos.

Los operadores diádicos tienen un doble alcance: hacia la izquierda y hacia la derecha, es decir, afectan a dos variables. Y son los siguientes: El conjuntivo (), el disyuntivo (inclusivo () o exclusivo(↮)), el condicional (→), el bicondicional (↔).

El operador monádico único es la negación. Tiene un solo alcance: hacia la derecha, por lo que afecta a una sola variable. Representa el adverbio negativo ‘no’. Su símbolo es ‘~’.

SIGNOS DE AGRUPACIÓN

La puntuación en el lenguaje común es indispensable para precisar el significado de las expresiones; sobre todo, para asegurar el sentido del enunciado. Si no se usara debidamente los signos de puntuación se incurriría en una ambigüedad insalvable. Por ejemplo:Mientras dormían, los centinelas vigilaron el campamentoMientras dormían los centinelas, vigilaron el campamento

En lógica importa mucho el uso de los signos de puntuación o agrupación. Ellos son los siguientes: paréntesis (“(”, “)”), corchetes (“[”, “]”), llaves (“{”, “}”) y barras (___).Gracias a ellos se establece una jerarquía del alcance de los conectores u operadores lógicos que permite anular toda posible ambigüedad. Por ejemplo:w↔[t{(p→q) ↮ (rs)}]En la anterior fórmula el símbolo de mayor jerarquía será el bi-condicional.

PASOS PARA LA SIMBOLIZACIÓN

La técnica de la formalización comprende los siguientes pasos:1. Se explicita su forma lógica empleando las conjunciones gramaticales y el adverbio ‘no’ en sustitución de expresiones equivalentes. Podemos empezar determinando las proposiciones simples, y los nexos y/o negaciones.2. Se halla su fórmula reemplazando cada proposición atómica por una variable proposicional, las conjunciones gramaticales por sus operadores lógicos correspondientes y el adverbio ‘no’ por el operador negativo.3. Los signos de agrupación se usan para establecer jerarquía entre los operadores de una fórmula lógica, pero solo cuando su omisión la hace ambigua.4. Se determina si la fórmula resultante es una fórmula bien formada (fbf)

FÓRMULAS BIEN FORMADAS (FBF)

Una fórmula bien formada es una cadena de símbolos construida según las reglas establecidas por la sintaxis lógica. Puede ser atómica o molecular.La sintaxis lógica es una disciplina metalógica que estudia el lenguaje de la lógica desde el punto de vista formal, es decir, sin interesarse más que por las relaciones entre los símbolos.Las siguientes son reglas de la sintaxis lógica que posibilitan la construcción de fórmulas bien formadas.Regla 1: Toda variable proposicional es una FBFRegla 2: Si ‘p’ es una FBF, entonces ‘~p’ es también una FBF.Regla 3: Si ‘p’ y ‘q’ son FBF, entonces ‘pq’, ‘pq’, ‘p↮q’, ‘p→q’ y ‘p↔q’ son FBFRegla 4: Una cadena de símbolos es una FBF si y solo si se sigue de la aplicación de R1, R2 y R3.

REGLAS AUXILIARESRegla 5: Una fórmula lógica está bien formada si y sólo si existe una

jerarquía claramente establecida entre sus operadores; en caso contrario, la fórmula carece de sentido.Regla 6: Una FBF tiene nombre y éste depende de su operador de mayor jerarquíaRegla 7: El operador de mayor jerarquía es aquél que está libre de los signos de agrupación: ‘()’, ‘{}’ y ‘[]’.Regla 8: Los signos de agrupación se usan sólo cuando su omisión hace ambigua una fórmula, es decir, cuando una fórmula es susceptible de una doble (o triple, o cuádruple, etc.) interpretación.Regla 9: Los operadores diádicos tienen mayor jerarquía que el operador monádico.Regla 10: El operador negativo se escribe antes y no después de una fórmula.Regla 11: El operador negativo no se escribe entre dos fórmulas, sino inmediatamente a la izquierda de una variable proposicional o de un signo de agrupación, es decir, así: ~p.Regla 12: Si un operador negativo antecede a otro operador igualmente negativo, entonces el de la izquierda tendrá mayor jerarquía. Por ejemplo, en la siguiente fórmula el operador negativo más externo es el de mayor jerarquía ~{~[(~pq) r]}

PRINCIPALES NOTACIONES SIMBÓLICAS

Existen diferentes notaciones simbólicas, pero pueden reducirse a tres: la de Scholz, la de Peano-Russell y la de Lukasiewicz. Las tablas siguientes muestran las correspondencias entre las principales notaciones simbólicas:SISTEMAS Negación Conjunción Disyunción

InclusivaDisyunción Exclusiva

Condicional Bicondicional

Jerarquía

Scholz ~p pq pq p↮q p→q p↔q ( ). [], etc.

Peano-Russell

~p p. q pq p≢q pq p≡q . . , : : , etc.

Lukasiewicz

Np Kpq Apq Jpq Cpq Epq Nada

TRANSFORMACIÓN SCHOLZ-PR

La técnica de transformación comprende los siguientes casos:1. Reemplazar las constantes correspondientes.2. Conservar las jerarquías de los operadores. Para ello se usan puntos (de dos en dos) al lado de los operadores, eliminando así los paréntesis, corchetes y llaves.Ejemplo:1. Simbolice en Scholz y páselo a PR“ Si luchamos y nos esforzamos, entonces ganaremos el partido del sábado. Por lo tanto, nos llevaremos la copa de los campeones”.1er paso. luchamos=pnos esforzamos=qganamos el partido del sábado=rnos llevaremos la copa de los campeones=s2do paso. Pasémoslo todo al sistema PRSi … , entonces, … = →y = … . Por lo tanto, …= →3er paso. [(pq)→r]→s4to paso. [(p.q)r]s5to paso. [(p.q)..r]::s

EJERCICIOSSimbolice: (Nivel I)

• Rabat es la capital de Kenya o de Sudán• Juan es economista y consultor, o matemático e investigador• Si Pedro va a la oficina de Juan será atendido, si y solo si tiene una cita previa.• A pesar de no haber tenido ninguna cita previa, Roberto fue atendido• Aun cuando Pérez vaya a la oficina de Arguedas cuando éste no se encuentre ocupado, no será atendido si no tiene una cita previa.• Los amigos de mis amigos son mis amigos; y los desconocidos, no.• Oscar es amigo de David y David es amigo de Paul, pero Paul es un personaje imaginario.• Las universidades de Cuzco, Lima y Arequipa protestaron contra el régimen• Ojos que no ven, corazón que no siente• Cuando fui a la iglesia me pareció que la imagen del Señor me miraba• Le pedí a Dios que me devolviera mi golondrina y así lo hizo.

Simbolice: (Nivel II)

• Cuando la ambición por el poder o la riqueza domina al hombre, no hay pudor ni barreras legales ni morales inviolables. (pq)→(~r~s~t)

• Ya se pinte, ya se engalane, el mono mono será, ya que el hábito no hace al monje. p→[(q→s)(s→r)]

• Si todos mis esfuerzos no han sido inútiles, y lo he logrado, lo sabré dentro de un momento, si a Dios le place. p →[(~q→r)→s]

• Lo haré, pero más tarde. ~pq

• El juez castiga el crimen sin corregir al delincuente. p~q

Simbolice: (Nivel III)

• Aunque nieva, voy. (p→q) (~p→q)

• El guardián no se rinde, vence o muere. ~p→(qr)

• Si eres paciente y justo y tiendes a realizar cualquier cosa que te propones, aunque sea tarde Dios llega. [pq(r→s)] → [(tu)(~tu)]

• Aunque no quiera, José tomará jarabe si quiere sanar. p→[(q~q)→r]

• Él esta siempre ahí, aunque le dice “no”, porque está obsesionado.p→[(q→r)(s→r)]

BIBLIOGRAFÍA

• GARCÍA ZÁRATE, Óscar. (2007) Lógica. Lima: UNMSM.• CHÁVEZ N., A. (2000) Introducción a la Lógica. Lima: Noriega.• LLANOS, M. (2003) Lógica Jurídica. Lima: Logos.• AMBROSE, A. & M. LAZEROWITZ. (1968) Fundamentos de Lógica simbólica. México: UNAM• PISCOYA, Luis. (1997) Lógica. Lima: UNMSM.• GAMUT, L. T. F. (2006) Introducción a la Lógica. Buenos Aires: Eudeba.• CAMACHO, Luis. (2003) Lógica Simbólica Básica. México: Limusa.