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MATEMTICAS

DE GLENCOE

Libro de ejercicios de intervencin

y Gua de estudio

Al alumno:Este libro de ejercicios de la Gua de estudio e intervencin teprovee ejemplos y problemas adicionales para los ejerciciosconceptuales de cada leccin. Los ejercicios estn diseadospara facilitarte el estudio del lgebra mediante el refuerzo delas destrezas matemticas importantes necesarias para tenerxito en el mundo real. El material se organiza por captulo ypor leccin, con dos hojas de ejercicios para cada leccin enlgebra 1 de Glencoe.

Mantn siempre a mano tu trabajo. Adems de tu libro detexto, tus tareas diarias y las notas de las clases, este Libro deejercicios de la Gua de estudio e intervencin puede ayudartea repasar el material para tomar pruebas cortas de prctica ypruebas.

Al maestro:Las respuestas para cada hoja de ejercicios se encuentran enlas Hojas maestras de recursos para los captulos de lgebra 1de Glencoe y tambin en la edicin ampliada del maestro delgebra 1 de Glencoe.

Derechos de impresin 2003 por The McGraw-Hill Companies, Inc. Todos los derechos estn

reservados. Impreso en los Estados Unidos de Amrica. A excepcin de lo permitido bajo el

Acta de Derechos de Impresin de los Estados Unidos, ninguna parte de esta publicacin

puede ser reproducida o distribuida de ninguna forma o por ningn mtodo, tampoco puede

almacenarse en una base de datos, ni en un sistema de recuperacin, sin el previo permiso, por

escrito de la casa publicadora.

Enve toda correspondencia a:The McGraw-Hill Companies8787 Orion PlaceColumbus, OH 43240

ISBN: 0-07-827754-X lgebra 1

Libro de ejercicios para la Gua de estudio e intervencin

1 2 3 4 5 6 7 045 07 06 05 04 03 02

Glencoe/McGraw-Hill

Glencoe/McGraw-Hill iii lgebra 1 de Glencoe

ContenidoLeccin Ttulo Pg. Leccin Ttulo Pg.

1-1 Variables y expresiones . . . . . . . . . 11-2 El orden de las operaciones . . . . . 31-3 Enunciados abiertos . . . . . . . . . . . 51-4 Propiedades de identidad y de

igualdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71-5 La propiedad distributiva . . . . . . . . 91-6 Las propiedades conmutativa

y asociativa . . . . . . . . . . . . . . . 111-7 El razonamiento lgico . . . . . . . . . 131-8 Grficas y funciones . . . . . . . . . . . 151-9 Estadstica: Analiza datos mediante

tablas y grficas . . . . . . . . . . . . 172-1 Los nmeros racionales en la

recta numrica . . . . . . . . . . . . . 192-2 Suma y resta nmeros

racionales . . . . . . . . . . . . . . . . 212-3 Multiplica nmeros racionales . . . . 232-4 Divide nmeros racionales . . . . . . . 252-5 Estadstica: Presenta y

analiza datos . . . . . . . . . . . . . . 272-6 Las probabilidades: Probabilidad

simple y posibilidad . . . . . . . . . 292-7 Races cuadradas y nmeros

reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313-1 Escribe ecuaciones . . . . . . . . . . . . 333-2 Resuelve ecuaciones por adicin

y sustraccin . . . . . . . . . . . . . . 353-3 Resuelve ecuaciones por

multiplicacin y divisin . . . . . . 373-4 Resuelve ecuaciones de

varios pasos . . . . . . . . . . . . . . . 393-5 Resuelve ecuaciones con la

variable en ambos lados . . . . . . 413-6 Razones y proporciones . . . . . . . . 433-7 El porcentaje de cambio . . . . . . . . 453-8 Resuelve ecuaciones y

frmulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473-9 Promedios ponderados . . . . . . . . . 494-1 El plano de coordenadas . . . . . . . . 514-2 Transformaciones en el

plano de coordenadas . . . . . . . 534-3 Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554-4 Ecuaciones como relaciones . . . . . 574-5 Grafica ecuaciones lineales . . . . . . 594-6 Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614-7 Sucesiones aritmticas . . . . . . . . . 634-8 Escribe ecuaciones a partir de

patrones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655-1 La pendiente . . . . . . . . . . . . . . . . . 675-2 Pendiente y variacin directa . . . . . 695-3 La forma pendiente-interseccin . . 715-4 Escribe ecuaciones en la forma

pendiente-interseccin . . . . . . . 73

5-5 Escribe ecuaciones en la forma punto-pendiente . . . . . . . . . . . . 75

5-6 Geometra: Rectas paralelas yperpendiculares . . . . . . . . . . . . 77

5-7 Estadstica: Grficas de dispersin y rectas de ajuste . . . . . . . . . . . 79

6-1 Resuelve desigualdades por adicin y sustraccin . . . . . . . . 81

6-2 Resuelve desigualdades por multiplicacin y divisin . . . . . . 83

6-3 Resuelve desigualdades de varios pasos . . . . . . . . . . . . . . . 85

6-4 Resuelve desigualdades compuestas . . . . . . . . . . . . . . . 87

6-5 Resuelve enunciados abiertos con valor absoluto . . . . . . . . . . 89

6-6 Grafica desigualdades con dos variables . . . . . . . . . . . . . . 91

7-1 Grafica sistemas de ecuaciones . . 937-2 Sustitucin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 957-3 Eliminacin por adicin o

sustraccin . . . . . . . . . . . . . . . . 977-4 Eliminacin por multiplicacin . . . . 997-5 Grafica sistemas de

desigualdades . . . . . . . . . . . . . 1018-1 Multiplica monomios . . . . . . . . . . . 1038-2 Divide monomios . . . . . . . . . . . . . . 1058-3 La notacin cientfica . . . . . . . . . . . 1078-4 Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1098-5 Suma y resta polinomios . . . . . . . . 1118-6 Multiplica un polinomio

por un monomio . . . . . . . . . . . . 1138-7 Multiplica polinomios . . . . . . . . . . 1158-8 Productos especiales . . . . . . . . . . 1179-1 Factores y el mximo comn

divisor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1199-2 Factoriza por medio de la

propiedad distributiva . . . . . . . . 1219-3 Factoriza trinomios:

x2 + bx + c . . . . . . . . . . . . . . . . 1239-4 Factoriza trinomios:

ax2 + bx + c . . . . . . . . . . . . . . . 1259-5 Factoriza diferencias de

cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . 1279-6 Cuadrados perfectos y

factorizacin . . . . . . . . . . . . . . . 12910-1 Grafica funciones cuadrticas . . . 13110-2 Resuelve ecuaciones cuadrticas

grficamente . . . . . . . . . . . . . . 13310-3 Resuelve ecuaciones cuadrticas

completando el cuadrado . . . . . 13510-4 Resuelve ecuaciones cuadrticas

usando la frmula cuadrtica . . 137

Glencoe/McGraw-Hill iv lgebra 1 de Glencoe

Leccin Ttulo Pg. Leccin Ttulo Pg.

10-5 Las funciones exponenciales . . . . . 13910-6 Crecimiento y desintegracin . . . . . 14110-7 Sucesiones geomtricas . . . . . . . . 14311-1 Reduce expresiones radicales . . . . 14511-2 Operaciones con expresiones

radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . 14711-3 Ecuaciones radicales . . . . . . . . . . 14911-4 El teorema de Pitgoras . . . . . . . . 15111-5 La frmula de la distancia . . . . . . . 15311-6 Tringulos semejantes . . . . . . . . . 15511-7 Razones trigonomtricas . . . . . . . . 15712-1 La variacin inversa . . . . . . . . . . . 15912-2 Expresiones racionales . . . . . . . . . 16112-3 Multiplica expresiones

racionales . . . . . . . . . . . . . . . . 16312-4 Divide expresiones racionales . . . . 16512-5 Divide polinomios . . . . . . . . . . . . . 16712-6 Expresiones racionales con

igual denominador . . . . . . . . . . 169

12-7 Expresiones racionales con diferentes denominadores . . . . 171

12-8 Expresiones mixtas y fracciones complejas . . . . . . . . 173

12-9 Resuelve ecuaciones racionales . . 17513-1 Muestreo y sesgo . . . . . . . . . . . . . 17713-2 Introduccin a las matrices . . . . . . 17913-3 Histogramas . . . . . . . . . . . . . . . . . 18113-4 Medidas de variacin . . . . . . . . . . 18313-5 Diagramas de caja y patillas . . . . . 18514-1 Cuenta resultados . . . . . . . . . . . . . 18714-2 Permutaciones y

combinaciones . . . . . . . . . . . . . 18914-3 Probabilidad de eventos

compuestos . . . . . . . . . . . . . . . 19114-4 Distribuciones de probabilidad . . . . 19314-5 Simulacros probabilticos . . . . . . . . 195

Gua de estudio e intervencinVariables y expresiones

1-11-1

Glencoe/McGraw-Hill 1 lgebra 1 de Glencoe

Lecc

in

1-1

Escribe expresiones matemticas En la expresin algebraica w, las letras yw se llaman variables. En lgebra, las variables se usan para representar nmeros ovalores no especificados. Cualquier letra puede usarse como variable. Las letras y w seusaron porque son las letras iniciales de las palabras largo y ancho. En la expresin w, yw se llaman factores y el resultado se llama producto.

Escribe una expresin algebraica para cada expresin verbal.

NOMBRE FECHA PERODO

Ejemplo 1Ejemplo 1

Ejemplo 2Ejemplo 2

a. cuatro ms que un nmero nLa frase ms que sugieren adicin.cuatro ms que un nmero n4 nLa expresin algebraica es 4 n.

Evala cada expresin.

b. la diferencia entre un nmero al cuadrado y 8La frase diferencia entre sugiere sustraccin.la diferencia entre un nmero al cuadrado y 8n2 8La expresin algebraica es n2 8.

Escribe una expresin algebraica para cada expresin verbal.

1. un nmero disminuido en 8 2. un nmero dividido entre 8

3. un nmero al cuadrado 4. cuatro veces un nmero

5. un nmero dividido entre 6 6. un nmero multiplicado por 37

7. la suma de 9 con un nmero 8. 3 menos que 5 veces un nmero

9. el doble de la suma de 15 con un nmero 10. la mitad del cuadrado de b

11. 7 ms que el producto de 6 por un nmero

12. 30 aumentado en el triple del cuadrado de un nmero


13. 52 14. 33 15. 104

16. 122 17. 83 18. 28

a. 34

34 3 3 3 3 Usa 3 como factor 4 veces. 81 Multiplica.

b. cinco al cuboAl cubo significa elevado a la tercera potencia.53 5 5 5 Usa 5 como factor 3 veces.

125 Multiplica.

EjerciciosEjercicios


Escribe expresiones verbales En lgebra es importante la traduccin de expresionesalgebraicas a expresiones verbales.

Escribe una expresin verbal para cada expresin algebraica.

a. 6n2

el producto de 6 por n al cuadrado

b. n3 12mla diferencia entre n al cubo y doce veces m

Escribe una expresin verbal para cada expresin algebraica.

1. w 1 2. a3

3. 81 2x 4. 12c

5. 84 6. 62

7. 2n2 4 8. a3 b3

9. 2x3 3 10.

11. b2 12. 7n5

13. 3x 4 14. k5

15. 3b2 2a3 16. 4(n2 1)

17. 32 23 18. 6n2 3

23

14

6k35

13

Gua de estudio e intervencin (continuacin)Variables y expresiones

1-11-1

NOMBRE FECHA PERODO


EjemploEjemplo

Gua de estudio e intervencinEl orden de las operaciones

1-21-2


Lecc

in

1-2

Evala expresiones racionales Las expresiones numricas contienen a menudo msde una operacin. Para evaluarlas se usan las reglas del orden de las operaciones.

Paso 1 Evala las expresiones dentro de smbolos de agrupamiento.El orden de las Paso 2 Evala todas las potencias.operaciones Paso 3 Multiplica o divide de izquierda a derecha.

Paso 4 Suma o sustrae de izquierda a derecha.


a. 7 2 4 47 2 4 4 7 8 4 Multiplica 2 por 4.

15 4 Suma 7 ms 8. 11 Sustrae 4 de 15.

b. 3(2) 4(2 6)3(2) 4(2 6) 3(2) 4(8) Suma 2 ms 6.

6 32 Multiplica deizquierda aderecha.

38 Suma 6 y 32.


a. 3[2 (12 3)2]3[2 (12 3)2] 3(2 42) Divide 12 entre 3.

3(2 16) Calcula 4 al cuadrado.

3(18) Suma 2 ms 16. 54 Multiplica 3 por 18.

b.

Calcula las potencias en el numerador.

Suma 3 ms 8 en el numerador.

Multiplica.1148

1116 3

1142 3

3 842 3

3 2342 3

3 2342 3

Ejemplo 1Ejemplo 1 Ejemplo 2Ejemplo 2

EjerciciosEjerciciosEvala cada expresin.

1. (8 4) 2 2. (12 4) 6 3. 10 2 3

4. 10 8 1 5. 15 12 4 6.

7. 12(20 17) 3 6 8. 24 3 2 32 9. 82 (2 8) 2

10. 32 3 22 7 20 5 11. 12.

13. 250 [5(3 7 4)] 14. 15.

16. 17. 18.82 22

(2 8) 452 3

20(3) 2(3)4(52) 4 34(4 5 2)

4 32 3 23 5

2 42 82(5 2) 2

8(2) 48 4

4 3212 1

15 6030 5

NOMBRE FECHA PERODO

Calcula las potencias en eldenominador


Evala expresiones algebraicas Las expresiones numricas pueden a menudocontener ms de una operacin. Para evaluarlas se debe conocer el valor de las variables.Empieza sustituyendo las variables por sus valores y luego usa el orden de las operacionespara calcular la expresin numrica consiguiente.

Evala x3 5(y 3) en x 2 y y 12.

x3 5(y 3) 23 5(12 3) Sustituye x por 2 y y por 12. 8 5(12 3) Calcula 23. 8 5(9) Sustrae 3 de 12. 8 45 Multiplica 5 por 9. 53 Suma 8 ms 45.

El resultado es 53.

Evala cada expresin si x 2, y 3, z 4, a y b .

1. x 7 2. 3x 5 3. x y2

4. x3 y z2 5. 6a 8b 6. 23 (a b)

7. 8. 2xyz 5 9. x(2y 3z)

10. (10x)2 100a 11. 12. a2 2b

13. 14. 6xz 5xy 15.

16. 17. 18. (z x)2 ax

19. 2 2 20. 21. y xzz xyx zy 2zyzxz

5a2by

25ab yxz

(z y)2x

z2 y2

x2

3xy 47x

y2x2

35

45

Gua de estudio e intervencin (continuacin)El orden de las operaciones

1-21-2

EjemploEjemplo


NOMBRE FECHA PERODO


Gua de estudio e intervencinEnunciados abiertos

1-31-3

Lecc

in

1-3

Resuelve ecuaciones Un enunciado matemtico con una o ms variables se llamaenunciado abierto. Estos se resuelven hallando las sustituciones de sus variables queproducen enunciados verdaderos. El conjunto de nmeros del que pueden escogersesustituciones de la variable se llama conjunto de sustitucin. El conjunto de todas lassustituciones de la variable que dan enunciados verdaderos se llama el conjunto solucinde la variable. Un enunciado que contiene el signo igual, , se llama ecuacin.

NOMBRE FECHA PERODO

Encuentra elconjunto solucin de 3a 12 39si el conjunto de sustitucin es {6, 7, 8, 9, 10}.Sustituye a en 3a 12 39 por cadavalor del conjunto de sustitucin.

3(6) 12 39 30 39 falso3(7) 12 39 33 39 falso3(8) 12 39 36 39 falso3(9) 12 39 39 39 verdadero3(10) 12 39 42 39 falso

Como a 9 satisface la ecuacin 3a 12 39 la solucin es 9.El conjunto solucin es {9}.

Resuelve b.

b Ecuacin original

b Suma en el numerador; sustrae en el denominador.

b Reduce.

La solucin es .89

89

2(4)3(3)

2(3 1)3(7 4)

2(3 1)3(7 4)


EjerciciosEjerciciosCalcula la solucin de cada ecuacin si el conjunto de sustitucin de x es

X , , 1, 2, 3 y el de y es Y {2, 4, 6, 8}.1. x 2. x 8 11 3. y 2 6

4. x2 1 8 5. y2 2 34 6. x2 5 5

7. 2(x 3) 7 8. ( y 1)2 9. y2 y 20

Resuelve cada ecuacin.

10. a 23 1 11. n 62 42 12. w 62 32

13. k 14. p 15. s

16. 18.4 3.2 m 17. k 9.8 5.7 18. c 3 2 1412

15 627 24

18 32 3

58

14

94

14

116

52

12

12

14


Resuelve desigualdades Un enunciado abierto que contiene uno o ms de los smbolos , , o se llama desigualdad. stas se resuelven de la misma manera que las ecuaciones.

Encuentra el conjunto solucin de 3a 8 10 si el conjunto desustitucin es {4, 5, 6, 7, 8}.

Sustituye a en 3a 8 10 por cada valor del conjunto de sustitucin.

3(4) 8 ? 10 4 10 falso3(5) 8 ? 10 7 10 falso3(6) 8 ? 10 10 10 falso3(7) 8 ? 10 13 10 verdadero3(8) 8 ? 10 16 10 verdadero

Como la sustitucin de a por 7 u 8 hace que la desigualdad 3a 8 10 sea verdadera, elconjunto solucin es {7, 8}.

Encuentra el conjunto solucin de cada desigualdad si el conjunto de sustitucines X {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

1. x 2 4 2. x 3 6 3. 3x 18

4. 1 5. 2 6. 2

7. 3x 4 5 8. 3(8 x) 1 6 9. 4(x 3) 20

Encuentra el conjunto solucin de cada desigualdad si el conjunto de sustitucin

de x es X , , 1, 2, 3, 5, 8 y el de y es Y {2, 4, 6, 8, 10}.10. x 3 5 11. y 3 6 12. 8y 3 51

13. 4 14. 2 15. 2

16. 4x 1 4 17. 3x 3 12 18. 2( y 1) 18

19. 3x 2 20. 3y 2 8 21. (6 2x) 2 31214

2y5

y4

x2

12

14

3x8

x5

x3

Gua de estudio e intervencin (continuacin)Enunciados abiertos

1-31-3

NOMBRE FECHA PERODO

EjemploEjemplo


Gua de estudio e intervencinPropiedades de identidad y de igualdad

1-41-4


Lecc

in

1-4

Propiedades de identidad y de igualdad Las propiedades siguientes puedenayudarte a resolver ecuaciones algebraicas y a evaluar expresiones matemticas.

Identidad aditiva Para todo nmero a, a 0 a.

Identidad multiplicativa Para todo nmero a, a 1 a.

Propiedad multiplicativa de 0 Para todo nmero a, a 0 0.

Propiedad de inversomultiplicativo Para todo nmero , donde a, b 0, hay un nico nmero tal que 1.

Propiedad reflexiva Para todo nmero a, a a.

Propiedad simtrica Para nmeros a y b cualesquiera, si a b, entonces b a.Propiedad transitiva Para nmeros a, b, y c cualesquiera, si a b y b c, entonces a c.

Propiedad sustitutiva Si a b, entonces a puede sustituirse por b en cualquier expresin que contenga a.

ba

ab

ba

ab

Identifica la propiedad quese usa en cada ecuacin y luego despeja n.

a. 8n 8Propiedad de la identidad multiplicativan 1 porque 8 1 8

b. n 3 1Propiedad del inverso multiplicativo

n porque 3 11313

Identifica lapropiedad que se usa, justificandoas cada enunciado.

a 5 4 5 4Propiedad reflexiva

b. Si n 12, entonces 4n 4 12.Propiedad de sustitucin


EjerciciosEjerciciosIdentifica la propiedad que se usa en cada ecuacin y luego despeja n.

1. 6n 6 2. n 1 8 3. 6 n 6 9

4. 9 n 9 5. n 0 6. n 1

Identifica la propiedad que ilustra cada ecuacin.

7. Si 4 5 9, entonces 9 4 5. 8. 0 21 21

9. 0(15) 0 10. (1)94 94

11. Si 3 3 6 y 6 3 2, entonces 3 3 3 2.

12. 4 3 4 3 13. (14 6) 3 8 3

34

38

NOMBRE FECHA PERODO


Uso de las propiedades de identidad y de igualdad Estas propiedadespueden usarse para justificar los pasos al evaluar expresiones.

Evala 24 1 8 5(9 3 3), identificando la propiedad que se usaen cada paso.

24 1 8 5(9 3 3) 24 1 8 5(3 3) Sustitutiva; 9 3 3 24 1 8 5(0) Sustitutiva; 3 3 0 24 8 5(0) Identidad multiplicativa; 24 1 24 24 8 0 Propiedad multiplicativa de cero; 5(0) 0 16 0 Sustitutiva; 24 8 16 16 Identidad aditiva; 16 0 16

Evala cada expresin, identificando la propiedad que uses en cada paso.

1. 2 2 2. 15 1 9 2(15 3 5)

3. 2(3 5 1 14) 4 4. 18 1 3 2 2(6 3 2)

5. 10 5 22 2 13 6. 3(5 5 12) 21 7

14

12

14

Gua de estudio e intervencin (continuacin)Propiedades de identidad y de igualdad

1-41-4

NOMBRE FECHA PERODO

EjemploEjemplo


Gua de estudio e intervencinLa propiedad distributiva

1-51-5


Lecc

in

1-5

Evala expresiones La propiedad distributiva puede usarse en la evaluacin deexpresiones.

La propiedad distributiva Para nmeros a, b y c, a(b c) ab ac y (b c)a ba ca y a(b c) ab ac y (b c)a ba ca.

Reescribe 6(8 10) usando la propiedad distributiva y luego calcula.

6(8 10) 6 8 6 10 Propiedad distributiva 48 60 Multiplica. 108 Suma.

Reescribe 2(3x2 5x 1) usando la propiedad distributiva y

luego reduce.

2(3x2 5x 1) 2(3x2) (2)(5x) (2)(1) Propiedad distributiva 6x2 (10x) (2) Multiplica. 6x2 10x 2 Reduce.

Reescribe cada expresin usando la propiedad distributiva y luego reduce.

1. 2(10 5) 2. 6(12 t) 3. 3(x 1)

4. 6(12 5) 5. (x 4)3 6. 2(x 3)

7. 5(4x 9) 8. 3(8 2x) 9. 126 x

10. 122 x 11. (12 4t) 12. 3(2x y)

13. 2(3x 2y z) 14. (x 2)y 15. 2(3a 2b c)

16. (16x 12y 4z) 17. (2 3x x2)3 18. 2(2x2 3x 1)14

14

12

12

Ejemplo 1Ejemplo 1

Ejemplo 2Ejemplo 2


NOMBRE FECHA PERODO


Reduce expresiones Un trmino es un nmero, una variable o un producto o cocientede nmeros y variables. Los trminos semejantes son trminos que tienen las mismasvariables, con las variables correspondientes elevadas a los mismos exponentes. Para reducirexpresiones se pueden usar la propiedad distributiva y las propiedades de la igualdad. Unaexpresin est reducida cuando se la sustituye por una expresin equivalente sintrminos semejantes o parntesis.

Reduce 4(a2 3ab) ab.

4(a2 3ab) ab 4(a2 3ab) 1ab Identidad multiplicativa 4a2 12ab 1ab Propiedad distributiva 4a2 (12 1)ab Propiedad distributiva 4a2 11ab Sustitutiva

Reduce cada expresin. Si no es posible, escribe reducida.

1. 12a a 2. 3x 6x 3. 3x 1

4. 12g 10g 1 5. 2x 12 6. 4x2 3x 7

7. 20a 12a 8 8. 3x2 2x2 9. 6x 3x2 10x2

10. 2p q 11. 10xy 4(xy xy) 12. 21c 18c 31b 3b

13. 3x 2x 2y 2y 14. xy 2xy 15. 12a 12b 12c

16. 4x (16x 20y) 17. 2 1 6x x2 18. 4x2 3x2 2x14

12

Gua de estudio e intervencin (continuacin)La propiedad distributiva

1-51-5

NOMBRE FECHA PERODO


EjemploEjemplo

Gua de estudio e intervencinLas propiedades conmutativa y asociativa

1-61-6


Lecc

in

1-6Las propiedades conmutativa y asociativa Puedes usar estas propiedades alevaluar o reducir expresiones. La propiedad conmutativa dice que el orden en que sumas o

multiplicas dos nmeros no cambia su suma o producto. La propiedad asociativa dice que laforma en que agrupas tres nmeros al sumarlos o multiplicarlos no cambia su suma oproducto.

La propiedad conmutativa Para nmeros a y b cualesquiera, a b b a y a b b a.

La propiedad asociativa Para nmeros a, b y c cualesquiera, (a b) c a (b c ) y (ab)c a(bc).

Evala 6 2 3 5.

6 2 3 5 6 3 2 5 Propiedad conmutativa (6 3)(2 5) Propiedad asociativa18 10 Multiplica.180 Multiplica.

El producto es 180.

Evala 8.2 2.5 2.5 1.8.

8.2 2.5 2.5 1.8 8.2 1.8 2.5 2.5 Propiedad conmutativa (8.2 1.8) (2.5 2.5) Propiedad asociativa 10 5 Suma. 15 Suma.

La suma es 15.


EjerciciosEjerciciosEvala cada expresin.

1. 12 10 8 5 2. 16 8 22 12 3. 10 7 2.5

4. 4 8 5 3 5. 12 20 10 5 6. 26 8 4 22

7. 3 4 2 3 8. 12 4 2 9. 3.5 2.4 3.6 4.2

10. 4 5 3 11. 0.5 2.8 4 12. 2.5 2.4 2.5 3.6

13. 18 25 14. 32 10 15. 7 16

16. 3.5 8 2.5 2 17. 18 8 18. 10 16 1234

19

12

17

14

12

15

29

45

12

12

34

12

12

NOMBRE FECHA PERODO


Reduce expresiones Las propiedades conmutativa y asociativa pueden usarse, juntocon otras propiedades, al evaluar y reducir expresiones.

Reduce 8(y 2x) 7y.

8(y 2x) 7y 8y 16x 7y Propiedad distributiva 8y 7y 16x Conmutativa () (8 7)y 16x Propiedad distributiva 15y 16x Sustitutiva

La expresin reducida es 15y 16x.

Reduce cada expresin.

1. 4x 3y x 2. 3a 4b a 3. 8rs 2rs2 7rs

4. 3a2 4b 10a2 5. 6(x y) 2(2x y) 6. 6n 2(4n 5)

7. 6(a b) a 3b 8. 5(2x 3y) 6( y x) 9. 5(0.3x 0.1y) 0.2x

10. (x 10) 11. z2 9x2 z2 x2 12. 6(2x 4y) 2(x 9)

Escribe una expresin algebraica para cada expresin verbal y luego reduce.

13. el doble de la suma de y ms z aumentado en y

14. cuatro veces el producto de x por y disminuido en 2xy

15. el producto de cinco por el cuadrado de a, aumentado en la suma de ocho, a2 y 4

16. el triple de la suma de x ms y aumentado en el doble de la suma de x ms y

13

43

43

12

23

Gua de estudio e intervencin (continuacin)Las propiedades conmutativa y asociativa

1-61-6


EjemploEjemplo

NOMBRE FECHA PERODO


Gua de estudio e intervencinEl razonamiento lgico

1-71-7

Lecc

in

1-7

Enunciados condicionales Un enunciado condicional es uno de la formaSi A, entonces B. Los enunciados de esta forma se llaman enunciados si-entonces.La parte del enunciado que sigue inmediatamente al si, se llama hiptesis. Laparte del enunciado que viene inmediatamente del entonces, se llama conclusin.

NOMBRE FECHA PERODO

Identifica lahiptesis y la conclusin de cadaenunciado.

a. Si hoy es mircoles, entoncesJerri tiene clase de aerobismo.Hiptesis: hoy es mircolesConclusin: Jerri tiene clase deaerobismo

b. Si 2x 4 10, entonces x 7.Hiptesis: 2x 4 10Conclusin: x 7

Identifica la hiptesis y laconclusin de cada enunciado y luegoescrbelo en la forma si-entonces.

a. T y Marylynn pueden ver una pelcula eljueves.Hiptesis: hoy es juevesConclusin: t y Marylynn pueden ver una pelcula.Si hoy es jueves, entonces t y Marylynn puedenver una pelcula.

b. Para un nmero a que satisface 3a 2 11,a 3.Hiptesis: 3a 2 11Conclusin: a 3Si 3a 2 11, entonces a 3.


EjerciciosEjerciciosIdentifica la hiptesis y la conclusin de cada enunciado.

1. Si estamos en abril, entonces puede llover.

2. Si eres velocista, entonces puedes correr rpidamente.

3. Si 12 4x 4, entonces x 2.

4. Si hoy es lunes, entonces ests en la escuela.

5. Si el rea de un cuadrado es 49, entonces su lado mide 7.

Identifica la hiptesis y la conclusin de cada enunciado y luego escrbelo en laforma si-entonces.

6. Un cuadriltero con cuatro lados iguales es un rombo.

7. Un nmero divisible entre 8 es tambin divisible entre 4.

8. Karlyn va al cine cuando no tiene tareas que hacer.


Razonamiento deductivo y contraejemplos El razonamiento deductivo usahechos, reglas, definiciones o propiedades para sacar una conclusin vlida. Para mostrar que unenunciado condicional es falso, usa un contraejemplo, un ejemplo para el que el enunciadocondicional es falso. Para demostrar que un enunciado es falso, slo basta dar un contraejemplo.

Determina si se puede deducir una conclusin vlida del enunciadoSi dos nmeros son pares, entonces su suma es par para cada condicin dada. Si nohay conclusin vlida posible, escribe no hay conclusin vlida y explica por qu.

a. Los dos nmeros son 4 y 8.4 y 8 son pares y 4 8 12. Conclusin: La suma de 4 y 8 es par.

b. La suma de los nmeros es 20.Considera 13 y 7. 13 7 20Sin embargo, 12 8, 19 1 y 18 2 son todos iguales a 20, as que no hay manera dedeterminar los dos nmeros. En consecuencia, no hay conclusin vlida.

Da un contraejemplo a este enunciado condicional: Si usas una calcu-ladora para resolver un problema de matemticas, entonces obtendrs la respuestacorrecta.Contraejemplo: Si el problema es 475 5, pero usa 475 5, no obtendrs la respuesta correcta.

Indica si se puede sacar una conclusin vlida del enunciado Si un nmerotermina en 0 5, entonces es divisible entre 5 para cada condicin dada. Si no hayconclusin vlida posible, escribe no hay conclusin vlida y explica por qu.

1. El nmero es 120.

2. El nmero es un mltiplo de 4.

3. El nmero es 101. No valid conclusion because the number does not end in Da un contraejemplo a cada enunciado.

4. Si Susan est en la escuela, entonces est en clase de matemticas.

5. Si un nmero es un cuadrado, entonces es divisible entre 2.

6. Si un cuadriltero posee 4 ngulos rectos, entonces es un cuadrado.

7. Si naciste en Nueva York, entonces vives en Nueva York.

8. Si el triple de un nmero es mayor que 15, entonces el nmero debe ser mayor que seis.

9. Si 3x 2 10, entonces x 4.

Gua de estudio e intervencin (continuacin)El razonamiento lgico

1-71-7

Ejemplo 1Ejemplo 1

Ejemplo 2Ejemplo 2


NOMBRE FECHA PERODO


Gua de estudio e intervencinGrficas y funciones

1-81-8

Lecc

in

1-8

Interpreta grficas Una funcin es una relacin entre valores de entrada y valores desalida. En una funcin, hay slo un valor de salida para cada valor de entrada. Los valoresde entrada se asocian con la variable independiente, mientras que los valores de salidase asocian con la variable dependiente. Para mostrar la forma general de la grfica deuna funcin, stas pueden graficarse sin usar una escala.

NOMBRE FECHA PERODO

Esta grfica muestra laaltura de un baln de ftbol americanouna vez que se lo patea hacia la cancha.Identifica las variables independiente ydependiente y luego describe lo que estsucediendo en la grfica.

La variable independiente es el tiempo y ladependiente es la altura. Se patea el baln anivel del suelo. Gana altura hasta quealcanza una altura mxima, para luegoperder altura y caer al suelo.

Tiempo

Altura

Esta grfica muestra lavariacin del precio de las acciones deun capital. Identifica las variablesindependiente y dependiente y luegodescribe lo que est sucediendo en lagrfica.

La variable independiente es el tiempo y ladependiente es el precio. El precio aumentaen forma constante, para luego disminuir,subir otra vez y bajar nuevamente.

Tiempo

Precio


EjerciciosEjercicios1. La grfica corresponde a la de la velocidad de un carro rumbo al

almacn. Identifica las variables independiente y dependiente y luego describe lo que est sucediendo en la grfica.

Ind: time; dep: speed. The car starts from a standstill,accelerates, entonces travels at a constant speed fora while. Then it slows down y stops.

2. La grfica corresponde a la variacin del saldo de una cuenta deahorros. Identifica las variables independiente y dependiente yluego describe lo que est sucediendo en la grfica.

Ind: time; dep: balance. The account balance has aninitial value entonces it increases as deposits aremade. It entonces stays the same for a while, again increases, y lastly goes to 0 as withdrawals are made.

3. La grfica corresponde a la de la altura de una pelota de bisbol una vez que se la golpea. Identifica las variables independiente ydependiente y luego describe lo que est sucediendo en la grfica.

Tiempo

Altura

Tiempo

Saldo en la cuenta

(en dlares)

Tiempo

Velocidad


Traza grficas Las funciones se grafican en un sistema de coordenadas. Los valores deentrada y de salida se marcan en la grfica usando pares ordenados de la forma (x, y). Elvalor de x, la coordenada x, va en el eje x y el valor de y, la coordenada y, va en el eje y. Lasgrficas se usan para representar diversas situaciones concretas.

Una tienda de msica anuncia que si compras 3 ceds al precioregular de $16, recibes un CD gratis de precio inferior o igual.

Gua de estudio e intervencin (continuacin)Grficas y funciones

1-81-8

EjemploEjemplo


a. Haz una tabla que muestre el costode comprar de 1 a 5 ceds.

Nmero de ceds 1 2 3 4 5Costo total (en $) 16 32 48 48 64

b. Escribe los datos como un conjuntode pares ordenados.(1, 16), (2, 32), (3, 48), (4, 48), (5, 64)

c. Traza una grfica que muestre larelacin entre el nmero de ceds y su costo total.

Costo de ceds

Nmero de cedsC

ost

o (

en $

)

0 2 41 3 5 6

80

60

40

20

1. Esta tabla muestra la longitud de unbeb versus su edad en meses.

Edad (en meses) 0 1 2 3 4Longitud (en pulg) 20 21 23 23 24

a. Identifica las variablesindependiente y dependiente.

b. Escribe un conjunto de paresordenados que corresponda a losdatos de la tabla.

c. Traza una grfica que muestre la relacin entre edad y longitud.

Edad (en meses)

Lon

git

ud

(en

pu

lg)

0 2 41 3 5

25

24

23

22

21

20

2. Esta tabla muestra el valor de un carroversus sus aos.

Edad (aos) 0 1 2 3 4

Valor ($) 20,000 18,000 16,000 14,000 13,000

a. Identifica las variables independiente ydependiente.

b. Escribe un conjunto de pares ordenadosque corresponda a los datos de la tabla.

c. Traza una grfica que muestre larelacin entre aos y valor.

Aos

Val

or

(en

mile

s d

e $)

0 2 41 3 5

22

20

18

16

14

12

NOMBRE FECHA PERODO


Gua de estudio e intervencinEstadstica: Analiza datos mediante tablas y grficas

1-91-9

Lecc

in

1-9

Anlisis de datos Para presentar datos se pueden usar grficas o tablas. Con lasgrficas de barras se comparan categoras diversas de datos, mientras que con lasgrficas circulares los datos se exhiben como porcentaje de todo el conjunto. Una grficalineal es til cuando se trata de mostrar como un conjunto de datos cambia con el tiempo.

La grfica circular de la derecha muestra el nmero de visitantes extranjeros en Estados Unidosen 2000, desglosados por pas.

a. Si hubo un total de 50,891,000 visitantes,cuntos eran mexicanos?50,891,000 20% 10,178,200

b. Si el porcentaje de visitantes de cada pas permanece constante cada ao, cuntos visitantes canadienses esperaras en el ao 2003 si el total es de 59,000,000 visitantes?59,000,000 29% 17,110,000

1. La grfica muestra el consumo de acero importado por empresas americanas en una dcada.

a. Describe la tendencia general de la grfica.general trend is an increase in the use ofimported steel over the 10-year period,with slight decreases in 1996 y 2000.

b. Cul sera una estimacin razonable delporcentaje de acero importado a consumirse en 2002?

2. La tabla muestra los cambios en la productividadlaboral al comienzo de cada ao de un quinquenio.

a. Qu ao muestra el mayor porcentaje de aumento de la productividad?

b. Qu indica el porcentaje negativo del primer trimestre de 2001?

ndice de productividad laboralAo (1er trimestre) % de cambio

1997 1

1998 4.6

1999 2

2000 2.1

2001 1.2

Acero importado como porcentaje del total consumido

Ao

Porc

enta

je

1990 1994 1998

40

30

20

10

0

Fuente: Chicago Tribune

Canad29%

Mxico20%

Visitantes extranjeros en Estados Unidos, 2000

Otros32%

ReinoUnido9% Japn

10%

Fuente: TInet

NOMBRE FECHA PERODO

EjemploEjemplo



Grficas engaosas Las grficas son muy tiles cuando se trata de presentar datos.Sin embargo, algunas grficas pueden prestarse a confusiones, malinterpretaciones y llevara suposiciones falsas. Dichas grficas pueden estar mal rotuladas o contener datosincorrectos. O pueden haberse hecho de modo que un conjunto de datos aparezca msgrande que otro conjunto.

La grfica de la derecha muestra el nmero de alumnos por computadora en lasescuelas pblicas de EE.UU. entre 1995 y 1999.Explica cmo deforma los datos la grfica.

Es difcil discernir los valores porque la escala verticalest demasiado condensada. Sera ms adecuado hacerque cada unidad de esta escala corresponda a un alumno,en vez de a cinco, y que vaya de 0 a 12.

Explica cmo falsea los datos cada grfica.

1. Esta grfica muestra las emisiones de 2. Esta grfica muestra la cantidad de gases de invernadero de EE.UU. en 1999. dinero gastada en turismo en 1998-1999.

Gasto mundial en turismo

Ao

Bill

on

es d

e $

1995 1997 1999

460

440

420

400

Fuente: The World Almanac

Emisiones de gases deinvernadero de EE.UU., 1999

Dixido de carbono

82%

xido nitroso6%

Metano9%

HCF, PFC y hexafluoruro de azufre

2%

Fuente: Department of Energy

Alumnos por computadora enlas escuelas pblicas de EE.UU.

Aos a contar de 1994

Alu

mn

os

1 2 3 4 5 6

20

15

10

5

0

Fuente: The World Almanac

Gua de estudio e intervencin (continuacin)Estadstica: Analiza datos mediante tablas y grficas

1-91-9

NOMBRE FECHA PERODO


EjemploEjemplo

Gua de estudio e intervencinLos nmeros racionales en la recta numrica

2-12-1


Lecc

in

2-1

Ubica nmeros racionales La figura de la derecha es parte de una recta numrica, la que se usa para visualizar losconjuntos de nmeros naturales, nmeros enteros y enteros. Los nmeros positivos, estn situados a la derechade 0 y los nmeros negativos a su izquierda.

Otro conjunto de nmeros que se puede representar en unarecta numrica es el de los nmeros racionales. Un nmero

racional es un nmero de la forma , con a y b enteros y b 0.

Ejemplos de nmeros racionales son , , y .123

78

35

14

ab

101234 2 3

Nmeros naturales

Nmeros positivosNmeros negativos

4

Nmeros enteros

Enteros

Indica las coordenadas de lospuntos marcados en cada recta numrica.

a.

Las marcas designan cada punto de la grfica.El conjunto de coordenadas es {3, 1, 1, 3, 5}.

b.

La flecha en negrita hacia la derecha indica que lagrfica contina indefinidamente en esa direccin.Las coordenadas son {2, 2.5, 3, 3.5, 4, 4.5, 5, }.

32.521.51 3.5 4 4.5 5

10123 2 3 4 5

Grafica cadaconjunto de nmeros.

a. {, 3, 2, 1, 0, 1, 2}

b. , 0, , 123

130

13

23

43

53 2

23

13

13

101234 2 3 4


EjerciciosEjerciciosIndica las coordenadas de los puntos marcados en cada recta numrica.

1. 2.

3. 4.

Grafica cada conjunto de nmeros.

5. {3, 1, 1, 3} 6. {5, 2, 1, 2} 7. {enteros menores que 0}

8. {, 2, 1, 0, 1} 9. 2 , 1 , , 10. {, 4, 2, 0, 2, }3456 2 1 0 1 22123 21

121

12 0

12 1

34 2 1 0 1 2 3 4

12

12

12

12

34 2 1 0 1 2 3 4345 2 1 0 1 2 334 2 1 0 1 2 3 4

34 2 1 0 1 2 3 41412 0

14

12

34 1

54

32

01 1 2 3 4 5 6 7012 1 2 3 4 5 6

NOMBRE FECHA PERODO


2-12-1

NOMBRE FECHA PERODO

El valor absoluto En la recta numrica, 3 est a tres unidades de cero en la direccin negativa y 3 est a tresunidades de cero en la direccin positiva. La recta numricade la derecha ilustra el significado del valor absoluto. Elvalor absoluto de un nmero n es la distancia entre n y ceroen la recta numrica, lo que se denota por n. En este caso,3 3 y 3 3.

1012345 2 3

3 unidades 3 unidades

direccin 1direccin 24 5

Gua de estudio e intervencin (continuacin)Los nmeros racionales en la recta numrica

Calcula cada valorabsoluto.

a. 66 se encuentra a seis unidades de ceroen la direccin negativa.6 6

b. se encuentra a tres y media unidades

de cero en la direccin positiva.

323232

32

Evala 4 x 2 en x 5.

4 x 2 4 5 2 Sustituye x por 5. 4 3 5 2 3 4 3 3 3 7 Reduce.


EjerciciosEjerciciosCalcula cada valor absoluto.

1. 2 2. 5 3. 24

4. 1.3 5. 6. Evala cada expresin en a 5, b , x 8 y y 2.5.

7. 18 4 y 8. x 8 12 9. x 2 8.2

10. 2 x 5 11. 2.5 y 12 12. 23 x 9

13. x 6 4.5 14. 10 a 2 15. 6 b

16. b 17. 3 b a 18. b 1 12121412

14

3541

23

Gua de estudio e intervencinSuma y resta nmeros racionales

2-22-2


Lecc

in

2-2

Suma nmeros racionales

Adicin de nmeros racionales Suma los nmeros. Si ambos son positivos, la suma es positiva; si ambos son con el mismo signo negativos, la suma es negativa.Adicin de nmeros racionales Sustrae el valor absoluto menor del valor absoluto mayor. La suma lleva elde signos distintos signo del nmero de mayor valor absoluto.

Usa la recta numricapara calcular 2 (3).

Paso 1 Traza una flecha de 0 a 2.Paso 2 Partiendo de la punta de la primera

flecha, traza otra flecha 3 unidadeshacia la izquierda, lo quecorresponde a sumar 3.

Paso 3 La segunda flecha termina en elnmero 5, as que 2 (3) 5.

10123456789 2 3

3 2

Calcula cada suma.

a. 8 58 5 (8 5)

(8 5) 3

b.

14

24

34

24

34

24

34

12

34

12

34


EjerciciosEjerciciosCalcula cada suma.

1. 12 24 2. 6 14 3. 12 (15)

4. 21.5 34.2 5. 8.2 (3.5) 6. 23.5 (15.2)

7. 90 (105) 8. 108 (62) 9. 84 (90)

10. 11. 12.

13. 14. 15.

16. 17. 1.6 (1.8) 18. 0.008 (0.25)5635

1020

1840

711

15

14

23

35

49

617

314

13

57

NOMBRE FECHA PERODO


Sustrae nmeros racionales A cada nmero racional positivo le corresponde unnmero racional negativo de modo que su suma es cero. Los nmeros, llamados opuestos,son inversos aditivos mutuos.

Propiedad del inverso aditivo Para cualquier nmero a, a (a) 0.

Para sustraer un nmero racional, suma su inverso y usa las reglas de la adicin de la pgina 81.

Sustraccin de nmeros racionales Para nmeros a y b cualesquiera, a b a (b).

Calcula 8.5 10.2.

8.5 10.2 8.5 (10.2) Para sustraer 10.2, suma su inverso. (10.2 8.5) 10.2 es el mayor, entonces el resultado es negativo. 1.7 Reduce.

Calcula cada diferencia.

1. 11 41 2. 15 (21) 3. 33 (17)

4. 18 (12) 5. 15.5 (2.5) 6. 65.8 (23.5)

7. 90 (15) 8. 10.8 (6.8) 9. 84 (72)

10. 58.8 (11.2) 11. 18.2 3.2 12. 9 (5.6)

13. 14. 15.

16. 17. 18.

19. Sanelle estaba jugando un juego de video. Sus puntajes fueron 50, 75, 18 y 22.Cul es su puntaje final?

20. La ofensiva de un equipo de ftbol americano comenz un avance en su lnea de 20yardas. Ganaron 8 yardas, perdieron 12 y 2 ms antes de tener que patear el baln. Enqu lnea se encontraban en ese instante?

1820

2410

39

78

12

1223

59

94

47

15

34

13

Gua de estudio e intervencin (continuacin)Suma y resta nmeros racionales

2-22-2

NOMBRE FECHA PERODO

EjemploEjemplo


Gua de estudio e intervencinMultiplica nmeros racionales

2-32-3


Lecc

in

2-3

Multiplica enteros Puedes usar estas reglas al multiplicar enteros y nmerosracionales.

Multiplicacin de nmeros con el mismo signo El producto de dos nmeros con el mismo signo es positivo.Multiplicacin de nmeros de signos distintos El producto de dos nmeros de signos distintos es negativo.

Calcula cada producto.

a. 7(6)Los signos son distintos, entonces elproducto es negativo.7(6) 42

b. 18(10)Los signos son iguales, entonces elproducto es positivo.18(10) 180

Reduce la expresin(2x)5y.

(2x)5y (2)(5)x y Propiedad conmutativa () (2 5)xy Propiedad Asociativa 10xy Reduce.


EjerciciosEjerciciosCalcula cada producto.

1. 11(4) 2. 5(3) 3. (24)(2)

4. (60)(3) 5. (2)(3)(4) 6. 8(15)

7. 15(3) 8. (12)(10) 9. (22)(3)(2)

10. (5)(5)(0)(4) 11. (15)(45) 12. (12)(23)


13. 4(2x) 8x 14. 6(2n ) 10n 15. 6(3y y)

16. 3(3d 2d) 17. 2x(2) 2x(3y) 18. 4m(2n) 2d(4e)

19. 5(2x x) 3(xy) 20. (2)(4x 2x) 21. (3)(8n 6m)

NOMBRE FECHA PERODO


Multiplica nmeros racionales El producto de un nmero racional por 1 te da elinverso aditivo del nmero.

Propiedad multiplicativa de 1 El producto de cualquier nmero por 1 (1)(5) 5(1) 5 es igual al inverso aditivo del nmero.

Gua de estudio e intervencin (continuacin)Multiplica nmeros racionales

2-32-3

NOMBRE FECHA PERODO

Evala a3b2 en a 2 yb 5.

a3b2 (2)3(5)2 Sustitucin (8)(25) (2)3 8 y (5)2 25 200 signos distintos producto negativo

Evala n2 en n .n2 2 Sustitucin

2 signos distintos producto negativo

320

14

12

12

12

35

14

35

12

35

12

35


EjerciciosEjerciciosCalcula cada producto.

1. (12) 2. 3.

4. (6.0)(0.3) 5. 6. 8(15)

7. 15(4) 8. (10) 9. (3)

10. (2)(0) 11. 12. 1 2

Evala cada expresin en a 2.5, b 4.2, c 5.5 y d 0.2.

13. 2a2 14. 5(2b) 15. 6(cd)

16. 2(3d 2c) 17. ad 3c 18. b2(c 2d)

19. 5bcd 20. 3d2 4 21. (3)(8a 2b)

13

12

45

13

14

45

23

25

12

34

13

12

25

27

23

15

14

Gua de estudio e intervencinDivide nmeros racionales

2-42-4


Lecc

in

2-4

Divide enteros Las reglas del signo de un cociente son las mismas que las del signo deun producto.

Divisin de dos nmeros con el mismo signo El cociente de dos nmeros con el mismo signo es positivo.Divisin de dos nmeros de signos distintos El cociente de dos nmeros de signos distintos es negativo.

Calcula cada cociente.

a. 88 (4)88 (4) 22 el mismo signo cociente positivo

b.

8 signos distintos cociente negativo648

648

Reduce .

.

8

324

323 (1)

4(8)3 (1)

4(10 2)

3 (1)

4(10 2)

3 (1)Ejemplo 1Ejemplo 1 Ejemplo 2Ejemplo 2

EjerciciosEjerciciosCalcula cada cociente.

1. 80 (10) 2. 32 16 3. 80 5

4. 18 (3) 5. 12 (3) 6. 8 (2)

7. 15 (3) 8. 121 (11) 9. 24 1.5

10. 0 (8) 11. 125 (25) 12. 104 4

Reduce.

13. 14. 15.

16. 17. 18. 4(12 4)2(8)

4(8 (4))

3 (3)12(2 (3))

4 1

6(6 2)10 (2)

5(10 (2))

2 12 (4)(2) (1)

NOMBRE FECHA PERODO


Divide nmeros racionales Las reglas de divisin de enteros tambin se aplican a la divisin de nmeros racionales. Para dividir entre cualquier nmero no nulo, , multiplica

por el recproco de , .

Divisin de nmeros racionales dc

ab

cd

ab

dc

cd

cd

Gua de estudio e intervencin (continuacin)Divide nmeros racionales

2-42-4

NOMBRE FECHA PERODO

a. Calcula 5 8.

5 8

b. Calcula .

12.383.646.8

83.64

6.8

23

1624

18

163

81

163

13

13

Reduce .

(20a 15) 5

(20a 15) 20a 15 4a 3

15

15

20a 155

20a 155


EjerciciosEjerciciosCalcula cada cociente.

1. 2 2. 32 3.

4. 1.8 (3) 5. 12.9 (0.3) 6. 7. 8. 52.5 (4.2) 9.

10. 105 (1.5) 11. 12.5 (2.5) 12.


13. 14. 15.

16. 17. 18.

Evala cada expresin en a 6, b 2.5, c 3.2 y d 4.8.

19. 20. 21. a 2bc da db

abd

57y 123

36a 1212

18a 6b

3

144a6

16x2

44a4

43

14

53

815

310

1532

23

38

15

25

14

18

15

Gua de estudio e intervencinEstadstica: Presenta y analiza datos

2-52-5


Lecc

in

2-5

Haz esquemas lineales y diagramas de tallo y hojas Unaforma de presentar datos es con un esquema lineal. ste consta de unarecta numrica marcada con una escala que incluye todos los datos y lasequis sobre cada dato cada vez que ste aparece. Las equis son lasfrecuencias de los datos. Tambin puede usarse un diagrama de talloy hojas para organizar datos. El mayor valor de posicin comn se llamatallo y el segundo valor de posicin son las hojas.

Traza un esquema linealde estos datos.3 3 4 7 9 10 2 3

6 4 3 9 1 2 4 2

Paso 1 El valor de los datos va de 3 a 10,entonces traza una recta quecontenga dichos nmeros.

Paso 2 Ahora marca una encima de cadadato cada vez que ste aparece.

76543210123

8 9 10

76543210123 8 9 10

Haz un diagrama detallo y hojas de estos datos.62 74 89 102 92 65 68 98 78 6578 80 83 93 87 89 104 109 104 68 97 68 64 98 93 90 102 104

El mayor valor de posicin comn es el delas decenas, entonces los dgitos de lasdecenas son los tallos. As, 62 tiene un tallode 6 y 104 tiene un tallo de 10. He aqu eldiagrama.

Tallo | Hojas6 | 2 4 5 5 8 8 87 | 4 8 88 | 0 3 7 9 99 | 0 2 3 3 7 8 8

10 | 2 2 4 4 4 9 62 62


EjerciciosEjerciciosPara los Ejercicios 1-3, usa la tabla de la derecha.

1. Traza un esquema lineal de los pesos de losluchadores.

2. Cuntos luchadores pesan ms de 140 libras?

3. Cul es el peso mximo?

Haz un diagrama de tallo y hojas de cada conjunto de datos.

4. 32 45 41 29 30 30 31 34 38 5. 102 104 99 109 108 112 115 120 36 32 34 41 40 42 41 29 30 112 114 98 94 96 101 100 102

200190180170160150140130120110100

Pesos de luchadores universitarios de tercerao (en libras)

170 160 135 135 160 122 188 154108 135 140 122 103 190 154

NOMBRE FECHA PERODO


Anlisis de datos Los nmeros que representan un valor centralizadoo medio de un conjunto de datos se llaman medidas de tendenciacentral. Tres de stas son la media, la mediana y la moda.

Definicin Ejemplo

La media Suma de los valores dividida por Datos: 24, 36, 21, 30, 21, 30; 27el nmero de valores.

El nmero central una vez que los datos se han ordenado numricamente.

La mediana Si hay un nmero par de valores, Datos: 21, 21, 25, 30, 31, 42; 27.5la mediana es el promedio de losdos valores centrales.

La moda El dato o datos que aparece el mayor Datos: 21, 21, 24, 30, 30, 36; 21 y 30 son modasnmero de veces.

Qu medida de tendencia central representa mejor estos datos?

Empieza calculando la media, la mediana y la moda.Media 105Mediana 102Modas 99 y 112La mediana representa mejor los datos porque la media es demasiado alta.

Calcula la media, la mediana y la moda de cada conjunto de datos y luego decidecul los representa mejor.

1. 2. 3.

mean 38.7; mean 108.8 mean 69.3;median 36; median 103.5 median 68;mode 36; modes 90, 102, 123, mode 62, 65, 87;median or mode 128; mean or median mean or median

4. 5.

3210

4 5 6 7

Mes Das con ms de 90

Mayo 4

Junio 7

Julio 14

Agosto 12Septiembre 8

Tallo | Hojas5 | 0 1 96 | 2 2 5 57 | 1 3 58 | 0 3 7 7 5 |0 50

Tallo | Hojas9 | 0 0 1 3 9

10 | 2 2 511 |12 | 0 3 3 8 8 9 9 |0 90

Tallo | Hojas2 | 4 7 73 | 1 2 6 6 6 94 | 05 | 8 8 9 2 |4 24

Tallo | Hoja9 | 4 6 8 9 9

10 | 0 1 2 4 8 911 | 2 212 | 0 1 9 |4 94

25 302

24 36 21 30 21 306

Gua de estudio e intervencin (continuacin)Estadstica: Presenta y analiza datos

2-52-5

EjemploEjemplo


NOMBRE FECHA PERODO

Gua de estudio e intervencinLas probabilidades: Probabilidad simple y posibilidad

2-62-6


Lecc

in

2-6Las probabilidades La probabilidad de un evento simple es un cociente que nos indica qu tan probable es que ocurra el evento. Es la razn del nmero de resultados

favorables al evento al nmero total de resultados posibles y se puede escribir como fraccin,decimal o porcentaje.

La probabilidad de un evento simple Para un evento a, P(a) .nmero de resultados favorablesnmero de resultados posibles

NOMBRE FECHA PERODO

El Sr. Babcock escogealeatoriamente 5 de 25 alumnos de suclase de lgebra para cierto proyecto.Cul es la probabilidad de serescogido?

P(de ser escogido)

La probabilidad de ser escogido es de .155

25

nmero de alumnos elegidos

nmero total de alumnos

Un tazn contiene 3peras, 4 bananas y 2 manzanas. Si eligesaleatoriamente una fruta, cul es laprobabilidad de que no sea una banana?

Hay 3 4 2 9 frutas.Hay 3 2 5 frutas que no son bananas.

P(no es una banana)

La probabilidad de no elegir una banana es .59

59

nmero de las otras frutas

nmero total de frutas


EjerciciosEjerciciosCalcula cada probabilidad si se elige aleatoriamente un naipe de una barajaestndar.

1. P(10) 2. P(roja 2) 3. P(rey o reina)

4. P(carta negra) 5. P(as de picas) 6. P(pica)

Se lanzan dos dados y se anota su suma. Calcula cada probabilidad.

7. P(suman 1) 8. P(suman 6)

9. P(la suma es menor que 4) 10. P(la suma es mayor que 11)

11. P(la suma es menor que 15) 12. P(la suma es mayor que 8)

Un tazn contiene 4 fichas rojas, 3 azules y 8 verdes. Escoges aleatoriamente unaficha. Calcula cada probabilidad.

13. P(no es roja) 14. P(azul o roja) 15. P(no es verde)

Calcula cada probabilidad si se elige aleatoriamente un nmero del conjunto {1, 2,3, , 10}.

16. P(nmero par) 17. P(mltiplo de 3) 18. P(menor que 4)

19. Una computadora selecciona aleatoriamente una letra de la palabra COMPUTER.Calcula la probabilidad de que la letra sea una vocal.


Posibilidades La posibilidad de que ocurra un evento es la razn del nmero de maneras enque puede ocurrir el evento (xitos) al nmero de maneras en que no puede ocurrir (fracasos).

Posibilidades

Se echa un dado. Calcula la posibilidad de que salga un nmeromayor que 4.

El espacio muestral es {1, 2, 3, 4, 5, 6}, entonces hay seis resultados posibles. Como 5 y 6 sonlos nicos nmeros mayores que 4, hay dos xitos y cuatro fracasos, de modo que la

posibilidad de que salga un nmero mayor que 4 es 1:2.

Calcula la posibilidad de cada evento si se hace girar una vez el girador de la derecha.

1. mltiplo de 4 2. nmero impar

3. par 5 4. menor que 4

5. nmero par mayor que 5

Calcula la posibilidad de cada evento si una computadora escoge aleatoriamenteun nmero entre 1 y 20.

6. el nmero es menor que 10 7. el nmero es un mltiplo de 4

8. el nmero es par 9. el nmero es de un dgito

Un tazn de una feria ambulante contiene 50 monedas de 25, 75 de 10, 100 de 5y 125 de 1. Se elige aleatoriamente una moneda.

10. Calcula la posibilidad de que no se escoja una moneda de 10.

11. Cul es la posibilidad de elegir una moneda de 25 si se sacan todas las monedas de 10?

12. Cul es la posibilidad de elegir una moneda de 1?

Supn que dejas caer una ficha en el cuadriculado de la derecha.Calcula la posibilidad de cada evento.

13. cae en un cuadrado sombreado

14. cae en un cuadrado de la diagonal

15. cae en el cuadrado nmero 16

16. cae en un nmero mayor que 12

17. cae en un mltiplo de 5

1

5

9

13

2

6

10

14

3

7

11

15

4

8

12

16

129

4

38

7

10

56

24

nmero de xitosnmero de fracasos

Gua de estudio e intervencin (continuacin)Las probabilidades: Probabilidad simple y posibilidad

2-62-6

NOMBRE FECHA PERODO

EjemploEjemplo


Gua de estudio e intervencinRaces cuadradas y nmeros reales

2-72-7


Lecc

in

2-7

Races cuadradas Una raz cuadrada es uno de dos factores iguales de un nmero,factores cuyo producto es el nmero. Por ejemplo, 6 y 6, son races cuadradas de 36 porque6 6 62 es 36 y (6)(6) (6)2 es tambin 36. Un nmero como 36, con una razcuadrada que es un nmero racional, se llama cuadrado perfecto.El smbolo es el signo radical y se reserva para indicar la raz cuadrada no negativa o principal del nmero bajo l. As, 36 6 y 36 6. El smbolo 36 representaambas races cuadradas.

Calcula . es la raz cuadrada negativa de .

2 572549572549

2549

2549

2549 Calcula 0.16.

0.16 representa ambas racescuadradas de 0.16.0.16 0.42 y 0.16 (0.4)2

0.16 0.4


EjerciciosEjerciciosCalcula cada raz cuadrada.

1. 64 2. 81 3. 16.81

4. 100 5. 6. 121

7. 8. 9.

10. 3600 11. 6.25 12. 0.0004

13. 14. 15. 1.213649144196

121100

2516

25144

425

NOMBRE FECHA PERODO


2-72-7

NOMBRE FECHA PERODO

Clasifica y ordena nmeros Los nmeros como 2 y 3 no son racionales porque 2 y 3 no son cuadrados perfectos. Cuando calculas estas races cuadradas con tu calculadora, susexpansiones decimales continan indefinidamente sin patrn discernible. Los nmeros que nopueden escribirse como decimales terminales ni peridicos se llaman nmeros irracionales.El conjunto de los nmeros reales consta del conjunto de los nmeros irracionales junto con el de los nmeros racionales. Este esquema ilustra los diversos tipos de nmeros reales.

Nmeros naturales {1, 2, 3, 4, }Nmeros enteros {0, 1, 2, 3, 4, }Enteros {, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, }Nmeros racionales {todos los nmeros que pueden escribirse de la forma , con a y b enteros y b 0}

Nmeros irracionales {todos los nmeros que no pueden escribirse de la forma , con a y b enteros y b 0}

Identifica el conjunto o conjuntos de nmeros a los que pertenececada nmero real.

a. Puesto que 4 y 11 son enteros, se trata de un nmero racional.

b. 81 Como 81 9, se trata de un nmero natural, un nmero entero, un entero y unnmero racional.

c. 32 Puesto que 32 5.656854249, decimal que no es peridico ni terminal, estenmero es irracional.

Identifica el conjunto o conjuntos de nmeros a los que pertenece cada nmero real.

1. 2. 3. 4. 54

5. 3.145 6. 25 7. 0.62626262 8. 22.51

Ordena cada conjunto de nmeros de menor a mayor.

9. , 5, 25, 10. 0.09, 0.3131, 11. 1.25, 0.05, , 5

12. , 2, 124, 3.11 13. 1.44, 0.35 14. 0.35, 2 , , 59513

15

54

14

35

74

34

23

67

8412

411

ab

ab

Gua de estudio e intervencin (continuacin)Races cuadradas y nmeros reales

EjemploEjemplo


NOMBRE ____________________________________________ FECHA ____________ PERODO ___

3-13-1


Lecc

in

3-1

Gua de estudio e intervencinEscribe ecuaciones

Escribe ecuaciones Escribir ecuaciones es una estrategia para resolver problemas. Pue-des usar una variable que represente uno de los nmeros o medidas no especificadas en elproblema y luego traduce la expresin verbal del problema a una expresin algebraica.

Traduce cada frase auna ecuacin o frmula.

a. Diez veces cierto nmero x esigual a 2.8 veces la diferenciaentre y y z.10 x 2.8 ( y z)La ecuacin es 10x 2.8( y z).

b. Un nmero m menos 8 es lomismo que un nmero n divididoentre 2.m 8 n 2La ecuacin es m 8 .

c. El rea de un rectngulo es iguala su largo por su ancho. Traduceesta frase a una frmula.Sea A rea, largo y w ancho.Frmula: El rea es igual al largo porel ancho.A wLa frmula del rea de un rectnguloes A w.

n2

Usa el plan de cuatro pasospara resolver problemas.La poblacin de Estados Unidos en 2001 erade unos 284,000,000 habitantes. Si su reaes de unas 3,500,000 millas cuadradas,calcula el nmero medio de habitantes pormilla cuadrada en Estados Unidos.Fuente: www.census.gov

Paso 1 Explora Sabes que hay 284,000,000 habi-tantes. Quieres averiguar el nmero dehabitantes por milla cuadrada.

Paso 2 Planifica Escribe una ecuacin que corres-ponda al problema. Sea p el nmero dehabitantes por milla cuadrada.3,500,000 p 284,000,000

Paso 3 Resuelve 3,500,000 p 284,000,000.3,500,000p 284,000,000 Divide cado lado

p 81.14 entre 3,500,000.Hay unos 81 habitantes por mi2.

Paso 4 Examina Si hay 81 habitantes por millacuadrada y hay 3,500,000 milla cuadrada,81 3,500,000 283,500,000 unos284,000,000 habitantes. La respuestatiene sentido.


EjerciciosEjerciciosTraduce cada frase a una ecuacin o frmula.

1. El triple de un nmero t menos doce es igual a cuarenta.

2. La mitad de la diferencia entre a y b es 54.

3. El triple de la suma d ms 4 es 32.

4. El rea A de un crculo es el producto de por el radio r al cuadrado.

PRDIDA DE PESO Para los Ejercicios 56, usa la siguiente informacin.

Lou quiere perder peso pues va a dar una audicin para un papel en una pieza teatral. Pesa160 libras y quiere pesar 150 libras.

5. Si p es el nmero de libras que quiere perder, escribe una ecuacin que corresponda aesta situacin.

6. Cuntas libras debe perder para lograr su objetivo?


Escribe enunciados verbales Puedes traducir ecuaciones a enunciados verbales.

Traduce cada ecuacin a un enunciado verbal.

a. 4n 8 12.

4n 8 12Cuatro veces n menos ocho es igual a 12.

b. a2 b2 c2

a2 b2 c2

La suma de los cuadrados de a y b es igual al cuadrado de c.

Traduce cada ecuacin a un enunciado verbal.

1. 4a 5 23 2. 10 k 4k

4 times a minus 5 is equal to 23. The sum of 10 y k is equal to 4times k.

3. 6xy 24 4. x2 y2 8

6 times the product of x y y is The sum of the squares of x y equal to 24. y is equal to 8.

5. p 3 2p 6. b (h 1)

The sum of p y 3 is equal to b is of the difference of h y 1.2 times p.

7. 100 2x 80 8. 3(g h) 12

100 minus 2 times x is equal 3 times the sum of g y h is 12. to 80.

9. p2 2p 9 10. C (F 32)

The square of p minus 2 times C is equal to of the difference ofp is equal to 9. F y 32.

11. V Bh 12. A hb1213

59

13

3-13-1


Gua de estudio e intervencin (continuacin)Escribe ecuaciones

EjemploEjemplo



3-23-2


Lecc

in

3-2

Gua de estudio e intervencinResuelve ecuaciones por adicin y sustraccin


Resuelve por adicin Si se suma el mismo nmero a cada lado deuna ecuacin, la ecuacin consiguiente es equivalente a la original. Engeneral, si la ecuacin contiene alguna resta, esto te permitir resolverla.

Propiedad de adicin de la igualdad Para nmeros a, b y c cualesquiera, si a b, entonces a c b c.

Resuelve m 32 18.

m 32 18 Ecuacin originalm 32 32 18 32 Suma 32 a cada lado.

m 50 Reduce.

La solucin es 50.

Resuelve 18 p 12.

18 p 12 Ecuacin original18 12 p 12 12 Suma 12 a cada lado.

p 6 Reduce.

La solucin es 6.


EjerciciosEjerciciosResuelve cada ecuacin y verifica tu solucin.

1. h 3 2 2. m 8 12 3. p 5 15

4. 20 y 8 5. k 0.5 2.3 6. w

7. h 18 17 8. 12 24 k 9. j 0.2 1.8

10. b 40 40 11. m (12) 10 12. w

Escribe una ecuacin que corresponda a cada problema, resulvela y verifica tusolucin.

13. Doce sustrado de un nmero es 25. Encuentra el nmero.

14. Qu nmero disminuido en 52 es igual a 12?

15. Cincuenta sustrado de un nmero es ochenta. Calcula el nmero.

16. Qu nmero menos un medio es igual a menos un medio?

17. La diferencia entre un nmero y ocho es 14. Cul es el nmero?

18. Un nmero disminuido en catorce es igual a dieciocho. Cul es el nmero?

14

32

58

12


Resuelve por sustraccin Si se sustrae el mismo nmero de cada lado de unaecuacin, la ecuacin consiguiente es equivalente a la original. En general, si la ecuacincontiene alguna suma, esto te permitir resolverla.

Propiedad de sustraccin de la igualdad Para nmeros a, b y c cualesquiera, si a b, entonces a c b c.

Resuelve 22 p 12.

22 p 12 Ecuacin original22 p 22 12 22 Sustrae 22 de cada lado.

p 34 Reduce.

El resultado es 34.

Resuelve cada ecuacin y verifica tu solucin.

1. x 12 6 2. z 2 13 3. 17 b 4

4. s (9) 7 5. 3.2 (0.2) 6. x

7. 19 h 4 8. 12 k 24 9. j 1.2 2.8

10. b 80 80 11. m (8) 2 12. w

Escribe una ecuacin que corresponda a cada problema, resulvela y verifica tusolucin.

13. Doce sumado a un nmero es igual a 18. Encuentra el nmero.

14. Qu nmero aumentado en 20 es 10?

15. La suma de un nmero ms cincuenta es igual a ochenta. Calcula el nmero.

16. Qu nmero ms un medio es cuatro?

17. La suma de un nmero ms 3 es igual a 15. Cul es el nmero?

58

32

58

38

3-23-2


Gua de estudio e intervencin (continuacin)Resuelve ecuaciones por adicin y sustraccin

EjemploEjemplo



3-33-3


Lecc

in

3-3

Gua de estudio e intervencinResuelve ecuaciones por multiplicacin y divisin

Resuelve por multiplicacin Si se multiplica por el mismo nmero cada lado de unaecuacin, la ecuacin consiguiente es equivalente a la dada. Puedes usar esta propiedadpara resolver ecuaciones con multiplicaciones o divisiones.

Propiedad de multiplicacin de la igualdad Para nmeros a, b y c cualesquiera, si a b, entonces ac bc.

Resuelve 3 p 1 .

3 p 1 Ecuacin original

p Escribe cada nmero mixto comofraccin impropia.

p Multiplica cada lado por .p Reduce.

El resultado es .37

37

27

32

27

72

27

32

72

12

12

12

12

Resuelve n 16.

n 16 Ecuacin original

4 n 4(16) Multiplica cada lado por 4.n 64 Reduce.

El resultado es 64.

14

14

14



1. 2 2. m 6 3. p

4. 5 5. k 2.5 6.

7. 1 h 4 8. 12 k 9.

10. 3 b 5 11. m 10 12.

Escribe una ecuacin que corresponda a cada problema y luego resulvela.

13. La quinta parte de un nmero es igual a 25. Encuentra el nmero.

14. Qu nmero dividido entre 2 es 18?

15. Un nmero dividido entre ocho es igual a 3. Calcula el nmero.

16. Una y media veces un nmero es 6. Encuentra el nmero.

14

p5

710

13

25

j3

32

12

58

m8

14

y12

35

15

18

h3


Resuelve por divisin Para resolver ecuaciones con multiplicaciones o divisiones,puedes tambin usar la propiedad de divisin de la igualdad. Si se divide entre el mismonmero cada lado de una ecuacin, la ecuacin consiguiente es equivalente a la dada.

Propiedad de divisin de la igualdad Para todo nmero a, b y c, donde c 0, si a b, entonces .bc

ac

Gua de estudio e intervencin (continuacin)Resuelve ecuaciones por multiplicacin y divisin


3-33-3

Resuelve 8n 64.

8n 64 Ecuacin original

Divide cada lado entre 8.

n 8 Reduce.

El resultado es 8.

648

8n8

Resuelve 5n 60.

5n 60 Ecuacin original


n 12 Reduce.

El resultado es 12.

605

5n5



1. 3h 42 2. 8m 16 3. 3t 51

4. 3r 24 5. 8k 64 6. 2m 16

7. 12h 4 8. 2.4p 7.2 9. 0.5j 5

10. 25 5m 11. 6m 15 12. 1.5p 75

Escribe una ecuacin que corresponda a cada problema y luego resulvela.

13. Cuatro veces un nmero es 64. Encuentra el nmero.

14. . Qu nmero multiplicado por 4 es igual a 16?

15. Un nmero por ocho es 36. Calcula el nmero.

Gua de estudio e intervencinResuelve ecuaciones de varios pasos


3-43-4


Lecc

in

3-4

Trabaja al revs Trabajar al revs es una de las tantas estrategias de resolucin deproblemas. Para usar esta estrategia, comienza con el resultado que se da al final delproblema y anula cada paso hasta llegar al nmero del principio.

Se divide un nmeroentre 2 y se sustrae 8 del cociente,lo que da 16. Cul es el nmero?

Resuelve el problema trabajando alrevs.El nmero final es 16. Anula lasustraccin de 8 sumando 8, obteniendo24. Para anular la divisin entre 2,multiplica por 2, obteniendo 48.El nmero original es 48.

Un cultivo de bacteriasduplica su poblacin cada media hora. Alcabo de 3 horas hay 6400 bacterias.Cuntas bacterias haba hace 3 horas?

Resuelve el problema trabajando al revs.Las bacterias han venido multiplicndose durante3 horas. Como hay dos medias horas en una hora,en 3 horas hay 6 medias horas. Ya que lasbacterias han estado reproducindose durante 6medias horas, su nmero se ha duplicado 6 veces.Anula la duplicacin dividiendo 6 veces por lamitad el nmero de bacterias.

6,400 6,400

100

Tres horas atrs haba 100 bacterias.

164

12

12

12

12

12

12


EjerciciosEjerciciosResuelve cada problema trabajando al revs.

1. Se divide un nmero entre 3 y se suma 4 al cociente, lo que da 8. Encuentra el nmero.

2. Se multiplica un nmero por 5 y se sustrae 3 del producto, lo que da 12. Calcula elnmero.

3. Se sustrae ocho de un nmero y la diferencia se multiplica por 2, lo que da 24.Encuentra el nmero.

4. El triple de un nmero ms 3 es 24. Calcula el nmero.

5. ARRIENDO DE CARROS Angela arrend un carro en $29.99 diarios ms un costo deseguros nico de $5.00. Si pag $124.96, por cuntos das arrend el carro?

6. DINERO Mike sac dinero de su cuenta bancaria. Gast un cuarto en gasolina y lequedaron $90. Cunto dinero sac?

7. TELEVISIN En 1999, 68% de las casas con televisor estaban suscritas a TV por cable. Sise aaden 8000 suscriptores ms, el nmero total de casas con TV por cable sera67,600,000. Cuntas casas tenan TV en 1999? Fuente: World Almanac


Resuelve ecuaciones de varios pasos Para resolver ecuaciones con ms de unaoperacin, llamadas a menudo ecuaciones de varios pasos, anula las operacionestrabajando al revs, o sea, invirtiendo el orden de las operaciones que indica la ecuacin.

Resuelve 5x 3 23.

5x 3 23 Ecuacin original5x 3 3 23 3 Sustrae 3 de cada lado.

5x 20 Reduce.


x 4 Reduce.


1. 5x 2 27 2. 6x 9 27 3. 5x 16 51

4. 14n 8 34 5. 0.6x 1.5 1.8 6. p 4 10

7. 16 8. 8 13 9. 3 13

10. 10 11. 0.2x 8 2 12. 3.2y 1.8 3

13. 4 14. 8 12 15. 0 10y 40

Escribe una ecuacin y resuelve cada problema.

16. Encuentra tres enteros consecutivos cuya suma sea 96.

17. Halla dos enteros consecutivos impares cuya suma sea 176.

18. Encuentra tres enteros consecutivos cuya suma sea 93.

k4

7x (1)

8

4b 8

2

g5

3n12

d 1214

78

205

5x5

Gua de estudio e intervencin (continuacin)Resuelve ecuaciones de varios pasos


3-43-4

EjemploEjemplo


Gua de estudio e intervencinResuelve ecuaciones con la variable en ambos lados


3-53-5


Lecc

in

3-5

La variable en ambos lados Para resolver ecuaciones cuya variable aparece en amboslados, empieza usando la propiedad de la adicin o de la sustraccin de la igualdad, obteniendouna ecuacin equivalente con la variable en uno de sus lados y resolviendo luego esta ltima.

Resuelve 5y 8 3y 12.

5y 8 3y 125y 8 3y 3y 12 3y

2y 8 122y 8 8 12 8

2y 20

y 10

La solucin es 10.

202

2y2

Resuelve 11 3y 8y 1.

11 3y 8y 111 3y 3y 8y 1 3y

11 11y 111 1 11y 1 1

12 11y

1 y

La solucin es 1 .111

111

11y11

1211



1. 6 b 5b 30 2. 5y 2y 3y 2 3. 5x 2 2x 10

4. 4n 8 3n 2 5. 1.2x 4.3 2.1 x 6. 4.4s 6.2 8.8s 1.8

7. b 4 b 88 8. k 5 k 1 9. 8 5p 4p 1

10. 4b 8 10 2b 11. 0.2x 8 2 x 12. 3y 1.8 3y 1.8

13. 4 3x 7x 6 14. 8 4k 10 k 15. 20 a 10a 2

16. n 8 n 2 17. y 8 9 y 18. 4r 5 5 4r

19. 4 3x 6x 6 20. 18 4k 10 4k 21. 12 2y 10y 12

35

25

12

23

14

34

18

12


Smbolos de agrupamiento Al resolver ecuaciones que contienen smbolos deagrupamiento, comienza usando la propiedad distributiva para eliminarlos y luego resuelve.

Resuelve 4(2a 1) 10(a 5).

4(2a 1) 10(a 5) Ecuacin original8a 4 10a 50 Propiedad distributiva

8a 4 10a 10a 50 10a Suma 10a a cada lado.18a 4 50 Reduce.

18a 4 4 50 4 Suma 4 a cada lado.18a 54 Reduce.

Divide de cada lado entre 18.

a 3 Reduce.La solucin es 3.


1. 3(x 5) 3(x 1) 2. 2(7 3t) t 3. 3(a 1) 5 3a 2

4. 75 9g 5(4 2g) 5. 5(f 2) 2(3 f ) 6. 4(p 3) 36

7. 18 3(2c 2) 8. 3(d 8) 3d 9. 5(p 3) 9 3(p 2) 6

10. 4(b 2) 2(5 b) 11. 1.2(x 2) 2 x 12.

13. 14. 2(4 2k) 10 k 15. 2(w 1) 4 4(w 1)

16. 6(n 1) 2(2n 4) 17. 2[2 3( y 1)] 22 18. 4(r 2) 4(2 4r)

19. 3(x 8) 24 20. 4(4 4k) 10 16k 21. 6(2 2y) 5(2y 2)

2a 53

a 812

y 8

3 y4

5418

18a18

Gua de estudio e intervencin (continuacin)Resuelve ecuaciones con la variable en ambos lados


3-53-5

EjemploEjemplo


Gua de estudio e intervencinRazones y proporciones


3-63-6


Lecc

in

3-6Razones y proporciones Una razn es una comparacin de dos nmeros por divisin. La

razn de x a y puede escribirse como x a y, x:y o . En general, las razones se escriben reducidas.

Una ecuacin con la que se sostiene que dos razones son iguales se llama proporcin. Paraaveriguar si dos razones forman una proporcin, redcelas o usa los productos cruzados.

xy

Determina si las

razones y estn en proporcin.

reducida.

reducida.

Las razones y estn en proporcin

porque su forma reducida es la misma.

1218

2436

23

1218

23

2436

1218

2436

Usa productos cruzados

para averiguar si las razones y estn en proporcin.

Escribe la proporcin.

10(45) 18(25) Productos cruzados450 450 Reduce.

Los productos cruzados son iguales, as que

. Como las razones son iguales,

stas estn en proporcin.

2545

1018

2545

1018

2545

1018


EjerciciosEjerciciosUsa productos cruzados para determinar si cada par de razones est en proporcin.

1. , 2. , 3. ,

4. , 5. , 6. ,

7. , 8. , 9. ,

10. 2:3, 20:30 11. 5 a 9, 25 a 45 12. ,

13. 5:5, 30:20 14. 18 a 24, 50 a 75 15. 100:75, 44:33

16. , 17. , 18. , 0.450.90.10.2

68

1.52

120

0.051

98

7264

2030

1421

912

1520

5100

0.12

1227

49

316

1232

1520

2536

2549

1020

1015

58

1632

12


Resuelve proporciones Si una proporcin tiene una variable, puedes usar productos cruza-dos para resolverla. En la proporcin , x y 13 se llaman extremos, mientras que 5 y 10 se

llaman medios. En una proporcin, el producto de los extremos es igual al producto de los medios.

Propiedad de medios y extremos de una proporcin Para cualquier nmero a, b, c y d, si , entonces ad bc.

Resuelve .

Proporcin original

13(x) 5(10) Productos cruzados13x 50 Reduce.


x 3 Reduce.

La solucin es 3 .

Resuelve cada proporcin.

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10. 11. 12.

13. 14. 15.

Usa proporciones para resolver cada problema.

16. MODELOS Para construir un modelo del lecho del ro Guadalupe, Hermie us unapulgada de arcilla por cada 5 millas de longitud verdadera del ro. Si su modelo mide 50 pulgadas, cul es la longitud del ro Guadalupe?

17. EDUCACIN Josh resolvi 24 problemas de matemtica en una hora. A este ritmo,cuntas horas se demorar en resolver 72 problemas?

129

2 w6

24k

12k

153

a 812

y8

3 y4

12x

1.5x

412

4b 2

p24

58

183

3d

1854

9y 1

363

x21

8x

46

34

x 14

0.5x

0.12

53

1t

28

3x

1113

1113

5013

13x13

1013

x5

1013

x5

cd

ab

1013

x5

Gua de estudio e intervencin (continuacin)Razones y proporciones


3-63-6

EjemploEjemplo


Gua de estudio e intervencinEl porcentaje de cambio


3-73-7


Lecc

in

3-7

Porcentaje de cambio Cuando un aumento o disminucin de una cantidad se escribecomo porcentaje, ste se llama porcentaje de cambio. Si el nuevo nmero es mayor que elnmero original, se habla de un porcentaje de aumento. Si es menor, se habla de unporcentaje de disminucin.

Calcula el porcentaje de aumento.original: 48nuevo: 60

Para hallar el aumento, empiezasustrayendo. ste es60 48 12.Ahora calcula el porcentaje de aumentousando el nmero original, 48, como base.

Proporcin porcentual

12(100) 48(r) Productos cruzados1200 48r Reduce.


25 r Reduce.

El porcentaje de aumento es del 25%.

48r48

120048

r100

1248

Calcula el porcentaje de disminucin.original: 30nuevo: 22

Para hallar la disminucin, empiezasustrayendo. sta es 30 22 8.Ahora calcula el porcentaje de disminucinusando el nmero original, 30, como base.

Proporcin porcentual

8(100) 30(r) Productos cruzados800 30r Reduce.


26 r Reduce.

El porcentaje de disminucin es de 26 % oun 27%.

23

23

30r30

80030

r100

830


EjerciciosEjerciciosIndica de qu porcentaje de cambio se trata. Luego calclalo, redondeando alporcentaje entero ms cercano.

1. original: 50 2. original: 90 3. original: 45nuevo: 80 nuevo: 100 nuevo: 20

4. original: 77.5 5. original: 140 6. original: 135nuevo: 62 nuevo: 150 nuevo: 90

7. original: 120 8. original: 90 9. original: 27.5nuevo: 180 nuevo: 270 nuevo: 25

10. original: 84 11. original: 12.5 12. original: 250nuevo: 98 nuevo: 10 nuevo: 500


Resuelve problemas Los descuentos y precios con impuesto aadido son ejemplos deporcentajes de cambio. El descuento es una reduccin del precio regular de un artculo, asque es un porcentaje de disminucin. El impuesto sobre las ventas es la cantidad que seagrega al precio de un artculo, entonces es un porcentaje de aumento.

Una chaqueta est rebajada en 25%. Si el precio original es de $75,cul es el precio con descuento?

El descuento es el 25% del precio original.

25% de $75 0.25 75 25% 0.25 18.75 Usa una calculadora.

Sustrae $18.75 del precio original.$75 $18.75 $56.25

El precio con descuento de la chaqueta es $56.25.

Calcula el precio final de cada artculo. Cuando se d un descuento y un impuestosobre las ventas, calcula el precio con rebaja antes de aplicar el impuesto.

1. Disco compacto: $16 2. Dos entradas a un 3. Boleto de aerolnea: $248.00Descuento: 15% concierto: $28 Descuento Superair: 33%

Descuento escolar: 28%

4. Camisa: $24.00 5. Tocador de 6. Calendario de Impuesto: 4% ceds: $142.00 celebridades: $10.95

Impuesto: 5.5% Impuesto: 7.5%

7. Sortija de graduacin: $89.00 8. Software: $44.00 9. Grabador de videos: $110.95Descuento de grupo: 17% Descuento: 21% Descuento: 20%Impuesto: 5% Impuesto: 6% Impuesto: 5%

10. VIDEOS El precio original de un video deportivo era de $65.00. Por razones dedemanda, el precio subi a $87.75. Cul es el porcentaje de aumento sobre el preciooriginal?

11. ESCUELA El peridico de una secundaria aument sus ventas en un 75% cuandopublic un nmero sobre un concurso cuyo premio era una fiesta. Antes del nmerosobre el concurso, el peridico tena una circulacin del 10% de los 800 alumnos de laescuela. Cul fue la circulacin del nmero sobre el concurso?

12. BISBOL La entrada general de bisbol cuesta $15 y las de palco $20. El impuesto sobrelas ventas en cada entrada es 8% y el municipal es un 10% adicional del precio base.Cul es el precio final para cada tipo de entrada?

Gua de estudio e intervencin (continuacin)El porcentaje de cambio


3-73-7

EjemploEjemplo


Gua de estudio e intervencinResuelve ecuaciones y frmulas


3-83-8


Lecc

in

3-8

Resuelve variables A veces se necesita despejar una de las variables de una ecuacincomo V wh. Por ejemplo, si conoces los valores de V, w y h, es ms fcil usar la ecuacin

para calcular el valor de . Si se necesita resolver una ecuacin con ms de una

variable en una de ellas, usa las propiedades de la igualdad para aislar la variableespecificada en un lado de la ecuacin.

Vwh

Despeja y en 2x 4y 8.

2x 4y 82x 4y 2x 8 2x

4y 8 2x

y

El valor de y es .2x 84

2x 84

8 2x

4

8 2x

44y4

Despeja m en 3m n km 8.

3m n km 83m n km km 8 km3m n km 8

3m n km n 8 n3m km 8 nm(3 k) 8 n

m

El valor de m es . Como no se puede

dividir por 0, 3 k 0 k 3.

n 83 k

n 83 k

8 n3 k

8 n3 k

m(3 k)3 k


EjerciciosEjerciciosDespeja la variable dada en cada ecuacin o frmula.

1. ax b c en x 2. 15x 1 y en x 3. (x f) 2 j en x

4. xy z 9 en y 5. x(4 k) p en k 6. 7x 3y m en y

7. 4(c 3) t en c 8. 2x b c en x 9. x(1 y) z en x

10. 16z 4x y en x 11. d rt en r 12. A en h

13. C (F 32) en F 14. P 2 2w en w 15. A w en 59

h(a b)2


Uso de frmulas Muchos problemas concretos requieren el uso de frmulas. A veces,despejar una variable de una frmula te permite resolver el problema.

La frmula C d nos da la circunferencia de un crculo, es decirsu contorno, donde d es el dimetro. Si un avin pudiera volar alrededor de laTierra a la altura del ecuador sin detenerse, habra cubierto 24,900 millas. Calculael dimetro de la Tierra.

C d Frmula

d Despeja d.

d Usa 3.14.

d 7930 Reduce.

El dimetro de la Tierra es de unas 7930 millas.

1. GEOMETRA El volumen V de un cilindro viene dado por la frmula V r2h, donde res el radio y h es la altura.

a. Despeja h.

b. Calcula la altura de un cilindro de volumen 2500 pies cbicos y radio 10 pies.

2. PRESIN DEL AGUA La presin que ejerce el agua en un objeto sumergido en ellaviene dada por la frmula P 64d, donde P la presin en libras por pie cuadrado y d esla profundidad del objeto en pies.

a. Despeja d.

b. Calcula la profundidad de un objeto sumergido si la presin en l es de 672 libras porpie cuadrado.

3. GRFICAS La ecuacin de la recta que pasa por (a, 0) y (0, b) viene dada por la

frmula 1.

a. Despeja y.

b. Supn que la recta pasa por los puntos (4, 0) y (0, 2). Si x 3, despeja y.

4. GEOMETRA El rea de superficie de un cuerpo slido rectangular viene dada por lafrmula S 2w 2h 2wh, donde largo, w ancho y h alto.

a. Despeja h.

b. El rea de superficie de un cueerpo slido rectangular de alto 6 centmetros y ancho 3 centmetros es de 72 centmetros cuadrados. Calcula su alto.

yb

xa

24,9003.14

C

Gua de estudio e intervencin (continuacin)Resuelve ecuaciones y frmulas


3-83-8

EjemploEjemplo


Gua de estudio e intervencinPromedios ponderados


3-93-9


Lecc

in

3-9

Problemas de mezclas

Promedios ponderados El promedio ponderado M de un conjunto de datos es la suma de cada nmero del conjunto por su peso correspondiente dividida entre la suma de todos los pesos.

Los problemas de mezclas son aqullos en los que dos o ms partes se combinan en untodo y se relacionan con los promedios ponderados. En un problema de mezclas, el peso espor lo general el precio o el porcentaje de algo.

La compaa Delectable Cookie vende galletas

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