sesión 6 - estructuras simples

UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJO

ESTÁTICA - Docente: E. RODRÍGUEZ 1

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ESCUELA DE INGENIERÍA CIVILESCUELA DE INGENIERÍA CIVILESCUELA DE INGENIERÍA CIVILESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL

CURSO: ESTÁTICACURSO: ESTÁTICACURSO: ESTÁTICACURSO: ESTÁTICA

SESIÓN SESIÓN SESIÓN SESIÓN 6: 6: 6: 6: Estructuras simplesEstructuras simplesEstructuras simplesEstructuras [email protected]@[email protected]@ucvvirtual.edu.pe

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� Mostrar cómo determinar las fuerzasen los miembros de una armadurausando el método de los nudos y elmétodo de las secciones.

� Analizar las fuerzas que actúan sobrelos miembros de bastidores ymáquinas compuestos por miembrosconectados mediante pasadores.

� Analizar las fuerzas presentes enestructuras planas y espaciales.

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� IntroducciónIntroducciónIntroducciónIntroducción

� Armaduras Armaduras Armaduras Armaduras planasplanasplanasplanas

◦ Método de los nudos

◦ Miembros de fuerza nula

◦ Método de las secciones

� Armaduras espacialesArmaduras espacialesArmaduras espacialesArmaduras espaciales

TEMASTEMASTEMASTEMAS

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• Utilizaremos las ecuaciones de equilibrio (EE)para determinar las fuerzas en los nudos deestructuras simples y compuestas de miembrosconectados por pasadores.

• Las fuerzas en los nudos siempre son, dos ados, de igual módulo pero opuestas. Para poderdeterminar estas fuerzas habrá que dividir laestructura en dos o más partes. Así, las fuerzasde los nudos se convertirán, en los puntos deseparación, en fuerzas exteriores en cada DCL yentrarán en las EE.

INTRODUCCÓNINTRODUCCÓNINTRODUCCÓNINTRODUCCÓN

• Se consideran tres categorías de estructuras :

a) Armaduras: formados pormiembros de dos fuerzas. (elementos rectos que estánconectados en nodos localizados en los extremos de cada elemento).

b) Armazones: contiene al menos un miembrosobre el cual actúan 3 o más fuerzas.

c) Máquinas: sistemas que contienen partesmóviles diseñadas para transmitir y modificarfuerzas.

INTRODUCCÓNINTRODUCCÓNINTRODUCCÓNINTRODUCCÓN

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1.- Armaduras , constan generalmente desubelementos triangulares y estánapoyadas de manera que se impida todomovimiento. Su estructura ligera puedesoportar una fuerte carga con un pesoestructural relativamente pequeño.Ejemplo: Puente de la figura

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Ejemplo de una estructura espacial a base de armaduras – un puente

ARMADURASARMADURASARMADURASARMADURAS

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Armaduras típicas para techo

Armaduras típicas para puentes

Otros tipos de armaduras8

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Estructura compuesta por miembros usualmente rectosunidos por sus extremos y cargada en los puntos de unión(nudos). La estructura ligera de una armadura proporciona,para grandes luces, una resistencia mayor que la queproporcionarían muchos tipos de estructura más fuertes.

Están contenidas en un soloplano.Ejemplo: Se utilizan a menudopor parejas para sostenerpuentes. Las cargas sobre el pisoson transmitidas a los nudosABCD por la estructura del piso.

ARMADURAS PLANASARMADURAS PLANASARMADURAS PLANASARMADURAS PLANAS

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1. Los miembros de las armaduras estánunidos solo por sus extremos.

2. Los miembros están conectados porpasadores libre de rozamiento por loque no hay momentos aplicados a losextremos de los miembros.

3. La armadura sólo está cargada en losnudos.

4. Se pueden despreciar los pesos de losmiembros. En la práctica, es corrientesuponer que la mitad del peso de cadamiembro se ejerce sobre cada uno delos dos nudos que lo conectan.

ARMADURAS PLANAS: supuestosARMADURAS PLANAS: supuestosARMADURAS PLANAS: supuestosARMADURAS PLANAS: supuestos

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El resultado de esta hipótesis es que todoslos miembros de la estructura idealizada sonmiembros de dos fuerzas. (figura).Tales estructuras son mucho más fáciles deanalizar que otras más generales con igualnúmero de miembros.

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Cuando un nudo ejerce una fuerza que tira del extremo de unmiembro, éste ejerce una reacción que también tira del nudo.(Principio de acción y reacción).

� Las fuerzas que tiran del extremo de un miembro sedenominan fuerzas de tracción o de tensión y tienden a alargarel miembro.� Las fuerzas que aprietan el extremo del miembro se denominanfuerzas de compresión y tienden a acortarlo.

Los miembros largos y esbeltos que constituyen una armadura sonmuy resistentes a la tracción pero tienden a sufrir flexión o pandeocuando se someten a cargas compresivas fuertes, por lo que en estoscasos deberán ser más gruesos o deberán riostrarse .

Un extremo de puente se suele dejar flotar sobre un apoyo de zapata ode rodillo. Aparte del requisito matemático (problema equilibrioPlano: 3 reacciones de apoyo) va a permitir la dilatacióno contracción por causas térmicas.



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Para mantener su forma y resistir las grandes cargas que se leapliquen, las armaduras han de ser estructuras rígidas. Elelemento constitutivo básico de toda armadura es el triánguloya que es la estructura rígida más sencilla.

A menudo se dice que una armadura esrígida si conserva su forma al sacarla desus apoyos o cuando uno de sus apoyospuede deslizar libremente. Ejemplo:

Por otro lado, la armadura de la 2ª figurase dice que es una armaduracompuesta y la falta de rigidez internase compensa mediante una reacción deapoyo exterior más. Ejemplo:

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Armaduras simples : Estas se diseñan apartir de un elemento triangular básico(triángulo ABC), luego se añaden, uno auno, elementos triangulares adicionalesuniendo un nuevo nudo (D) a laarmadura y utilizando dos nuevosmiembros (BD y CD) y asísucesivamente.

La armadura simple, al estar constituida tan solo por elementostriangulares, siempre será rígida. Como cada nuevo nudo trae con éldos nuevos miembros, se cumple que en una armadura simple plana:

m = 2n - 3, Siendo m el nº de miembros y n el nº de nudos.

Según el método de los nudos, ésta es exactamente la condiciónnecesaria para garantizar la resolubilidad de la armadura simpleplana, aunque no es válida para otro tipo de armaduras.

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Método de los nudos

Consiste en desmontar la armadura dibujando porseparado el DCL de cada miembro y cada pasador yaplicarles las condiciones de equilibrio.

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• Los DCL de los miembros de la armadura solo tienenfuerzas axiales aplicadas en sus extremos en virtudde la hipótesis formuladas anteriormente.

• El símbolo TBC representa la fuerza incógnita en elmiembro BC (TBC = TCB).

• Las fuerzas que apuntan hacia fuera del miembrose denominan fuerzas de tracción o de tensión ytienden a estirar el miembro.

• Las fuerzas que apuntan hacia el miembro sedenominan fuerzas de compresión y tienden acomprimirlo.

Consideraciones generales del Método de los nudos:

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� De acuerdo con el principio de acción y reacción, la fuerza que unpasador ejerce sobre un miembro es igual y opuesta a la que elmiembro ejerce sobre el pasador.� El análisis de la armadura se reduce a considerar el equilibrio de losnudos ya que el equilibrio de los miembros no aporta más informaciónque la igualdad de fuerzas en los extremos.� Como en cada nudo actúan fuerzas concurrentes coplanarias, elequilibrio de momentos no dará información útil con lo que solo seanaliza el equilibrio de fuerzas. Para cada nudo R = 0 dará lugar a 2ecuaciones escalares independientes:

� Una armadura plana con n pasadores dará un total de 2necuaciones escalares independientes con las que calcularemos las mfuerzas en los miembros y las 3 reacciones en los apoyos de unaarmadura simple.


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� Si existe un nudo con solo dos fuerzas incógnitas, las dos ecuacionespara este nudo se pueden resolver independientemente del resto deecuaciones.� Si no existe un tal nudo, suele poderse crear resolviendo primero lasEQ de la armadura en su conjunto.� Los nudos se resuelven de esta manera uno tras otro hasta que seconozcan todas las fuerzas.� Una vez determinadas todas las fuerzas, deberá hacerse un resumende todas las fuerzas de los miembros indicando en cada una si es detracción o d compresión.� Si se utiliza primeramente el equilibrio global para determinar lasreacciones en los apoyos y ayudar a iniciar el método de los nudos,entonces tres de las 2n EQ de los nudos serán superabundantes y sepodrán utilizar para comprobar la solución.� Si no es así, es el equilibrio global el que puede utilizarse paracomprobar la solución.




EjemploEjemploEjemploEjemplo

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Miembros de fuerza nula

1º Cuando sólo dos miembros no colineales forman un nudo y a éste no hayaplicada ni carga exterior ni reacción de apoyo, los miembros serán de fuerzanula. Ejemplo:

En este caso se podríansuprimir los dos miembros BC yCD, sin que viera afectada lasolución e incluso la estabilidadde la armadura.

Los elementos de fuerza nula se usan para incrementar la estabilidad dela armadura durante la construcción y proporcionan soporte adicional sise modifica la carga aplicada. Sucede a menudo que ciertos miembrosde una armadura dada no soportan carga. Esto suele deberse a una delas dos causas generales.

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2º Cuando tres miembros forman un nudo en el cual dos de los miembrossean colineales y el tercero forme ángulo con ellos, el miembro no colineallo será de fuerza nula si al nudo no hay aplicada fuerza exterior ni reacciónde apoyo. Los dos miembros colineales soportan cargas iguales.Ejemplo:

En este caso estos miembros de fuerza nula no pueden suprimirse, sinmás, de la armadura y descartarlos. Son necesarios para garantizar laestabilidad de la armadura, tal y como se indica a continuación.

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Si se suprimieran los miembros de fuerza nula AD y BD, nadaimpediría que una pequeña perturbación desplazara ligeramente elpasador D y destruyera el alineamiento de los miembros.

La armadura ya no estaría estático, el pasador D seguiría moviéndosehacia afuera y la armadura se derrumbaría.

Así pues, no hay que apresurarse a descartar miembros de unaarmadura sólo por que no soporten carga para una ciertaconfiguración. Tales miembros son a menudo necesarios parasoportar parte de la carga cuando la carga aplicada varíe y casisiempre son necesarios para garantizar la estabilidad de la armadura.

Pero el equilibrio del pasador C exigeque TCD no sea nula. Con lo que:




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Método de las secciones

La armadura se divide solo en dos pedazos.Como la armadura entera está en equilibrio cada uno delos pedazos es también un cuerpo en equilibrio.Ejemplo: La armadura de la figura se puede dividir endos partes haciendo pasar una sección imaginaria aaque corte a alguno de sus miembros.La sección deberá cortar la armadura de manera que sepuedan dibujar DCL para cada uno de los pedazos.En cada uno hay que incluir la fuerza que sobre cadamiembro cortado ejerce la otra parte del miembro queha quedado fuera.Así pues, para hallar la TCF, la sección deberá cortar esemiembro. Para cada cuerpo rígido podrán escribirse 3EE independientes. En total 6 ecuaciones para despejar6 incógnitas (las fuerzas en los tres miembros cortadosy las 3 reacciones en los apoyos).

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Podremos simplificar la resolución de las ecuaciones si se determinanlas reacciones de los apoyos a partir del equilibrio de toda la armaduraantes de ser seccionada.

Si una sección cortara cuatro o más miembros cuyas fuerzas no seconocieran, el método de las secciones no generaría bastantes EQ paradespejar todas las fuerzas incógnitas.En ocasiones, no puede encontrarse una sección que corte no más de 3miembros y pase a través de un miembro de interés dado. En tal caso,podrá ser necesario dibujar una sección que atraviese un miembropróximo y despejar primero las fuerzas en él y posteriormente aplicar elmétodo de los nudos a un nudo próximo o el de la secciones a una secciónque contenga el miembro de interés.

Ventajas :� Suele poderse determinar la fuerza en un miembro cercano alcentro de una armadura grande sin haber obtenido primero lasfuerzas en el resto de la armadura con lo que la posibilidad de errorse reduce de manera importante.� Puede servir de comprobación cuando se utilice el método de losnudos o un programa de ordenador para resolver una armadura.

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Armaduras espaciales

El equivalente tridimensional del triángulo es el tetraedro .Una armadura espacial simple se forma añadiendo unidadestetraédricas a la armadura con lo que son siempre rígidas.Como ahora cada nuevo nudo lleva consigo 3 nuevos miembros,la relación entre los n nudos y los m miembros vendrá dado por:

m = 3n – 6.Estas armaduras, al igual que las planas, se pueden analizarutilizando el método de los nudos o el de las secciones:� Método de los nudos: al aplicar las EE en cada nudoobtendremos 3n ecuaciones para calcular las m fuerzas en losmiembros y las 6 reacciones de apoyos.� Método de las secciones: la aplicación de las EE a las dossecciones darán 12 EE (6 c.u.) suficientes para determinar las 6reacciones de apoyos y 6 fuerzas de miembros internas (sueleser difícil hacer pasar una sección que no corte a más de 6miembros).

Son armaduras cuyos nudos no se encuentren todos en un planoy/o cuyos apoyos y cargas no sean coplanarios.

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