VARIAC

IÓN

Sheyla Asís MantillaAlicia Berrio MantillaMarcela Donado BarrazaÁngela Morales MejíaSergio Mozo Muñoz

¿ Qué es variación?

Es el nombre que se da al estudio de los efectos de los cambios entre cantidades relacionadas.

VARIACIÓN DE UN INTERVALO EN UNA FUNCIÓN

Dada la función y=f(x), se llama variación de una función en un intervalo I, entre x1 y x2, siendo x x2, al valor de f(x2) – f(x1).

Si f(x2)-f(x1) > 0 con x1 < x2, entonces se dice que f(x) es creciente.

Si f(x2) - f(x1) < 0 con x1 < x2, entonces se dice que f(x) es decreciente.

Ejemplo

La siguiente grafica muestra la variación de la temperatura en una ciudad durante un día.

a) Hallar la temperatura a las 5 de la mañana.

b) Hallar la variación de la temperatura desde las 8 de la mañana hasta las 10 de la mañana.

c) Indicar si la función es creciente o decreciente en el intervalo de las 8 de la mañana hasta las 10 de la mañana.

d) Encontrar una hora tal que la variación de la temperatura entre las 6 de la mañana y dice hora sea 10°C.

e) Encontrar dos horas tales que la variación de la temperatura entre ellas sea -5°C.

Solucióna) En la grafica se observa que a las 5 de la mañana la temperatura era 10°C. Esta temperatura se expresa escribiendo t(5) = 10

b) la variación de la temperatura desde las 8 horas hasta las 10 horas fue de 5°C. Esta variación se presenta escribiendo t(10) – t(8) = 27° - 22° = 5°

c) En el grafico se observa que, en el intervalo considerado, la función es creciente, es decir, la variación de la temperatura es positiva.

d) En la grafica se observa que a las 6 de la mañana la temperatura era de 15°C, y que una variación de temperatura de 10°C se obtiene a las 9 de la mañana pues a dicha hora la temperatura era de 25°C.

e) La grafica muestra que entre las 15 horas y las 17 horas la variación fue de -5°C.

Es decir t(17) – t(15) = 15 – 20 = -5. En este intervalo la función es decreciente.

VARIACIÓN MEDIA DE UNA FUNCIÓN

Se llama variación media de una función y = f(x) en un intervalo [ a, b], al cociente , definido así:

=

Ejemplo

Un vehículo realiza un recorrido entre dos ciudades distantes entre si 500 km. A los 100 km del punto de partida, modifica su velocidad, manteniéndola hasta los 450 km del recorrido. Los últimos 50 km, el vehículo disminuye la velocidad.

La siguiente grafica muestra la variación de la distancia del vehículo a medida que transcurre el tiempo.

a) Hallar la variación de la distancia entre las 3 y cinco horas.

b) Hallar la variación de la distancia entre las 6 y 10 horas.

c) ¿ Varia la distancia con la misma rapidez?

d) Hallar la variación media en los intervalos [3,5] y [6,10].

Solución

a) la variación de la distancia entre las 3 y 5 horas se puede calcular así:

d(5) – d(3) = 330 – 100 = 230 km

b) Entre las 6 y 10 horas la variación de la distancia es:d(10) – d(6) = 500 – 450 = 50 km

c) La grafica muestra que la distancia no ha variado con la misma rapidez.d) Para calcular la variación media en cada intervalos, se utiliza el concepto anotado anteriormente.Entre 3 y 5:

= = = = 115 km/h

Entre 6 y 10:

= = = 12.5 km/h

Velocidad media

corresponde al cambio de la distancia con respecto al

tiempo.

Si s(t) corresponde a posición de un objeto en el tiempo t al moverse sobre una curva, entonces la velocidad media del objeto en el intervalo [t1,t2] es

_V = =

EjemploLa función de una partícula es s(t) = 4 – .

Hallar la razón media de cambio de esta partícula en el intervalo [ 0, 1]

La razón media de cambio de una partícula corresponde a la velocidad media.

_

V = = = - 1

Luego la razón media de cambio en el intervalo [0,1] es

–

V = -1

VARIACIÓN INSTANTÁNEA DE UNA FUNCIÓN

Para conocer la variación instantánea de una función en un instante dado, se de be considerar cada vez mas pequeño. Por tanto, si se halla el limite de la variación media cuando tiende a cero, se obtiene la variación instantánea de una función.Entonces la variación instantánea de una función y = f (x) es: =

Ejemplo

Al soltar un objeto desde una altura de 100 metros, su altura en el instante t está dada por la expresión f(t) = -16 + 100, con f(t) medido en metros y t en segundos. Determinar:

a) como varia la altura en el instante t = 2.

b) la variación instantánea en t = 2

Solución

a) para saber como varia la altura, se pueden considerar distintos intervalos que incluyan t = 2 En el intervalo [2, 3]: la variación

media en dicho intervalo es:

= == -80

b) Para conocer la variación instantánea en t = 2, se calcula el limite de la variación media en el intervalo [2, 2 + donde es un valor muy pequeño.

= =

= -64Luego la variación instantánea en el momento t = 2 es -64 m/s

Velocidad instantánea

Si s(t) corresponde a la función de posición de un objeto en movimiento rectilíneo, la velocidad del objeto en el instante t o velocidad instantánea vi, en t, viene dada por:

vi = = La rapidez corresponde al valor absoluto de la velocidad, e indica lo rápido que se mueve un objeto, sin importar la dirección.

EjemploLa función de posición de una partícula que se mueve en línea recta está dada por la función s(t) = 2 + 1, s medida en metros y t medido en segundos. Hallar la velocidad instantánea de la partícula para los siguientes instantes de tiempo:

a) T = 1b) T = 3c) T = 5d) T = 10

Luego, representar gráficamente la situación.SoluciónPor la definición de velocidad instantánea Vi = =

Vi = Vi = =

= = = A partir del proceso anterior, se determina la función de velocidad instantánea ViAsí, Vi = 4t. Luego,a. Vi t = 1 = 4(1) = 4 m/sb. Vi para el instante t = 3 viene dada por: Vi t = 3 = 4(3) = 12 m/sc. Vi t = 5 = 4(5) = 20 m/sd. Vi t = 10 = 4(10) = 40 m/s

La gráfica de s(t) = 2y la recta que representa su velocidad instantánea se muestra a la derecha.

GRACIAS…