Calculo 3: 2014-1

CURVAS DE NIVEL

Una manera muy práctica de visualizar la gráfica de una función de n variables es a través

de las curvas de nivel, para esto consideremos la función 2:f R R tal que ( , )z f x y (n

= 2), cuya gráfica de esta función es una superficie de 3R . Supongamos que la superficie

( , )z f x y se corta mediante una familia de planos paralelos al plano coordenado xy que

son de la forma ( 0, 1, 2,..., )z k k n cuyas intersecciones son curvas que al

proyectarlo sobre el plano ,xy tiene por ecuación ( , )f x y k , a esta curvas se le llaman

curvas de nivel de la función f en k y al conjunto de de curvas de nivel se llama mapeo

de contorno.

En forma similar para el caso 3: ,f se obtienen ( , , )f x y z k llamadas superficies

de nivel.

APLICACIONES DE LAS CURVAS DE NIVEL

Una vez elaborado el mapa topográfico con la representación gráfica del terreno por medio

de curvas de nivel, podemos utilizar el mismo de diferentes maneras en la planificación y

ejecución de obras civiles, usos agrícolas y pecuarios., ordenamiento territorial,

planificación etc.

Un mapa topográfico bien elaborado constituye una base de información indispensable en

la planificación, ejecución y control de todo proyecto.

De un mapa topográfico con curvas de nivel podemos determinar la cota o elevación de

cualquier punto sobre el plano, la pendiente entre dos puntos, estimar los volúmenes de

corte y relleno de material requerido en la ejecución de una obra y proyectar trazado de

vías, etc. A continuación presentamos gráficas de curvas de nivel.

Calculo 3: 2014-1

Figura 1 Mapa topográfico de Armenia Figura 2

Figura 3

Ejemplo 1.- Sea 2 2 2: / ( , ) ,f R R z f x y x y hallar las curvas de nivel y hacer la

gráfica de esta superficie.

Solución

Determinaremos las curvas de nivel, haciendo ,z k es decir 2 2x y k que son familias

de circunferencias.

-4

-3-2

-10

12

34

-4-3-2-1

01234

0

5

10

15

Calculo 3: 2014-1

Ejemplo 2.- Sea 2 2: / ( , 8 2 .)f x yf y xz Hallar las curvas de nivel y hacer la

gráfica de esta superficie

Ejemplo 3.- Sea 2: / xf z ye .Hallar las curvas de nivel y hacer la gráfica de esta

superficie.

Solución

Determinaremos las curvas de nivel, haciendo z k .Podemos observar que se tiene una

familia de funciones exponenciales de la forma xye k , lo cual puede verse como

xy k e . Para este caso, el valor de k puede ser cualquier número real.

-4-3

-2-1

01

23

4

-4-3

-2-1

01

23

4

0

5

10

15

Eje Z

Eje X

Eje Y

-2

-1.5

-1-0.5

0

0.51

1.5

2

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

-15

-10

-5

0

5

10

15

Eje

z

Eje XEje Y

Calculo 3: 2014-1

Ejemplo 4.- Sea 2 2 2: /f z x y .Hallar las curvas de nivel y hacer la gráfica de

esta superficie.

Solución

Determinaremos las curvas de nivel, haciendo z k .Podemos observar que si 0k se

tiene una familia de hipérbolas de la forma 2 2x y k y para 0k las rectas y x y

y x . Las gráficas de las curvas de nivel y la superficie se da a continuación.

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2Curvas de nivel

Eje X

Eje

Y

-2-1

01

2

-2

-1

0

1

2-3

-2

-1

0

1

2

3

Eje XEje Y

-10-5

05

10

-10-5

05

10-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

Eje XEje Y

Calculo 3: 2014-1

Es muy difícil imaginar una función f de tres variables mediante su gráfica, ya que se

localizaría en un espacio de cuatro direcciones. No obstante, es posible saber más de f

examinando sus superficies de nivel, las cuales son las superficies cuyas ecuaciones son

( , , ) f x y z k , donde k es una constante. Si el punto ( , , )x y z se desplaza por una

superficie de nivel, el valor de ( , , )f x y z sigue estando fijo.

Ejemplo 5.- Determine las superficies de nivel de la función

2 2 2( , , ) f x y z x y z

Solución

Las superficies de nivel son 2 2 2 x y z k , donde 0k . Esto forma una familia de

esferas concéntricas con radio k . Por lo tanto, cuando ( , , )x y z varía sobre cualquier

esfera con centro en O, el valor de ( , , )f x y z se conserva fijo.

Ejemplo 6.- Determine las superficies de nivel de la función

2 2 2( , , ) 4 f x y z x y z

Solución

Cada superficie de nivel tiene una ecuación de la forma

2 2 24 x y z c (Ecuación de una superficie de nivel)

Por tanto, las superficies de nivel son elipsoides (cuyas secciones transversales paralelas al

plano yz son círculos). A medida que c aumenta, los radios de las secciones transversales

Calculo 3: 2014-1

circulares aumentan según la raíz cuadrada de c. Por ejemplo, las superficies de nivel

correspondientes a los valores de 0, 4 c c y 16c son como sigue:

2 2 2

2 2 2

2 2 2

superficie de nivel para c 0(un solo punto)

superficie de

4 0

1 1 4 4

1 4 16 16

nivel para c 4(elipsoide)

superficie de nivel para c 16(elipsoide)

x y z

x y z

x y z

EJERCICIOS

1. Dibuje las curvas de nivel de las siguientes funciones:

a. ( , )f x y x y

b. 2 2( , ) 4f x y x y

c. 2( , )f x y y x

d. 2( , ) ( 2 )f x y y x

e. 2 2( , ) 6 4 7f x y x y x y

f. 2 2( , ) exp( )f x y x y

g. 2 2

1( , )

1f x y

x y

h. 2 2( , ) 4f x y x y

i. ( , ) lnf x y y x

j. 3( , )f x y x y

k. ( , ) y xf x y e

l. 2 2

( , )y

f x yx y

m. ( , , ) 3 5 . f x y z x y z

n. 2 2 2( , , ) 3 5 . f x y z x y z

o. 2 2 2( , , ) . f x y z x y z

p. 2

2( , , )4

y

f x y z x z